如何理解动态规划？
拨开迷雾：动态规划，你到底是什么神仙？
是不是每次听到“动态规划”四个字，都感觉脑仁儿有点疼？什么“最优子结构”、“重叠子问题”，听起来就像是某个神秘的武林秘籍，离我们凡人的世界好远。别担心，今天咱们就来好好聊聊这个东西，保证让你觉得它没那么高冷，甚至有点儿意思。
核心思想：拆解与重复利用，做个聪明的“懒人”
想象一下，你手里有一堆任务，想要用最省力气的方式完成。动态规划就像是咱们的大脑在处理这类问题时的一种“聪明的懒惰”策略。它不蛮干，而是先把大问题拆成一堆小问题，然后盯着这些小问题，看看能不能找到一些重复的规律。一旦发现了规律，就把它记下来（就像你把某个常用招式写在笔记本上），下次再遇到同样的小问题，就直接拿来用，不用从头再乎。
举个最最接地气的例子：爬楼梯
这可能是动态规划的入门级选手了。假设你要爬一个有 n 阶的楼梯，每次你可以选择爬 1 阶或者爬 2 阶。问你总共有多少种不同的爬法？
暴力破解（不推荐）： 你可以想象自己一个一个地枚举所有可能的爬法，但楼梯越高，组合就越多，很快就会让你晕头转向。
动态规划的思路：
最简单的情况：
爬 1 阶：只有一种方法 (爬 1 阶)。
爬 2 阶：有两种方法 (爬 1 阶 + 爬 1 阶，或者直接爬 2 阶)。
推广到更高阶：
想爬到第 3 阶，你只能从第 2 阶上来 (爬 1 阶)，或者从第 1 阶上来 (爬 2 阶)。所以，爬到第 3 阶的总方法数就是爬到第 2 阶的方法数 加上 爬到第 1 阶的方法数。
爬到第 4 阶，你只能从第 3 阶上来 (爬 1 阶)，或者从第 2 阶上来 (爬 2 阶)。所以，爬到第 4 阶的总方法数就是爬到第 3 阶的方法数 加上 爬到第 2 阶的方法数。
你会发现一个规律：爬到第 i 阶的方法数 = 爬到第 i1 阶的方法数 + 爬到第 i2 阶的方法数。
这就是典型的动态规划的模式！
1. 分解问题 (Subproblem Decomposition): 将“爬到 n 阶”的问题分解成“爬到 n1 阶”和“爬到 n2 阶”的问题。
2. 重叠子问题 (Overlapping Subproblems): 你会发现，计算爬到第 4 阶需要知道爬到第 3 和第 2 阶，而计算爬到第 3 阶又需要知道爬到第 2 和第 1 阶。你看，爬到第 2 阶的方法数被计算了两次！动态规划就是把这些重复计算的结果“存”下来，避免重复劳动。
3. 最优子结构 (Optimal Substructure): 这是动态规划的另一个关键点。这里的“最优”不一定是最小值或最大值，而是指“问题可以通过其子问题的最优解来构建”。在爬楼梯的例子中，爬到第 n 阶的总方法数，就是由爬到第 n1 阶和爬到第 n2 阶的方法数简单相加得到的。如果问题是找“最少步数”，那么爬到第 n 阶的最小步数，就是从爬到第 n1 阶的最小步数再加一步，或者从爬到第 n2 阶的最小步数再加一步，两者取最小。
两种实现方式：填表法 (递推) 和记忆化搜索 (递归)
知道了上面那个规律，我们就可以用两种方法来实现这个“聪明的懒惰”：
1. 填表法 (BottomUp / Iterative):
就像我们前面分析的那样，从最简单的子问题开始，一步一步往上计算。
创建一个数组（或者叫“表格”），用来存放计算结果。
初始化前几个值（比如爬 1 阶和爬 2 阶的方法数）。
然后用循环从第 3 阶开始计算，直到第 n 阶。
每次计算当前阶的方法数时，直接从表格里取出前面两阶已经算好的结果，相加即可。
这样，每计算一个子问题，结果就保存在表格里，下次再用到就直接拿。
用代码描述一下就是：
```python
def climb_stairs_iterative(n):
if n == 1:
return 1
dp = [0] (n + 1) dp[i] 存储爬到第 i 阶的方法数
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i1] + dp[i2]
return dp[n]
```
这种方法就像是按部就班地把任务列表一项一项填满。
2. 记忆化搜索 (TopDown / Recursive with Memoization):
这个方法更接近我们大脑的思考方式，遇到问题先尝试一下，如果算过了就直接用结果，没算过就去算，算完了顺便记下来。
写一个递归函数来解决问题（比如爬到 n 阶的方法数）。
在递归函数内部，先检查是否已经计算过当前这个子问题（比如是否已经知道爬到 n 阶有多少种方法了），如果算过，直接返回之前存的结果。
如果没算过，就按照规律递归地计算它所依赖的子问题（比如爬到 n1 阶和 n2 阶的方法数）。
把计算得到的结果存起来（比如存在一个字典或者数组里），然后返回这个结果。
用代码描述一下就是：
```python
memo = {} 用来存储已经计算过的结果
def climb_stairs_recursive(n):
if n in memo: 如果已经算过，直接返回
return memo[n]
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
计算结果，并存入 memo
