如何用一个1-8随机数生成器制作一个1-7随机数生成器？
想象一下你手里有一个能公平地转出1到8任意一个数字的装置，比如一个特别制作的八面骰子或者一个写着1到8数字的转盘。我们的目标是只接受1到7的数字，而8出现的时候，我们就得“重新来过”，直到我们得到一个我们想要的数字为止。
核心思想：过滤无效结果
整个过程就像是我们在玩一个游戏。我们从1到8的装置里抽取数字，就像从一个盒子里抓球。我们想要的是一个1到7的球。如果抓出来的是8，那这个球就不能算数，我们得把它放回去，然后重新抓。这个“放回去重新抓”的过程，就是过滤掉无效结果。
具体步骤拆解：
1. 获取一个1到8的随机数。
这是第一步，也是最基础的一步。无论你用什么方式，只要能确保1到8这八个数字出现的概率是均等的就行。
2. 检查获取到的数字。
拿到这个数字后，我们要做的第一件事就是看它是不是8。
如果数字是1、2、3、4、5、6或7： 恭喜你！你得到了一个有效的数字。这就是我们想要的1到7随机数，直接使用它，然后结束整个过程。
如果数字是8： 这个数字我们就不能用了。它代表了一个“失败”的结果。在这种情况下，我们不能停止，也不能随便丢弃，而是需要重新执行步骤1。
3. 重复直到获得有效结果。
如果上一步拿到的是8，我们就回到第一步，再生成一个新的1到8的随机数。我们不断重复这个过程：生成一个1到8的数，检查它是不是8。只要它不是8，我们就停止并使用这个数。
为什么这样做是公平的？
有人可能会问，这样做会不会影响数字的随机性？会不会让某些数字比其他数字出现的几率更大？
答案是：不会。
我们来看一下概率。在一个1到8的装置里：
数字1出现的概率是 1/8
数字2出现的概率是 1/8
...
数字7出现的概率是 1/8
数字8出现的概率是 1/8
当我们过滤掉8，只接受1到7时，我们是在一个“有效集合”（1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）里重新分配概率。
我们生成一个数。如果它是1到7中的一个，我们就用它。
如果它是8，我们就“丢弃”这次尝试，然后重新来。
假设我们进行了很多次尝试。在每一次尝试中，得到1到7中任何一个数字的概率都是7/8，而得到8的概率是1/8。
想象一下我们做了100次1到8的生成：
平均来说，我们会得到1到7大概 100 (7/8) = 87.5 次有效数字。
平均来说，我们会得到8大概 100 (1/8) = 12.5 次。
在这些有效的87.5次结果里，数字1、2、3、4、5、6、7各自出现的次数仍然是大致均等的。为什么？因为每一次我们得到一个1到7的数字，它的“来源”都是公平的1/8。我们只是忽略了那个不想要的8。
换句话说，我们可以把这个过程想象成：我们从一个包含七个写着1到7数字的球和一个写着8的球的袋子里摸球。我们摸到8就放回去重摸，直到摸到1到7的任意一个。这样，摸到1到7每个数字的概率就变成了 1/7。
举个实际的例子：
假设你正在玩一个游戏，你需要掷一个1到8的骰子来决定你的行动。但是，游戏规则是：
掷出17，你就按照数字移动相应步数。
掷出8，你就什么也不做，然后重新掷一次骰子。
你掷出了一个3。太好了，你移动了3步。
你又掷了一个8。没关系，什么也不做，然后你再次掷骰子。这次你掷出了一个5。很好，你移动了5步。
你看到吗？你总是会得到一个1到7的数字来决定你的行动，而那个8只是让你“跳过”了一回合，并没有影响到你得到有效数字的公平性。
总结一下这个“魔法”的步骤：
1. 使用你的18随机数生成器，获取一个随机数。
2. 检查这个数：
如果它在1到7之间，就接受它，然后停止。
如果它是8，就丢弃它，然后回到步骤1。
通过这个简单的过滤机制，你就可以从一个18的公平随机数生成器，构建出一个同样公平的17随机数生成器了。这个方法在很多编程和概率相关的场景中都会用到，它是一种非常基础但有效的概率转换技巧。
网友意见
其实最简单可行的方法就是重复调用rand8()，如果抽到8就重抽，直到结果小于8为止。这个方法看起来很简单，但其实是有道理的。它利用了Rejection sampling技术，这是一种常用的采样算法。
如果写成C代码的话，大概是这样：
