证明角的三分之一，怎么证明？
要证明“角的三分之一”，其实我们是在探索一个古老的几何难题，叫做“三等分角”。这个问题的意思就是，能否用尺规（也就是没有刻度的直尺和圆规）将任意给定的一个角分成三个相等的部分。
要详细地讲这个话题，我们需要从几个方面来聊聊：
1. “角的三分之一”到底是什么意思？
想象一下，你有一个角，比如一个60度的角。那么“角的三分之一”就是把这个60度的角变成三个20度的角。换句话说，就是用一些几何方法，找出这个角两条边之外的两条新的边，使得这三条边将原来的角平均分成了三等份。
这个问题的核心在于“尺规作图”的限制。在古希腊时期，数学家们发展出了一套非常严谨的几何作图方法，只允许使用两种工具：
无刻度的直尺： 只能用来画直线或延长已有的直线。
圆规： 只能用来画圆或画弧，或者用来复制长度。
一旦超出了这个限制，比如允许使用有刻度的尺子来测量长度，或者允许使用特定的工具（比如阿基米德螺旋线仪），那么三等分角就变得非常容易了。但问题就在于，仅凭直尺和圆规，能不能做到？
2. 为什么它成了一个难题？
这个“三等分角”的问题，和另外两个经典问题一起，构成了古希腊三大几何作图难题：
化圆为方： 用尺规作出一个面积等于给定圆的平方。
倍立方： 用尺规作出一个体积等于给定立方体体积两倍的立方体。
三等分角： 用尺规将任意角分成三等份。
这三个问题都困扰了数学家们长达两千多年。直到19世纪，随着数学理论的发展，人们才最终证明了，其中两个问题是不可能用尺规完成的，那就是“化圆为方”和“倍立方”。而“三等分角”也同样被证明是不可能普遍实现的。
3. 证明“无法普遍实现”的思路（这才是重点！）
这里的关键是“普遍实现”。也就是说，不是说任何角都不能三等分，而是说不能用尺规作出“任意”一个角的“三等分”。 某些特殊的角，比如90度角，是可以尺规三等分的（可以分成三个30度的角，而30度的角是可以尺规作图的）。
证明“无法普遍实现”主要依赖于域扩张（Field Extension）和代数数论等更高级的数学概念。这是从几何问题上升到代数问题的过程。
核心思路是：
将几何问题转化为代数问题： 尺规作图中的每一个步骤，例如画直线、画圆、求交点，都可以用代数方程来描述。如果一个长度或一个角度能够通过尺规作图得到，那么它对应的数值（比如长度的比例或者角度的三角函数值）必须满足一系列特定的代数方程。
代数方程的性质： 这些方程的系数都来自于我们最初给定的长度或角度（通常是整数或有理数）。通过尺规作图，每进行一次操作，得到的新的坐标或新的函数值，其次数（degree）的扩张是有限的，具体来说是二次扩张。这意味着，如果一个量可以通过尺规作图得到，那么它必须是某个以有理数为系数的、次数为 $2^n$ 的不可约多项式的根。
用反证法证明不可能： 证明三等分角不可能普遍实现，就是找到一个特定的角，它的“三分之一”对应的代数表达式，其次数的扩张不是 $2^n$ 这种形式，从而证明它无法通过尺规作图得到。
以一个具体的例子——三等分60度角——为例，来解释这个思路：
我们已知什么？ 我们知道怎么尺规作图得到一个60度的角。我们还需要知道，给定的角（比如60度），它对应的三角函数值是什么。对于60度角，$cos(60^circ) = 1/2$。
我们想做什么？ 我们想得到一个20度的角。那么我们想知道$cos(20^circ)$是多少。
三角恒等式是关键： 这里需要用到三倍角公式：
$cos(3 heta) = 4cos^3( heta) 3cos( heta)$
代数方程的诞生： 让 $ heta = 20^circ$，那么 $3 heta = 60^circ$。我们代入上面的公式：
$cos(60^circ) = 4cos^3(20^circ) 3cos(20^circ)$
我们知道 $cos(60^circ) = 1/2$，所以：
$1/2 = 4cos^3(20^circ) 3cos(20^circ)$
设未知数： 令 $x = cos(20^circ)$。那么上面的方程变成：
$1/2 = 4x^3 3x$
整理一下，我们得到了一个关于 $x$ 的三次多项式方程：
