如何看待 arXiv2111.02792 对黎曼猜想的证明？
首先，理解 arXiv:2111.02792 对黎曼猜想的证明，需要先回顾一下黎曼猜想本身。
黎曼猜想是什么？
黎曼猜想是数学中最著名、最重要且最困难的未解决问题之一。它与黎曼 Zeta 函数 $zeta(s)$ 的非平凡零点分布有关。这个函数定义为：
$zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$
对于 $ ext{Re}(s) > 1$。这个函数可以解析延拓到整个复平面，除了 $s=1$ 处的一个单极点。
黎曼猜想断言：所有黎曼 Zeta 函数的非平凡零点都位于复平面上实部为 $frac{1}{2}$ 的直线上，也就是 $s = frac{1}{2} + it$，其中 $t$ 是实数。
这个猜想之所以如此重要，是因为它与许多数论中的深刻结果直接或间接相关，特别是素数的分布。如果黎曼猜想被证明，那么我们将对素数如何分布获得前所未有的清晰认识。
arXiv:2111.02792 的核心论点（基于公开信息，因未直接阅读，故为普遍理解）：
尽管具体细节可能非常复杂且需要专业数学知识来解读，但根据公开的介绍和社区的讨论，这篇论文的证明思路可能围绕以下几个关键点展开（请注意，这些是基于论文的声明，并非已证实的数学事实）：
1. 新的数学工具或框架的引入： 许多声称证明黎曼猜想的论文，通常会引入一套全新的数学概念、结构或方法，试图从一个独特的角度来解决这个困境。这篇论文也可能声称引入了某种新的代数、几何、分析或数论框架。
2. 对 Zeta 函数性质的深入分析： 证明黎曼猜想的关键在于理解 $zeta(s)$ 的零点分布。论文可能通过对 $zeta(s)$ 的某种积分表示、函数方程、或与其他数学对象的联系进行深入分析，来推导出零点必须实部为 $frac{1}{2}$。
3. 可能涉及的领域： 历史上，许多成功的尝试都借鉴了量子力学、随机矩阵理论、函数论、代数几何等领域。这篇论文的证明思路也可能触及其中一个或多个领域。例如，有人尝试将 Zeta 函数的零点与某些物理系统的能谱联系起来，或者利用高维空间的几何性质。
社区的反应与审查机制：
在 arXiv 上发布论文，虽然可以快速分享研究成果，但不代表论文经过同行评审。数学界对这类重大猜想的证明，尤其是声称已证明的论文，会采取极其审慎和严格的审查态度。
1. 初步审阅与质疑： 当一篇声称证明了黎曼猜想的论文出现时，数学界会有一些研究者进行初步的审阅。如果存在明显的逻辑漏洞、计算错误、或者概念上的混淆，这些都会在早期被发现并公开指出。
2. 深层分析与验证： 如果初步审阅没有发现明显的错误，那么接下来会有一个更广泛、更深入的分析过程。这需要数学家们花大量的时间和精力去理解论文中的每一个步骤，重现其推导过程，并尝试从其他角度验证其正确性。这通常是一个漫长而艰巨的过程。
3. 同行评审： 最终，如果论文的作者希望其证明被数学界广泛接受，他们需要将其提交给一家信誉良好的数学期刊进行正式的同行评审。这个过程由期刊的编辑委托几位该领域的专家进行评审，评审的标准极其严格。
为什么对 arXiv:2111.02792 保持谨慎？
历史上的“证明”： 黎曼猜想已经被无数次“证明”过，但每一次最终都被证明是错误的。这使得数学界对任何声称证明的论文都保持高度警惕。
复杂性： 黎曼猜想是一个极其深刻的问题，解决它可能需要对数学的理解进行根本性的飞跃。论文中的任何一个细微错误都可能导致整个证明的崩溃。
arXiv 的性质： 如前所述，arXiv 是预印本服务器，其上的内容尚未经过同行评审。它是一个分享想法的平台，而不是一个认证对错的机构。
如何看待这样的论文？
关注其提出的新思想： 即使证明最终被证明是错误的，论文中提出的新数学工具、新的视角或新的联系也可能对相关领域的研究产生积极的影响。例如，历史上一些错误的证明，其过程中的某些想法后来被证明是正确的，并找到了新的应用。
保持理性分析： 不要轻易相信未经严格同行评审的“证明”。理解论文的论证过程，并参考该领域专家的意见，是做出判断的关键。
等待共识： 最终，一个数学证明是否被接受，取决于整个数学共同体的共识，而这个共识的形成需要时间和严格的审查。
总结来说， arXiv:2111.02792 这篇声称证明黎曼猜想的论文，就像历史上出现的其他类似论文一样，目前尚处于高度不确定的状态。它提出了一个重要的论断，吸引了数学界的目光，但其证明的有效性需要经过数学界长时间、极其严格的检验。在这个过程中，数学家们会关注其提出的新颖数学思想，但也需要对其中可能存在的任何逻辑缺陷或计算错误保持高度警惕。在获得广泛的同行评审和数学共同体的认可之前，任何声称的证明都应该被视为待验证的假设。
网友意见
撤了，做数学得和年轻人合作更有把握，毕竟很多时候检查细节是体力活，年龄不饶人。老头子精神可嘉，现在还能想数学就值得赞一个。国内这个年龄还能玩玩麻将就不错了。
搬运一下，方便大家参考。第八节部分讨论可以看看。
8. A logical paradox
A contradiction will originate from a comparison of Theorem 7.3 with
