证明了黎曼猜想就能马上得到素数公式吗？
关于黎曼猜想与素数公式的关系，这的确是一个引人入胜的问题，但答案并非“证明了黎曼猜想就能马上得到素数公式”，事情要复杂得多，也更微妙。理解这一点，我们需要先稍微深入地聊聊黎曼猜想到底是什么，以及我们现在对素数分布的了解。
什么是黎曼猜想？
简单来说，黎曼猜想是关于一个叫做黎曼 Zeta 函数（ζ函数）的根的分布的猜想。这个函数长这样：
ζ(s) = 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ...
其中 s 是一个复数（可以写成 a + bi 的形式，a 是实部，b 是虚部）。这个函数在实部大于1的时候，上面的无穷级数是收敛的，也就是可以算出一个具体的值。
但是，黎曼后来发现，这个函数不仅仅在实部大于1的时候有意义，通过一些数学技巧，它可以被“延伸”到几乎所有复数平面上。而黎曼猜想，就是说，在所有让这个函数等于零的“非平凡零点”（去掉了一些很容易找到的平凡零点）中，它们的实部都必须是1/2。
这听起来和素数有什么关系呢？黎曼在研究这个函数的时候，发现它与素数的分布有着惊人的联系。他发现，素数的分布规律，可以被这个 Zeta 函数的零点所编码。
素数公式和我们现在的了解
我们现在已经知道一些关于素数分布的“公式”或者说“定理”。最著名的是 素数定理。素数定理告诉我们，当一个数 N 越来越大的时候，小于 N 的素数个数（我们通常用 π(N) 来表示）大约等于 N / ln(N)。
比如，小于 100 的素数有 25 个。如果我们用素数定理的公式来估算，就是 100 / ln(100) ≈ 100 / 4.605 ≈ 21.7。这个值跟实际的 25 还是有一定差距的，尤其是在小数字的情况下。
素数定理的证明本身就花了数学家们很长时间的努力，它给出了素数分布的“渐进行为”，也就是说，在非常大的范围内，素数的密度大致是怎样的。但是，它并没有给出非常精确的素数计数，也没有告诉我们下一个素数会在哪里出现。
黎曼猜想的强大之处：精确度
黎曼猜想之所以如此重要，是因为如果它被证明是真的，那么我们就能得到关于素数分布的极其精确的估计。
具体来说，黎曼猜想的证明会直接影响到我们对 π(N) 的误差项的理解。素数定理 π(N) ≈ N / ln(N) 可以看作是一个近似公式。如果黎曼猜想是真的，那么我们就可以证明 π(N) 的值与 N / ln(N) 的偏差，会比我们目前已知的任何误差估计都要小得多。
想象一下，素数定理就像是在说，“大概有这么多”。而黎曼猜想一旦被证明，就好像在说，“误差不会超过这么一点点，而且是以一种非常规律的方式波动”。这种规律性来自于 Zeta 函数的零点。
证明了黎曼猜想，就能“马上”得到一个“素数公式”吗？
答案是：不一定能马上得到一个我们通常意义上理解的“素数公式”，但能得到关于素数分布的极其精确的刻画。
我们先来梳理一下“马上得到”和“素数公式”这两个概念：
“马上得到”： 黎曼猜想的证明本身就是一个极其困难的数学问题。一旦证明完成，这会是一个轰动全球的数学事件。但它并不会像打开一个开关一样，直接变出一个新的计算器。它是一个理论上的突破，这个突破会引发一系列的推论和新的研究方向，从而改进我们已有的公式或者发展出全新的工具来描述素数。
