综合除法的数学依据是什么？
综合除法的数学依据主要建立在多项式除法定理和秦九韶算法（Horner方法）这两个核心概念之上。下面我们将详细阐述它们的数学原理。
1. 多项式除法定理 (Polynomial Remainder Theorem)
多项式除法定理是综合除法的根本依据。它阐述了对任意两个多项式 $P(x)$（被除式）和 $D(x)$（除式，且 $D(x)$ 不是零多项式）存在唯一的商多项式 $Q(x)$ 和余多项式 $R(x)$，使得：
$$P(x) = D(x) cdot Q(x) + R(x)$$
并且，余多项式 $R(x)$ 的次数小于除多项式 $D(x)$ 的次数。
综合除法针对的是除式是形如 $(xa)$ 的一次多项式的情况。 在这种特殊情况下，多项式除法定理可以进一步简化。当除式为 $(xa)$ 时，余多项式 $R(x)$ 的次数必须小于1，这意味着 $R(x)$ 是一个常数，我们称之为 $r$。
因此，对于除式为 $(xa)$ 的情况，多项式除法定理可以写成：
$$P(x) = (xa) cdot Q(x) + r$$
这里有一个非常重要的推论： 将 $x=a$ 代入上式，我们可以得到：
$$P(a) = (aa) cdot Q(a) + r$$
$$P(a) = 0 cdot Q(a) + r$$
$$P(a) = r$$
这意味着，当用 $(xa)$ 去除多项式 $P(x)$ 时，余数 $r$ 等于 $P(a)$。 这个性质就是余数定理，它是综合除法的另一重要理论基础。综合除法正是通过一系列运算来高效地计算出这个余数 $r$ 以及商多项式 $Q(x)$。
2. 秦九韶算法 (Horner方法) 的应用
虽然多项式除法定理解释了“为什么”我们能得到商和余数，但综合除法是一种高效计算这些结果的算法，其核心数学依据是秦九韶算法（也称为Horner方法）对多项式求值的思想。
秦九韶算法的核心思想是将一个高次多项式写成嵌套形式，从而减少乘法运算的次数。
考虑一个 $n$ 次多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$。
我们可以将其写成如下嵌套形式：
$$P(x) = (dots((a_n x + a_{n1})x + a_{n2})x + dots + a_1)x + a_0$$
现在，让我们看看如何将这个嵌套形式与用 $(xa)$ 除法联系起来。
假设我们要计算 $P(a)$。根据秦九韶算法的嵌套形式，我们可以这样计算：
令 $b_n = a_n$
令 $b_{n1} = b_n cdot a + a_{n1}$
令 $b_{n2} = b_{n1} cdot a + a_{n2}$
...
令 $b_1 = b_2 cdot a + a_1$
令 $b_0 = b_1 cdot a + a_0$
最后得到的 $b_0$ 就是 $P(a)$。
综合除法的过程，实际上就是运用秦九韶算法的思路来“反向推导”商多项式和余数。
我们知道 $P(x) = (xa) cdot Q(x) + r$。
其中 $Q(x)$ 是一个 $n1$ 次的多项式，可以写成 $Q(x) = b_{n1} x^{n1} + b_{n2} x^{n2} + dots + b_1 x + b_0$。
而 $r$ 是一个常数。
我们将 $Q(x)$ 的形式代入等式：
$P(x) = (xa) (b_{n1} x^{n1} + b_{n2} x^{n2} + dots + b_1 x + b_0) + r$
展开右边：
$P(x) = b_{n1} x^n + b_{n2} x^{n1} + dots + b_1 x^2 + b_0 x$
$quad a b_{n1} x^{n1} a b_{n2} x^{n2} dots a b_1 x a b_0 + r$
合并同类项：
$P(x) = b_{n1} x^n + (b_{n2} a b_{n1}) x^{n1} + (b_{n3} a b_{n2}) x^{n2} + dots + (b_0 a b_1) x + (r a b_0)$
现在，我们将这个结果与原始的多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$ 进行比较，根据多项式恒等定理（即两个多项式相等，则对应项的系数必然相等），我们可以得到以下一系列递推关系：
$x^n$ 项的系数: $a_n = b_{n1}$
$x^{n1}$ 项的系数: $a_{n1} = b_{n2} a b_{n1}$ => $b_{n2} = a_{n1} + a b_{n1}$
$x^{n2}$ 项的系数: $a_{n2} = b_{n3} a b_{n2}$ => $b_{n3} = a_{n2} + a b_{n2}$
...
