为什么不能简单将集合E的【上确界】定义成由E的所有上界组成之集的最小元？
你这个问题问得非常到位，而且触及到了数学定义严谨性的核心。我们来好好聊聊为什么不能“简单地”把集合E的上确界定义为它所有上界组成的集合的最小元。这听起来似乎非常直观，但一旦我们深入思考其背后的逻辑和可能出现的问题，就会发现这个“简单”的定义其实存在一些关键的缺陷，会导致它在某些情况下失效，或者说不够普适和精确。
首先，我们先复习一下几个关键概念：
上界 (Upper Bound): 对于一个集合 E，如果存在一个数 M，使得 E 中的每一个元素 x 都满足 $x le M$，那么 M 就是 E 的一个上界。
上确界 (Supremum, sup E): 如果一个集合 E 有上界，那么它的所有上界组成一个集合。上确界是这个“所有上界组成的集合”中的最小的那个数。
那么，问题出在哪里呢？主要有以下几个方面：
1. “所有上界组成的集合”不一定存在
这是最根本的问题。数学定义必须保证其对象的存在性。我们定义上确界为“由E的所有上界组成之集的最小元”，这个定义的前提是：
集合 E 必须有上界。 如果集合 E 没有上界（比如实数集 $mathbb{R}$），那么“所有上界组成的集合”就是一个空集。空集是没有最小元的。
“所有上界组成的集合”本身是“有良好性质”的集合。 在实数系中，我们知道任何非空的有上界的实数集合，其上界集合也是非空且有下界的（因为 E 的任何一个元素都是 E 的上界集合的下界），并且这个上界集合的下确界（也就是 E 的上确界）是存在的。
举个例子，考虑一个在整数集 $mathbb{Z}$ 上的集合：
$E = {x in mathbb{Z} mid x < 5}$
这个集合是 ${ dots, 2, 3, 4 }$。
E 的上界集合是 ${5, 6, 7, 8, dots }$。
这个集合在整数集 $mathbb{Z}$ 中的最小元是 5。
但如果我们考虑另一个集合，还是在整数集 $mathbb{Z}$ 上：
$F = {x in mathbb{Z} mid x le 4}$
这个集合是 ${ dots, 2, 3, 4 }$。
F 的上界集合也是 ${5, 6, 7, 8, dots }$。
同样，这个集合在整数集 $mathbb{Z}$ 中的最小元是 5。
现在来看问题：上确界（supremum）这个概念，它的核心作用是“抓住”那个“最紧”的上界。对于上面两个集合 E 和 F，它们的上确界都是 5。
但是，如果我们尝试用“上界集合的最小元”来定义它，就会发现一个微妙的问题：
对于集合 E，它的上界集合是 ${5, 6, 7, dots}$，这个集合在 $mathbb{Z}$ 中有最小元 5。
对于集合 F，它的上界集合是 ${5, 6, 7, dots}$，这个集合在 $mathbb{Z}$ 中也有最小元 5。
看起来没问题，对吧？然而，我们通常定义上确界是为了在一个更普遍的序结构中找到那个“最紧”的上界。实数系之所以强大，就是因为它满足“戴德金完备性”（Dedekind Completeness）或“上确界原理”（Supremum Property）。这个原理说明：任何非空的有上界的实数子集，其上确界在实数集 $mathbb{R}$ 中是存在的。
如果我们将定义局限于“上界组成的集合的最小元”，我们就依赖于那个“上界集合”本身在某个特定集合（比如整数集）中具有最小元。但并非所有的有上界的集合，其上界集合都在其所在的那个母集合中拥有最小元。
2. 失去“紧密性”的本质捕捉
“上确界”的真正价值在于它不仅是一个上界，而且是“最紧”的那个上界。这意味着：
它比任何其他的上界都要小（或者等于）。
或者换个角度，任何比它小的数，都不是这个集合的上界。
让我们来看一下标准定义：
集合 E 的上确界 $sup E = s$ 当且仅当满足以下两个条件：
