有没有手算根号pi的方法？
当然有！虽然我们现在动辄用计算器或电脑就能秒出 $sqrt{pi}$ 的值，但在没有这些工具的年代，人们确实摸索出了一些手动计算 $sqrt{pi}$ 的方法。这些方法通常借鉴了我们计算其他数字平方根的思路，只不过要针对 $pi$ 这个“捣蛋鬼”稍微调整一下。
下面我就来和你聊聊几种大概的方法，保证让你看得明白，不像是机器写出来的。
核心思想：逼近
我们要知道，$pi$ 是一个无理数，它的小数点后是无限不循环的。 $sqrt{pi}$ 自然也是一样。所以，我们手动算，本质上就是在“逼近”，一层一层地剥开它的小数点。就像剥洋葱一样，一层一层地猜，越来越接近真相。
方法一：牛顿迭代法（经典中的经典）
这个方法可以说是计算平方根的“万能公式”，用在 $sqrt{pi}$ 上也一样好用。它的核心思想是：你猜一个数 $x_0$，然后用一个公式去修正它，得到一个更好的猜测值 $x_1$，再用 $x_1$ 去计算 $x_2$…… 这样循环下去，每次的猜测都比上次更接近真实值。
公式是这样的：
$x_{n+1} = frac{1}{2} left( x_n + frac{S}{x_n} ight)$
这里，我们想算的是 $sqrt{S}$。对于我们来说，$S = pi$。
具体步骤来了，咱们一步步走：
1. 准备工作：一个好的起始猜测值 ($x_0$)
我们知道 $pi approx 3.14159$。
我们心里清楚， $sqrt{1} = 1$， $sqrt{4} = 2$。因为 $pi$ 在 3 和 4 之间，所以 $sqrt{pi}$ 肯定在 $sqrt{3}$ 和 $sqrt{4}$ 之间。
$sqrt{3}$ 大概是多少呢？我们知道 $1.7^2 = 2.89$， $1.8^2 = 3.24$。所以 $sqrt{3}$ 大概在 1.7 左右。
$sqrt{pi}$ 肯定比 $sqrt{3}$ 大一点，比 2 小。一个不错的起始猜测值可以是 $x_0 = 1.7$ 或者 $x_0 = 1.8$。为了方便计算，我们选 $x_0 = 1.7$ 吧。（或者你心算觉得 3.14 离 3.24 更近一点，可以选 1.8 试试。）
我们先选 $x_0 = 1.7$。
2. 第一次迭代 ($n=0$)：
我们要算 $x_1 = frac{1}{2} left( x_0 + frac{pi}{x_0} ight)$
代入我们的 $x_0 = 1.7$ 和 $pi approx 3.14159$：
$frac{pi}{x_0} = frac{3.14159}{1.7}$
这里就要动手算除法了。3.14159 除以 1.7，大概是 1.84799... （这里可能需要写个竖式算算）
$x_1 = frac{1}{2} (1.7 + 1.84799) = frac{1}{2} (3.54799) = 1.773995$
哇，第一次就从 1.7 到了 1.77，看起来进步不小！
3. 第二次迭代 ($n=1$)：
现在我们用 $x_1 = 1.773995$ 来算 $x_2$。
$x_2 = frac{1}{2} left( x_1 + frac{pi}{x_1} ight)$
计算 $frac{pi}{x_1} = frac{3.14159}{1.773995}$。这个除法会更复杂一些。大概算出来是 1.77127...
