所有集合的势都可比较大小吗？为什么？
这是一个关于集合论中一个核心概念的问题：所有集合的势是否可比较大小？ 答案是：是的，所有集合的势都可比较大小。
要详细解释这一点，我们需要深入了解以下几个关键概念：
1. 集合 (Set)： 集合是数学中最基本也是最重要的概念之一。它是一堆对象的汇集，这些对象被称为集合的元素 (element)。集合中的元素没有顺序，也没有重复。例如，{1, 2, 3} 和 {3, 1, 2} 是同一个集合。
2. 势 (Cardinality)： 集合的势是指集合中元素的“数量”。对于有限集合，势就是我们通常意义上的元素个数。例如，集合 A = {苹果, 香蕉, 橙子} 的势是 3。
对于无限集合，势的概念更加复杂，它不是一个简单的计数，而是用来描述无限集“大小”的一种度量。例如，自然数集合 N = {0, 1, 2, 3, ...} 的势是无限的，我们记作 $aleph_0$ (读作 alephnull 或 alephzero)。
3. 比较集合大小（势）的标准： 如何比较两个集合（尤其是无限集合）的大小呢？最直观的、也是最核心的标准是 一一对应 (onetoone correspondence) 或称为 双射 (bijection)。
双射： 如果存在一个函数 f 从集合 A 到集合 B，并且这个函数是单射 (injective)（不同的元素映射到不同的元素，即如果 f(a1) = f(a2)，则 a1 = a2）并且是满射 (surjective)（B 中的每一个元素都至少被 A 中的一个元素映射到，即对于 B 中的任意元素 b，都存在 A 中的元素 a，使得 f(a) = b），那么我们就说 A 和 B 之间存在一个双射。
势的定义： 两个集合 A 和 B 的势相等（记作 $|A| = |B|$）当且仅当存在一个从 A 到 B 的双射。
“小于或等于”的定义： 集合 A 的势小于或等于集合 B 的势（记作 $|A| le |B|$）当且仅当存在一个从 A 到 B 的单射。换句话说，如果 A 的元素可以被“放入”B 的元素中，并且不产生重复的映射，那么 A 的势就小于或等于 B 的势。
4. 良序定理 (WellOrdering Theorem)： 这是证明所有集合势可比较大小的关键工具。良序定理是集合论的公理之一（尽管它与选择公理等价，有时会被视为选择公理的推论）。
良序 (Wellordering)： 一个集合 S 上的一个顺序关系 ≤ 被称为良序，如果满足以下三个条件：
1. 自反性 (Reflexivity)： 对于 S 中的任意元素 a，a ≤ a。
2. 反对称性 (Antisymmetry)： 对于 S 中的任意元素 a 和 b，如果 a ≤ b 且 b ≤ a，则 a = b。
3. 传递性 (Transitivity)： 对于 S 中的任意元素 a, b, c，如果 a ≤ b 且 b ≤ c，则 a ≤ c。
4. 良序性 (Wellfoundedness)： S 的任何非空子集都有一个在关系 ≤ 下最小的元素。
良序定理的内容： 良序定理陈述的是：每一个集合都存在一个良序。 也就是说，对于宇宙中的任何一个集合 S，我们都可以为它定义一个顺序关系 ≤，使得 S 在这个顺序下成为一个良序集。
5. 康托尔定理 (Cantor's Theorem) 和康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CantorBernsteinSchroeder Theorem, CBS Theorem)：
康托尔定理： 对于任何集合 A，其幂集 P(A)（即所有 A 的子集的集合）的势严格大于 A 的势，即 $|A| < |P(A)|$。这表明存在不同大小的无限集合（例如，实数的势大于自然数的势）。
康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CBS Theorem)： 这是最直接回答我们问题的定理。它陈述的是：如果存在一个从 A 到 B 的单射，并且存在一个从 B 到 A 的单射，那么存在一个从 A 到 B 的双射（即 $|A| = |B|$）。 换句话说，如果 $|A| le |B|$ 且 $|B| le |A|$，那么 $|A| = |B|$。
