为什么黎曼ζ函数能够如此表示？（第二个等号）?
黎曼ζ函数，$zeta(s)$，最广为人知的定义是当复数 $s$ 的实部大于 1 时，它可以通过一个无穷级数表示：
$$ zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = frac{1}{1^s} + frac{1}{2^s} + frac{1}{3^s} + frac{1}{4^s} + dots $$
您提到的“第二个等号”通常指的是将这个无穷级数与一个涉及素数的乘积联系起来的公式，即欧拉乘积公式：
$$ zeta(s) = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} quad ( ext{Re}(s) > 1) $$
或者写成另一种形式（取倒数）：
$$ frac{1}{zeta(s)} = prod_{p ext{ prime}} (1 p^{s}) quad ( ext{Re}(s) > 1) $$
要理解为什么黎曼ζ函数能够这样表示，我们需要回顾一下一些基本的数学概念，特别是几何级数的性质以及算术基本定理。
1. 几何级数的力量
首先，让我们仔细看看欧拉乘积公式中的每一项：
$$ frac{1}{1 p^{s}} $$
这里，$p$ 代表一个素数（2, 3, 5, 7, 11, ...）。对于任何一个素数 $p$，并且当复数 $s$ 的实部大于 0 时（实际上，在欧拉乘积公式成立的区域 Re(s) > 1 下，这肯定满足），我们知道一个重要的数学工具叫做几何级数。
几何级数的一般形式是 $1 + r + r^2 + r^3 + dots$。如果公比 $r$ 的绝对值小于 1（$|r| < 1$），那么这个级数是收敛的，并且它的和等于 $frac{1}{1r}$。
在我们的公式中，令 $r = p^{s}$。因为 $s$ 的实部大于 1，这意味着 $|p^{s}| = |p^{ ext{Re}(s) + i ext{Im}(s)}| = |p^{ ext{Re}(s)}| cdot |p^{i ext{Im}(s)}| = p^{ ext{Re}(s)} cdot 1 = p^{ ext{Re}(s)}$。由于 $p ge 2$ 且 $ ext{Re}(s) > 1$，所以 $p^{ ext{Re}(s)} < 1$。因此，$|p^{s}| < 1$ 成立。
所以，对于每一个素数 $p$，我们有：
$$ frac{1}{1 p^{s}} = 1 + p^{s} + (p^{s})^2 + (p^{s})^3 + dots = 1 + p^{s} + p^{2s} + p^{3s} + dots $$
现在，我们将所有素数对应的这些级数相乘，这就是欧拉乘积公式的来源。想象一下我们有几个素数，比如 2, 3, 5。我们将它们对应的级数写出来：
对于素数 2： $frac{1}{1 2^{s}} = 1 + 2^{s} + 2^{2s} + 2^{3s} + dots$
对于素数 3： $frac{1}{1 3^{s}} = 1 + 3^{s} + 3^{2s} + 3^{3s} + dots$
对于素数 5： $frac{1}{1 5^{s}} = 1 + 5^{s} + 5^{2s} + 5^{3s} + dots$
当我们把这些无穷级数全部乘起来，我们得到：
$$ left(1 + 2^{s} + 2^{2s} + dots ight) imes left(1 + 3^{s} + 3^{2s} + dots ight) imes left(1 + 5^{s} + 5^{2s} + dots ight) imes dots $$
展开这个乘积会得到什么呢？考虑其中一项，比如我们从第一个级数取 $2^a s$，从第二个级数取 $3^b s$，从第三个级数取 $5^c s$，以此类推（其中 $a, b, c, dots$ 是非负整数）。乘积就是 $2^{as} cdot 3^{bs} cdot 5^{cs} dots = (2^a 3^b 5^c dots)^s$。
2. 算术基本定理的关联
这里，算术基本定理（也被称为素因数分解定理）就发挥了关键作用。它告诉我们，任何大于 1 的正整数都可以唯一地表示为素数的乘积（忽略因子的顺序）。
例如，任何一个正整数 $n$ 都可以写成 $n = 2^a 3^b 5^c 7^d dots$，其中 $a, b, c, d, dots$ 是非负整数，并且只有有限个是非零的。
现在，让我们回到乘积的展开。当我们把所有的级数项相乘时，每一个项都会形成一个形式为 $(2^a 3^b 5^c dots)^s$ 的项。因为算术基本定理保证了这种素因数分解的唯一性，所以任何一个形式为 $n^s = (2^a 3^b 5^c dots)^s$ 的项，只会由级数中的某一项乘以某一项再乘以某一项……唯一地生成一次。
换句话说，欧拉乘积的展开式会生成所有形式为 $(p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots p_k^{a_k})^s$ 的项，其中 $p_i$ 是素数，$a_i$ 是非负整数。根据算术基本定理，这正好包含了所有正整数的 $s$ 次幂：$1^s, 2^s, 3^s, 4^s, 5^s, 6^s, dots$。
