牛顿力学对应的量子力学是什么？
牛顿力学，那套我们从小就接触的描述物体运动规律的经典理论，就像一个宏伟的舞台，上面上演着行星绕日、苹果落地、飞箭穿空等种种宏大的剧目。它用力和加速度、质量和速度这些直观的概念，为我们勾勒出一个确定而井然有序的世界。在这个舞台上，一切的运动都遵循着清晰的因果关系，只要知道一个物体的初始状态（位置和速度），就能精确预测它在任何未来时刻的状态。这简直就像一个精密的钟表，你设定好发条，它就会按照预定的轨迹一丝不苟地运转下去。
然而，当我们将目光投向那个微小的、几乎无法触及的微观世界——原子、电子、光子，牛顿力学的这套语言突然变得有些别扭，甚至说，它完全失灵了。就像你试图用一个测量地图的卷尺去丈量一粒尘埃的尺寸，它们之间的尺度差异太大了，工具本身也就不再适用。
这时候，量子力学就应运而生了。你可以把它想象成一个全新的、更精细的显微镜，或者一套全新的语言，专门用来描述和理解那个在我们日常经验之外的、充满奇异景象的微观领域。它不是对牛顿力学的“改进”，而是对它的一种“超越”或者说是“更深层次”的描述。牛顿力学在这个新理论面前，就像是宏观世界的一个“近视眼”版本，在它的视力范围内表现得相当出色，但一旦把焦点放到微观世界，它的模糊和失真就暴露无遗了。
那么，牛顿力学对应着量子力学的什么呢？ 如果非要找一个对应，我们可以说，牛顿力学可以看作是量子力学在宏观尺度上的一个“近似”或者说“经典极限”。 也就是说，当微观粒子的行为积累起来，或者当这些粒子在足够大的尺度上运动时，它们表现出来的整体行为，就非常接近牛顿力学所描述的那样。
为了更详细地说明这一点，我们得先扒一扒量子力学的一些核心“怪癖”：
粒子与波的二象性 (WaveParticle Duality): 这是量子力学最令人费解的特点之一。你熟悉的粒子，比如电子，在某些时候表现得像个小小的、有质量的点，遵循着明确的运动轨迹。但在另一些时候，它又像水波一样，可以衍射、干涉，表现出波的性质。这不像牛顿力学里，一个物体要么是粒子，要么是波，泾渭分明。量子力学的物体则是既是粒子又是波，取决于你如何去“观察”它。想象一下，一个东西，你给它贴上“粒子”的标签，它就表现得像粒子；你给它贴上“波”的标签，它就表现得像波。这就像一种身份的灵活切换，而不是固定的定义。
量子叠加态 (Quantum Superposition): 在牛顿力学里，一个物体在任何时刻都只有一个确定的状态。比如一个球，要么在桌子上，要么在地上，不可能同时存在于两个地方。但在量子世界，一个粒子可以同时处于多种可能的状态的“叠加”之中。比如，一个电子的自旋，在被测量之前，它可以同时处于“向上”和“向下”这两种状态的叠加。这不像我们熟悉的日常生活经验，我们很少会遇到一个人同时在房间里和在厨房里。
量子纠缠 (Quantum Entanglement): 这是另一个更令人匪夷所思的现象。当两个或多个粒子发生纠缠后，它们的状态就紧密地联系在一起，无论它们相距多远。如果你测量其中一个粒子的状态，另一个粒子的状态会瞬间确定，仿佛它们之间有着某种神秘的“心灵感应”。这与牛顿力学中物体之间相互作用必须通过力和加速度的传递（即使是万有引力，也是以光速传递）完全不同，量子纠缠似乎是超越了时空的限制。
不确定性原理 (Uncertainty Principle): 由海森堡提出的这个原理，是量子力学与牛顿力学最本质的区别之一。它告诉我们，你不可能同时精确地知道一个粒子的位置和它的动量（动量是质量乘以速度）。你对其中一个的测量越精确，对另一个的测量就会越不确定。这并非是测量仪器的精度问题，而是微观粒子本身的内在属性。在牛顿力学里，我们可以同时精确测量一个球的位置和速度，从而预测它的轨迹。但在量子世界，这种“同时精确知道”的可能性就被剥夺了。
