能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明，直观解释阿贝尔定理（Abel–Ruffini th.）？
关于那个“代数式、方程直观解释阿贝尔定理”的要求，我得先说明一下，用代数式和方程来“直观”解释阿贝尔定理，本质上是有点困难的。阿贝尔定理本身是一个关于“不可解性”的定理，它告诉我们，对于五次及以上的一般代数方程，没有通用的代数解法（也就是我们习惯的用加减乘除和开方来表示的解）。
“直观”通常意味着能看到、感受到或者用简单的例子来理解。但阿贝尔定理的核心在于证明“不存在”一个普遍的、可以表示成根式的解。这种“不存在”本身就不是一个可以通过具体代数式“看到”的现象，而是通过数学逻辑证明出来的。
不过，我可以尝试通过一些对比和类比的方式，来帮助你理解阿贝尔定理的意义和影响，尽管这可能不是传统意义上的“直观解释”。我会用一些你熟悉的代数知识作为铺垫，然后引出为什么高次方程会变得不同。
为什么会有“不可解”这回事？—— 从熟悉的低次方程聊起
我们都学过怎么解一元二次方程，对吧？形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程。我们知道，它的解可以用一个非常优美的公式表示：
$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
这个公式，我们称之为求根公式。它告诉我们，对于任何一个二次方程，只要知道系数 $a, b, c$ 的值，我们就能通过加、减、乘、除和开方这几种基本运算，求出它的解。
再往高一点，我们还有一元三次方程和一元四次方程的求根公式。虽然它们看起来比二次方程的复杂得多，涉及到一些额外的嵌套开方和复数运算，但它们依然是存在的，而且同样是有限次地运用加减乘除和开方来表示的。
举个例子，一个简单的一元三次方程：$x^3 6x^2 + 11x 6 = 0$。我们知道它的三个根是 $x=1, x=2, x=3$。而对于一般的 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，也有一个解的公式，虽然很长，但它确实是用加减乘除和立方根（以及更复杂的根式）表示的。
甚至一元四次方程，也有一个类似的求根公式，虽然已经复杂得令人头疼。
突然，“五次”变了
到了五次方程，情况就突然变得不一样了。一般的五次方程，比如：
$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$
人们花费了几个世纪的时间，试图找到一个像二次方程求根公式那样，普遍适用于所有五次方程的，只包含有限次加减乘除和开方的解法。他们尝试了各种组合，设计出越来越复杂的代数结构，但最终，一无所获。
阿贝尔定理告诉我们什么？
这可不是说没有人能解出某个特定的五次方程。比如，方程 $x^5 32 = 0$，我们知道它的解是 $x = sqrt[5]{32} = 2$（这里我们主要考虑实数解，虽然它还有复数解）。这个解可以用开五次方根得到。
阿贝尔定理（Abel–Ruffini theorem）说的不是“任何五次方程都解不出来”，而是说：
“对于一般的五次代数方程，不存在一个用系数的有限次加减乘除以及有限次开方（开n次方根，n为任意正整数）来表示的通项公式。”
换句话说，你无法找到一个像二次方程求根公式那样，适用于所有五次方程的、只用“纯粹”的代数运算（加减乘除、开方）写出来的解。
为什么会这样？—— Galois的视角（更深入的理解）
虽然阿贝尔本人证明了普遍公式的不存在性，但真正解释“为什么”是伽罗瓦（Évariste Galois）在阿贝尔的基础上，发展出了伽罗瓦理论（Galois Theory）。伽罗瓦理论提供了一种非常深刻的理解方式，虽然这已经超出了“代数式、方程”的直观层面，但可以帮助我们抓住核心思想。
伽罗瓦理论将一个代数方程的“可解性”（能否用根式表示）与一个叫做伽罗瓦群（Galois Group）的群论概念联系起来。
简单来说，对于一个方程，我们可以构造一个由它的根组成的“置换群”（就像一个打乱顺序的游戏）。这个群的结构，竟然能决定方程的解是否可以用根式表示。
二次方程、三次方程、四次方程的伽罗瓦群，它们的结构都比较“简单”，能够被分解成一系列更小的、更基础的群。这种“可分解性”，对应着可以用加减乘除和开方来表达解。
五次及以上的一般方程，它们的伽罗瓦群结构变得非常“复杂”，它们无法被分解成那种能够对应根式运算的更小的群。
打个比方：
低次方程就像一个可以用简单乐高积木（加减乘除，开方）搭建出来的复杂模型。你知道怎么用这些积木一层层地拼起来。
五次及以上的一般方程，你需要的“积木”已经超出了你手上只有的乐高积木。你可能需要一些更高级的工具，而阿贝尔定理说，你手上的这些“基础乐高积木”是无法搭建出那个模型（方程的通项根式解）的。