$x^1$ 项的系数: $a_1 = b_0 a b_1$ => $b_0 = a_1 + a b_1$
常数项: $a_0 = r a b_0$ => $r = a_0 + a b_0$
观察这些递推关系，它们与我们之前描述的秦九韶算法的计算过程惊人地一致！
我们可以重新定义符号，让综合除法的系数从最高次项开始进行计算，并与除式 $(xa)$ 中的 $a$ 相乘累加：
令 $c_n = a_n$ (商的最高次项系数，对应秦九韶算法的 $b_n$)
令 $c_{n1} = c_n cdot a + a_{n1}$ (商的次高次项系数，对应秦九韶算法的 $b_{n1}$)
令 $c_{n2} = c_{n1} cdot a + a_{n2}$ (对应秦九韶算法的 $b_{n2}$)
...
令 $c_0 = c_1 cdot a + a_0$ (商的常数项系数，对应秦九韶算法的 $b_0$)
最后一步，余数 $r = c_0 cdot a + a_0$（这里的 $a_0$ 是原始多项式的常数项，但为了统一形式，我们通常写成 $r = c_0 cdot a + a_0$ 是错误的，正确的余数是 $r = a_0 + c_0 cdot a$。如果我们从 $c_1$ 开始，那么最后一个 $c_0$ 实际上是商的常数项，而原始多项式的常数项 $a_0$ 参与了计算得到了最后的余数）。
让我们更清晰地写出综合除法的表格过程，并对照秦九韶算法：
设 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$，除以 $(xa)$。
| | $a_n$ | $a_{n1}$ | $a_{n2}$ | $dots$ | $a_1$ | $a_0$ |
| : | : | : | : | : | : | : |
| $a$ | | $a cdot c_n$ | $a cdot c_{n1}$ | $dots$ | $a cdot c_2$ | $a cdot c_1$ |
| 结果 | $c_n$ | $c_{n1}$ | $c_{n2}$ | $dots$ | $c_0$ | $r$ |
其中计算过程是：
$c_n = a_n$
$c_{n1} = a_{n1} + a cdot c_n$
$c_{n2} = a_{n2} + a cdot c_{n1}$
...
$c_0 = a_1 + a cdot c_1$
$r = a_0 + a cdot c_0$
这个计算过程就是综合除法的操作过程。
第一行是除式 $(xa)$ 中常数项 $a$ 的相反数。
第二行是原始多项式 $P(x)$ 的系数，从最高次项到常数项。
第三行是从第二行移下来的第一个系数 ($a_n$)，这就是商多项式最高次项的系数 ($c_n$)。
之后，我们将上一步计算得到的系数乘以 $a$，然后加上下一列的原始系数，得到新的系数，这就是商多项式的下一个系数，同时也是余数计算的中间值。
最后一步，将最后一个中间值乘以 $a$ 再加上原始多项式的常数项，得到的就是余数 $r$。
总结一下数学依据：
1. 多项式除法定理（及余数定理）： 保证了当用 $(xa)$ 除多项式 $P(x)$ 时，存在唯一的商 $Q(x)$ 和余数 $r$，且 $r = P(a)$。综合除法正是为了高效地计算 $Q(x)$ 和 $r$。
2. 秦九韶算法（Horner方法）： 提供了一种将多项式进行嵌套求值的思想，通过一系列乘法和加法来计算多项式的值。综合除法的计算过程正是将秦九韶算法的“计算多项式值”转化为“反向推导商和余数”的过程。通过将 $P(x) = (xa)Q(x) + r$ 的形式与系数进行匹配，推导出了综合除法的递推计算公式。
通过综合除法，我们避免了直接进行长除法中复杂的代数运算，而是通过简单的乘法和加法来高效地获得商多项式的系数和余数。它的精妙之处在于将多项式除法与多项式求值联系起来，利用了算法的结构性优势。
1. 多项式除法定理 (Polynomial Remainder Theorem)
多项式除法定理是综合除法的根本依据。它阐述了对任意两个多项式 $P(x)$（被除式）和 $D(x)$（除式，且 $D(x)$ 不是零多项式）存在唯一的商多项式 $Q(x)$ 和余多项式 $R(x)$，使得：