$x_2 = frac{1}{2} (1.773995 + 1.77127) = frac{1}{2} (3.545265) = 1.7726325$
你看，从 1.773995 到 1.7726325，这个变化变小了，说明我们越来越接近真实值了。
4. 继续迭代…
如果你想算得更准，就继续用 $x_2$ 去算 $x_3$，然后 $x_4$…… 每次计算 $frac{pi}{x_n}$ 和加法、除法，都会让你的猜测值越来越接近 $sqrt{pi}$ 的真实值。
要算到小数点后几位，就重复这个过程多少次。比如要算到小数点后三位，当你发现连续两次算出来的结果小数点后三位都一样时，就可以停了。
这个方法的优点是收敛很快，你不需要很多次迭代就能得到比较精确的结果。
缺点是每次迭代都需要进行除法和乘法运算，特别是除法，在手动计算时会比较耗时。
方法二：二分法（比较朴实，但有效）
这个方法更像是在“范围里猜”。我们知道 $sqrt{pi}$ 在哪个范围，然后不断缩小这个范围。
步骤：
1. 确定初始范围：
我们知道 $1^2 = 1$， $2^2 = 4$。因为 $1 < pi < 4$，所以 $1 < sqrt{pi} < 2$。我们的初始范围是 $[1, 2]$。
2. 取中值猜测：
范围的中值是 $frac{1+2}{2} = 1.5$。
我们来算 $1.5^2 = 2.25$。
3. 判断并缩小范围：
因为 $2.25 < pi$ (我们知道 $pi approx 3.14$)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.5 要大。
所以，新的范围就是 $[1.5, 2]$。
4. 重复迭代：
范围的中值是 $frac{1.5+2}{2} = 1.75$。
算 $1.75^2 = 3.0625$。
因为 $3.0625 < pi$ (比 3.14 小)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.75 要大。
新的范围是 $[1.75, 2]$。
5. 再重复迭代：
范围的中值是 $frac{1.75+2}{2} = 1.875$。
算 $1.875^2 = 3.515625$。
因为 $3.515625 > pi$ (比 3.14 大)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.875 要小。
新的范围是 $[1.75, 1.875]$。
6. 继续缩小范围：
范围的中值是 $frac{1.75+1.875}{2} = 1.8125$。
算 $1.8125^2 = 3.28515625$。
因为 $3.28515625 > pi$，新的范围是 $[1.75, 1.8125]$。
7. 再来一次：
范围的中值是 $frac{1.75+1.8125}{2} = 1.78125$。
算 $1.78125^2 approx 3.17285...$
因为 $3.17285 > pi$，新的范围是 $[1.75, 1.78125]$。
你看，我们一直在缩小范围，而且每次都在这个范围的中间点进行判断。要算到小数点后几位，就重复这个过程多少次。每次你都会得到一个越来越窄的区间，而 $sqrt{pi}$ 就一定在这个区间里。当区间非常非常窄的时候，你就可以取这个区间里的任何一个数作为你的近似值了。
这个方法的优点是概念简单，容易理解，每次只需要做乘法和平均。
缺点是收敛速度比牛顿法慢一些，需要更多的步骤才能达到同样的精度。
方法三：借助已知值的估算与调整（更像“经验”技巧）
这种方法更偏向于一种“凭感觉”和经验的结合。如果你知道一些附近数字的平方根，或者对 $pi$ 的值非常熟悉，可以更快地入手。
思路：
1. 利用 $pi approx 3.14$
我们知道 $1.7^2 = 2.89$
$1.8^2 = 3.24$
$pi$ 在 3.14 左右。很明显，3.14 比 2.89 和 3.24 都更接近，但它到底离哪个更近呢？
$3.14 2.89 = 0.25$
$3.24 3.14 = 0.10$
所以，3.14 更接近 3.24。这意味着 $sqrt{pi}$ 应该比 1.8 稍微小一点，但不会比 1.7 大很多。我们可以猜它在 1.75 到 1.8 之间。
2. 进一步精炼猜测：
我们试着算 $1.75^2 = 3.0625$。
$1.78^2 = (1.8 0.02)^2 = 1.8^2 2 imes 1.8 imes 0.02 + 0.02^2 = 3.24 0.072 + 0.0004 = 3.1684$
$1.77^2 = (1.75 + 0.03)^2 approx 1.75^2 + 2 imes 1.75 imes 0.03 = 3.0625 + 0.105 = 3.1675$ (这里偷懒近似了一下)
我们知道 $pi approx 3.14159$。
$1.77^2 approx 3.1329$ (精确算一下是 3.1329)