那么，牛顿力学是如何从量子力学中“冒出来”的呢？
这就像我们从一个高倍显微镜下观察到了细胞的精妙结构，但当我们用肉眼观察一个由无数细胞组成的生物体时，我们看到的只是一个整体的形态，细胞的细节就模糊了。
量子力学中，粒子的状态通常用一个叫做“波函数”的数学对象来描述。这个波函数包含了粒子所有可能的状态以及它们出现的概率。当你对一个粒子进行测量时，它的波函数会“塌缩”到某个确定的状态，而你测量到的就是这个确定的状态。
现在想象一下，当我们面对大量粒子，或者单个粒子在很大的尺度上运动时会发生什么：
1. 平均效应 (Averaging Effect): 量子力学描述的是概率性的行为。但是，当我们观察大量粒子时，它们的概率性行为会“平均掉”。就像你扔一百次硬币，虽然每一次都是正面或反面，但一百次之后，正面和反面的次数会非常接近。同样，大量微观粒子的概率性运动，在宏观尺度上会呈现出一种非常确定的、符合概率平均值的趋势，这种趋势就非常像牛顿力学所描述的那种确定的运动。
2. 普朗克常数 h 的作用 (The Role of Planck's Constant h): 量子力学中的许多效应，比如不确定性原理中的那个“不确定性”，都与一个叫做普朗克常数 (h) 的微小数值有关。在宏观尺度上，粒子的质量、速度都大得多，而普朗克常数相对其运动的动量和位置来说非常小。这就意味着，不确定性原理造成的“模糊”在宏观世界里几乎可以忽略不计。就好比你手里拿着一张画满细密线条的纸，在近距离看，线条的粗细你都能分辨。但如果你把它放在几公里外去看，所有的线条都会融合成一片模糊的色彩，你无法分辨出任何细节。宏观世界的运动，就是因为其动量和位置的数值相对于 h 大很多，而量子效应就变得微不足道了。
3. 德布罗意波长 (De Broglie Wavelength): 根据德布罗意的假设，任何运动的粒子都具有波的性质，其波长与动量成反比。对于宏观物体，比如一颗石头或一辆汽车，它们的动量非常大，所以它们的德布罗意波长会小到几乎无法测量，远小于任何我们能够探测到的尺寸。这意味着宏观物体的波动性在实际中完全无法体现，它们就只能表现出粒子性，遵循着牛顿力学的轨道运动。
简单来说，
量子力学是描述微观世界的根本理论。 它揭示了粒子二象性、叠加态、纠缠以及内在的不确定性。
牛顿力学是量子力学在宏观世界中的一个非常好的“近似”。 当微观粒子的行为被大量平均化，或者它们的动量和位置相对于量子常数非常大时，量子力学中的奇异现象就会变得不那么明显，甚至完全消失，此时牛顿力学的经典描述就足够准确了。
你可以把牛顿力学想象成是一条宽阔平坦的公路，车子可以畅通无阻地以稳定的速度行驶，一切都井井有条。而量子力学则更像是探索一个充满了蜿蜒小径、迷雾和奇特地形的原始森林。在这片森林里，事物的行为方式完全不同，你需要学习一套全新的导航技巧。但当我们从森林深处走出，来到一片开阔的平原上时，那里的景象就和公路别无二致了。牛顿力学就是我们从量子森林中走出来后看到的平原景象。它虽然美丽、实用，但并非事物的终极真相，而是更深层现实的一种简化体现。
然而，当我们将目光投向那个微小的、几乎无法触及的微观世界——原子、电子、光子，牛顿力学的这套语言突然变得有些别扭，甚至说，它完全失灵了。就像你试图用一个测量地图的卷尺去丈量一粒尘埃的尺寸，它们之间的尺度差异太大了，工具本身也就不再适用。