1. $s$ 是 E 的一个上界（即 $forall x in E, x le s$）。
2. 对于任意的 $epsilon > 0$，存在 E 中的一个元素 $x_0$，使得 $x_0 > s epsilon$。
这个第二条定义，才是上确界最核心的“抓手”。它确保了 $s$ 是那个“最接近”集合 E 的上界。
现在回到你的提问：“为什么不能简单将集合E的上确界定义成由E的所有上界组成之集的最小元？”
如果 E 的上界集合是 $U = {M mid forall x in E, x le M}$。
如果 $U$ 非空且在某个集合（比如实数集 $mathbb{R}$）中有最小元 $m$。
那么，$m$ 是 $U$ 的最小元，意味着 $m in U$ 且 $forall M' in U, m le M'$。
由于 $m in U$，根据上界定义， $m$ 必须是 E 的一个上界。所以条件 1 满足了。
我们还需要证明条件 2：对于任意的 $epsilon > 0$，存在 E 中的一个元素 $x_0$，使得 $x_0 > m epsilon$。
这里就开始出现问题了。如果我们将 $m$ 定义为上界集合的最小元，我们知道 $m$ 本身是 E 的一个上界。那么，对于任意 $epsilon > 0$，我们怎么保证 $m epsilon$ 不是 E 的一个上界呢？
如果 $m epsilon$ 不是 E 的一个上界，那么根据上界的定义，一定存在 E 中的某个元素 $x_0$，使得 $x_0 > m epsilon$。这不就恰好满足了上确界定义中的第二条了吗？
所以，如果“上界组成的集合”在相应的数域中有最小元，那么这个最小元确实就是我们所说的上确界。
问题在于：并非所有我们想要定义上确界的环境下，“上界集合”都一定有最小元。
例如，考虑数学的根基——集合论中的序数（ordinal numbers）。序数有一个非常庞大的集合论结构。在某些序数集合中，你可能可以定义一个集合 E，它有上界，但是它所有上界的集合，在该序数集合的框架下，却不具备最小元。
举一个更贴近数学实际的例子（虽然有点抽象，但能说明问题）：
假设我们在一个非完备的序集合中工作。一个序集合如果不是完备的，就意味着存在某些非空的有上界的子集，而它在上确界原理的意义下，它的上确界并不在这个集合内部，或者说不存在一个“最紧”的界。
标准定义上确界，就是为了在数学分析中建立起实数系的完备性，确保我们讨论的“上确界”总是在实数域内找得到。这个定义不依赖于“上界集合”是否自身在某个特定集合（如整数集）里有最小元。它通过 $epsilon$ 的“逼近”来刻画了“最紧”的性质。
3. 普适性和一般性
数学定义力求普适。上确界的概念不仅在实数集中有用，在更抽象的数学结构中，比如格（lattices）、偏序集（partially ordered sets）中，也需要类似“上确界”的概念。
在这些更一般的结构中，“上界集合的最小元”这个概念可能就不那么好定义，或者说没有一个统一的、在任何情况下都适用的方式来确定。而“最紧的上界”这个性质，可以通过更一般的“可达性”或“逼近性”来定义，使其能够应用于更广泛的数学对象。
总结一下：
将上确界定义为“由E的所有上界组成之集的最小元”：
风险1： 依赖于“上界集合”本身在该特定集合域内存在最小元，而这一点并非总成立。如果上界集合是空集，或者它在所在的集合域中没有最小元，这个定义就失效了。
风险2： 无法完美捕捉“最紧”的精髓。标准定义中的 $epsilon$ 逼近，能够精确地描述那个“刚好比集合里的所有元素都大一点点”的界限。而“最小的上界”这个说法，虽然直观，但在形式化和普适性上不如 $epsilon$ 定义那样坚固。
因此，数学家们采用了 $epsilon$ 的定义方式，它更加严谨，保证了在实数系（以及其他满足类似完备性原理的数学结构）中，上确界的存在性和唯一性，并且能够普适地刻画出“最紧的上界”这个核心性质。它不是一个“简单地”从字面意思推导出来的定义，而是经过深思熟虑，为了数学大厦的稳固和拓展而建立的基石。