“素数公式”： 如果我们说的“素数公式”是指一个能够精确计算出任意大数 N 以下有多少个素数（即精确计算 π(N)）的封闭形式的简单公式，那么黎曼猜想也不能直接给出这样的公式。素数分布的内在随机性使得找到一个完全精确且通用的“找到所有素数”的简单公式，可能还是一个遥不可及的目标。
但是，黎曼猜想的证明会带来的直接且重大的影响是：
1. 精确的误差界限： 最直接的影响是，我们能得到 π(N) 的一个非常好的误差界限。这个界限会比我们目前已知的任何界限都要紧。这可以被看作是对素数定理的“升级”，使其更加精确。
2. 与黎曼 Zeta 函数零点的直接联系： 黎曼本人就给出了一个关于 π(N) 的“显式公式”，这个公式与 Zeta 函数的非平凡零点有直接关系。如果黎曼猜想为真，那么这个显式公式的结构就会变得非常清晰和稳定，因为它消除了关于零点位置的不确定性。这个显式公式可以说是一个“素数公式”，但它不是一个简单的代数公式，而是包含了一个求和项，这个求和项就是遍历 Zeta 函数的零点。
3. 推动数论研究： 黎曼猜想的证明将会极大地推动数论的发展。很多依赖于黎曼猜想为真的定理将被证实。数学家们会利用这个证明的手段和思想，去解决其他关于数论和解析数论的问题。
举个例子来理解：
假设你正在测量一个非常精密的钟表的摆动周期。你知道它的周期大概是1秒，但每次测量都会有一点点误差。你想要一个能精确知道它下一次在哪里停下的“公式”。
素数定理就像是告诉你：“这个钟摆的摆动是周期性的，大概每秒钟摆动一次。”
黎曼猜想就像是告诉你：“这个钟摆的摆动偏差（误差）有一个非常严格的上限，而且这些偏差的出现方式是由一系列特定的、我们现在不知道的振动模式决定的，而这些模式的频率（对应于 Zeta 函数的零点）有一个非常确定的规律。”
如果黎曼猜想被证明，我们就会知道这些振动模式的“频率”都落在一条线上（实部是1/2），这样我们就能非常精确地预测这个钟摆的每一次摆动会在哪里，或者说，极其准确地估计它在某个时刻的位置，我们对误差的认识会大大提高。但它不一定能直接给你一个简单的公式，比如“在第n秒，它会在x位置”，而是更像“它在第n秒的位置，一定会落在y到z之间这个非常小的区间内，并且这个区间的中心点与我们已知的估算值非常接近”。
总结一下：
证明了黎曼猜想，不会直接得到一个简单、精确的计算有多少个素数的“素数公式”。素数分布本身就带有某种内在的随机性，要完全“公式化”它们可能不现实。
但是，黎曼猜想的证明会极大地提高我们对素数分布的精确度。它会让我们知道素数分布的误差界限要比我们现在已知的要小得多，而且这些误差的波动是有规律可循的，这种规律由黎曼 Zeta 函数的零点精确描述。这本身就是一种非常强大的“公式化”描述，尽管它可能不是我们一开始想象的那种简单的代数公式。它的价值在于它揭示了素数分布背后更深层、更精确的数学结构。
所以，可以说证明黎曼猜想，会极大推进我们对素数公式（即精确描述素数分布的方法）的认识和能力，但并非直接“变出”一个我们期望中的那种“万能素数计算器”。它更像是在数学的广袤大地上，找到了一张极其精确的“素数分布地图”，让我们能更深刻地理解这片区域的规律。
什么是黎曼猜想？
简单来说，黎曼猜想是关于一个叫做黎曼 Zeta 函数（ζ函数）的根的分布的猜想。这个函数长这样：
ζ(s) = 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ...
