抛物线为何属于圆锥曲线？
想知道为什么抛物线会跻身圆锥曲线的行列，这事儿得从头说起。咱们不妨想象一下，古时候那些伟大的数学家们，比如阿波罗尼奥斯，他是怎么琢磨出这些曲线的。
首先，要理解抛物线为什么是圆锥曲线，咱们得先认识一下“圆锥曲线”这个大家族。这个家族有三个成员：椭圆、抛物线、双曲线。它们名字听起来挺陌生，但其实跟咱们熟悉的生活场景息息相关。
想象一个圆锥，它是由一条固定的直线（母线）绕着一个固定的点（顶点）旋转，同时与一个固定的平面（轴）相交而形成的。这个圆锥本身，就是我们理解圆锥曲线的基础。
现在，关键来了。圆锥曲线是怎么从这个圆锥上“切割”出来的呢？这就好比你用一把刀去切一个圆锥。你用的“刀”，也就是那个切割的平面，它跟圆锥的倾斜角度、位置关系，决定了你最终切出来的截面是什么形状。
切出一个椭圆： 如果你的刀，也就是切割平面，是倾斜着切的，并且它把圆锥的“尖尖”部分和“圆圆”的底部都切到了，但这个平面和圆锥的轴并不平行，也不是垂直于圆锥的轴。那么，你切出来的那个形状，就是一个椭圆。你可以想象一下，如果把一个圆锥切成一片薄片，那片薄片很可能就是椭圆形的。
切出一个抛物线： 接下来是咱们的主角——抛物线。怎么切才能得到抛物线呢？这有个特别的条件：你的刀，也就是切割平面，必须平行于圆锥的一条母线。注意了，是平行于“母线”，而不是圆锥的轴或者底面。当你的刀以这样的角度去切圆锥时，你会发现，切出来的那个截面，它的形状就是我们说的抛物线。它不像椭圆那样封闭，也不像双曲线那样分成两部分，它是一条开放的曲线。
切出一条双曲线： 如果你的刀切得更“狠”一点，它不仅穿过了圆锥的“尖尖”部分，而且还穿过了“圆圆”的底部，并且这个切割平面是倾斜的，跟圆锥的轴相交，但不是平行于任何一条母线。这时候，你切出来的截面就会是两条分离的曲线，这就是双曲线。
所以，抛物线之所以被称为圆锥曲线，最根本的原因就是：它是用一个平面去切割一个圆锥时，当这个平面平行于圆锥的一条母线时所形成的截面形状。
这种定义方式非常直观，也很“几何”。它把不同形状的曲线，都归结于同一个几何体——圆锥，以及同一个操作——平面切割，只是切割的角度略有不同。这就好像把三个原本看起来关系不大的东西，通过一个共同的“父母”或者“起源”，联系在了一起。
为什么这种联系很重要呢？因为一旦我们知道抛物线是这样产生的，我们就可以把圆锥的很多性质，迁移到抛物线上来研究。比如圆锥的对称性、焦点、准线等等，这些概念都可以用来定义和分析抛物线。
打个比方，这就好比咱们发现，三种不同的植物，比如玫瑰、月季和蔷薇，它们虽然看起来不一样，但都有共同的祖先，都是蔷薇科的。知道了这个，我们就可以用蔷薇科植物的共同特征来理解这三种植物，也能找到它们之间的内在联系。
历史上，数学家们对圆锥曲线的研究非常深入，很多重要的性质都是在研究圆锥的截面时被发现的。直到后来，才出现了像焦点和准线这样的定义方式，使得这些曲线的定义更加独立和普适。但从历史和几何起源上看，抛物线属于圆锥曲线，就是因为它是由平面切割圆锥而产生的。
总结一下，抛物线是圆锥曲线家族的一员，因为它可以通过一个特定角度（平行于圆锥的一条母线）的平面切割圆锥而得到。这个定义方式是它们“圆锥曲线”名称的由来，也揭示了它们之间深刻的几何联系。