首先，我们先复习一下几个关键概念：
上界 (Upper Bound): 对于一个集合 E，如果存在一个数 M，使得 E 中的每一个元素 x 都满足 $x le M$，那么 M 就是 E 的一个上界。
上确界 (Supremum, sup E): 如果一个集合 E 有上界，那么它的所有上界组成一个集合。上确界是这个“所有上界组成的集合”中的最小的那个数。
那么，问题出在哪里呢？主要有以下几个方面：
1. “所有上界组成的集合”不一定存在
这是最根本的问题。数学定义必须保证其对象的存在性。我们定义上确界为“由E的所有上界组成之集的最小元”，这个定义的前提是：
集合 E 必须有上界。 如果集合 E 没有上界（比如实数集 $mathbb{R}$），那么“所有上界组成的集合”就是一个空集。空集是没有最小元的。
“所有上界组成的集合”本身是“有良好性质”的集合。 在实数系中，我们知道任何非空的有上界的实数集合，其上界集合也是非空且有下界的（因为 E 的任何一个元素都是 E 的上界集合的下界），并且这个上界集合的下确界（也就是 E 的上确界）是存在的。
举个例子，考虑一个在整数集 $mathbb{Z}$ 上的集合：
$E = {x in mathbb{Z} mid x < 5}$
这个集合是 ${ dots, 2, 3, 4 }$。
E 的上界集合是 ${5, 6, 7, 8, dots }$。
这个集合在整数集 $mathbb{Z}$ 中的最小元是 5。
但如果我们考虑另一个集合，还是在整数集 $mathbb{Z}$ 上：
$F = {x in mathbb{Z} mid x le 4}$
这个集合是 ${ dots, 2, 3, 4 }$。
F 的上界集合也是 ${5, 6, 7, 8, dots }$。
同样，这个集合在整数集 $mathbb{Z}$ 中的最小元是 5。
现在来看问题：上确界（supremum）这个概念，它的核心作用是“抓住”那个“最紧”的上界。对于上面两个集合 E 和 F，它们的上确界都是 5。
但是，如果我们尝试用“上界集合的最小元”来定义它，就会发现一个微妙的问题：
对于集合 E，它的上界集合是 ${5, 6, 7, dots}$，这个集合在 $mathbb{Z}$ 中有最小元 5。
对于集合 F，它的上界集合是 ${5, 6, 7, dots}$，这个集合在 $mathbb{Z}$ 中也有最小元 5。
看起来没问题，对吧？然而，我们通常定义上确界是为了在一个更普遍的序结构中找到那个“最紧”的上界。实数系之所以强大，就是因为它满足“戴德金完备性”（Dedekind Completeness）或“上确界原理”（Supremum Property）。这个原理说明：任何非空的有上界的实数子集，其上确界在实数集 $mathbb{R}$ 中是存在的。
如果我们将定义局限于“上界组成的集合的最小元”，我们就依赖于那个“上界集合”本身在某个特定集合（比如整数集）中具有最小元。但并非所有的有上界的集合，其上界集合都在其所在的那个母集合中拥有最小元。
2. 失去“紧密性”的本质捕捉
“上确界”的真正价值在于它不仅是一个上界，而且是“最紧”的那个上界。这意味着：
它比任何其他的上界都要小（或者等于）。
或者换个角度，任何比它小的数，都不是这个集合的上界。
让我们来看一下标准定义：
集合 E 的上确界 $sup E = s$ 当且仅当满足以下两个条件：
1. $s$ 是 E 的一个上界（即 $forall x in E, x le s$）。
2. 对于任意的 $epsilon > 0$，存在 E 中的一个元素 $x_0$，使得 $x_0 > s epsilon$。
这个第二条定义，才是上确界最核心的“抓手”。它确保了 $s$ 是那个“最接近”集合 E 的上界。