现在，我们来把这些概念串联起来，回答为什么所有集合的势都可比较大小：
1. 选择公理 (Axiom of Choice) 和良序定理： 假设我们接受集合论的ZFC公理系统（包含选择公理）。正如前面提到的，良序定理是ZFC系统中的一个定理（与选择公理等价）。这意味着，对于宇宙中的任何集合 S，我们都可以为它定义一个良序 ≤。
2. 利用良序来定义势的比较： 现在，考虑任意两个集合 A 和 B。根据良序定理，我们可以为 A 定义一个良序 $le_A$，为 B 定义一个良序 $le_B$。
情况一：A 或 B 是有限集合。 如果 A 是有限集合，其势就是元素的个数。我们可以直接比较它们的个数。
情况二：A 和 B 都是无限集合。 这是关键。由于我们可以为 A 和 B 分别定义良序，这使得我们可以在抽象层面上“排列”它们的元素。
3. 证明 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$： 集合论中有一个重要的结果（它也依赖于选择公理或良序定理），即任何两个集合 A 和 B，必然满足 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 中的一个成立。 这个结果的证明比较复杂，但其核心思想是，通过良序，我们可以“尝试”从 A 映射到 B，或者从 B 映射到 A，并利用良序的性质来保证能够找到单射。
简化的直观理解：想象你有一个可以无限往后数的“计数器”，并且你可以用它来标记集合的元素。如果一个集合的元素可以被这个计数器标记到，它就是可数的（像自然数一样）。对于任意集合，良序定理保证了我们可以“制造”一个这样的计数器来标记它。通过比较这些“计数器”能到达的“程度”，我们就能比较它们的势。
更严谨地说，设我们已经对 A 和 B 分别进行了良序化，得到了有序对 $(A, le_A)$ 和 $(B, le_B)$。然后我们可以证明，必然存在一个从 $(A, le_A)$ 到 $(B, le_B)$ 的序同构（order isomorphism），或者从 $(B, le_B)$ 到 $(A, le_A)$ 的序同构。序同构是一种特殊的双射，它保持了顺序关系。如果存在一个序同构从 A 到 B，那么它们之间就存在一个双射，所以 $|A| = |B|$。更重要的是，即使没有序同构，我们也可以证明必然存在一个从 A 到 B 的单射（或者反之）。
4. 应用康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CBS Theorem)：
一旦我们证明了对于任意集合 A 和 B，必然有 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$，
再结合 CBS 定理（如果 $|A| le |B|$ 且 $|B| le |A|$，则 $|A| = |B|$）。
我们可以这样推理：
对于任意集合 A 和 B，我们知道 $|A| le |B|$ 或者 $|B| le |A|$。
假设 $|A| le |B|$ 成立。 这意味着存在一个从 A 到 B 的单射 $f: A o B$。
然后，我们也可以证明，必然存在一个从 B 到 A 的单射 $g: B o A$。 这一步也是依赖于良序定理或选择公理的。
有了这两个单射后，根据 CBS 定理，我们就可以得出结论：$|A| = |B|$。
等等，这里可能有个误解。 我上面提到“必然存在一个从 B 到 A 的单射”是为了应用CBS定理，但如果我们的目标只是证明可比较性，那只需要证明 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 之一成立即可。
所以，核心在于证明：对于任意集合 A 和 B，必然存在一个从 A 到 B 的单射，或者存在一个从 B 到 A 的单射。
证明过程（简述，依赖于良序定理）：
1. 令 A 和 B 是任意集合。
2. 根据良序定理，存在良序 $le_A$ 作用于 A，以及良序 $le_B$ 作用于 B。
3. 考虑从 $(A, le_A)$ 到 $(B, le_B)$ 的所有序保持单射（严格递增函数）。
4. 通过巧妙的构造（利用良序的“下一元素”概念和良序定理的传递性），可以证明以下两种情况之一必然发生：