因此，当我们把所有素数对应的几何级数相乘时，其展开的结果就是：
$$ prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} = left(sum_{a=0}^{infty} (2^{s})^a ight) left(sum_{b=0}^{infty} (3^{s})^b ight) left(sum_{c=0}^{infty} (5^{s})^c ight) dots $$
$$ = sum_{a,b,c,dots ge 0} (2^{s})^a (3^{s})^b (5^{s})^c dots $$
$$ = sum_{a,b,c,dots ge 0} (2^a 3^b 5^c dots)^{s} $$
由于算术基本定理，集合 ${2^a 3^b 5^c dots mid a,b,c,dots ge 0}$ 等同于所有正整数 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, dots}$。所以，上面的求和就变成了：
$$ sum_{n=1}^{infty} n^{s} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} $$
这就连接起了欧拉乘积公式和黎曼ζ函数的级数定义。
总结一下这个过程：
1. 黎曼ζ函数的级数定义 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 是对所有正整数的倒数 $s$ 次幂的求和。
2. 欧拉发现，通过将每个素数 $p$ 的几何级数展开式 $frac{1}{1 p^{s}} = 1 + p^{s} + p^{2s} + dots$ 相乘，可以得到一个包含所有形式为 $(p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots)^s$ 的项的乘积。
3. 算术基本定理保证了任何正整数 $n$ 都可以唯一地表示为素数的乘积 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots$。
4. 因此，将所有素数对应的几何级数相乘，其展开后生成的各项恰好对应着所有正整数的倒数 $s$ 次幂，从而等同于黎曼ζ函数的级数定义。
这个联系的巧妙之处在于它将加法（级数求和）与乘法（素数乘积）通过素因数分解这一核心算术原理联系起来，揭示了整数的加法结构和乘法结构之间的深刻关系。这是数论中一个非常基础且强大的洞察。
$$ zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = frac{1}{1^s} + frac{1}{2^s} + frac{1}{3^s} + frac{1}{4^s} + dots $$
您提到的“第二个等号”通常指的是将这个无穷级数与一个涉及素数的乘积联系起来的公式，即欧拉乘积公式：
$$ zeta(s) = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} quad ( ext{Re}(s) > 1) $$
或者写成另一种形式（取倒数）：
$$ frac{1}{zeta(s)} = prod_{p ext{ prime}} (1 p^{s}) quad ( ext{Re}(s) > 1) $$
要理解为什么黎曼ζ函数能够这样表示，我们需要回顾一下一些基本的数学概念，特别是几何级数的性质以及算术基本定理。
1. 几何级数的力量
首先，让我们仔细看看欧拉乘积公式中的每一项：
$$ frac{1}{1 p^{s}} $$
这里，$p$ 代表一个素数（2, 3, 5, 7, 11, ...）。对于任何一个素数 $p$，并且当复数 $s$ 的实部大于 0 时（实际上，在欧拉乘积公式成立的区域 Re(s) > 1 下，这肯定满足），我们知道一个重要的数学工具叫做几何级数。
几何级数的一般形式是 $1 + r + r^2 + r^3 + dots$。如果公比 $r$ 的绝对值小于 1（$|r| < 1$），那么这个级数是收敛的，并且它的和等于 $frac{1}{1r}$。
在我们的公式中，令 $r = p^{s}$。因为 $s$ 的实部大于 1，这意味着 $|p^{s}| = |p^{ ext{Re}(s) + i ext{Im}(s)}| = |p^{ ext{Re}(s)}| cdot |p^{i ext{Im}(s)}| = p^{ ext{Re}(s)} cdot 1 = p^{ ext{Re}(s)}$。由于 $p ge 2$ 且 $ ext{Re}(s) > 1$，所以 $p^{ ext{Re}(s)} < 1$。因此，$|p^{s}| < 1$ 成立。
所以，对于每一个素数 $p$，我们有：
$$ frac{1}{1 p^{s}} = 1 + p^{s} + (p^{s})^2 + (p^{s})^3 + dots = 1 + p^{s} + p^{2s} + p^{3s} + dots $$