那么，我们怎么“解”五次方程呢？
这并不意味着高次方程就束手无策了。我们仍然可以解出它们：
1. 数值方法： 我们可以用各种数值计算方法（如牛顿法、二分法等）来近似求出方程的解。这些方法不会给我们一个精确的代数表达式，而是给出小数点后很多位的数字。
2. 特殊方程： 如前所述，特定的五次或更高次方程，我们依然可以用根式或更复杂的函数来表示它们的解，但这是针对“特定”方程的，不是“一般”的通项公式。
3. 超越函数： 实际上，对于五次及以上方程的根，我们知道它们可以用更高级的函数来表示，比如椭圆积分和theta函数。这些函数比我们熟知的加减乘除和开方要复杂得多。伽罗瓦理论也解释了，这些方程是“用椭圆积分等函数是可解的”，而不是“用根式是可解的”。
总结一下：
阿贝尔定理，简而言之，就是给出了一个限制。它告诉我们，代数世界里，用我们最熟悉的“代数运算”（加、减、乘、除、开方）来表达方程的解，是有上限的。这个上限就是三次方程（四次方程也很勉强）。一旦进入五次或更高次，通用代数解法的“门”就关上了。
与其说阿贝尔定理是通过代数式“说明”了什么，不如说它揭示了一个界限。它迫使数学家们去探索更广泛的数学工具，去理解抽象的群论结构，从而发现了数学更深层的联系和美丽。它不是说“解不出来”，而是说“解不出来那种形式的通项公式”。
希望这样的解释，能让你对阿贝尔定理的意义有一个更清晰的认识，尽管它和我们习惯的“看到公式就能解题”有些不同。它更多的是一个关于“存在性”和“局限性”的深刻洞见。
“直观”通常意味着能看到、感受到或者用简单的例子来理解。但阿贝尔定理的核心在于证明“不存在”一个普遍的、可以表示成根式的解。这种“不存在”本身就不是一个可以通过具体代数式“看到”的现象，而是通过数学逻辑证明出来的。
不过，我可以尝试通过一些对比和类比的方式，来帮助你理解阿贝尔定理的意义和影响，尽管这可能不是传统意义上的“直观解释”。我会用一些你熟悉的代数知识作为铺垫，然后引出为什么高次方程会变得不同。
为什么会有“不可解”这回事？—— 从熟悉的低次方程聊起
我们都学过怎么解一元二次方程，对吧？形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程。我们知道，它的解可以用一个非常优美的公式表示：
$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$
这个公式，我们称之为求根公式。它告诉我们，对于任何一个二次方程，只要知道系数 $a, b, c$ 的值，我们就能通过加、减、乘、除和开方这几种基本运算，求出它的解。
再往高一点，我们还有一元三次方程和一元四次方程的求根公式。虽然它们看起来比二次方程的复杂得多，涉及到一些额外的嵌套开方和复数运算，但它们依然是存在的，而且同样是有限次地运用加减乘除和开方来表示的。
举个例子，一个简单的一元三次方程：$x^3 6x^2 + 11x 6 = 0$。我们知道它的三个根是 $x=1, x=2, x=3$。而对于一般的 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，也有一个解的公式，虽然很长，但它确实是用加减乘除和立方根（以及更复杂的根式）表示的。
甚至一元四次方程，也有一个类似的求根公式，虽然已经复杂得令人头疼。
突然，“五次”变了
到了五次方程，情况就突然变得不一样了。一般的五次方程，比如：
$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$
人们花费了几个世纪的时间，试图找到一个像二次方程求根公式那样，普遍适用于所有五次方程的，只包含有限次加减乘除和开方的解法。他们尝试了各种组合，设计出越来越复杂的代数结构，但最终，一无所获。
阿贝尔定理告诉我们什么？
这可不是说没有人能解出某个特定的五次方程。比如，方程 $x^5 32 = 0$，我们知道它的解是 $x = sqrt[5]{32} = 2$（这里我们主要考虑实数解，虽然它还有复数解）。这个解可以用开五次方根得到。
阿贝尔定理（Abel–Ruffini theorem）说的不是“任何五次方程都解不出来”，而是说：
“对于一般的五次代数方程，不存在一个用系数的有限次加减乘除以及有限次开方（开n次方根，n为任意正整数）来表示的通项公式。”
换句话说，你无法找到一个像二次方程求根公式那样，适用于所有五次方程的、只用“纯粹”的代数运算（加减乘除、开方）写出来的解。
为什么会这样？—— Galois的视角（更深入的理解）
虽然阿贝尔本人证明了普遍公式的不存在性，但真正解释“为什么”是伽罗瓦（Évariste Galois）在阿贝尔的基础上，发展出了伽罗瓦理论（Galois Theory）。伽罗瓦理论提供了一种非常深刻的理解方式，虽然这已经超出了“代数式、方程”的直观层面，但可以帮助我们抓住核心思想。