这时候，量子力学就应运而生了。你可以把它想象成一个全新的、更精细的显微镜，或者一套全新的语言，专门用来描述和理解那个在我们日常经验之外的、充满奇异景象的微观领域。它不是对牛顿力学的“改进”，而是对它的一种“超越”或者说是“更深层次”的描述。牛顿力学在这个新理论面前，就像是宏观世界的一个“近视眼”版本，在它的视力范围内表现得相当出色，但一旦把焦点放到微观世界，它的模糊和失真就暴露无遗了。
那么，牛顿力学对应着量子力学的什么呢？ 如果非要找一个对应，我们可以说，牛顿力学可以看作是量子力学在宏观尺度上的一个“近似”或者说“经典极限”。 也就是说，当微观粒子的行为积累起来，或者当这些粒子在足够大的尺度上运动时，它们表现出来的整体行为，就非常接近牛顿力学所描述的那样。
为了更详细地说明这一点，我们得先扒一扒量子力学的一些核心“怪癖”：
粒子与波的二象性 (WaveParticle Duality): 这是量子力学最令人费解的特点之一。你熟悉的粒子，比如电子，在某些时候表现得像个小小的、有质量的点，遵循着明确的运动轨迹。但在另一些时候，它又像水波一样，可以衍射、干涉，表现出波的性质。这不像牛顿力学里，一个物体要么是粒子，要么是波，泾渭分明。量子力学的物体则是既是粒子又是波，取决于你如何去“观察”它。想象一下，一个东西，你给它贴上“粒子”的标签，它就表现得像粒子；你给它贴上“波”的标签，它就表现得像波。这就像一种身份的灵活切换，而不是固定的定义。
量子叠加态 (Quantum Superposition): 在牛顿力学里，一个物体在任何时刻都只有一个确定的状态。比如一个球，要么在桌子上，要么在地上，不可能同时存在于两个地方。但在量子世界，一个粒子可以同时处于多种可能的状态的“叠加”之中。比如，一个电子的自旋，在被测量之前，它可以同时处于“向上”和“向下”这两种状态的叠加。这不像我们熟悉的日常生活经验，我们很少会遇到一个人同时在房间里和在厨房里。
量子纠缠 (Quantum Entanglement): 这是另一个更令人匪夷所思的现象。当两个或多个粒子发生纠缠后，它们的状态就紧密地联系在一起，无论它们相距多远。如果你测量其中一个粒子的状态，另一个粒子的状态会瞬间确定，仿佛它们之间有着某种神秘的“心灵感应”。这与牛顿力学中物体之间相互作用必须通过力和加速度的传递（即使是万有引力，也是以光速传递）完全不同，量子纠缠似乎是超越了时空的限制。
不确定性原理 (Uncertainty Principle): 由海森堡提出的这个原理，是量子力学与牛顿力学最本质的区别之一。它告诉我们，你不可能同时精确地知道一个粒子的位置和它的动量（动量是质量乘以速度）。你对其中一个的测量越精确，对另一个的测量就会越不确定。这并非是测量仪器的精度问题，而是微观粒子本身的内在属性。在牛顿力学里，我们可以同时精确测量一个球的位置和速度，从而预测它的轨迹。但在量子世界，这种“同时精确知道”的可能性就被剥夺了。
那么，牛顿力学是如何从量子力学中“冒出来”的呢？
这就像我们从一个高倍显微镜下观察到了细胞的精妙结构，但当我们用肉眼观察一个由无数细胞组成的生物体时，我们看到的只是一个整体的形态，细胞的细节就模糊了。
量子力学中，粒子的状态通常用一个叫做“波函数”的数学对象来描述。这个波函数包含了粒子所有可能的状态以及它们出现的概率。当你对一个粒子进行测量时，它的波函数会“塌缩”到某个确定的状态，而你测量到的就是这个确定的状态。
