主成分分析的缺点，为什么要有因子分析？谁能清楚的讲讲？
好的，我们来聊聊主成分分析（PCA）和因子分析（FA）这两个降维技术，以及为什么因子分析会应运而生。我会尽量讲得详细深入，并且让这篇文章读起来更像是我用心写出来的。
主成分分析 (PCA)：一个强大的降维工具
先从PCA说起。你可以把PCA想象成一种“数学上的捏合”。我们有很多的变量（维度），它们可能之间存在着线性关系。PCA的目标就是找到几个新的、彼此之间无关的变量，叫做“主成分”，它们能够尽可能地保留原始数据的绝大部分信息。
PCA是如何工作的？
简单来说，PCA找到数据方差最大的方向，并将其定义为第一个主成分。然后，它找到与第一个主成分正交（互相独立）的、在剩余数据中方差最大的方向，作为第二个主成分，依此类推。这个过程就像你手里有一团散开的黏土，你想用最少的力气把它捏成一个更紧凑的形状，但又不希望它“散架”。
方差最大化： PCA的核心是最大化每个主成分所解释的方差。方差越大，意味着该方向上数据的变化程度越大，信息量也越多。
线性组合： 每个主成分都是原始变量的线性组合。比如，第一个主成分可能等于 $0.5 imes 变量1 + 0.3 imes 变量2 0.1 imes 变量3$ 等等。
去相关： 找到的主成分之间是完全不相关的（正交）。这很重要，因为它意味着每个主成分都代表了数据中独立的一部分变化。
PCA的优势显而易见：
1. 降维： 最直接的好处就是减少数据的维度，让数据分析和可视化变得更容易，也减轻了计算负担。
2. 去噪： 通常，数据中的噪声信息会分布在方差较小的方向上。通过保留方差大的主成分，PCA能在一定程度上过滤掉噪声。
3. 特征提取： 主成分可以被看作是原始数据的一种“压缩”或“概括”，有时能揭示数据背后更本质的结构。
但是，PCA也有它的“软肋”——PCA的缺点
虽然PCA很强大，但它并不是万能的，它的一些特性也导致了它的局限性，这正是后来因子分析出现的原因。
1. 忽略了潜在的“原因”： PCA关注的是数据的整体方差，它认为所有方差都代表了“有用信息”。但很多时候，数据的方差可能包含两部分：一部分是由我们感兴趣的潜在“因素”或“结构”驱动的，另一部分则是随机的测量误差或者一些我们不关心的变异。PCA无法区分这两部分。它只是简单地把所有方差都“打包”到主成分里。
2. 主成分的解释性问题： PCA生成的主成分是原始变量的线性组合，这些组合可能非常复杂，难以直观地解释它们到底代表了什么。比如，一个主成分可能是“0.2 收入 + 0.5 教育程度 0.3 工作年限”，这个组合到底有什么实际意义，很难说得清。它更像是一个数学构造，而不是一个有明确概念的“东西”。
3. 对数据的主观依赖： PCA的输出结果（主成分的构成）会受到原始变量的尺度和相关性的影响。如果我们先对变量进行标准化，结果可能就和不标准化的不一样。这种选择会影响主成分的解释。
4. 假设数据是“干净”的： PCA假设数据是相对干净的，或者说它无法区分“真信号”和“噪声”。如果数据本身就包含大量的随机误差，PCA可能会把这些误差也包含在主成分里，导致主成分的解释性更差。
形象点说： 想象你有很多传感器记录了同一场景下的不同数据（比如温度、湿度、光照、声音等）。PCA可能会找到几个“组合”，这些组合能最大化地描述这些传感器数据的整体变化，但这些组合可能只是“温度+光照的某种混合”，而你真正想知道的是，有没有一个隐藏的“天气状况”因子，同时影响了温度和光照。PCA本身并不能直接告诉你这个“天气状况”是什么。
为什么要有因子分析？——因子分析的出现
正是因为PCA在解释性和区分信号与噪声方面的局限性，才催生了因子分析（Factor Analysis, FA）。因子分析的出发点和PCA有根本性的不同。
因子分析的核心理念：
因子分析认为，我们观察到的变量（比如问卷中的问题得分、一系列的测量指标）并不是独立存在的，它们很可能受到一些不可直接观测的潜在“因子”（Latent Factors）的影响。这些因子才是真正驱动变量变化的原因。
因子分析的目标：
