如何证明五点共圆问题？
好，咱们来聊聊五点共圆这个问题。这个问题看似简单，其实背后涉及一些几何的原理，不像咱们平时做题那样直接套公式就能搞定。我尽量把这个说得明白透彻，希望你能听懂。
首先，咱们得明确，“五点共圆”到底是什么意思。简单来说，就是有五个点，这五个点都能落在同一个圆上。咱们要证明的就是，在什么条件下，这五个点就能这么“巧”地排在一起，形成一个圆。
为什么我们说“证明”？
你可能会想，不就是五个点嘛，找个圆把它圈起来不就行了？其实不然。数学上的证明，是要给出逻辑严密的推理，证明这个结论在任何符合条件的场合都是成立的，而不是仅仅演示一个例子。就好比你不能只画一个正方形就证明“所有四边形都是正方形”，对吧？
那么，什么情况下这五点才会共圆呢？
这里面有个关键点：通常情况下，任意给定的五个点，是无法共圆的。 你可以试着在纸上随便画五个点，你很难碰巧画出它们都在一个圆上的情况。
所以，证明五点共圆，实际上是在证明什么特定的条件组合，能够强制这五个点“乖乖地”落在同一个圆上。
咱们来一步一步捋一捋：
第一步：两点共圆？ 还是三点共圆？
两点： 只要有两个点，你能画出无数个圆，让这两个点都在圆上。想象一下，以这两个点为直径的圆，或者以这两个点为弦的圆，甚至更大的圆。所以，两点共圆一点都不稀奇。
三点： 这就有点意思了。如果这三个点不共线（也就是说，不在同一条直线上），那么一定存在唯一一个圆经过这三个点。你可以想象一下，画一个三角形，这个三角形的三个顶点不共线吧？那么，一定有一个圆，叫做外接圆，能同时经过这三个顶点。这个外接圆的圆心，就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这是关键！三点共圆是基础。
第二步：四点共圆的条件
既然三点共圆是基础，那么咱们可以想，如果咱们有了三个点 A, B, C，它们确定了一个圆。现在再来一个点 D。什么时候 D 也会在这个圆上呢？
这取决于 D 和 A, B, C 的相对位置。一种常见且重要的四点共圆的条件是：如果点 A, B, C, D 构成的图形（比如四边形 ABCD）中，某一组对角互补（和为 180 度），那么这四个点就共圆。
怎么证明呢？ 假设 A, B, C 三点确定了一个圆。现在我们考虑第四个点 D。
如果 ABCD 是一个凸四边形，并且 ∠ABC + ∠ADC = 180°。
我们可以通过反证法来思考。假设 D 不在这个由 A, B, C 确定的圆上。那么，过 A, B, D 三点的圆会和过 A, B, C 的圆有一个交点，就是 A 和 B。如果 D 不在那个圆上，那么过 A, B, D 的圆就跟原来的圆有另一个交点 D'。
从圆的性质出发，在一个圆上的四个点，它们形成的四边形的对角和是 180°。反过来，如果一个四边形的对角和是 180°，那么这四个点一定共圆。
更直观的证明思路： 假设 A, B, C 三点确定了圆 O。如果点 D 使得 ∠ABC + ∠ADC = 180°，那么你可以证明 D 必定在这个圆 O 上。你可以考虑过 A, B, C 的圆，设为圆 K。如果 D 在圆 K 上，那么 ABCD 就是圆内接四边形，对角和是 180°。反之，如果 D 不在圆 K 上，那么过 A, B, D 的圆会与圆 K 相交于 A, B 两点，并且存在一点 D' 在圆 K 上，使得 ABD' 相似于 ABD。通过角度的转化，可以推导出 D 和 D' 是同一个点。
第三步：五点共圆——从四点到五点
那么，五点共圆的问题，其实可以看作是：如何从已知（或者满足某种条件的）四点共圆，推导出第五个点也落入同一个圆？
这就像搭积木一样，我们先要搭好一个四点的基础。
情况一：五点本身就满足了某个“共圆”的性质
最直接的情况是，这五个点本身就存在某种内在联系，使得它们天然就共圆。例如：
五个点是某个正五边形的顶点。 正多边形的顶点一定共圆，这是由对称性决定的。你可以证明正五边形的每个顶点到其中心点的距离都相等，这个中心点就是外接圆的圆心。
五个点是某个特殊几何图形的顶点，这个图形的顶点天然共圆。 比如，一个等腰梯形的四个顶点共圆，如果你能构造出第五个点，使得它和前面四个点有同样的性质，那它们也就能共圆。
情况二：利用“四点共圆”的条件，逐步添加第五个点
这是更普遍的证明思路。咱们可以这样操作：