存在一个从 A 到 B 的序保持单射。这直接意味着 $|A| le |B|$。
存在一个从 B 到 A 的序保持单射。这直接意味着 $|B| le |A|$。
换句话说，通过为任何集合赋予良序，我们就可以在抽象的层面上对它们进行“排序”和“计数”，从而能够比较它们的“大小”（势）。
总结：
是的，所有集合的势都可比较大小。这是集合论中的一个基本结果，被称为序数的可比性定理 (Theorem on Comparability of Cardinal Numbers)。这个定理的证明依赖于选择公理 (Axiom of Choice) 或等价的良序定理 (WellOrdering Theorem)。
势的定义： 我们使用双射来定义集合势的相等性，使用单射来定义势的大小关系（$|A| le |B|$ 当且仅当存在从 A 到 B 的单射）。
良序定理的作用： 良序定理保证了任何集合都可以被良序化。
可比性的证明： 通过为任意两个集合 A 和 B 分别赋予良序，可以证明必然存在一个从 A 到 B 的单射，或者存在一个从 B 到 A 的单射。这意味着 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 至少有一个成立。
康托尔伯恩斯坦施泰因定理： CBS 定理进一步保证了，如果存在从 A 到 B 的单射，并且存在从 B 到 A 的单射，那么 $|A| = |B|$。
因此，对于宇宙中的任何两个集合 A 和 B，它们的势 $|A|$ 和 $|B|$ 必定满足 $|A| < |B|$、$|A| = |B|$ 或 $|A| > |B|$ 中的一种关系。它们总是可比较的。
需要注意的一点：
这个结论（所有集合的势都可比较）是建立在接受ZFC公理系统，尤其是选择公理（或等价的良序定理）的基础上的。在不接受选择公理的集合论系统中，这个结论可能不成立（尽管大部分数学家在进行集合论研究时都会接受ZFC）。
要详细解释这一点，我们需要深入了解以下几个关键概念：
1. 集合 (Set)： 集合是数学中最基本也是最重要的概念之一。它是一堆对象的汇集，这些对象被称为集合的元素 (element)。集合中的元素没有顺序，也没有重复。例如，{1, 2, 3} 和 {3, 1, 2} 是同一个集合。
2. 势 (Cardinality)： 集合的势是指集合中元素的“数量”。对于有限集合，势就是我们通常意义上的元素个数。例如，集合 A = {苹果, 香蕉, 橙子} 的势是 3。
对于无限集合，势的概念更加复杂，它不是一个简单的计数，而是用来描述无限集“大小”的一种度量。例如，自然数集合 N = {0, 1, 2, 3, ...} 的势是无限的，我们记作 $aleph_0$ (读作 alephnull 或 alephzero)。
3. 比较集合大小（势）的标准： 如何比较两个集合（尤其是无限集合）的大小呢？最直观的、也是最核心的标准是 一一对应 (onetoone correspondence) 或称为 双射 (bijection)。
双射： 如果存在一个函数 f 从集合 A 到集合 B，并且这个函数是单射 (injective)（不同的元素映射到不同的元素，即如果 f(a1) = f(a2)，则 a1 = a2）并且是满射 (surjective)（B 中的每一个元素都至少被 A 中的一个元素映射到，即对于 B 中的任意元素 b，都存在 A 中的元素 a，使得 f(a) = b），那么我们就说 A 和 B 之间存在一个双射。
势的定义： 两个集合 A 和 B 的势相等（记作 $|A| = |B|$）当且仅当存在一个从 A 到 B 的双射。
“小于或等于”的定义： 集合 A 的势小于或等于集合 B 的势（记作 $|A| le |B|$）当且仅当存在一个从 A 到 B 的单射。换句话说，如果 A 的元素可以被“放入”B 的元素中，并且不产生重复的映射，那么 A 的势就小于或等于 B 的势。
4. 良序定理 (WellOrdering Theorem)： 这是证明所有集合势可比较大小的关键工具。良序定理是集合论的公理之一（尽管它与选择公理等价，有时会被视为选择公理的推论）。
良序 (Wellordering)： 一个集合 S 上的一个顺序关系 ≤ 被称为良序，如果满足以下三个条件：