$$P(x) = D(x) cdot Q(x) + R(x)$$
并且，余多项式 $R(x)$ 的次数小于除多项式 $D(x)$ 的次数。
综合除法针对的是除式是形如 $(xa)$ 的一次多项式的情况。 在这种特殊情况下，多项式除法定理可以进一步简化。当除式为 $(xa)$ 时，余多项式 $R(x)$ 的次数必须小于1，这意味着 $R(x)$ 是一个常数，我们称之为 $r$。
因此，对于除式为 $(xa)$ 的情况，多项式除法定理可以写成：
$$P(x) = (xa) cdot Q(x) + r$$
这里有一个非常重要的推论： 将 $x=a$ 代入上式，我们可以得到：
$$P(a) = (aa) cdot Q(a) + r$$
$$P(a) = 0 cdot Q(a) + r$$
$$P(a) = r$$
这意味着，当用 $(xa)$ 去除多项式 $P(x)$ 时，余数 $r$ 等于 $P(a)$。 这个性质就是余数定理，它是综合除法的另一重要理论基础。综合除法正是通过一系列运算来高效地计算出这个余数 $r$ 以及商多项式 $Q(x)$。
2. 秦九韶算法 (Horner方法) 的应用
虽然多项式除法定理解释了“为什么”我们能得到商和余数，但综合除法是一种高效计算这些结果的算法，其核心数学依据是秦九韶算法（也称为Horner方法）对多项式求值的思想。
秦九韶算法的核心思想是将一个高次多项式写成嵌套形式，从而减少乘法运算的次数。
考虑一个 $n$ 次多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$。
我们可以将其写成如下嵌套形式：
$$P(x) = (dots((a_n x + a_{n1})x + a_{n2})x + dots + a_1)x + a_0$$
现在，让我们看看如何将这个嵌套形式与用 $(xa)$ 除法联系起来。
假设我们要计算 $P(a)$。根据秦九韶算法的嵌套形式，我们可以这样计算：
令 $b_n = a_n$
令 $b_{n1} = b_n cdot a + a_{n1}$
令 $b_{n2} = b_{n1} cdot a + a_{n2}$
...
令 $b_1 = b_2 cdot a + a_1$
令 $b_0 = b_1 cdot a + a_0$
最后得到的 $b_0$ 就是 $P(a)$。
综合除法的过程，实际上就是运用秦九韶算法的思路来“反向推导”商多项式和余数。
我们知道 $P(x) = (xa) cdot Q(x) + r$。
其中 $Q(x)$ 是一个 $n1$ 次的多项式，可以写成 $Q(x) = b_{n1} x^{n1} + b_{n2} x^{n2} + dots + b_1 x + b_0$。
而 $r$ 是一个常数。
我们将 $Q(x)$ 的形式代入等式：
$P(x) = (xa) (b_{n1} x^{n1} + b_{n2} x^{n2} + dots + b_1 x + b_0) + r$
展开右边：
$P(x) = b_{n1} x^n + b_{n2} x^{n1} + dots + b_1 x^2 + b_0 x$
$quad a b_{n1} x^{n1} a b_{n2} x^{n2} dots a b_1 x a b_0 + r$
合并同类项：
$P(x) = b_{n1} x^n + (b_{n2} a b_{n1}) x^{n1} + (b_{n3} a b_{n2}) x^{n2} + dots + (b_0 a b_1) x + (r a b_0)$
现在，我们将这个结果与原始的多项式 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$ 进行比较，根据多项式恒等定理（即两个多项式相等，则对应项的系数必然相等），我们可以得到以下一系列递推关系：
$x^n$ 项的系数: $a_n = b_{n1}$
$x^{n1}$ 项的系数: $a_{n1} = b_{n2} a b_{n1}$ => $b_{n2} = a_{n1} + a b_{n1}$
$x^{n2}$ 项的系数: $a_{n2} = b_{n3} a b_{n2}$ => $b_{n3} = a_{n2} + a b_{n2}$
...