Theorem 8.1 below. We shall allow it to develop: then, we shall show that it would cease to hold in a mildly intuitionistic logic. That the Riemann hypothesis could thus arbitrate up to some point between positions in mathematical logic which were the subject of heated disputes a century ago certainly goes beyond our initial project. But we would be the last to reject the idea that R.H. could influence our understanding of the foundations of mathematics. Another, more trivial, explanation for the “paradox” to come could of course be that we made an error somewhere. In such a case, the present section may help readers kind enough to check my paper, or intent on finding an error in it: we thank them, whatever the results of their
investigations. But we rechecked our proof many times, though, of course,
we shall never consider our revision duties as completed.
We certainly did feel some uneasiness with the paradoxical results to be developed now. We felt encouraged to publicize these for the following reasons. First, there is no doubt in our mind that our methods, mixing analysis, algebra and arithmetic, provide a right direction. Next, Theorem 7.3 “explains” the reason why we shall never be able to produce a “bad” zero ρ, or to show that such a bad zero exists within a given range of imaginary values of ρ: this corroborates numerical evidence, pushed to an extremely high degree. In the other direction, Theorem 8.1 indicates that we cannot depend on the existence of δ < 1 such that all zeros have real parts ≤ δ: again, this fits with the experience gained by many mathematicians who, in the course of more than a century, made improvements in the construction of zero-free regions.
看到了Schwarz空间，tempered distribution，这些名词还是很亲切的。pseudodifferential不了解。粗略浏览过，我认为这个远比Atiyah的证明更像是真的。
我就随便说说我的想法，也许很“民科”。也不完全是我的想法，相关方向有一些文献资料，可以搜索“Beurling zeta function”。如果分析学家问数论学家：整数集在实数集中不过就是一个零测集，那整数为何重要？那么数论学家将如何回应呢？如何在分析学上证明整数的重要性呢？一个可能的答案就是，对于正弦波来说，实数是行波与坐标轴（在某些时刻）的交点，而整数（在相位为零且取波长的一半为单位长度的情况下）是驻波与坐标轴（在任意时刻）的交点，所以整数还是很重要的，它能决定一个波动的峰谷位置是否运动。这件事启发了我们，在研究一类特殊事物的时候，也许我们一开始可以考虑更宽泛的研究对象，接下来去缩小范围，逐渐找到特殊性产生的原因。
我们通常定义的整数可以写成
其中 是所谓的狄拉克函数。狄拉克函数在非零点处取0，在0处取无穷大，且狄拉克函数的积分是1. 在实函数的范围内，当然没有这种东西。事实上，狄拉克函数这样的函数，被称为广义函数，也称为分布distribution，可以用泛函分析里的方法给定义。 也是一个分布，通常称为狄拉克梳子Dirac comb.
这个时候，我们可以把黎曼zeta函数
写成
这种形式。
自然的问题就是，如果把 替换成其他函数或分布，这个积分什么情况下收敛？这种情况下，素数是什么？函数方程、解析延拓、黎曼猜想等一系列关于原版zeta函数的结论在什么样的 下仍然成立？这种广义的整数，以及相应的广义素数，是Beurling首先研究的。
第一个问题的答案就是所谓tempered distribution,也就是Schwartz空间上的连续线性泛函，直观上来说就是某种增长不太快的函数。
第二个问题的答案就是唯一分解定理的分布版本。
第三个问题，函数方程的两边一般会涉及不同的广义zeta函数，在一定条件下两边涉及的zeta函数相同，此时我们就可以得到一个解析延拓。
第四个问题就是黎曼猜想。由于已经由Deligne证明的Weil猜想与此有某些相似性，可以期待其证明过程能启发对黎曼猜想的研究。Alain Connes就长期用他建立的非交换几何做这件事。
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