1. 选取其中三个点： 假设我们有五个点 A, B, C, D, E。先选取 A, B, C 三个不共线的点。它们必然确定一个唯一的圆，我们称之为圆 K。
2. 判断第四个点是否共圆： 现在来看点 D。如果 A, B, C, D 四个点满足四点共圆的条件（比如，它们构成一个圆内接四边形，或者满足对角互补等），那么 D 就在圆 K 上。
3. 判断第五个点是否共圆：
如果 D 也在圆 K 上了： 那么我们现在有 A, B, C, D 四点都在圆 K 上。现在我们来看第五个点 E。我们需要证明 E 也在这个圆 K 上。这通常需要 E 和 A, B, C, D 之间存在某种特殊的几何关系。
如果 D 不在圆 K 上： 那么证明五点共圆就有点麻烦了，除非这五个点之间有我们还没发现的整体性质。
更实际的证明思路（通常是题目会给定的条件）：
很多时候，五点共圆的证明题，会给到你一些具体的条件，让你去验证。比如：
“证明点 A, B, C, D, E 五点共圆，已知 AB=BC=CD=DE 且 ∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°”
在这种情况下，你可以先证明 A, B, C, D 四点共圆。因为 AB=BC 且 ∠ABC=90°，三角形 ABC 是等腰直角三角形。同理，BCD 是等腰直角三角形。
利用四点共圆的条件：考虑四边形 ABCD。∠ABC=90°，∠BCD=90°。不是对角互补，但我们可以想别的。
换个角度： AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD。那么 AB 平行于 CD。这构成了一个梯形。
更关键的是： AB=BC=CD。 我们可以利用圆的弦长和圆心角的关系。
具体证明：
1. 确定一个圆： 由于 ∠ABC = 90°，以 AC 为直径的圆会经过 B。同样，由于 ∠BCD = 90°，以 BD 为直径的圆会经过 C。
2. 找到一个共同点： AB=BC 且 ∠ABC=90°，可知 AC 的长度。AC 垂直平分线是 B 点的轨迹。
3. 利用中垂线： AC 的中点 M 是圆心。BD 的中点 N 是圆心。如果 M 和 N 是同一点，那么 A, B, C, D 就在同一个圆上。
4. 另一种方法： 考虑 A, B, C 三点。它们可以确定一个圆。我们可以证明 D 也在这个圆上。
5. 更简单的方式（题目给定的信息）： AB=BC，则圆心在 AB 的垂直平分线上。BC=CD，则圆心在 BC 的垂直平分线上。 ∠ABC=90°，∠BCD=90°。
6. 关键： AB=BC=CD。 想象一下，在圆上，相等的弦所对的圆心角相等。
7. 利用坐标几何（有时候也很有用）：
设 B 为原点 (0,0)。A 为 (0, a)，C 为 (b, 0)。
由于 ∠ABC=90°，AC 的中点是 ((a+b)/2, a/2)。
由于 AB=BC，所以 a=b。那么 A=(0,a)，B=(0,0)，C=(a,0)。AC 中点为 (a/2, a/2)。
∠BCD=90°，CD 的长度等于 BC（a）。 D 应该是 (a, a)。
现在我们有 A(0,a), B(0,0), C(a,0), D(a,a)。
AC 的中点是 (a/2, a/2)。以 AC 为直径的圆的半径的平方是 (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2。
验证 B 是否在圆上：(0 a/2)^2 + (0 a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2。B 在圆上。
验证 C 是否在圆上：(a a/2)^2 + (0 a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2。C 在圆上。
验证 D 是否在圆上：(a a/2)^2 + (a a/2)^2 = a^2/4 + (3a/2)^2 = a^2/4 + 9a^2/4 = 10a^2/4。D 不在这个圆上！
我的例子可能不太好。 咱们换一个已知条件。
更常见的思路： 如果给定的五个点，都满足同一个圆的定义（例如，到同一个点的距离都相等），那自然就共圆了。
实际证明中，通常是利用以下几种思路：
1. 三点定圆，再证其余点：