$8x^3 6x 1 = 0$
代数分析： 现在问题转化为：能否用尺规作图得到一个满足方程 $8x^3 6x 1 = 0$ 的值 $x = cos(20^circ)$？
尺规作图能够构造出来的数的次数扩张，必须是 $2^n$。也就是说，如果我们能够尺规作图得到 $cos(20^circ)$，那么它必须是某个以有理数为系数的、次数为 $2^n$ 的不可约多项式的根。
我们得到的方程 $8x^3 6x 1 = 0$ 是一个三次多项式。
关键点： 这个三次多项式是不可约的（在有理数域上）。也就是说，它不能分解成更低次数的、系数为有理数的多项式的乘积。
结论： 由于我们得到的多项式的次数是3，而3不是 $2^n$ 的形式（例如 $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, ldots$），所以 $cos(20^circ)$ 不能通过尺规作图得到。这意味着，我们无法用尺规去三等分一个60度的角。
更普遍的证明（不局限于60度角）：
对于任意给定的角 $alpha$，我们想知道能否尺规三等分它。
如果 $alpha$ 可以尺规三等分，那么 $alpha/3$ 也可以尺规作图。
我们使用三倍角公式 $cos(alpha) = 4cos^3(alpha/3) 3cos(alpha/3)$。
令 $y = cos(alpha/3)$，已知 $cos(alpha)$ 是一个有理数（假设我们从一个简单的角度开始，比如可以表示为有理数的余弦值），那么我们得到一个三次方程：$4y^3 3y cos(alpha) = 0$。
证明的核心在于： 对于许多给定的角（尤其是那些无法用尺规三等分的角），它们对应的三次方程是不可约的。如果这个三次方程在有理数域上是不可约的，那么它的根（也就是 $cos(alpha/3)$）的次数扩张就是3，而3不是 $2^n$ 的形式。因此，这个角就无法用尺规三等分。
总结一下证明的关键步骤：
1. 将几何作图问题转化为代数问题： 尺规作图中的每一步都对应着建立一个域扩张，其次数必须是2的幂次方。因此，任何可以通过尺规作图得到的长度或角度，都必须满足一个次数为 $2^n$ 的代数方程。
2. 利用三角恒等式建立方程： 使用三倍角公式，将“角的三分之一”的问题转化为一个关于余弦值的代数方程。
3. 分析代数方程的次数： 证明这个代数方程在有理数域上是不可约的，并且其次数不是 $2^n$ 的形式（通常是3）。
4. 得出结论： 由于方程的次数不符合尺规作图的限制，因此“角的三分之一”无法普遍通过尺规作图完成。
4. 为什么数学家们花了这么长时间？
这个问题的难度在于，它不仅仅是几何技巧的问题，更深层次地触及到了数的性质和代数结构。在古代，数学工具和理论远不如现在发达，人们很难想象几何问题还能与代数方程的次数扩张联系起来。直到19世纪初，高斯（Carl Friedrich Gauss） 在他的《算术定理》中引入了域扩张的概念，以及后来伽罗瓦（Évariste Galois） 发展出的群论，才为解决这类问题提供了强有力的理论工具。尤其是克莱门特·范德比尔特（Clement Van der Vandermonde） 和 尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel） 等人的工作，进一步完善了我们对多项式方程根的理解。最终，在19世纪末，皮埃尔·旺塞尔（Pierre Wantzel） 在1837年给出了第一个严格证明，明确指出“化圆为方”、“倍立方”和“三等分角”（在一般意义下）都是不可能用尺规完成的。
所以，“证明角的三分之一”并不是说要给出怎么做的方法（因为普遍方法不存在），而是要证明其不可能性。这个证明过程，从几何直观的问题，转变为对代数方程根性质的深入分析，展现了数学跨越不同分支的强大力量。
要详细地讲这个话题，我们需要从几个方面来聊聊：
1. “角的三分之一”到底是什么意思？