$x^1$ 项的系数: $a_1 = b_0 a b_1$ => $b_0 = a_1 + a b_1$
常数项: $a_0 = r a b_0$ => $r = a_0 + a b_0$
观察这些递推关系，它们与我们之前描述的秦九韶算法的计算过程惊人地一致！
我们可以重新定义符号，让综合除法的系数从最高次项开始进行计算，并与除式 $(xa)$ 中的 $a$ 相乘累加：
令 $c_n = a_n$ (商的最高次项系数，对应秦九韶算法的 $b_n$)
令 $c_{n1} = c_n cdot a + a_{n1}$ (商的次高次项系数，对应秦九韶算法的 $b_{n1}$)
令 $c_{n2} = c_{n1} cdot a + a_{n2}$ (对应秦九韶算法的 $b_{n2}$)
...
令 $c_0 = c_1 cdot a + a_0$ (商的常数项系数，对应秦九韶算法的 $b_0$)
最后一步，余数 $r = c_0 cdot a + a_0$（这里的 $a_0$ 是原始多项式的常数项，但为了统一形式，我们通常写成 $r = c_0 cdot a + a_0$ 是错误的，正确的余数是 $r = a_0 + c_0 cdot a$。如果我们从 $c_1$ 开始，那么最后一个 $c_0$ 实际上是商的常数项，而原始多项式的常数项 $a_0$ 参与了计算得到了最后的余数）。
让我们更清晰地写出综合除法的表格过程，并对照秦九韶算法：
设 $P(x) = a_n x^n + a_{n1} x^{n1} + dots + a_1 x + a_0$，除以 $(xa)$。
| | $a_n$ | $a_{n1}$ | $a_{n2}$ | $dots$ | $a_1$ | $a_0$ |
| : | : | : | : | : | : | : |
| $a$ | | $a cdot c_n$ | $a cdot c_{n1}$ | $dots$ | $a cdot c_2$ | $a cdot c_1$ |
| 结果 | $c_n$ | $c_{n1}$ | $c_{n2}$ | $dots$ | $c_0$ | $r$ |
其中计算过程是：
$c_n = a_n$
$c_{n1} = a_{n1} + a cdot c_n$
$c_{n2} = a_{n2} + a cdot c_{n1}$
...
$c_0 = a_1 + a cdot c_1$
$r = a_0 + a cdot c_0$
这个计算过程就是综合除法的操作过程。
第一行是除式 $(xa)$ 中常数项 $a$ 的相反数。
第二行是原始多项式 $P(x)$ 的系数，从最高次项到常数项。
第三行是从第二行移下来的第一个系数 ($a_n$)，这就是商多项式最高次项的系数 ($c_n$)。
之后，我们将上一步计算得到的系数乘以 $a$，然后加上下一列的原始系数，得到新的系数，这就是商多项式的下一个系数，同时也是余数计算的中间值。
最后一步，将最后一个中间值乘以 $a$ 再加上原始多项式的常数项，得到的就是余数 $r$。
总结一下数学依据：
1. 多项式除法定理（及余数定理）： 保证了当用 $(xa)$ 除多项式 $P(x)$ 时，存在唯一的商 $Q(x)$ 和余数 $r$，且 $r = P(a)$。综合除法正是为了高效地计算 $Q(x)$ 和 $r$。
2. 秦九韶算法（Horner方法）： 提供了一种将多项式进行嵌套求值的思想，通过一系列乘法和加法来计算多项式的值。综合除法的计算过程正是将秦九韶算法的“计算多项式值”转化为“反向推导商和余数”的过程。通过将 $P(x) = (xa)Q(x) + r$ 的形式与系数进行匹配，推导出了综合除法的递推计算公式。
通过综合除法，我们避免了直接进行长除法中复杂的代数运算，而是通过简单的乘法和加法来高效地获得商多项式的系数和余数。它的精妙之处在于将多项式除法与多项式求值联系起来，利用了算法的结构性优势。
网友意见
谢邀。
先介绍一下余数定理。
余数定理：数环ℛ，设 f(x)∈ℛ[x]，用 x - c 除f(x)所得余式等于 f(c)，即
f(c) ≡ f(x) (mod (x - c))
证：设
f(x) = (x - c)q(x) + r，q(x)∈ℛ[x] （1）
f(c) = (c - c)q(x) + r = r
Q. E. D
（这个证明我都快忍不住写“显然”了）
现在我们说明综合除的合理性：
沿用上式的符号，设
将上式代入（1）式中，比较同次项系数有：
也就是
即如下图
Q.E.D
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