1. 自反性 (Reflexivity)： 对于 S 中的任意元素 a，a ≤ a。
2. 反对称性 (Antisymmetry)： 对于 S 中的任意元素 a 和 b，如果 a ≤ b 且 b ≤ a，则 a = b。
3. 传递性 (Transitivity)： 对于 S 中的任意元素 a, b, c，如果 a ≤ b 且 b ≤ c，则 a ≤ c。
4. 良序性 (Wellfoundedness)： S 的任何非空子集都有一个在关系 ≤ 下最小的元素。
良序定理的内容： 良序定理陈述的是：每一个集合都存在一个良序。 也就是说，对于宇宙中的任何一个集合 S，我们都可以为它定义一个顺序关系 ≤，使得 S 在这个顺序下成为一个良序集。
5. 康托尔定理 (Cantor's Theorem) 和康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CantorBernsteinSchroeder Theorem, CBS Theorem)：
康托尔定理： 对于任何集合 A，其幂集 P(A)（即所有 A 的子集的集合）的势严格大于 A 的势，即 $|A| < |P(A)|$。这表明存在不同大小的无限集合（例如，实数的势大于自然数的势）。
康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CBS Theorem)： 这是最直接回答我们问题的定理。它陈述的是：如果存在一个从 A 到 B 的单射，并且存在一个从 B 到 A 的单射，那么存在一个从 A 到 B 的双射（即 $|A| = |B|$）。 换句话说，如果 $|A| le |B|$ 且 $|B| le |A|$，那么 $|A| = |B|$。
现在，我们来把这些概念串联起来，回答为什么所有集合的势都可比较大小：
1. 选择公理 (Axiom of Choice) 和良序定理： 假设我们接受集合论的ZFC公理系统（包含选择公理）。正如前面提到的，良序定理是ZFC系统中的一个定理（与选择公理等价）。这意味着，对于宇宙中的任何集合 S，我们都可以为它定义一个良序 ≤。
2. 利用良序来定义势的比较： 现在，考虑任意两个集合 A 和 B。根据良序定理，我们可以为 A 定义一个良序 $le_A$，为 B 定义一个良序 $le_B$。
情况一：A 或 B 是有限集合。 如果 A 是有限集合，其势就是元素的个数。我们可以直接比较它们的个数。
情况二：A 和 B 都是无限集合。 这是关键。由于我们可以为 A 和 B 分别定义良序，这使得我们可以在抽象层面上“排列”它们的元素。
3. 证明 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$： 集合论中有一个重要的结果（它也依赖于选择公理或良序定理），即任何两个集合 A 和 B，必然满足 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 中的一个成立。 这个结果的证明比较复杂，但其核心思想是，通过良序，我们可以“尝试”从 A 映射到 B，或者从 B 映射到 A，并利用良序的性质来保证能够找到单射。
简化的直观理解：想象你有一个可以无限往后数的“计数器”，并且你可以用它来标记集合的元素。如果一个集合的元素可以被这个计数器标记到，它就是可数的（像自然数一样）。对于任意集合，良序定理保证了我们可以“制造”一个这样的计数器来标记它。通过比较这些“计数器”能到达的“程度”，我们就能比较它们的势。
更严谨地说，设我们已经对 A 和 B 分别进行了良序化，得到了有序对 $(A, le_A)$ 和 $(B, le_B)$。然后我们可以证明，必然存在一个从 $(A, le_A)$ 到 $(B, le_B)$ 的序同构（order isomorphism），或者从 $(B, le_B)$ 到 $(A, le_A)$ 的序同构。序同构是一种特殊的双射，它保持了顺序关系。如果存在一个序同构从 A 到 B，那么它们之间就存在一个双射，所以 $|A| = |B|$。更重要的是，即使没有序同构，我们也可以证明必然存在一个从 A 到 B 的单射（或者反之）。
4. 应用康托尔伯恩斯坦施泰因定理 (CBS Theorem)：