想象一下，你有一个角，比如一个60度的角。那么“角的三分之一”就是把这个60度的角变成三个20度的角。换句话说，就是用一些几何方法，找出这个角两条边之外的两条新的边，使得这三条边将原来的角平均分成了三等份。
这个问题的核心在于“尺规作图”的限制。在古希腊时期，数学家们发展出了一套非常严谨的几何作图方法，只允许使用两种工具：
无刻度的直尺： 只能用来画直线或延长已有的直线。
圆规： 只能用来画圆或画弧，或者用来复制长度。
一旦超出了这个限制，比如允许使用有刻度的尺子来测量长度，或者允许使用特定的工具（比如阿基米德螺旋线仪），那么三等分角就变得非常容易了。但问题就在于，仅凭直尺和圆规，能不能做到？
2. 为什么它成了一个难题？
这个“三等分角”的问题，和另外两个经典问题一起，构成了古希腊三大几何作图难题：
化圆为方： 用尺规作出一个面积等于给定圆的平方。
倍立方： 用尺规作出一个体积等于给定立方体体积两倍的立方体。
三等分角： 用尺规将任意角分成三等份。
这三个问题都困扰了数学家们长达两千多年。直到19世纪，随着数学理论的发展，人们才最终证明了，其中两个问题是不可能用尺规完成的，那就是“化圆为方”和“倍立方”。而“三等分角”也同样被证明是不可能普遍实现的。
3. 证明“无法普遍实现”的思路（这才是重点！）
这里的关键是“普遍实现”。也就是说，不是说任何角都不能三等分，而是说不能用尺规作出“任意”一个角的“三等分”。 某些特殊的角，比如90度角，是可以尺规三等分的（可以分成三个30度的角，而30度的角是可以尺规作图的）。
证明“无法普遍实现”主要依赖于域扩张（Field Extension）和代数数论等更高级的数学概念。这是从几何问题上升到代数问题的过程。
核心思路是：
将几何问题转化为代数问题： 尺规作图中的每一个步骤，例如画直线、画圆、求交点，都可以用代数方程来描述。如果一个长度或一个角度能够通过尺规作图得到，那么它对应的数值（比如长度的比例或者角度的三角函数值）必须满足一系列特定的代数方程。
代数方程的性质： 这些方程的系数都来自于我们最初给定的长度或角度（通常是整数或有理数）。通过尺规作图，每进行一次操作，得到的新的坐标或新的函数值，其次数（degree）的扩张是有限的，具体来说是二次扩张。这意味着，如果一个量可以通过尺规作图得到，那么它必须是某个以有理数为系数的、次数为 $2^n$ 的不可约多项式的根。
用反证法证明不可能： 证明三等分角不可能普遍实现，就是找到一个特定的角，它的“三分之一”对应的代数表达式，其次数的扩张不是 $2^n$ 这种形式，从而证明它无法通过尺规作图得到。
以一个具体的例子——三等分60度角——为例，来解释这个思路：
我们已知什么？ 我们知道怎么尺规作图得到一个60度的角。我们还需要知道，给定的角（比如60度），它对应的三角函数值是什么。对于60度角，$cos(60^circ) = 1/2$。
我们想做什么？ 我们想得到一个20度的角。那么我们想知道$cos(20^circ)$是多少。
三角恒等式是关键： 这里需要用到三倍角公式：
$cos(3 heta) = 4cos^3( heta) 3cos( heta)$
代数方程的诞生： 让 $ heta = 20^circ$，那么 $3 heta = 60^circ$。我们代入上面的公式：
$cos(60^circ) = 4cos^3(20^circ) 3cos(20^circ)$
我们知道 $cos(60^circ) = 1/2$，所以：
$1/2 = 4cos^3(20^circ) 3cos(20^circ)$
设未知数： 令 $x = cos(20^circ)$。那么上面的方程变成：
$1/2 = 4x^3 3x$
整理一下，我们得到了一个关于 $x$ 的三次多项式方程：
$8x^3 6x 1 = 0$
代数分析： 现在问题转化为：能否用尺规作图得到一个满足方程 $8x^3 6x 1 = 0$ 的值 $x = cos(20^circ)$？
尺规作图能够构造出来的数的次数扩张，必须是 $2^n$。也就是说，如果我们能够尺规作图得到 $cos(20^circ)$，那么它必须是某个以有理数为系数的、次数为 $2^n$ 的不可约多项式的根。