$1.78^2 approx 3.1684$
$3.14159$ 明显比 3.1329 更接近。那么 $sqrt{pi}$ 应该比 1.77 大一点点。
我们再试 $1.772^2$。 $(1.77+0.002)^2 approx 1.77^2 + 2 imes 1.77 imes 0.002 approx 3.1329 + 0.00708 approx 3.13998$
离 3.14159 还是有点远。
再试 $1.773^2 approx 3.143529$。
现在我们知道，$sqrt{pi}$ 在 1.772 和 1.773 之间。
$3.14159$ 离 $1.773^2$ (3.143529) 的距离是 $3.143529 3.14159 = 0.001939$。
$3.14159$ 离 $1.772^2$ (3.13998) 的距离是 $3.14159 3.13998 = 0.00161$。
所以，$sqrt{pi}$ 应该更接近 1.772。
这种方法的精髓在于：
非常熟悉 $pi$ 的值。
心算或笔算一些关键数字的平方值。
通过比较平方差来判断哪个猜测值更接近。
不断地“插值”和“调整”，就像在一条数轴上跳格子一样。
这个方法的优点是：如果计算能力强且对数字敏感，可以非常快速地找到一个不错的近似值。
缺点是：依赖于个人的计算能力和经验，不够系统化，也容易在关键的平方计算上出错。
总结一下
手动算 $sqrt{pi}$ 确实是一项“体力活”，而且精度越高，工作量越大。牛顿迭代法是效率最高的，但计算量也最大；二分法比较稳健，但需要耐心；而经验估算则看个人造诣了。
在过去没有计算器的时候，人们可能还会结合使用对数表等工具来辅助计算，但那又是另一种方式了。我们现在能轻松得到 $sqrt{pi} approx 1.77245385...$，这背后是多少人的智慧和汗水啊！下次你用计算器的时候，不妨想一想这些古老而精妙的计算方法。
下面我就来和你聊聊几种大概的方法，保证让你看得明白，不像是机器写出来的。
核心思想：逼近
我们要知道，$pi$ 是一个无理数，它的小数点后是无限不循环的。 $sqrt{pi}$ 自然也是一样。所以，我们手动算，本质上就是在“逼近”，一层一层地剥开它的小数点。就像剥洋葱一样，一层一层地猜，越来越接近真相。
方法一：牛顿迭代法（经典中的经典）
这个方法可以说是计算平方根的“万能公式”，用在 $sqrt{pi}$ 上也一样好用。它的核心思想是：你猜一个数 $x_0$，然后用一个公式去修正它，得到一个更好的猜测值 $x_1$，再用 $x_1$ 去计算 $x_2$…… 这样循环下去，每次的猜测都比上次更接近真实值。
公式是这样的：
$x_{n+1} = frac{1}{2} left( x_n + frac{S}{x_n} ight)$
这里，我们想算的是 $sqrt{S}$。对于我们来说，$S = pi$。
具体步骤来了，咱们一步步走：
1. 准备工作：一个好的起始猜测值 ($x_0$)
我们知道 $pi approx 3.14159$。
我们心里清楚， $sqrt{1} = 1$， $sqrt{4} = 2$。因为 $pi$ 在 3 和 4 之间，所以 $sqrt{pi}$ 肯定在 $sqrt{3}$ 和 $sqrt{4}$ 之间。
$sqrt{3}$ 大概是多少呢？我们知道 $1.7^2 = 2.89$， $1.8^2 = 3.24$。所以 $sqrt{3}$ 大概在 1.7 左右。
$sqrt{pi}$ 肯定比 $sqrt{3}$ 大一点，比 2 小。一个不错的起始猜测值可以是 $x_0 = 1.7$ 或者 $x_0 = 1.8$。为了方便计算，我们选 $x_0 = 1.7$ 吧。（或者你心算觉得 3.14 离 3.24 更近一点，可以选 1.8 试试。）
我们先选 $x_0 = 1.7$。
2. 第一次迭代 ($n=0$)：
我们要算 $x_1 = frac{1}{2} left( x_0 + frac{pi}{x_0} ight)$
代入我们的 $x_0 = 1.7$ 和 $pi approx 3.14159$：
$frac{pi}{x_0} = frac{3.14159}{1.7}$
这里就要动手算除法了。3.14159 除以 1.7，大概是 1.84799... （这里可能需要写个竖式算算）
$x_1 = frac{1}{2} (1.7 + 1.84799) = frac{1}{2} (3.54799) = 1.773995$
哇，第一次就从 1.7 到了 1.77，看起来进步不小！
3. 第二次迭代 ($n=1$)：
现在我们用 $x_1 = 1.773995$ 来算 $x_2$。
$x_2 = frac{1}{2} left( x_1 + frac{pi}{x_1} ight)$
计算 $frac{pi}{x_1} = frac{3.14159}{1.773995}$。这个除法会更复杂一些。大概算出来是 1.77127...