现在回到你的提问：“为什么不能简单将集合E的上确界定义成由E的所有上界组成之集的最小元？”
如果 E 的上界集合是 $U = {M mid forall x in E, x le M}$。
如果 $U$ 非空且在某个集合（比如实数集 $mathbb{R}$）中有最小元 $m$。
那么，$m$ 是 $U$ 的最小元，意味着 $m in U$ 且 $forall M' in U, m le M'$。
由于 $m in U$，根据上界定义， $m$ 必须是 E 的一个上界。所以条件 1 满足了。
我们还需要证明条件 2：对于任意的 $epsilon > 0$，存在 E 中的一个元素 $x_0$，使得 $x_0 > m epsilon$。
这里就开始出现问题了。如果我们将 $m$ 定义为上界集合的最小元，我们知道 $m$ 本身是 E 的一个上界。那么，对于任意 $epsilon > 0$，我们怎么保证 $m epsilon$ 不是 E 的一个上界呢？
如果 $m epsilon$ 不是 E 的一个上界，那么根据上界的定义，一定存在 E 中的某个元素 $x_0$，使得 $x_0 > m epsilon$。这不就恰好满足了上确界定义中的第二条了吗？
所以，如果“上界组成的集合”在相应的数域中有最小元，那么这个最小元确实就是我们所说的上确界。
问题在于：并非所有我们想要定义上确界的环境下，“上界集合”都一定有最小元。
例如，考虑数学的根基——集合论中的序数（ordinal numbers）。序数有一个非常庞大的集合论结构。在某些序数集合中，你可能可以定义一个集合 E，它有上界，但是它所有上界的集合，在该序数集合的框架下，却不具备最小元。
举一个更贴近数学实际的例子（虽然有点抽象，但能说明问题）：
假设我们在一个非完备的序集合中工作。一个序集合如果不是完备的，就意味着存在某些非空的有上界的子集，而它在上确界原理的意义下，它的上确界并不在这个集合内部，或者说不存在一个“最紧”的界。
标准定义上确界，就是为了在数学分析中建立起实数系的完备性，确保我们讨论的“上确界”总是在实数域内找得到。这个定义不依赖于“上界集合”是否自身在某个特定集合（如整数集）里有最小元。它通过 $epsilon$ 的“逼近”来刻画了“最紧”的性质。
3. 普适性和一般性
数学定义力求普适。上确界的概念不仅在实数集中有用，在更抽象的数学结构中，比如格（lattices）、偏序集（partially ordered sets）中，也需要类似“上确界”的概念。
在这些更一般的结构中，“上界集合的最小元”这个概念可能就不那么好定义，或者说没有一个统一的、在任何情况下都适用的方式来确定。而“最紧的上界”这个性质，可以通过更一般的“可达性”或“逼近性”来定义，使其能够应用于更广泛的数学对象。
总结一下：
将上确界定义为“由E的所有上界组成之集的最小元”：
风险1： 依赖于“上界集合”本身在该特定集合域内存在最小元，而这一点并非总成立。如果上界集合是空集，或者它在所在的集合域中没有最小元，这个定义就失效了。
风险2： 无法完美捕捉“最紧”的精髓。标准定义中的 $epsilon$ 逼近，能够精确地描述那个“刚好比集合里的所有元素都大一点点”的界限。而“最小的上界”这个说法，虽然直观，但在形式化和普适性上不如 $epsilon$ 定义那样坚固。
因此，数学家们采用了 $epsilon$ 的定义方式，它更加严谨，保证了在实数系（以及其他满足类似完备性原理的数学结构）中，上确界的存在性和唯一性，并且能够普适地刻画出“最紧的上界”这个核心性质。它不是一个“简单地”从字面意思推导出来的定义，而是经过深思熟虑，为了数学大厦的稳固和拓展而建立的基石。
网友意见
极限不也要套娃嘛，淑芬的理论就这么别扭，你不爽找魏尔斯特拉斯去。
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