伽罗瓦理论将一个代数方程的“可解性”（能否用根式表示）与一个叫做伽罗瓦群（Galois Group）的群论概念联系起来。
简单来说，对于一个方程，我们可以构造一个由它的根组成的“置换群”（就像一个打乱顺序的游戏）。这个群的结构，竟然能决定方程的解是否可以用根式表示。
二次方程、三次方程、四次方程的伽罗瓦群，它们的结构都比较“简单”，能够被分解成一系列更小的、更基础的群。这种“可分解性”，对应着可以用加减乘除和开方来表达解。
五次及以上的一般方程，它们的伽罗瓦群结构变得非常“复杂”，它们无法被分解成那种能够对应根式运算的更小的群。
打个比方：
低次方程就像一个可以用简单乐高积木（加减乘除，开方）搭建出来的复杂模型。你知道怎么用这些积木一层层地拼起来。
五次及以上的一般方程，你需要的“积木”已经超出了你手上只有的乐高积木。你可能需要一些更高级的工具，而阿贝尔定理说，你手上的这些“基础乐高积木”是无法搭建出那个模型（方程的通项根式解）的。
那么，我们怎么“解”五次方程呢？
这并不意味着高次方程就束手无策了。我们仍然可以解出它们：
1. 数值方法： 我们可以用各种数值计算方法（如牛顿法、二分法等）来近似求出方程的解。这些方法不会给我们一个精确的代数表达式，而是给出小数点后很多位的数字。
2. 特殊方程： 如前所述，特定的五次或更高次方程，我们依然可以用根式或更复杂的函数来表示它们的解，但这是针对“特定”方程的，不是“一般”的通项公式。
3. 超越函数： 实际上，对于五次及以上方程的根，我们知道它们可以用更高级的函数来表示，比如椭圆积分和theta函数。这些函数比我们熟知的加减乘除和开方要复杂得多。伽罗瓦理论也解释了，这些方程是“用椭圆积分等函数是可解的”，而不是“用根式是可解的”。
总结一下：
阿贝尔定理，简而言之，就是给出了一个限制。它告诉我们，代数世界里，用我们最熟悉的“代数运算”（加、减、乘、除、开方）来表达方程的解，是有上限的。这个上限就是三次方程（四次方程也很勉强）。一旦进入五次或更高次，通用代数解法的“门”就关上了。
与其说阿贝尔定理是通过代数式“说明”了什么，不如说它揭示了一个界限。它迫使数学家们去探索更广泛的数学工具，去理解抽象的群论结构，从而发现了数学更深层的联系和美丽。它不是说“解不出来”，而是说“解不出来那种形式的通项公式”。
希望这样的解释，能让你对阿贝尔定理的意义有一个更清晰的认识，尽管它和我们习惯的“看到公式就能解题”有些不同。它更多的是一个关于“存在性”和“局限性”的深刻洞见。
网友意见
如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2]
用现代方法的证明思路是：
- 若一个多项式方程可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数使得，这里可以写成形式，这里也为代数函数。所以用归纳法可以证明存在域扩张，使得，这里。
- ，这是因为的所有根由给出。
- 由Galois基本定理存在使得。
- 由于5阶及以上的一般n阶方程的Galois群可以取得S_n，但容易证明当n>=5时3中的合成群列不可能出现，所以没有根式解。
一个Galois群是的例子是，这是因为它的Galois群显然包含5阶循环群（Sylow），另一方面其恰含有两个复根所以包含一个对换，用对称群的一个简单结论可以知道其为S_5。
====
至于知道Galois群后如何求出方程的根，可以用如下方法：
首先考察n阶循环扩张E/F其中F包含n次单位根，由Kummer定理可以知道E=F(a)，这里a^n∈F。由Noether方程可以知道a对应于Gal(E/F)的特征标群生成元。
所以我们通过递归调用上述算法，即可得到任意可解Galois群的根式扩张。用这个方法也可以推出3,4次方程的根式解，这也是拉格朗日预解式得原始思想。
====
至于知道多项式后如何求出它的Galois群，可以参考：
http://www. uncg.edu/mat/numbertheo ry/summerschool/pdf/roberts-2013-galois-I.pdf事实上这些东西在现在的计算机代数系统比如Maple,Magama等都有实现。
Reference
[1].
Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability: Peter Pesic: 9780262661829: Amazon.com: Books[2].
http://www. math.caltech.edu/~jimlb /abel.pdf[3]. 现代方法可以参考E.Artin 的 Galois Theory.
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