首先，要理解抛物线为什么是圆锥曲线，咱们得先认识一下“圆锥曲线”这个大家族。这个家族有三个成员：椭圆、抛物线、双曲线。它们名字听起来挺陌生，但其实跟咱们熟悉的生活场景息息相关。
想象一个圆锥，它是由一条固定的直线（母线）绕着一个固定的点（顶点）旋转，同时与一个固定的平面（轴）相交而形成的。这个圆锥本身，就是我们理解圆锥曲线的基础。
现在，关键来了。圆锥曲线是怎么从这个圆锥上“切割”出来的呢？这就好比你用一把刀去切一个圆锥。你用的“刀”，也就是那个切割的平面，它跟圆锥的倾斜角度、位置关系，决定了你最终切出来的截面是什么形状。
切出一个椭圆： 如果你的刀，也就是切割平面，是倾斜着切的，并且它把圆锥的“尖尖”部分和“圆圆”的底部都切到了，但这个平面和圆锥的轴并不平行，也不是垂直于圆锥的轴。那么，你切出来的那个形状，就是一个椭圆。你可以想象一下，如果把一个圆锥切成一片薄片，那片薄片很可能就是椭圆形的。
切出一个抛物线： 接下来是咱们的主角——抛物线。怎么切才能得到抛物线呢？这有个特别的条件：你的刀，也就是切割平面，必须平行于圆锥的一条母线。注意了，是平行于“母线”，而不是圆锥的轴或者底面。当你的刀以这样的角度去切圆锥时，你会发现，切出来的那个截面，它的形状就是我们说的抛物线。它不像椭圆那样封闭，也不像双曲线那样分成两部分，它是一条开放的曲线。
切出一条双曲线： 如果你的刀切得更“狠”一点，它不仅穿过了圆锥的“尖尖”部分，而且还穿过了“圆圆”的底部，并且这个切割平面是倾斜的，跟圆锥的轴相交，但不是平行于任何一条母线。这时候，你切出来的截面就会是两条分离的曲线，这就是双曲线。
所以，抛物线之所以被称为圆锥曲线，最根本的原因就是：它是用一个平面去切割一个圆锥时，当这个平面平行于圆锥的一条母线时所形成的截面形状。
这种定义方式非常直观，也很“几何”。它把不同形状的曲线，都归结于同一个几何体——圆锥，以及同一个操作——平面切割，只是切割的角度略有不同。这就好像把三个原本看起来关系不大的东西，通过一个共同的“父母”或者“起源”，联系在了一起。
为什么这种联系很重要呢？因为一旦我们知道抛物线是这样产生的，我们就可以把圆锥的很多性质，迁移到抛物线上来研究。比如圆锥的对称性、焦点、准线等等，这些概念都可以用来定义和分析抛物线。
打个比方，这就好比咱们发现，三种不同的植物，比如玫瑰、月季和蔷薇，它们虽然看起来不一样，但都有共同的祖先，都是蔷薇科的。知道了这个，我们就可以用蔷薇科植物的共同特征来理解这三种植物，也能找到它们之间的内在联系。
历史上，数学家们对圆锥曲线的研究非常深入，很多重要的性质都是在研究圆锥的截面时被发现的。直到后来，才出现了像焦点和准线这样的定义方式，使得这些曲线的定义更加独立和普适。但从历史和几何起源上看，抛物线属于圆锥曲线，就是因为它是由平面切割圆锥而产生的。
总结一下，抛物线是圆锥曲线家族的一员，因为它可以通过一个特定角度（平行于圆锥的一条母线）的平面切割圆锥而得到。这个定义方式是它们“圆锥曲线”名称的由来，也揭示了它们之间深刻的几何联系。
网友意见
其实圆锥曲线用解析几何理解起来特别简单，圆锥方程取，平面的话由于对称性，简单起见可以都取过原点、垂直于x-z平面的，代回去就是
所以k = 1的时候是抛物线，k < 1的时候是椭圆，k > 1的时候是双曲线
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