$x_2 = frac{1}{2} (1.773995 + 1.77127) = frac{1}{2} (3.545265) = 1.7726325$
你看，从 1.773995 到 1.7726325，这个变化变小了，说明我们越来越接近真实值了。
4. 继续迭代…
如果你想算得更准，就继续用 $x_2$ 去算 $x_3$，然后 $x_4$…… 每次计算 $frac{pi}{x_n}$ 和加法、除法，都会让你的猜测值越来越接近 $sqrt{pi}$ 的真实值。
要算到小数点后几位，就重复这个过程多少次。比如要算到小数点后三位，当你发现连续两次算出来的结果小数点后三位都一样时，就可以停了。
这个方法的优点是收敛很快，你不需要很多次迭代就能得到比较精确的结果。
缺点是每次迭代都需要进行除法和乘法运算，特别是除法，在手动计算时会比较耗时。
方法二：二分法（比较朴实，但有效）
这个方法更像是在“范围里猜”。我们知道 $sqrt{pi}$ 在哪个范围，然后不断缩小这个范围。
步骤：
1. 确定初始范围：
我们知道 $1^2 = 1$， $2^2 = 4$。因为 $1 < pi < 4$，所以 $1 < sqrt{pi} < 2$。我们的初始范围是 $[1, 2]$。
2. 取中值猜测：
范围的中值是 $frac{1+2}{2} = 1.5$。
我们来算 $1.5^2 = 2.25$。
3. 判断并缩小范围：
因为 $2.25 < pi$ (我们知道 $pi approx 3.14$)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.5 要大。
所以，新的范围就是 $[1.5, 2]$。
4. 重复迭代：
范围的中值是 $frac{1.5+2}{2} = 1.75$。
算 $1.75^2 = 3.0625$。
因为 $3.0625 < pi$ (比 3.14 小)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.75 要大。
新的范围是 $[1.75, 2]$。
5. 再重复迭代：
范围的中值是 $frac{1.75+2}{2} = 1.875$。
算 $1.875^2 = 3.515625$。
因为 $3.515625 > pi$ (比 3.14 大)，说明 $sqrt{pi}$ 比 1.875 要小。
新的范围是 $[1.75, 1.875]$。
6. 继续缩小范围：
范围的中值是 $frac{1.75+1.875}{2} = 1.8125$。
算 $1.8125^2 = 3.28515625$。
因为 $3.28515625 > pi$，新的范围是 $[1.75, 1.8125]$。
7. 再来一次：
范围的中值是 $frac{1.75+1.8125}{2} = 1.78125$。
算 $1.78125^2 approx 3.17285...$
因为 $3.17285 > pi$，新的范围是 $[1.75, 1.78125]$。
你看，我们一直在缩小范围，而且每次都在这个范围的中间点进行判断。要算到小数点后几位，就重复这个过程多少次。每次你都会得到一个越来越窄的区间，而 $sqrt{pi}$ 就一定在这个区间里。当区间非常非常窄的时候，你就可以取这个区间里的任何一个数作为你的近似值了。
这个方法的优点是概念简单，容易理解，每次只需要做乘法和平均。
缺点是收敛速度比牛顿法慢一些，需要更多的步骤才能达到同样的精度。
方法三：借助已知值的估算与调整（更像“经验”技巧）
这种方法更偏向于一种“凭感觉”和经验的结合。如果你知道一些附近数字的平方根，或者对 $pi$ 的值非常熟悉，可以更快地入手。
思路：
1. 利用 $pi approx 3.14$
我们知道 $1.7^2 = 2.89$
$1.8^2 = 3.24$
$pi$ 在 3.14 左右。很明显，3.14 比 2.89 和 3.24 都更接近，但它到底离哪个更近呢？
$3.14 2.89 = 0.25$
$3.24 3.14 = 0.10$