选取三个点，证明它们共圆。
然后利用已有的共圆性质（如四点共圆的定理），证明第四个点也在这个圆上。
最后，利用前四个点共圆的性质，和第五个点与这四个点之间的关系，证明第五个点也在这同一个圆上。
2. 利用角度关系：
如果五个点构成的图形，可以通过角度关系推导出它们都满足“圆内接四边形”的性质，或者满足“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”等。
例如，如果能证明 ∠ACB = ∠ADB = ∠AEB，那么 A, B, C, D, E 这五个点就共圆，并且圆心在 AB 的垂直平分线上（如果 ∠ACB 是圆周角）。
3. 利用垂直平分线：
圆上的点到圆心的距离相等。
如果能证明存在一个点 P，使得 PA=PB=PC=PD=PE，那么这五个点就共圆，圆心为 P。
这通常是通过证明 P 是 AB, BC, CD, DE 等弦的中垂线的交点来实现。
4. 利用坐标几何：
选取三个点，通过这三个点的坐标，建立圆的方程 (xa)^2 + (yb)^2 = r^2。
然后将第四个点和第五个点的坐标代入这个方程，看它们是否满足。
如果题目给定的条件比较复杂，但又很“规整”，可以尝试用坐标几何来计算。
举个更具体的例子（如何像正常人一样思考和证明）：
问题： 证明：以等腰梯形 ABCD 的腰 AB 和 CD 的中点 M、N 为圆心，分别以 MA、ND 为半径的两个圆相交于点 P，则 A, B, C, P 四点共圆。
分析：
等腰梯形 ABCD，AB 和 CD 是腰。这说明 AD || BC 且 AB = CD。
M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点。
圆 M 的半径是 MA = MB = AB/2。
圆 N 的半径是 ND = NC = CD/2。
因为 AB = CD，所以 MA = MB = ND = NC。
两个圆相交于 P。这意味着 MP = MA = MB， NP = ND = NC。
所以，PA = PB = PC = PD。
证明：
1. 确定共圆条件： 我们要证明 A, B, C, P 四点共圆。这意味着我们需要找到一个点 O，使得 OA = OB = OC = OP。
2. 利用已知信息：
因为 M 是 AB 的中点，MA = MB，且 P 在以 M 为圆心，MA 为半径的圆上，所以 MP = MA = MB。
因此，PA = PB。 （由 MP = MA 和 MP = MB 得到）
因为 N 是 CD 的中点，ND = NC，且 P 在以 N 为圆心，ND 为半径的圆上，所以 NP = ND = NC。
因此，PC = PD。 （由 NP = ND 和 NP = NC 得到）
3. 连接等腰梯形性质：
在等腰梯形 ABCD 中，AD || BC，AB = CD。
过 M 作 ME || AD，交 AC 于 Q，交 BD 于 R。
更重要是的，等腰梯形的对角线相等，AC = BD。
等腰梯形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的中点是同一个点。
关键点： 我们已经证明了 PA = PB。 这说明点 P 在 AB 的垂直平分线上。由于 M 是 AB 的中点，所以 MP 垂直于 AB。
我们也证明了 PC = PD。 这说明点 P 在 CD 的垂直平分线上。由于 N 是 CD 的中点，所以 NP 垂直于 CD。
4. 整合信息：
我们有 PA = PB。
现在需要证明 PC 也等于 PA。
MP = MA = MB。NP = ND = NC。 且 MA = ND。
所以 MP = NP。
思考： 等腰梯形 ABCD。 AD || BC。 AB = CD。 AC = BD。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。 MP = AB/2。 NP = CD/2。 因为 AB=CD，所以 MP=NP。
关键推论： 我们已经得到 PA=PB。 如果我们能证明 PC=PA，那么 A,B,C,P 就共圆了。
利用等腰梯形的性质： 等腰梯形 ABCD，AB=CD。 AD || BC。
设想圆心： 我们知道 P 到 A 和 B 的距离相等。同时 P 到 C 和 D 的距离也相等。