其中 s 是一个复数（可以写成 a + bi 的形式，a 是实部，b 是虚部）。这个函数在实部大于1的时候，上面的无穷级数是收敛的，也就是可以算出一个具体的值。
但是，黎曼后来发现，这个函数不仅仅在实部大于1的时候有意义，通过一些数学技巧，它可以被“延伸”到几乎所有复数平面上。而黎曼猜想，就是说，在所有让这个函数等于零的“非平凡零点”（去掉了一些很容易找到的平凡零点）中，它们的实部都必须是1/2。
这听起来和素数有什么关系呢？黎曼在研究这个函数的时候，发现它与素数的分布有着惊人的联系。他发现，素数的分布规律，可以被这个 Zeta 函数的零点所编码。
素数公式和我们现在的了解
我们现在已经知道一些关于素数分布的“公式”或者说“定理”。最著名的是 素数定理。素数定理告诉我们，当一个数 N 越来越大的时候，小于 N 的素数个数（我们通常用 π(N) 来表示）大约等于 N / ln(N)。
比如，小于 100 的素数有 25 个。如果我们用素数定理的公式来估算，就是 100 / ln(100) ≈ 100 / 4.605 ≈ 21.7。这个值跟实际的 25 还是有一定差距的，尤其是在小数字的情况下。
素数定理的证明本身就花了数学家们很长时间的努力，它给出了素数分布的“渐进行为”，也就是说，在非常大的范围内，素数的密度大致是怎样的。但是，它并没有给出非常精确的素数计数，也没有告诉我们下一个素数会在哪里出现。
黎曼猜想的强大之处：精确度
黎曼猜想之所以如此重要，是因为如果它被证明是真的，那么我们就能得到关于素数分布的极其精确的估计。
具体来说，黎曼猜想的证明会直接影响到我们对 π(N) 的误差项的理解。素数定理 π(N) ≈ N / ln(N) 可以看作是一个近似公式。如果黎曼猜想是真的，那么我们就可以证明 π(N) 的值与 N / ln(N) 的偏差，会比我们目前已知的任何误差估计都要小得多。
想象一下，素数定理就像是在说，“大概有这么多”。而黎曼猜想一旦被证明，就好像在说，“误差不会超过这么一点点，而且是以一种非常规律的方式波动”。这种规律性来自于 Zeta 函数的零点。
证明了黎曼猜想，就能“马上”得到一个“素数公式”吗？
答案是：不一定能马上得到一个我们通常意义上理解的“素数公式”，但能得到关于素数分布的极其精确的刻画。
我们先来梳理一下“马上得到”和“素数公式”这两个概念：
“马上得到”： 黎曼猜想的证明本身就是一个极其困难的数学问题。一旦证明完成，这会是一个轰动全球的数学事件。但它并不会像打开一个开关一样，直接变出一个新的计算器。它是一个理论上的突破，这个突破会引发一系列的推论和新的研究方向，从而改进我们已有的公式或者发展出全新的工具来描述素数。
“素数公式”： 如果我们说的“素数公式”是指一个能够精确计算出任意大数 N 以下有多少个素数（即精确计算 π(N)）的封闭形式的简单公式，那么黎曼猜想也不能直接给出这样的公式。素数分布的内在随机性使得找到一个完全精确且通用的“找到所有素数”的简单公式，可能还是一个遥不可及的目标。
但是，黎曼猜想的证明会带来的直接且重大的影响是：
1. 精确的误差界限： 最直接的影响是，我们能得到 π(N) 的一个非常好的误差界限。这个界限会比我们目前已知的任何界限都要紧。这可以被看作是对素数定理的“升级”，使其更加精确。
2. 与黎曼 Zeta 函数零点的直接联系： 黎曼本人就给出了一个关于 π(N) 的“显式公式”，这个公式与 Zeta 函数的非平凡零点有直接关系。如果黎曼猜想为真，那么这个显式公式的结构就会变得非常清晰和稳定，因为它消除了关于零点位置的不确定性。这个显式公式可以说是一个“素数公式”，但它不是一个简单的代数公式，而是包含了一个求和项，这个求和项就是遍历 Zeta 函数的零点。
3. 推动数论研究： 黎曼猜想的证明将会极大地推动数论的发展。很多依赖于黎曼猜想为真的定理将被证实。数学家们会利用这个证明的手段和思想，去解决其他关于数论和解析数论的问题。
举个例子来理解：
假设你正在测量一个非常精密的钟表的摆动周期。你知道它的周期大概是1秒，但每次测量都会有一点点误差。你想要一个能精确知道它下一次在哪里停下的“公式”。
素数定理就像是告诉你：“这个钟摆的摆动是周期性的，大概每秒钟摆动一次。”