int rand7(){ int a; while ( (a=rand8())==8 ); return a; } 题注还提到了rand8()的开销比较大，那我们就来分析一下这种基于Rejection sampling方法构造的rand7()的效率。
设成功执行一次rand7()所需要的rand8()的次数为N，N是个随机变量，服从参数为7/8的几何分布，其数学期望E[N]=8/7=1.143，方差D[N]=8/49=0.163，标准差大约是0.404。
从这个结果来看，上述rand7()的平均开销和波动都不算大。执行超过五次rand8()的概率约为十万分之三，而超过十次的概率不足十亿分之一。十亿分之一什么概念？假如你有1GB的数据，你希望针对其中的每一个字节做一个和rand7有关的处理，那么你把整个数据库处理完，估计也就能碰上一次倒霉需要抽十次rand8()。而我认为这种程度的“倒霉”是完全可以接受的。
问题本身就算是答完了，再补充一些内容：
第一、关于楼主提到的“最高效率”，我想只能从信息论的角度给出一个界限。一次rand7的算法所能提供的信息量是log7，而一次rand8是log8，所以无论怎样，平均一次rand7所需要执行的rand8的次数至少为log7/log8=0.9358。我们的算法需要1.143次，效率也还可以。
理论上能接近这个界限的方法大概就是王赟 Maigo基于七、八进制小数转换的方法，但该方法需要生成无穷多位八进制小数才能保证完全准确的rand7()。实际应用中，为了提高rand7()的精度，也不得不多产生一些八进制小数。当所需的rand7()的样本较少时，效率也不一定很高。
第二、简要介绍一下Rejection sampling。
Rejection Sampling解决的是这样一类问题：我们希望对目标分布进行采样，但直接构造这样一个随机数生成器可能比较困难。我们就先构造一个简单的随机数生成器，使之能产生与近似的分布，然后再利用如下方法就可以得到的样本：
1、对采样，得到样本。
2、对0~1之间的均匀分布采样，得到样本，如果，则接受这个，否则重复1操作。（这一步其实就是以概率接受）。这里是一个常数，要求对于任意的，有，证明也不太复杂，如果记为随机事件“接纳样本”，则经过筛选的分布其实就是条件概率，简单推导一下。因此接受的样本服从分布。
把这个方法应用到rand7()问题上就得到了开始的算法。
1、调用rand8()进行采样，得到一个整数x
2、如果x等于8，则接受概率为0，扔掉这个样本，如果x等于7，则接受概率为1，保留这个样本。
第三、关于多次采样时样本间的独立性问题。这是随机数生成器的一个重要指标。基于Rejection Sampling的这个算法可以保证每次产生的随机数是独立的，因为新样本的产生完全不依赖现有的结果。有人在评论里问我，如果产生的样本等于8则取上一次输出的结果作为本次结果，可以不可以。回答是不可以，虽然这种方案可以保证每一个样本的边缘分布都是1到7的均匀分布，但是这种方法产生的随机数样本之间是有相关性的。假设本次生成的样本是1，考察下一个样本还是1的条件概率，显然执行rand8()的结果无论是1还是8，输出的结果都是1，因此条件概率等于2/8。而独立性要求这个值等于1/7。所以这种方法不能满足独立性的要求。而且这个方法还有一个问题，需要先执行一次rand7()，拿到第一个样本，才能够保证后续样本的边缘分布都是1到7的均匀分布。
第四、关于能不能保证算法在有限次内结束。这个算法在有限次内结束的概率是1，需要执行无穷多次rand7()的概率是0。但概率是0并不代表不会发生，样本空间里是有这种情况的。而能保证有限次内结束的非近似算法，我想是不存在的。假设算法在M次内结束，那么样本空间就有8的M次方个基本元素，每个基本元素的概率相同。而这个数字又不能被7整除，怕是没办法了。我想这就好比是用尺规三等分任意角，如果能无限次操作的话，也是可以做到的，因为1/3=1/4+1/16+1/64+1/256...。而对于这个问题如果采用Rejection Sampling方法，则是1/7=1/8+1/64+1/512+1/4096...这么搞出来个1/7。
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