result = climb_stairs_recursive(n1) + climb_stairs_recursive(n2)
memo[n] = result
return result
```
这种方法就像是遇到一个难题，先看看有没有现成的答案，没有就自己去研究，研究明白了就记下来，以后再有人问就直接告诉他。
什么时候要考虑动态规划？
当你遇到一个问题，并且能观察到以下两点时，就很有可能是动态规划的用武之地：
最优子结构： 问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。
重叠子问题： 在解决大问题的过程中，会反复遇到相同的子问题。
一些经典的动态规划问题（它们都有点“套路”的影子）：
背包问题 (Knapsack Problem): 假设你有一个背包，容量有限，里面有一些物品，每种物品都有重量和价值。如何在不超过背包容量的情况下，使得装进背包的物品总价值最高？
最长公共子序列 (Longest Common Subsequence, LCS): 找出两个字符串中最长的那一个公共子序列。
编辑距离 (Edit Distance): 计算将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少编辑操作次数（插入、删除、替换）。
硬币找零问题 (Coin Change Problem): 给你一些面额的硬币和目标金额，找出用最少的硬币数量凑成目标金额的方法。
动态规划的“套路”总结一下：
1. 定义状态: 确定你的“表格”或者“记忆体”里要存储什么信息。通常是 `dp[i]` 或者 `dp[i][j]` 表示解决子问题到某个阶段的状态。
2. 找到状态转移方程: 这是最核心的一步。你如何从已知的小问题（之前的状态）推导出当前问题（当前状态）的解？这就像是把你前面说的规律写成数学公式。
3. 确定初始条件/边界条件: 最简单的子问题的解是什么？比如爬楼梯的 `dp[1]` 和 `dp[2]`。
4. 选择填表法还是记忆化搜索: 大部分情况下两种都可以，但有时某种方法会更自然或更高效。
别怕复杂，从简单入手
动态规划听起来唬人，但一旦你抓住“分解”、“重复利用”这两个核心点，并且能找到那个“状态转移方程”，很多问题就迎刃而解了。刚开始学的时候，多做几个简单的例子，你会逐渐体会到它的精妙之处。别把它们当成高深的理论，而是当成一种解决问题的“聪明技巧”来学习，你会发现，嗯，这个东西还挺好玩的！
是不是每次听到“动态规划”四个字，都感觉脑仁儿有点疼？什么“最优子结构”、“重叠子问题”，听起来就像是某个神秘的武林秘籍，离我们凡人的世界好远。别担心，今天咱们就来好好聊聊这个东西，保证让你觉得它没那么高冷，甚至有点儿意思。
核心思想：拆解与重复利用，做个聪明的“懒人”
想象一下，你手里有一堆任务，想要用最省力气的方式完成。动态规划就像是咱们的大脑在处理这类问题时的一种“聪明的懒惰”策略。它不蛮干，而是先把大问题拆成一堆小问题，然后盯着这些小问题，看看能不能找到一些重复的规律。一旦发现了规律，就把它记下来（就像你把某个常用招式写在笔记本上），下次再遇到同样的小问题，就直接拿来用，不用从头再乎。
举个最最接地气的例子：爬楼梯
这可能是动态规划的入门级选手了。假设你要爬一个有 n 阶的楼梯，每次你可以选择爬 1 阶或者爬 2 阶。问你总共有多少种不同的爬法？
暴力破解（不推荐）： 你可以想象自己一个一个地枚举所有可能的爬法，但楼梯越高，组合就越多，很快就会让你晕头转向。
动态规划的思路：
最简单的情况：
爬 1 阶：只有一种方法 (爬 1 阶)。
爬 2 阶：有两种方法 (爬 1 阶 + 爬 1 阶，或者直接爬 2 阶)。
推广到更高阶：
想爬到第 3 阶，你只能从第 2 阶上来 (爬 1 阶)，或者从第 1 阶上来 (爬 2 阶)。所以，爬到第 3 阶的总方法数就是爬到第 2 阶的方法数 加上 爬到第 1 阶的方法数。
爬到第 4 阶，你只能从第 3 阶上来 (爬 1 阶)，或者从第 2 阶上来 (爬 2 阶)。所以，爬到第 4 阶的总方法数就是爬到第 3 阶的方法数 加上 爬到第 2 阶的方法数。
你会发现一个规律：爬到第 i 阶的方法数 = 爬到第 i1 阶的方法数 + 爬到第 i2 阶的方法数。
这就是典型的动态规划的模式！
1. 分解问题 (Subproblem Decomposition): 将“爬到 n 阶”的问题分解成“爬到 n1 阶”和“爬到 n2 阶”的问题。
2. 重叠子问题 (Overlapping Subproblems): 你会发现，计算爬到第 4 阶需要知道爬到第 3 和第 2 阶，而计算爬到第 3 阶又需要知道爬到第 2 和第 1 阶。你看，爬到第 2 阶的方法数被计算了两次！动态规划就是把这些重复计算的结果“存”下来，避免重复劳动。
3. 最优子结构 (Optimal Substructure): 这是动态规划的另一个关键点。这里的“最优”不一定是最小值或最大值，而是指“问题可以通过其子问题的最优解来构建”。在爬楼梯的例子中，爬到第 n 阶的总方法数，就是由爬到第 n1 阶和爬到第 n2 阶的方法数简单相加得到的。如果问题是找“最少步数”，那么爬到第 n 阶的最小步数，就是从爬到第 n1 阶的最小步数再加一步，或者从爬到第 n2 阶的最小步数再加一步，两者取最小。
