牛顿力学是如何过渡到热力学的？
牛顿力学的辉煌与隐忧
牛顿力学，以其严谨的数学框架和普适的定律，成功地解释了从苹果落地到行星运转的一切宏观运动。它的核心在于“力”的概念，认为物体的运动状态改变是由于力的作用。质量、速度、加速度，这些清晰可定义的量，构筑了一个决定论的世界图景。在这个图景中，宇宙的未来似乎可以被精确地预测，只要我们知道当前的初始条件。
然而，即便是在牛顿力学的鼎盛时期，也存在一些让哲学家和科学家感到困惑的现象，其中就包括“热”。人们早就在日常生活中体验着冷热，也观察到加热物体会发生各种变化：水会沸腾、金属会熔化、空气会膨胀。但这些现象，似乎与牛顿描述的机械运动有着本质的区别。
宏观与微观的鸿沟： 牛顿力学主要关注宏观物体的运动，它描述的是可观察的、整体的运动。而热现象，尤其是温度的变化，似乎与物体内部的某种“性质”或“活动”有关，这是一种微观层面的描述，当时的牛顿力学并没有直接解释微观层面。
能量的转化与守恒的初步迹象： 摩擦会生热，这是人们早已熟悉的经验。当做功时，比如打铁，会产生热量。反过来，蒸汽机更是展示了热能转化为机械能的可能性。这些都暗示着能量在不同形式之间是可以转化的，并且总量可能是不变的，但这并非牛顿力学直接导出的结论。
熵的缺席： 牛顿力学描述的是可逆过程。如果你知道物体在某个时刻的速度和位置，你就能根据力学定律推算出它过去和未来的状态。然而，热现象往往是不可逆的。火一旦烧起来，你就无法轻易地将灰烬和气体重新组合成木头。这种不可逆性，以及“混乱”程度的增加，是牛顿力学难以捕捉的。
对“热”的早期探索：从“热质”到“动能”
在中世纪和文艺复兴时期，人们对热的理解主要集中在“热质”（Caloric Theory）的概念上。这是一种假想的、无形的流体，认为它存在于物体之中，当物体获得热质时就会变热，失去热质时就会变冷。热的传递被看作是热质的流动。这种理论在解释一些现象时很有用，但它并不能解释为什么摩擦会产生“无穷无尽”的热量，以及为什么有些过程会自然地朝着特定的方向进行。
真正的转折点，是人们开始将热与物质的“运动”联系起来。
开尔文、焦耳与能量守恒： 19世纪，科学家们如詹姆斯·焦耳（James Prescott Joule）通过一系列精密的实验，尤其是通过机械功（如搅拌水）转化为热的量化研究，极大地推动了能量守恒定律的理解。焦耳证明了，不论通过何种方式产生热量，无论是摩擦、电流还是化学反应，一个固定的能量单位总会对应一定量的热。这直接挑战了“热质”说，因为它暗示热不是一种可以无限产生的“物质”，而是一种能量形式。
迈尔、亥姆霍兹与能量守恒的普适性： 几乎同时，尤利乌斯·罗伯特·冯·迈尔（Julius Robert von Mayer）和赫尔曼·冯·亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）等科学家也独立提出了能量守恒定律，并将其推广到所有自然现象，包括机械、热、光、电、化学等。这标志着能量守恒定律成为了一个普遍的物理原理。
从能量守恒到热力学第一定律
焦耳和迈尔的发现，实际上是在牛顿力学框架之外，开辟了对自然界基本规律的新认识。热力学第一定律，即能量守恒定律，是牛顿力学向热力学过渡的关键一步。它表明，虽然牛顿力学描述的是力引起的运动，但这些运动的“能量”是可以转化为另一种形式——热能，并且总能量是守恒的。
我们可以这样理解：牛顿力学告诉我们，如果你对一个系统施加了某个力，它就会产生加速度，从而改变其动量和动能。而热力学第一定律则告诉我们，这些动能的改变（例如，通过摩擦将动能转化为热能）遵循一个更广泛的守恒原则。即便牛顿力学本身无法直接解释“为什么”摩擦会产生热，它也为理解能量转化提供了一个基础。
分子动理论：打通宏观与微观的桥梁
然而，仅仅认识到能量守恒还不足以完全解释热现象。比如，温度升高为什么会让物质膨胀？为什么热量会从高温物体传向低温物体？这些都需要一个更深入的微观解释。