所以，3.14 更接近 3.24。这意味着 $sqrt{pi}$ 应该比 1.8 稍微小一点，但不会比 1.7 大很多。我们可以猜它在 1.75 到 1.8 之间。
2. 进一步精炼猜测：
我们试着算 $1.75^2 = 3.0625$。
$1.78^2 = (1.8 0.02)^2 = 1.8^2 2 imes 1.8 imes 0.02 + 0.02^2 = 3.24 0.072 + 0.0004 = 3.1684$
$1.77^2 = (1.75 + 0.03)^2 approx 1.75^2 + 2 imes 1.75 imes 0.03 = 3.0625 + 0.105 = 3.1675$ (这里偷懒近似了一下)
我们知道 $pi approx 3.14159$。
$1.77^2 approx 3.1329$ (精确算一下是 3.1329)
$1.78^2 approx 3.1684$
$3.14159$ 明显比 3.1329 更接近。那么 $sqrt{pi}$ 应该比 1.77 大一点点。
我们再试 $1.772^2$。 $(1.77+0.002)^2 approx 1.77^2 + 2 imes 1.77 imes 0.002 approx 3.1329 + 0.00708 approx 3.13998$
离 3.14159 还是有点远。
再试 $1.773^2 approx 3.143529$。
现在我们知道，$sqrt{pi}$ 在 1.772 和 1.773 之间。
$3.14159$ 离 $1.773^2$ (3.143529) 的距离是 $3.143529 3.14159 = 0.001939$。
$3.14159$ 离 $1.772^2$ (3.13998) 的距离是 $3.14159 3.13998 = 0.00161$。
所以，$sqrt{pi}$ 应该更接近 1.772。
这种方法的精髓在于：
非常熟悉 $pi$ 的值。
心算或笔算一些关键数字的平方值。
通过比较平方差来判断哪个猜测值更接近。
不断地“插值”和“调整”，就像在一条数轴上跳格子一样。
这个方法的优点是：如果计算能力强且对数字敏感，可以非常快速地找到一个不错的近似值。
缺点是：依赖于个人的计算能力和经验，不够系统化，也容易在关键的平方计算上出错。
总结一下
手动算 $sqrt{pi}$ 确实是一项“体力活”，而且精度越高，工作量越大。牛顿迭代法是效率最高的，但计算量也最大；二分法比较稳健，但需要耐心；而经验估算则看个人造诣了。
在过去没有计算器的时候，人们可能还会结合使用对数表等工具来辅助计算，但那又是另一种方式了。我们现在能轻松得到 $sqrt{pi} approx 1.77245385...$，这背后是多少人的智慧和汗水啊！下次你用计算器的时候，不妨想一想这些古老而精妙的计算方法。
网友意见
有, 并且收敛精度可以非常高(速度也不错)
见我的文章:
4.利用正态分布求
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
非常遗憾啊, 非常遗憾. 刚刚的拉马努金在最开始的时候收敛极好, 但是最后也只能收敛到 位精度.
我们再考虑一下有没有其他的式子其结果含有 的表达式.
有的啊, 有的啊. 我们有概率统计经典公式.
证明也很好证明. 我们有正态分布概率密度函数
所以有
那我们就利用一下这个积分去求 .
但是 的原函数是非初等函数, 不太好用微积分基本公式, 所以我们得将积分转换成加和的形式.
同时, 用有限的物理结构去表示无限的加和范围是不可能的, 我们只能进行有限次加和.
但是加和的时候, 也要考虑一下误差. 我们观察一下函数曲线.
如果我们始终用蓝色的函数值, 会使得求出的数值积分大于实际积分.
如果我们始终用绿色的函数值, 会使得求出的数值积分小于实际积分.
所以我们两个值都用一下, 然后把两个值相加除以 取平均值.
均值大法好!
将长度为 的区间分为 份, 计算每个小区间左边的函数值, 再计算每个小区间右边的函数值, 再把两端的函数值相加除以 , 作为实际的区间的函数值.