一旦我们证明了对于任意集合 A 和 B，必然有 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$，
再结合 CBS 定理（如果 $|A| le |B|$ 且 $|B| le |A|$，则 $|A| = |B|$）。
我们可以这样推理：
对于任意集合 A 和 B，我们知道 $|A| le |B|$ 或者 $|B| le |A|$。
假设 $|A| le |B|$ 成立。 这意味着存在一个从 A 到 B 的单射 $f: A o B$。
然后，我们也可以证明，必然存在一个从 B 到 A 的单射 $g: B o A$。 这一步也是依赖于良序定理或选择公理的。
有了这两个单射后，根据 CBS 定理，我们就可以得出结论：$|A| = |B|$。
等等，这里可能有个误解。 我上面提到“必然存在一个从 B 到 A 的单射”是为了应用CBS定理，但如果我们的目标只是证明可比较性，那只需要证明 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 之一成立即可。
所以，核心在于证明：对于任意集合 A 和 B，必然存在一个从 A 到 B 的单射，或者存在一个从 B 到 A 的单射。
证明过程（简述，依赖于良序定理）：
1. 令 A 和 B 是任意集合。
2. 根据良序定理，存在良序 $le_A$ 作用于 A，以及良序 $le_B$ 作用于 B。
3. 考虑从 $(A, le_A)$ 到 $(B, le_B)$ 的所有序保持单射（严格递增函数）。
4. 通过巧妙的构造（利用良序的“下一元素”概念和良序定理的传递性），可以证明以下两种情况之一必然发生：
存在一个从 A 到 B 的序保持单射。这直接意味着 $|A| le |B|$。
存在一个从 B 到 A 的序保持单射。这直接意味着 $|B| le |A|$。
换句话说，通过为任何集合赋予良序，我们就可以在抽象的层面上对它们进行“排序”和“计数”，从而能够比较它们的“大小”（势）。
总结：
是的，所有集合的势都可比较大小。这是集合论中的一个基本结果，被称为序数的可比性定理 (Theorem on Comparability of Cardinal Numbers)。这个定理的证明依赖于选择公理 (Axiom of Choice) 或等价的良序定理 (WellOrdering Theorem)。
势的定义： 我们使用双射来定义集合势的相等性，使用单射来定义势的大小关系（$|A| le |B|$ 当且仅当存在从 A 到 B 的单射）。
良序定理的作用： 良序定理保证了任何集合都可以被良序化。
可比性的证明： 通过为任意两个集合 A 和 B 分别赋予良序，可以证明必然存在一个从 A 到 B 的单射，或者存在一个从 B 到 A 的单射。这意味着 $|A| le |B|$ 或 $|B| le |A|$ 至少有一个成立。
康托尔伯恩斯坦施泰因定理： CBS 定理进一步保证了，如果存在从 A 到 B 的单射，并且存在从 B 到 A 的单射，那么 $|A| = |B|$。
因此，对于宇宙中的任何两个集合 A 和 B，它们的势 $|A|$ 和 $|B|$ 必定满足 $|A| < |B|$、$|A| = |B|$ 或 $|A| > |B|$ 中的一种关系。它们总是可比较的。
需要注意的一点：
这个结论（所有集合的势都可比较）是建立在接受ZFC公理系统，尤其是选择公理（或等价的良序定理）的基础上的。在不接受选择公理的集合论系统中，这个结论可能不成立（尽管大部分数学家在进行集合论研究时都会接受ZFC）。
网友意见
设待比较的两非空集合为 与 ，空集无需讨论.
以 的子集 为 的某子集 的指标集，若存在，则记为：
显然有单射
则由这样的集合构成的集族记为 ，于是对任意上升的链 都有上界 ，相对应地有 有上界 ，则由 Zorn 引理，分别存在极大元 和 ：
- 当 ，则存在满射 ， ， 为常值映射；
- 当 ，则必有 ，故存在单射 . 否则，若 ，但 ，则分别选取 ， ，且令 ，于是存在比极大元 和 的更大的集合 与 满足： ，这与极大元的定义矛盾.
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