克劳修斯、麦克斯韦与玻尔兹曼： 19世纪中叶，鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）等人开创了分子动理论（Kinetic Theory of Matter）。他们大胆地假设，物质是由无数微小的、不断运动的粒子（原子或分子）组成的。
温度与分子平均动能： 分子动理论将宏观的“温度”与微观分子的平均动能联系起来。温度越高，分子运动越剧烈，平均动能越大。
热量与分子动能的传递： 物体之间的热量传递，被解释为分子之间动能的传递。当高温物体与低温物体接触时，高温物体中运动剧烈的分子会碰撞低温物体中运动迟缓的分子，将动能传递过去，直到达到热平衡。
气体膨胀与分子碰撞： 气体压力源于分子对容器壁的碰撞。加热气体，分子动能增加，碰撞频率和力度都加大，导致压力增大或体积膨胀。
分子动理论的出现，是牛顿力学与热力学融合的另一个核心节点。它将牛顿力学中描述粒子运动的基本原理，应用到了微观的、大量的、无序运动的分子上。虽然单个分子的运动仍然遵循牛顿定律，但面对如此庞大数量的分子，直接应用牛顿定律计算变得不可能。
统计力学：连接微观与宏观的桥梁
如何处理如此海量的粒子？这就引出了统计力学。统计力学并非直接从牛顿力学推导出热力学定律，而是利用概率和统计的方法，从微观粒子的统计行为中导出宏观系统的热力学性质。
熵与无序性： 统计力学最伟大的成就之一，就是对熵（Entropy）的解释。熵不再仅仅是“不可逆性”或“混乱程度”的模糊概念，而是与微观状态的数量（微观可及状态数）直接相关。一个系统的熵越大，其达到该宏观状态的微观排列方式就越多，也就越“混乱”或“无序”。热力学第二定律（孤立系统的熵永不减少）因此得到了深刻的微观解释：系统倾向于向微观状态数更多、更无序的方向演化，因为这些状态发生的概率更大。
统计推断而非确定性推断： 这标志着一个重大的概念转变。牛顿力学是确定性的：给定初始条件，结果是唯一的。而热力学（尤其在统计力学框架下）则带有概率性：我们无法精确预测某个特定分子的运动，但可以精确预测大量分子的统计行为。
总结
牛顿力学向热力学的过渡，是一场从宏观力学描述到微观统计描述的演进，它经历了以下几个关键阶段：
1. 牛顿力学的局限性显现： 无法直接解释热现象的微观本质和不可逆性。
2. 能量守恒的奠定： 焦耳等人的实验确立了热是一种能量形式，并与其他能量形式相互转化，为热力学第一定律奠基。这在某种程度上是将牛顿力学中的“力”和“运动”概念，延伸到了对能量转化和守恒的更广泛理解。
3. 分子动理论的崛起： 将微观粒子的运动与宏观热现象（如温度、压力）联系起来，为热力学提供了物理基础，是将牛顿力学应用于微观世界的尝试。
4. 统计力学的成熟： 运用概率和统计方法处理海量微观粒子，成功地从微观规律推导出宏观热力学定律（如热力学第二定律），并对熵等概念给出深刻的微观解释。
可以说，牛顿力学提供了描述粒子运动的基本工具（牛顿定律），而热力学则是在这个基础上，通过引入能量概念、微观粒子以及统计方法，来解释那些牛顿力学本身难以触及的、涉及大量粒子集体行为的宏观现象。它并非否定了牛顿力学的正确性，而是将它置于一个更广阔的物理框架之中，并提供了描述全新类型现象的理论工具。这是一个从“确定性”到“概率性”，从“宏观动力学”到“微观统计”的精妙飞跃。
网友意见
首先，为了让刻画系统性质的变量尽可能简单，我们选取广义坐标、动量（相空间 坐标），用哈密顿力学描述动力学性质。其实就是把牛顿力学的约束全部去掉了
对于我们希望观察到的力学量性质，可以表示成相空间坐标的函数，这个函数并不显含时间，对时间的依赖体现在相空间坐标对时间的依赖。Liouville算子及时间演化方程为
形式上可以将力学量的时间演化方程的解写成 ，其中， 是相流。Liouville算子可以诱导一个单参微分同胚群，群元可以做为相空间上的测度的推前映射、力学量拉回映射。由对偶性，可以得到相空间上的测度的时间演化
Note.