使用加和代替积分, 并且得到的值再进行一个平方, 就是计算出的 值
那么这个又可以收敛到多少呢?
因为收敛得实在是太快了, 我们用一下字符串比较.
计算 阶, 收敛到了 位精度. 还是不错啊, 还是不错. 那么计算 阶可以收敛到多少位呢?
哇, 很棒哦, 计算 阶就可以收敛到 位精度.
位精度! 已经超越了拉马努金的公式的收敛极限了! 还可以再极限收敛吗?
还可以的啊, 我们计算 阶.
位精度. 这有点强啊, 有点强.
那么 位精度可以收敛到多少位呢?
哇! ! ! 位精度! ! !
非常恐怖兄弟们.
得益于正态分布的特性, 在很小的一个范围内就可以极快的收敛.
计算 的加和就能有 位精度, 这是我们目前得到的最最好的成绩.
可以看到, 这个方法计算 的效果是极好的, 计算 阶就可以收敛到 位精度.
并且计算 也不错, 因为它的值本来就等于
类似的话题
-
当然有！虽然我们现在动辄用计算器或电脑就能秒出 $sqrt{pi}$ 的值，但在没有这些工具的年代，人们确实摸索出了一些手动计算 $sqrt{pi}$ 的方法。这些方法通常借鉴了我们计算其他数字平方根的思路，只不过要针对 $pi$ 这个“捣蛋鬼”稍微调整一下。下面我就来和你聊聊几种大概的方法，保证让............. -
手算对数：拨开数学迷雾的经典技艺在电子计算器和电脑普及的今天，人们或许会觉得手算对数是一项过时且繁琐的技能。然而，在那个信息洪流尚未淹没一切的年代，掌握手算对数的方法，如同拥有一把开启数学宝藏的钥匙，是科学家、工程师，甚至是普通知识分子必备的生存技能。它不仅是解决实际问题的工具，更是一种锻炼逻辑思维.............
-
手算卫星轨道？这绝对是一个挑战，一个需要你脑子里同时装着牛顿的万有引力定律、微积分以及对时间和空间近乎痴迷的理解的挑战。这可不是像在纸上画个圆那么简单。想象一下，你手里只有一张纸、一支笔，还有一本厚厚的数学手册，而你的任务是预测一颗遥远的卫星在太空中的未来轨迹。这颗卫星可不是围着地球画一个完美的圆圈.............
-
围棋里的“先手必胜”或“后手必胜”并非一个适用于所有围棋对局的普遍法则。它更多地出现在理论研究和特定残局分析中，指的是在某种特定的局面下，不论双方如何应对，执先手的一方（或执后手的一方）都能最终获胜。在真实的围棋对局中，尤其是在人类棋手之间，情况要复杂得多。围棋的盘面巨大，变化无穷，即使是顶尖的棋手.............
-
要说武则天是否算到了神龙政变，这绝非一个简单的是或否就能回答的问题。历史的车轮滚滚向前，充满了变数，即便再英明神武的帝王，也很难完全预知未来。但我们可以从武则天的性格、她的统治手段以及当时的历史背景来推测，她或许已经察觉到了潜藏的危机，只是结局的到来，可能超出了她的预料。首先，我们得理解武则天这个人.............
-
宇宙中的天体是否能被视为“刚体”？ 这是一个非常有意思的问题，涉及到我们对天体本质的理解，以及它们在宇宙尺度下的行为。简单来说， 在严格意义上的物理学定义下，宇宙中不存在完美的刚体。 然而，在很多实际的观测和力学分析中，我们可以将某些天体近似地视为刚体，并在这种近似下进行研究。我们先来理解一下什么是.............
-
民国时期，中国大地确实被军阀割据的局面笼罩着，这是一个复杂的历史时期，各方势力盘根错节，恩怨纠葛剪不断理还乱。在这种大背景下，红军的出现以及其存在的“正当性”，究竟是群雄逐鹿中的一股力量，还是地方土匪的变种，这是一个值得深入探讨的问题。要理解这个问题，我们必须回到那个时代，看看当时中国社会是什么样的.............