角度思考： MP 垂直于 AB。NP 垂直于 CD。
重点来了： 在等腰梯形 ABCD 中，AC = BD。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。 MP = AB/2， NP = CD/2。 因为 AB=CD，所以 MP=NP。
如何证明 PC = PA？
考虑等腰梯形 ABCD。AD || BC。 AB = CD。
P 是圆 M 和圆 N 的交点。 MP = MA = AB/2。 NP = ND = CD/2。
因为 AB = CD，所以 MA = ND。 于是 MP = NP。
PA = PB (由圆 M)。 PC = PD (由圆 N)。
现在需要证明 PA = PC。
重要几何关系： 在等腰梯形中，AD 和 BC 分别是底边。AB 和 CD 是腰。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。
利用对称性： 如果 AD 和 BC 的中点重合，或者 AD 与 BC 的中垂线就是 MN，那会简单很多。
考虑三角形 PAB 和 PCD： PA=PB，所以三角形 PAB 是等腰三角形。PC=PD，所以三角形 PCD 是等腰三角形。
关键： AB 和 CD 是等腰梯形的腰。AB=CD。
重点： MP 垂直于 AB。 NP 垂直于 CD。 并且 MP = NP。
几何推导：
PA = PB = AB/2
PC = PD = CD/2
因为 AB = CD，所以 PA = PB = PC = PD。
结论： 因为 PA = PB = PC，所以点 P 到 A, B, C 的距离都相等。存在一个圆，以 P 为圆心，PA 为半径，经过 A, B, C。
最后一步： 我们也证明了 PD = PA，所以 D 也在这个圆上。 （这和题目要求证明 A,B,C,P 共圆略有不同，但原理一致）
回到题目： 证明 A, B, C, P 四点共圆。
我们已经证明 PA = PB。
现在需要证明 PC = PA。
如何从 PA = PB = AB/2 和 PC = PD = CD/2 以及 AB=CD 来推导出 PA = PC？
MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 MP = NP。
利用向量或者复数有时会更方便，但咱们用纯几何：
设梯形顶点坐标：A=(a, h), B=(a, h), C=(b, 0), D=(b, 0)。 (AD || BC)
腰 AB=CD。 2a = sqrt((ba)^2 + (0h)^2)。
M 是 AB 中点: M=(0, h)。 N 是 CD 中点: N=(0, 0)。
圆 M 的半径 MA = a。圆 N 的半径 ND = b。
这里我用错了等腰梯形的定义，等腰梯形是底边平行，腰相等。
正确的坐标设法： 设 A=(a, h), B=(a, h), C=(c, 0), D=(d, 0)。 AD || BC，所以 h=0 不行。 AD 和 BC 是底边。
设 A=(a, h), B=(a, h), C=(b, 0), D=(c, 0)。AD || BC。
等腰梯形，腰相等。 AB = CD。 2a = sqrt((b(c))^2 + (00)^2) = b+c。 AB = 2a。
所以 AB = b+c。
M 是 AB 中点: M=(0, h)。 N 是 CD 中点: N = ((bc)/2, 0)。
圆 M 的半径 MA = a。 圆 N 的半径 ND = c。
因为 AB=CD，所以 2a=c+b (我的坐标设法还是有点问题)。
换个思路，利用角度：
关键： MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 且 MP = NP。
如果 AD || BC， AB=CD。
PA = PB， PC = PD。
MP = AB/2。 NP = CD/2。
因为 AB=CD，所以 MP=NP。
考虑三角形 PAB 和 PCD。 PA=PB，PC=PD。
如果 MN 垂直于 AD 和 BC，那么 M 和 N 之间的连线就是对称轴。
核心： AB 和 CD 是等腰梯形的腰。 MP = MA = AB/2。 NP = ND = CD/2。