因子分析的目标就是从我们能观测到的变量中，推断出这些潜在的、更少数量的公共因子。它试图解释的是变量之间的“共同变异”，而不是所有变量的“总变异”。
因子分析是如何工作的？
因子分析建模可以写成这样：
$X_i = lambda_{i1}F_1 + lambda_{i2}F_2 + ... + lambda_{im}F_m + u_i$
$X_i$：第 $i$ 个可观测变量。
$F_1, F_2, ..., F_m$：是 $m$ 个潜在的公共因子。这些因子是相互独立的（或者说没有相关性）。
$lambda_{ij}$：是第 $i$ 个变量在第 $j$ 个因子上的“因子载荷”（Factor Loading）。这就像是一个“权重”，表示第 $i$ 个变量受第 $j$ 个因子的影响有多大。因子载荷的值越高，说明该变量与该因子的关联越强。
$u_i$：是第 $i$ 个变量的“特殊因子”或“残差”（Unique Factor or Error）。这部分包含了该变量特有的、不被其他公共因子解释的变异，比如测量误差、其他未考虑到的因素等。
关键区别点：
关注点不同：
PCA：关注的是总方差，试图用少数主成分来解释数据中所有的变异。
FA：关注的是共同变异（变量之间的相关性），试图用少数潜在因子来解释变量之间的共同变化规律，而将部分变异归因于误差。
模型假设不同：
PCA：是一种描述性技术，没有明确的生成模型假设。它只是数学上的线性变换。
FA：是一种生成模型，假设存在潜在因子驱动观测变量。
解释性不同：
PCA：主成分是原始变量的线性组合，解释起来可能困难。
FA：因子载荷表示变量与潜在因子的关联强度，更容易理解为“因子 X 代表了什么”。比如，如果“收入”、“教育程度”、“职业声望”都在“社会经济地位”因子上有很高的载荷，那么我们就能合理地推断这个因子代表了“社会经济地位”。
处理误差不同：
PCA：没有显式地将误差分离出来，噪声可能混在主成分里。
FA：显式地将变量的变异分解为“公共因子引起的变异”和“特殊因子/误差引起的变异”，更有助于理解变量的内在结构。
打个比方：
想象你有一堆照片（观测变量）。
PCA 就像是说：“这些照片里有很多像素的颜色变化。我来找到几个方向，能最大程度地描述这些像素颜色的整体变化，把它们组合起来，用最少的‘模式’来概括这些照片。” 结果可能是一些抽象的颜色组合，很难说具体是啥。
因子分析 就像是说：“我觉得这些照片背后可能藏着几个主题（潜在因子）。比如，‘人物肖像’这个主题，会影响到照片里是否有清晰的人脸；‘风景’这个主题，会影响到照片里是否有天空和绿色。我来分析这些照片，看看能不能找出‘人物肖像’和‘风景’这两个主题的强度，以及每张照片在这两个主题上的表现。” 这样你就能理解，为什么有些照片看起来像肖像，有些像风景。
什么时候用PCA，什么时候用FA？
使用PCA的时机：
降维以简化模型或加速计算： 当你主要目的是为了减少维度，让模型更容易处理，而不特别在意每个新变量的具体含义时。
数据可视化： 将高维数据降到2维或3维进行展示。
去噪： 当你认为主要方差代表了“好信号”，小的方差代表了“噪声”时。
使用FA的时机：
理解变量背后的潜在结构： 当你想找出驱动一组变量变化的内在原因或概念时。
构建量表或测量工具： 比如在心理学、市场调研中，你想知道一系列问题是否能测量某个潜在的心理特征（如自信心、满意度）。
解释性强： 当你希望得到具有实际意义的、可解释的潜在变量时。
处理测量误差： 当你认为观测变量的变异中，一部分是系统性的，一部分是随机误差时。
总结一下
PCA 和因子分析都是降维技术，但它们的哲学和目标不同。
PCA 是一个更“数据驱动”的工具，它寻找数据中的“方向”，最大化地保留总方差，旨在简化数据结构，降低维度。它的主成分是原始变量的线性组合，解释性可能受限，且会将所有方差（包括误差）都纳入考虑。
因子分析 则是一个更“模型驱动”的工具，它假设存在潜在因子影响着观测变量，旨在从变量之间的共同变异中挖掘出这些潜在的驱动因素，并明确区分出误差。其结果（因子载荷）更容易与现实概念联系起来，解释性更强。