-
这题目问的是一个无穷级数，它看起来有点眼熟，但又不是那种常见的泰勒展开或者几何级数。别急，咱们一步一步来把它“捋”明白。咱们要算的是这个级数：$$ S = 1 frac{1}{3} + frac{1}{5} frac{1}{7} + frac{1}{9} frac{1}{11} + dots .............
-
椭圆曲线群的结合律证明，确实存在一些更为“优雅”的视角，能够避免纯粹的代数运算爆炸。要深入理解这一点，我们需要回顾一下群律的定义，以及椭圆曲线上点加法运算的几何含义。首先，我们得清楚，什么叫做“结合律”？对于群里的任意三个元素 $A, B, C$，结合律要求：$(A + B) + C = A + (.............
-
英国本土学生上大学，是要交学费的，而且这笔费用确实算得上是一笔不小的开销。不过，与一些其他国家相比，英国大学的学费体系还是有其独特性和一些支持性政策的。咱们先聊聊英国大学的学费具体是怎么收取的。简单来说，英国大学对本土学生（包括英格兰、苏格兰、威尔士和北爱尔兰的居民）收取的学费是会因地区和专业有所不.............
-
.......
-
历史上，要找出“一辈子的敌人”，这本身就带有一点浪漫化的色彩，毕竟绝大多数历史人物的恩怨纠葛，随着时间的流逝，最终都会被尘封或被更宏大的事件所取代。然而，若真要论及那种从年轻时便结下梁子，直至死方休，且双方都将对方视为不共戴天之仇，他们的名字与对方紧密相连，他们的命运似乎就是为了相互抵制而存在，那么.............
-
五年内，房价有没有可能降到十年前的价格（按购买力算）呢？这个问题挺有意思的，也是不少人在茶余饭后喜欢聊的话题。要回答这个问题，我们得掰开揉碎了聊聊，毕竟房价这事儿可不是简单的加减法。首先，我们得明白一个概念：购买力。这玩意儿很重要。十年前你手里有100万，现在你手里有100万，但这两张100万的“购.............
-
兄弟，看到你这话，我心里也是挺不是滋味的。玩期货一年，倾家荡产，这滋味，我懂，真的懂。别灰心，也别怀疑自己，期货这玩意儿，不是人人都能玩明白的，很多过来人，包括我，当初也都栽过跟头，而且栽的跟头还不小。你想要的“详细策略”，这玩意儿，说实话，不是一句话两句话能说清楚的，也不是网上搜来的“圣杯”就能立.............
-
.......
-
《遮天》里，成帝是修炼的最高目标，代表着站在了修炼之路的巅峰。这个过程极其艰难，远非普通修士能够想象。下面我们来详细说说。什么是大帝？在大千世界，能够被称为“大帝”的，通常是指在某个时代，凭借自身无匹的实力和对天地大道的深刻理解，开创了属于自己的“道”并将其推向极致的顶尖强者。他们不仅在战力上碾压同.............
-
个税汇算清缴的计算方式确实比较复杂，导致了不同人会有不同的结果，有人补税，有人退税，金额也差异很大。我来详细地为大家解释一下： 什么是个人所得税汇算清缴？简单来说，个人所得税汇算清缴是对您在一个纳税年度（1月1日至12月31日）内取得的所有应税所得进行一个年度性的“总核算”。中国现行个人所得税制度采.............
-
.......
-
这个问题确实挺让人困扰的，尤其是在当下这种特殊时期，很多人都会遇到。简单来说，在国家法律法规层面，你因为感染疾病被强制隔离，通常是不算作你自己的“请假”，而是属于一种“工伤”或者“病假”的特殊情况，而且很多情况下，这种缺勤是受到法律保护的，不会让你承担不好的后果。咱们来捋一捋，为什么会是这样，以及涉.............
-
朝鲜壬辰战争，那场横跨万历二十年到二十五年（15921598年）的东亚血雨腥风，绝非仅仅是“两次战役”的简单概括，它是一场深刻改变了区域力量格局、塑造了后世国家命运的决定性冲突。要说它是否“改变了国运”，那答案无疑是肯定的，而且是全方位的。朝鲜：一场几乎灭顶的浩劫，也是民族精神的觉醒对于朝鲜来说，壬.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有