我们得到的方程 $8x^3 6x 1 = 0$ 是一个三次多项式。
关键点： 这个三次多项式是不可约的（在有理数域上）。也就是说，它不能分解成更低次数的、系数为有理数的多项式的乘积。
结论： 由于我们得到的多项式的次数是3，而3不是 $2^n$ 的形式（例如 $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, ldots$），所以 $cos(20^circ)$ 不能通过尺规作图得到。这意味着，我们无法用尺规去三等分一个60度的角。
更普遍的证明（不局限于60度角）：
对于任意给定的角 $alpha$，我们想知道能否尺规三等分它。
如果 $alpha$ 可以尺规三等分，那么 $alpha/3$ 也可以尺规作图。
我们使用三倍角公式 $cos(alpha) = 4cos^3(alpha/3) 3cos(alpha/3)$。
令 $y = cos(alpha/3)$，已知 $cos(alpha)$ 是一个有理数（假设我们从一个简单的角度开始，比如可以表示为有理数的余弦值），那么我们得到一个三次方程：$4y^3 3y cos(alpha) = 0$。
证明的核心在于： 对于许多给定的角（尤其是那些无法用尺规三等分的角），它们对应的三次方程是不可约的。如果这个三次方程在有理数域上是不可约的，那么它的根（也就是 $cos(alpha/3)$）的次数扩张就是3，而3不是 $2^n$ 的形式。因此，这个角就无法用尺规三等分。
总结一下证明的关键步骤：
1. 将几何作图问题转化为代数问题： 尺规作图中的每一步都对应着建立一个域扩张，其次数必须是2的幂次方。因此，任何可以通过尺规作图得到的长度或角度，都必须满足一个次数为 $2^n$ 的代数方程。
2. 利用三角恒等式建立方程： 使用三倍角公式，将“角的三分之一”的问题转化为一个关于余弦值的代数方程。
3. 分析代数方程的次数： 证明这个代数方程在有理数域上是不可约的，并且其次数不是 $2^n$ 的形式（通常是3）。
4. 得出结论： 由于方程的次数不符合尺规作图的限制，因此“角的三分之一”无法普遍通过尺规作图完成。
4. 为什么数学家们花了这么长时间？
这个问题的难度在于，它不仅仅是几何技巧的问题，更深层次地触及到了数的性质和代数结构。在古代，数学工具和理论远不如现在发达，人们很难想象几何问题还能与代数方程的次数扩张联系起来。直到19世纪初，高斯（Carl Friedrich Gauss） 在他的《算术定理》中引入了域扩张的概念，以及后来伽罗瓦（Évariste Galois） 发展出的群论，才为解决这类问题提供了强有力的理论工具。尤其是克莱门特·范德比尔特（Clement Van der Vandermonde） 和 尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel） 等人的工作，进一步完善了我们对多项式方程根的理解。最终，在19世纪末，皮埃尔·旺塞尔（Pierre Wantzel） 在1837年给出了第一个严格证明，明确指出“化圆为方”、“倍立方”和“三等分角”（在一般意义下）都是不可能用尺规完成的。
所以，“证明角的三分之一”并不是说要给出怎么做的方法（因为普遍方法不存在），而是要证明其不可能性。这个证明过程，从几何直观的问题，转变为对代数方程根性质的深入分析，展现了数学跨越不同分支的强大力量。
网友意见
计算机会告诉你答案，图片源自GeoGebra。就算计算机也有误差，0.1度的误差对计算机而言是不可容忍的，不可能有这么大的误差。所以只有可能是你找到了一个极好的近似解(工程上这样做可能会比较方便)，而不是真的三等分。
不相信的话可以尝试一下用古典几何证明一下这是30度的三分之一(不依赖直观)，我敢保证你是想不出这种证明的。
数学家已经求出了所有可以被尺规作图三等分的角的集合(你想要角度制或者弧度制都行)。自己去找一下。顺便， @云舞空城 。
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