黎曼猜想就像是告诉你：“这个钟摆的摆动偏差（误差）有一个非常严格的上限，而且这些偏差的出现方式是由一系列特定的、我们现在不知道的振动模式决定的，而这些模式的频率（对应于 Zeta 函数的零点）有一个非常确定的规律。”
如果黎曼猜想被证明，我们就会知道这些振动模式的“频率”都落在一条线上（实部是1/2），这样我们就能非常精确地预测这个钟摆的每一次摆动会在哪里，或者说，极其准确地估计它在某个时刻的位置，我们对误差的认识会大大提高。但它不一定能直接给你一个简单的公式，比如“在第n秒，它会在x位置”，而是更像“它在第n秒的位置，一定会落在y到z之间这个非常小的区间内，并且这个区间的中心点与我们已知的估算值非常接近”。
总结一下：
证明了黎曼猜想，不会直接得到一个简单、精确的计算有多少个素数的“素数公式”。素数分布本身就带有某种内在的随机性，要完全“公式化”它们可能不现实。
但是，黎曼猜想的证明会极大地提高我们对素数分布的精确度。它会让我们知道素数分布的误差界限要比我们现在已知的要小得多，而且这些误差的波动是有规律可循的，这种规律由黎曼 Zeta 函数的零点精确描述。这本身就是一种非常强大的“公式化”描述，尽管它可能不是我们一开始想象的那种简单的代数公式。它的价值在于它揭示了素数分布背后更深层、更精确的数学结构。
所以，可以说证明黎曼猜想，会极大推进我们对素数公式（即精确描述素数分布的方法）的认识和能力，但并非直接“变出”一个我们期望中的那种“万能素数计算器”。它更像是在数学的广袤大地上，找到了一张极其精确的“素数分布地图”，让我们能更深刻地理解这片区域的规律。
网友意见
至少有一个素数生成公式是与黎曼猜想有那么一点点联系。
它是在 1947 年由数学家 Mills 发现的。
首先，先假设存在一个常数： 其中
接下来取形式： 得到一个函数
然后，由于这个函数所得到的值带有小数部分，为了取这个函数所得值的整数部分，对函数部分进行如下改进，得到：
那么，一个素数生成公式就得到了。同时令
特别地，这个函数公式所得到的数值的整数部分都将是一个素数。
而令这个函数公式成立的最小的 被称为 Mills Constant。
目前，
设该函数公式每一个值为
令 那么 为素数
令 那么 为素数
令 那么 为素数
...
不过这个函数公式所取得的素数并不是连续的，中间存在很大断层。
同时，这个公式并不实用，因为当 它的值就达到 的量级了...
具体的数值为：
其次，这个 必须足够精确，否则求不出素数。
特别地， 是否是有限的仍然未知。
还有，设一个 为 Mills 素数，那么 与 的关系如下：
它与黎曼猜想的联系是：
若黎曼猜想成立，则存在计算出 的另外的方法。同时得到更大的
并且，目前得到 的数值都是基于黎曼猜想成立的情况下。
Mills Constant 的存在性是已经得到证明的了。
首先，令 为第 个素数，那么有
其中 是一个固定的正整数。
Lemma. 若 为一个大于 的整数并且存在一个素数 使得
证明：令 为最大的小于 的素数，那么有 现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 可以构造一个无限素数序列 使得 .
令 以及 那么有
由此可见， 是一个有界单调递增序列。
现在，令 那么：
Theorem. 是一个素数表示函数。
证明：根据 以及 那么允许有 或者 .
因此， 那么 是一个素数表示函数。
补充：事实上，这个公式具有更广义的形式：
若满足 以及 那么都会存在一个如上形式的素数生成公式。正如 @酱紫君 在评论中所说的。
首先，存在一个整数 以及另一个整数 并且它们满足以下关系：
那么有更广义的形式
其中 同样是一个固定的正整数。
Lemma. 若 为正整数同时满足 与 ；若存在一个满足 的整数 那么存在一个素数 会使得
证明：若 为最大的小于 的素数。同时使用 与 以及 那么有
现在令 为一个大于 的素数。根据 Lemma 同样可以构造一个无限素数序列 使得 同时
很容易看出 Mills 的是 的特例。令 以及 那么有
由此可见， 是一个有界单调递增序列。
现在，令 那么：
Theorem. 是一个素数表示函数。
证明：根据 以及 是一个递增序列。那么有：
因此， 那么 是一个素数表示函数。
注：原回答发布于 2019-01-21 23:10
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