所以，如果你希望知道“数据里到底隐藏着什么根本性的东西在影响着它们？”，那么因子分析可能是更好的选择。如果你只是想把一堆数据变得“小一点”，或者好画一点，PCA可能就足够了。很多时候，两者可以结合使用，或者先用PCA做个初步探索，再用FA进行深入的结构挖掘。
希望我这么讲，能把这其中的区别讲清楚，也让这篇文章不那么“机械”，更像是我们之间的一场深入交流。
主成分分析 (PCA)：一个强大的降维工具
先从PCA说起。你可以把PCA想象成一种“数学上的捏合”。我们有很多的变量（维度），它们可能之间存在着线性关系。PCA的目标就是找到几个新的、彼此之间无关的变量，叫做“主成分”，它们能够尽可能地保留原始数据的绝大部分信息。
PCA是如何工作的？
简单来说，PCA找到数据方差最大的方向，并将其定义为第一个主成分。然后，它找到与第一个主成分正交（互相独立）的、在剩余数据中方差最大的方向，作为第二个主成分，依此类推。这个过程就像你手里有一团散开的黏土，你想用最少的力气把它捏成一个更紧凑的形状，但又不希望它“散架”。
方差最大化： PCA的核心是最大化每个主成分所解释的方差。方差越大，意味着该方向上数据的变化程度越大，信息量也越多。
线性组合： 每个主成分都是原始变量的线性组合。比如，第一个主成分可能等于 $0.5 imes 变量1 + 0.3 imes 变量2 0.1 imes 变量3$ 等等。
去相关： 找到的主成分之间是完全不相关的（正交）。这很重要，因为它意味着每个主成分都代表了数据中独立的一部分变化。
PCA的优势显而易见：
1. 降维： 最直接的好处就是减少数据的维度，让数据分析和可视化变得更容易，也减轻了计算负担。
2. 去噪： 通常，数据中的噪声信息会分布在方差较小的方向上。通过保留方差大的主成分，PCA能在一定程度上过滤掉噪声。
3. 特征提取： 主成分可以被看作是原始数据的一种“压缩”或“概括”，有时能揭示数据背后更本质的结构。
但是，PCA也有它的“软肋”——PCA的缺点
虽然PCA很强大，但它并不是万能的，它的一些特性也导致了它的局限性，这正是后来因子分析出现的原因。
1. 忽略了潜在的“原因”： PCA关注的是数据的整体方差，它认为所有方差都代表了“有用信息”。但很多时候，数据的方差可能包含两部分：一部分是由我们感兴趣的潜在“因素”或“结构”驱动的，另一部分则是随机的测量误差或者一些我们不关心的变异。PCA无法区分这两部分。它只是简单地把所有方差都“打包”到主成分里。
2. 主成分的解释性问题： PCA生成的主成分是原始变量的线性组合，这些组合可能非常复杂，难以直观地解释它们到底代表了什么。比如，一个主成分可能是“0.2 收入 + 0.5 教育程度 0.3 工作年限”，这个组合到底有什么实际意义，很难说得清。它更像是一个数学构造，而不是一个有明确概念的“东西”。
3. 对数据的主观依赖： PCA的输出结果（主成分的构成）会受到原始变量的尺度和相关性的影响。如果我们先对变量进行标准化，结果可能就和不标准化的不一样。这种选择会影响主成分的解释。
4. 假设数据是“干净”的： PCA假设数据是相对干净的，或者说它无法区分“真信号”和“噪声”。如果数据本身就包含大量的随机误差，PCA可能会把这些误差也包含在主成分里，导致主成分的解释性更差。
形象点说： 想象你有很多传感器记录了同一场景下的不同数据（比如温度、湿度、光照、声音等）。PCA可能会找到几个“组合”，这些组合能最大化地描述这些传感器数据的整体变化，但这些组合可能只是“温度+光照的某种混合”，而你真正想知道的是，有没有一个隐藏的“天气状况”因子，同时影响了温度和光照。PCA本身并不能直接告诉你这个“天气状况”是什么。
为什么要有因子分析？——因子分析的出现
正是因为PCA在解释性和区分信号与噪声方面的局限性，才催生了因子分析（Factor Analysis, FA）。因子分析的出发点和PCA有根本性的不同。
因子分析的核心理念：