(1) 如果学过随机过程，可以发现，这里的Liouville算子和随机过程的生成元很类似，诱导了转移半群
(2) 这里的相流是确定的，也就是如果给定了哈密顿量，给定了初始条件，系统的演化是完全确定的
下面，我们开始考虑为什么会出现随机性
对于实际的系统，自由度都是非常大的，我们不可能求解那样高维的哈密顿方程去得到系统的相流，所以，即使我们已经通过对偶性得到了测度的表达式，因为没有相流，也没办法应用。但是，实际的问题中，我们往往只对系统的一部分自由度感兴趣，因此，我们现在需要考虑的问题是，如何从十分复杂的系统中得到一个比较小的子系统的运动规律并且尽可能在保持整个系统性质的前提下去简化计算量
举个例子，对于水里的一个小花粉粒，我们只想知道花粉粒的运动，对整杯水的运动并不感兴趣
下面先做一些数学上的处理
我们在相空间上先定义一个L^2空间， ， 是Lebesgue代数， 选取这样的概率测度是为了在后面让Lebesgue测度下的伴随算子和内积意义下的相同。定义内积
下面就比较明朗了，把我们感兴趣的变量中选出线性无关的那一部分相空间坐标，记为 ，A可以诱导一个sigma-代数 ，有子空间 ，那我们感兴趣的力学量实际上就是变量族A上的函数，对于任意函数，我们也可以考虑这个函数在子空间上的投影，这个投影，就是我们所感兴趣的力学量。从这样的逻辑，我们可以用条件期望定义投影 ，正交补由算子 给出。所以，我们感兴趣的力学量 ，也就是说，我们只要把投影算子或者这个子空间的性质研究好就行了
从前面的形式解，我们可以把哈密顿方程写成算符形式 ，接下来，我们就用前面给出的投影算子，来对系统的动力学性质进行分离
第一个等号用了恒等算子的性质，第二个等号用了常数变异法的算符形式
Note.
(1) 第一项是 完全是子空间内的
(2) 第二项是完全和子空间正交的，因此，我们把这一项近似成噪声，通过数据等等来得到其性质，到这里，随机性就出来了，其来源就是因为我们对这一部分不感兴趣，或者说，因为系统的自由度太大了，我们有的仅仅只是感兴趣的那一部分小的子空间的信息
Proof.
(3) 第三项是前两项的卷积，通过近似，这一项将成为粘滞部分
(4) 回到刚才的例子，第一项就是花粉粒的运动性质，第二项就是整杯水的运动，因为我们根本无法跟踪每一个水分子的运动，所以，我们通过近似将水分子的运动等效成无规则热运动对花粉粒的碰撞，即Brown运动，即白噪声，第三项是水分子的无规则热运动对花粉粒自由运动的干扰，所以，也就自然的理解为水的粘滞了
(5) 因为最后一项是卷积，如果在Markov近似下，第二项做为白噪声，那么第三项的导出过程中可以比较自然的得到一个粘滞和噪声关联之间的关系，也就是Einstein关系，所以，当噪声项趋于0时，由于Einstein关系的约束，后两项也将为0，整个方程退化为哈密顿方程
(6) 现在，整个系统的动力学性质就可以由一个随机微分方程来表示， ，生成元 ，生成元同样类似于Liouville算子可以诱导转移半群，所以，接下来的故事的数学本质就是随机过程了。后面的故事就是非平衡态统计物理
以上就是动力学性质的过渡，因为测度和力学量的对偶性，我们同样可以从概率测度的角度来将确定性的哈密顿力学过渡到统计物理。这部分在这个回答里已经写过了
对于非平衡系综，因为给定样本点之后，随机过程是时间的函数，给出了一条样本轨道，所以上面的熵、自由能等全部改成样本轨道的泛函就可以了。那么，下面我们要说的就是怎么从微观过渡到宏观，即热力学性质。热力学性质实际上就是系统的最概然性质，前面提到了相空间坐标可以作为微观态，给定NVE下熵的最大值（规范化之后为0）的点的集合为宏观态，给定NVT下自由能的最小值的点的集合为宏观态。在热力学极限下，力学量的取值会依概率的收敛到宏观态。所以，要将统计物理的结论过渡到热力学，就是把有限自由度系统的分布性质先研究清楚，给出宏观态集合，这些值就是热力学极限下系统的热力学性质的体现
上面写了这么多，实际上就只是一个思路而已，要直接通过哈密顿力学计算热力学是非常困难的，因为，里面涉及到很多的假设，并且计算量也是非常的大。热力学、统计物理之所以是一个独立的分支，而不是理论力学的从属，也是因为各自的研究方法各有不同，并不是单纯的属于关系。不过，在研究里还是比较有用的，比如Monte Carlo就是用哈密顿力学／子系统的哈密顿力学（Langevin方程）来得到相空间坐标的样本轨道，然后研究力学量的性质，或者和实验得到的宏观性质对比
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