现在，我们将所有素数对应的这些级数相乘，这就是欧拉乘积公式的来源。想象一下我们有几个素数，比如 2, 3, 5。我们将它们对应的级数写出来：
对于素数 2： $frac{1}{1 2^{s}} = 1 + 2^{s} + 2^{2s} + 2^{3s} + dots$
对于素数 3： $frac{1}{1 3^{s}} = 1 + 3^{s} + 3^{2s} + 3^{3s} + dots$
对于素数 5： $frac{1}{1 5^{s}} = 1 + 5^{s} + 5^{2s} + 5^{3s} + dots$
当我们把这些无穷级数全部乘起来，我们得到：
$$ left(1 + 2^{s} + 2^{2s} + dots ight) imes left(1 + 3^{s} + 3^{2s} + dots ight) imes left(1 + 5^{s} + 5^{2s} + dots ight) imes dots $$
展开这个乘积会得到什么呢？考虑其中一项，比如我们从第一个级数取 $2^a s$，从第二个级数取 $3^b s$，从第三个级数取 $5^c s$，以此类推（其中 $a, b, c, dots$ 是非负整数）。乘积就是 $2^{as} cdot 3^{bs} cdot 5^{cs} dots = (2^a 3^b 5^c dots)^s$。
2. 算术基本定理的关联
这里，算术基本定理（也被称为素因数分解定理）就发挥了关键作用。它告诉我们，任何大于 1 的正整数都可以唯一地表示为素数的乘积（忽略因子的顺序）。
例如，任何一个正整数 $n$ 都可以写成 $n = 2^a 3^b 5^c 7^d dots$，其中 $a, b, c, d, dots$ 是非负整数，并且只有有限个是非零的。
现在，让我们回到乘积的展开。当我们把所有的级数项相乘时，每一个项都会形成一个形式为 $(2^a 3^b 5^c dots)^s$ 的项。因为算术基本定理保证了这种素因数分解的唯一性，所以任何一个形式为 $n^s = (2^a 3^b 5^c dots)^s$ 的项，只会由级数中的某一项乘以某一项再乘以某一项……唯一地生成一次。
换句话说，欧拉乘积的展开式会生成所有形式为 $(p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots p_k^{a_k})^s$ 的项，其中 $p_i$ 是素数，$a_i$ 是非负整数。根据算术基本定理，这正好包含了所有正整数的 $s$ 次幂：$1^s, 2^s, 3^s, 4^s, 5^s, 6^s, dots$。
因此，当我们把所有素数对应的几何级数相乘时，其展开的结果就是：
$$ prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} = left(sum_{a=0}^{infty} (2^{s})^a ight) left(sum_{b=0}^{infty} (3^{s})^b ight) left(sum_{c=0}^{infty} (5^{s})^c ight) dots $$
$$ = sum_{a,b,c,dots ge 0} (2^{s})^a (3^{s})^b (5^{s})^c dots $$
$$ = sum_{a,b,c,dots ge 0} (2^a 3^b 5^c dots)^{s} $$
由于算术基本定理，集合 ${2^a 3^b 5^c dots mid a,b,c,dots ge 0}$ 等同于所有正整数 ${1, 2, 3, 4, 5, 6, dots}$。所以，上面的求和就变成了：
$$ sum_{n=1}^{infty} n^{s} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} $$
这就连接起了欧拉乘积公式和黎曼ζ函数的级数定义。
总结一下这个过程：
1. 黎曼ζ函数的级数定义 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 是对所有正整数的倒数 $s$ 次幂的求和。
2. 欧拉发现，通过将每个素数 $p$ 的几何级数展开式 $frac{1}{1 p^{s}} = 1 + p^{s} + p^{2s} + dots$ 相乘，可以得到一个包含所有形式为 $(p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots)^s$ 的项的乘积。
3. 算术基本定理保证了任何正整数 $n$ 都可以唯一地表示为素数的乘积 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} dots$。
4. 因此，将所有素数对应的几何级数相乘，其展开后生成的各项恰好对应着所有正整数的倒数 $s$ 次幂，从而等同于黎曼ζ函数的级数定义。
这个联系的巧妙之处在于它将加法（级数求和）与乘法（素数乘积）通过素因数分解这一核心算术原理联系起来，揭示了整数的加法结构和乘法结构之间的深刻关系。这是数论中一个非常基础且强大的洞察。
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