因子分析认为，我们观察到的变量（比如问卷中的问题得分、一系列的测量指标）并不是独立存在的，它们很可能受到一些不可直接观测的潜在“因子”（Latent Factors）的影响。这些因子才是真正驱动变量变化的原因。
因子分析的目标：
因子分析的目标就是从我们能观测到的变量中，推断出这些潜在的、更少数量的公共因子。它试图解释的是变量之间的“共同变异”，而不是所有变量的“总变异”。
因子分析是如何工作的？
因子分析建模可以写成这样：
$X_i = lambda_{i1}F_1 + lambda_{i2}F_2 + ... + lambda_{im}F_m + u_i$
$X_i$：第 $i$ 个可观测变量。
$F_1, F_2, ..., F_m$：是 $m$ 个潜在的公共因子。这些因子是相互独立的（或者说没有相关性）。
$lambda_{ij}$：是第 $i$ 个变量在第 $j$ 个因子上的“因子载荷”（Factor Loading）。这就像是一个“权重”，表示第 $i$ 个变量受第 $j$ 个因子的影响有多大。因子载荷的值越高，说明该变量与该因子的关联越强。
$u_i$：是第 $i$ 个变量的“特殊因子”或“残差”（Unique Factor or Error）。这部分包含了该变量特有的、不被其他公共因子解释的变异，比如测量误差、其他未考虑到的因素等。
关键区别点：
关注点不同：
PCA：关注的是总方差，试图用少数主成分来解释数据中所有的变异。
FA：关注的是共同变异（变量之间的相关性），试图用少数潜在因子来解释变量之间的共同变化规律，而将部分变异归因于误差。
模型假设不同：
PCA：是一种描述性技术，没有明确的生成模型假设。它只是数学上的线性变换。
FA：是一种生成模型，假设存在潜在因子驱动观测变量。
解释性不同：
PCA：主成分是原始变量的线性组合，解释起来可能困难。
FA：因子载荷表示变量与潜在因子的关联强度，更容易理解为“因子 X 代表了什么”。比如，如果“收入”、“教育程度”、“职业声望”都在“社会经济地位”因子上有很高的载荷，那么我们就能合理地推断这个因子代表了“社会经济地位”。
处理误差不同：
PCA：没有显式地将误差分离出来，噪声可能混在主成分里。
FA：显式地将变量的变异分解为“公共因子引起的变异”和“特殊因子/误差引起的变异”，更有助于理解变量的内在结构。
打个比方：
想象你有一堆照片（观测变量）。
PCA 就像是说：“这些照片里有很多像素的颜色变化。我来找到几个方向，能最大程度地描述这些像素颜色的整体变化，把它们组合起来，用最少的‘模式’来概括这些照片。” 结果可能是一些抽象的颜色组合，很难说具体是啥。
因子分析 就像是说：“我觉得这些照片背后可能藏着几个主题（潜在因子）。比如，‘人物肖像’这个主题，会影响到照片里是否有清晰的人脸；‘风景’这个主题，会影响到照片里是否有天空和绿色。我来分析这些照片，看看能不能找出‘人物肖像’和‘风景’这两个主题的强度，以及每张照片在这两个主题上的表现。” 这样你就能理解，为什么有些照片看起来像肖像，有些像风景。
什么时候用PCA，什么时候用FA？
使用PCA的时机：
降维以简化模型或加速计算： 当你主要目的是为了减少维度，让模型更容易处理，而不特别在意每个新变量的具体含义时。
数据可视化： 将高维数据降到2维或3维进行展示。
去噪： 当你认为主要方差代表了“好信号”，小的方差代表了“噪声”时。
使用FA的时机：
理解变量背后的潜在结构： 当你想找出驱动一组变量变化的内在原因或概念时。
构建量表或测量工具： 比如在心理学、市场调研中，你想知道一系列问题是否能测量某个潜在的心理特征（如自信心、满意度）。
解释性强： 当你希望得到具有实际意义的、可解释的潜在变量时。
处理测量误差： 当你认为观测变量的变异中，一部分是系统性的，一部分是随机误差时。
总结一下
PCA 和因子分析都是降维技术，但它们的哲学和目标不同。
PCA 是一个更“数据驱动”的工具，它寻找数据中的“方向”，最大化地保留总方差，旨在简化数据结构，降低维度。它的主成分是原始变量的线性组合，解释性可能受限，且会将所有方差（包括误差）都纳入考虑。