现在想象一下，当我们面对大量粒子，或者单个粒子在很大的尺度上运动时会发生什么：
1. 平均效应 (Averaging Effect): 量子力学描述的是概率性的行为。但是，当我们观察大量粒子时，它们的概率性行为会“平均掉”。就像你扔一百次硬币，虽然每一次都是正面或反面，但一百次之后，正面和反面的次数会非常接近。同样，大量微观粒子的概率性运动，在宏观尺度上会呈现出一种非常确定的、符合概率平均值的趋势，这种趋势就非常像牛顿力学所描述的那种确定的运动。
2. 普朗克常数 h 的作用 (The Role of Planck's Constant h): 量子力学中的许多效应，比如不确定性原理中的那个“不确定性”，都与一个叫做普朗克常数 (h) 的微小数值有关。在宏观尺度上，粒子的质量、速度都大得多，而普朗克常数相对其运动的动量和位置来说非常小。这就意味着，不确定性原理造成的“模糊”在宏观世界里几乎可以忽略不计。就好比你手里拿着一张画满细密线条的纸，在近距离看，线条的粗细你都能分辨。但如果你把它放在几公里外去看，所有的线条都会融合成一片模糊的色彩，你无法分辨出任何细节。宏观世界的运动，就是因为其动量和位置的数值相对于 h 大很多，而量子效应就变得微不足道了。
3. 德布罗意波长 (De Broglie Wavelength): 根据德布罗意的假设，任何运动的粒子都具有波的性质，其波长与动量成反比。对于宏观物体，比如一颗石头或一辆汽车，它们的动量非常大，所以它们的德布罗意波长会小到几乎无法测量，远小于任何我们能够探测到的尺寸。这意味着宏观物体的波动性在实际中完全无法体现，它们就只能表现出粒子性，遵循着牛顿力学的轨道运动。
简单来说，
量子力学是描述微观世界的根本理论。 它揭示了粒子二象性、叠加态、纠缠以及内在的不确定性。
牛顿力学是量子力学在宏观世界中的一个非常好的“近似”。 当微观粒子的行为被大量平均化，或者它们的动量和位置相对于量子常数非常大时，量子力学中的奇异现象就会变得不那么明显，甚至完全消失，此时牛顿力学的经典描述就足够准确了。
你可以把牛顿力学想象成是一条宽阔平坦的公路，车子可以畅通无阻地以稳定的速度行驶，一切都井井有条。而量子力学则更像是探索一个充满了蜿蜒小径、迷雾和奇特地形的原始森林。在这片森林里，事物的行为方式完全不同，你需要学习一套全新的导航技巧。但当我们从森林深处走出，来到一片开阔的平原上时，那里的景象就和公路别无二致了。牛顿力学就是我们从量子森林中走出来后看到的平原景象。它虽然美丽、实用，但并非事物的终极真相，而是更深层现实的一种简化体现。
网友意见
有两种途径可以对应。
途径一：薛定谔方程+对易关系
在算符期望值公式 基础上、利用薛定谔方程和对易关系 ，在坐标表象下可以得到：
即期望值版本的牛二定律。
省略的一长串推导过程见：
途径二：海森堡绘景下的动力学方程
海森堡绘景下，态矢不变算符变。
一般算符的动力学方程为埃伦费斯特定理：
对于动量算符而言，算符不显含时间，因此：
利用引理1(后面证明 )：
直接得：
括号内第一项与坐标无关，因此：
即算符版本的牛二定律。
附：引理1的胡乱证明
将 作用在任意态矢 上：
坐标表象下：
于是：
由于以上关系对任意态矢 成立，于是：
但以上证明过程不是严格版本。
官方推荐的严格证明思路，是将 展开成 的幂级数，反复利用关系式：
据说也能很容易证出来，但我还没试出来。
这里所谓官方指的是樱井纯先生《摩登量子力学》第2版第84页。
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