两种实现方式：填表法 (递推) 和记忆化搜索 (递归)
知道了上面那个规律，我们就可以用两种方法来实现这个“聪明的懒惰”：
1. 填表法 (BottomUp / Iterative):
就像我们前面分析的那样，从最简单的子问题开始，一步一步往上计算。
创建一个数组（或者叫“表格”），用来存放计算结果。
初始化前几个值（比如爬 1 阶和爬 2 阶的方法数）。
然后用循环从第 3 阶开始计算，直到第 n 阶。
每次计算当前阶的方法数时，直接从表格里取出前面两阶已经算好的结果，相加即可。
这样，每计算一个子问题，结果就保存在表格里，下次再用到就直接拿。
用代码描述一下就是：
```python
def climb_stairs_iterative(n):
if n == 1:
return 1
dp = [0] (n + 1) dp[i] 存储爬到第 i 阶的方法数
dp[1] = 1
dp[2] = 2
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = dp[i1] + dp[i2]
return dp[n]
```
这种方法就像是按部就班地把任务列表一项一项填满。
2. 记忆化搜索 (TopDown / Recursive with Memoization):
这个方法更接近我们大脑的思考方式，遇到问题先尝试一下，如果算过了就直接用结果，没算过就去算，算完了顺便记下来。
写一个递归函数来解决问题（比如爬到 n 阶的方法数）。
在递归函数内部，先检查是否已经计算过当前这个子问题（比如是否已经知道爬到 n 阶有多少种方法了），如果算过，直接返回之前存的结果。
如果没算过，就按照规律递归地计算它所依赖的子问题（比如爬到 n1 阶和 n2 阶的方法数）。
把计算得到的结果存起来（比如存在一个字典或者数组里），然后返回这个结果。
用代码描述一下就是：
```python
memo = {} 用来存储已经计算过的结果
def climb_stairs_recursive(n):
if n in memo: 如果已经算过，直接返回
return memo[n]
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
计算结果，并存入 memo
result = climb_stairs_recursive(n1) + climb_stairs_recursive(n2)
memo[n] = result
return result
```
这种方法就像是遇到一个难题，先看看有没有现成的答案，没有就自己去研究，研究明白了就记下来，以后再有人问就直接告诉他。
什么时候要考虑动态规划？
当你遇到一个问题，并且能观察到以下两点时，就很有可能是动态规划的用武之地：
最优子结构： 问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。
重叠子问题： 在解决大问题的过程中，会反复遇到相同的子问题。
一些经典的动态规划问题（它们都有点“套路”的影子）：
背包问题 (Knapsack Problem): 假设你有一个背包，容量有限，里面有一些物品，每种物品都有重量和价值。如何在不超过背包容量的情况下，使得装进背包的物品总价值最高？
最长公共子序列 (Longest Common Subsequence, LCS): 找出两个字符串中最长的那一个公共子序列。
编辑距离 (Edit Distance): 计算将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少编辑操作次数（插入、删除、替换）。
硬币找零问题 (Coin Change Problem): 给你一些面额的硬币和目标金额，找出用最少的硬币数量凑成目标金额的方法。
动态规划的“套路”总结一下：
1. 定义状态: 确定你的“表格”或者“记忆体”里要存储什么信息。通常是 `dp[i]` 或者 `dp[i][j]` 表示解决子问题到某个阶段的状态。
2. 找到状态转移方程: 这是最核心的一步。你如何从已知的小问题（之前的状态）推导出当前问题（当前状态）的解？这就像是把你前面说的规律写成数学公式。
3. 确定初始条件/边界条件: 最简单的子问题的解是什么？比如爬楼梯的 `dp[1]` 和 `dp[2]`。
4. 选择填表法还是记忆化搜索: 大部分情况下两种都可以，但有时某种方法会更自然或更高效。
别怕复杂，从简单入手
动态规划听起来唬人，但一旦你抓住“分解”、“重复利用”这两个核心点，并且能找到那个“状态转移方程”，很多问题就迎刃而解了。刚开始学的时候，多做几个简单的例子，你会逐渐体会到它的精妙之处。别把它们当成高深的理论，而是当成一种解决问题的“聪明技巧”来学习，你会发现，嗯，这个东西还挺好玩的！
网友意见
别的入门算法都可以理解，但是动态规划真的好难自学，是我太笨了吗
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