因子分析 则是一个更“模型驱动”的工具，它假设存在潜在因子影响着观测变量，旨在从变量之间的共同变异中挖掘出这些潜在的驱动因素，并明确区分出误差。其结果（因子载荷）更容易与现实概念联系起来，解释性更强。
所以，如果你希望知道“数据里到底隐藏着什么根本性的东西在影响着它们？”，那么因子分析可能是更好的选择。如果你只是想把一堆数据变得“小一点”，或者好画一点，PCA可能就足够了。很多时候，两者可以结合使用，或者先用PCA做个初步探索，再用FA进行深入的结构挖掘。
希望我这么讲，能把这其中的区别讲清楚，也让这篇文章不那么“机械”，更像是我们之间的一场深入交流。
网友意见
这玩意有很多异同，总体来说两者最大的相似之处就是基于客观数据然后在数据上进行一通矩阵相关的操作得出一些相关性的结论。两者主要是降维操作。两者各有优势，不能说哪个好，哪个搓比。
1、原理不同
主成分分析是利用线性变换的思想与方法，把多个指标转化为几个不相关的综合指标（主成分)，也就是说最后得到的指标（列）是原始变量（列，指标，属性）的线性组合而成。
比如原来有10个指标，最后的主成分是5个，后面的5个是前面10个指标的组合而成。新的指标数量更少（降维了），名称也要变过，这样使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能，从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的。
而因子分析更倾向于从数据出发，描述原始变量的相关关系，是由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发，把错综复杂关系的变量表示成少数的公共因子和仅对某一个变量有作用的特殊因子线性组合而成。
2、假设条件不同
上面的图很现成的了，解释得非常清楚。
PCA的主成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分（只是主成分所解释的信息量不等）。而FA的因子个数需要分析者指定，指定的因子数量不同而结果也不同。
3、应用范围不同
PCA常被用作达到目的的中间过程的手段。最烦的是要降维，还要给这些玩意命名重新命名等。
因子分析可确切的得出公共因子。然后直接解释原因。
4、不能过份依赖这两种分析方法
这两种分析方法都有很成熟的软件进行计算，比如SPSS、Stata等统计软件都可以轻松的计算出来。其它的编程语言也是都有例子。比如C ,C++,Js,Php,matlab,R，python。甚至excel都可以计算。
两种方法都可以用来算权重，或者是来降维。但是降维本身不要过份依赖这种客观法。
这里举一个实际中常用的综合评价问题。
CE,是综合评价（Comprehensive Evaluation）简写。 所有的综合评价只要是涉及多个评价对象都可以用SAISM模型来指示。比如环境监测综合评价、药物临床试验综合评价、地质灾害综合评价、气候特征综合评价、产品质量综合评价等等；在社会科学中广泛应用于总体特征和个体特征的综合评价。比如，社会治安综合评价，生活质量综合评价、社会发展综合评价、教学水平综合评价、人居环境综合评价等等。在经济学学科领域更为普遍。如，综合经济效益评价、小康建设进程评价、经济预警评价分析、生产方式综合评价、房地产市场景气程度综合评价等等
CE有三个关键技术。
1、指标的选取。即有多少列。
2、权重的确定。即求权重的方法，用主观法，还是客观法
3、模型方法的适宜。只要是多个评价对象的，都可以用SAISM
综合评价最关键的一步是指标的选取。
以高考选拔的指标来说。
选什么指标如果根据考分然后弄个主成分分析、与因子分析来个降维。这说服力的不行的。
上面左边的一个流程是通用的，从本科论文到博士论文都用得上。
其中指标确认的地方，可以加一个因子分析达到降维的作用。用因子分析比主成分分析好。
从灌水的角度考虑就上面的步骤，有一些能灌水的，能扯上3万字。
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