因为 AB=CD，所以 MP = NP。
PA = PB (因为 M 是 AB 中点，P 在以 M 为圆心的圆上)。
PC = PD (因为 N 是 CD 中点，P 在以 N 为圆心的圆上)。
最重要的推论： MN 是 AB 和 CD 的中垂线的交点？不一定。
证明 PA=PC：
MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 MP=NP。
思考： 向量法可能更好理解。 $vec{PA} = vec{MA} vec{MP}$， $vec{PB} = vec{MB} vec{MP}$。 由于 $vec{MA} = vec{MB}$ 且 $|vec{MP}|=|vec{MA}|$，所以 $vec{PA} cdot vec{PA} = (vec{MA}vec{MP}) cdot (vec{MA}vec{MP}) = |vec{MA}|^2 2vec{MA}cdotvec{MP} + |vec{MP}|^2$。
几何思路：
PA = PB （PA² = PM²+MA²2PM·MA cos∠PMA）
AB是弦，M是AB中点，PM垂直AB。 所以PA² = PM² + MA²。
CD是弦，N是CD中点，PN垂直CD。 所以PC² = PN² + NC²。
因为 MP=MA=AB/2 (M是AB中点，MA是半径)，所以 PA² = MA² + MA² = 2MA²。
因为 NP=NC=CD/2 (N是CD中点，NC是半径)，所以 PC² = NC² + NC² = 2NC²。
因为 AB=CD，所以 MA=NC。
因此 PA² = 2MA² 且 PC² = 2NC²。 由于 MA=NC，所以 PA² = PC²。
即 PA = PC。
5. 最终结论：
我们已经证明了 PA = PB。
并且证明了 PA = PC。
因此，PA = PB = PC。
这意味着点 P 到 A, B, C 的距离相等。
所以，存在一个圆，以 P 为圆心，PA 为半径，该圆经过 A, B, C 三点。
故 A, B, C, P 四点共圆。
总结一下证明五点共圆的通用思路：
1. 找到“定圆”的三点： 通常是选取题目中给出某些特定关系的三个点，证明它们共圆。
2. 利用共圆性质推导：
四点共圆定理： 如果一个四边形的对角互补，或者外角等于内对角，则这四点共圆。
同弧定理： 同弧所对的圆周角相等，或者圆心角是圆周角的两倍。
3. 逐步添加： 如果前几点共圆，并且第五点与这几点之间存在满足共圆条件的几何关系，就可以证明第五点也在此圆上。
4. 寻找共同的圆心： 如果能证明存在一个点到所有五个点的距离都相等，那么这五点就共圆。
5. 利用特殊图形的性质： 正多边形、等腰梯形等特殊图形的顶点天然共圆，可以利用这些性质作为出发点。
需要注意的是：
“五点共圆”不是一个独立的定理，它是一个问题，一个需要根据具体条件来证明的命题。 不同的条件，证明的方法和思路也会不同。
关键在于挖掘题目中隐含的几何关系。 很多时候，题目给出的条件（比如相等的线段、相等的角、平行线等）都是用来帮助你建立起“三点共圆”或者“四点共圆”的联系。
希望我这番解释能让你对五点共圆问题有了更深入的理解。数学证明的关键在于严谨的逻辑推理和对几何性质的深刻掌握。
首先，咱们得明确，“五点共圆”到底是什么意思。简单来说，就是有五个点，这五个点都能落在同一个圆上。咱们要证明的就是，在什么条件下，这五个点就能这么“巧”地排在一起，形成一个圆。
为什么我们说“证明”？
你可能会想，不就是五个点嘛，找个圆把它圈起来不就行了？其实不然。数学上的证明，是要给出逻辑严密的推理，证明这个结论在任何符合条件的场合都是成立的，而不是仅仅演示一个例子。就好比你不能只画一个正方形就证明“所有四边形都是正方形”，对吧？
那么，什么情况下这五点才会共圆呢？
这里面有个关键点：通常情况下，任意给定的五个点，是无法共圆的。 你可以试着在纸上随便画五个点，你很难碰巧画出它们都在一个圆上的情况。
所以，证明五点共圆，实际上是在证明什么特定的条件组合，能够强制这五个点“乖乖地”落在同一个圆上。
咱们来一步一步捋一捋：
第一步：两点共圆？ 还是三点共圆？
两点： 只要有两个点，你能画出无数个圆，让这两个点都在圆上。想象一下，以这两个点为直径的圆，或者以这两个点为弦的圆，甚至更大的圆。所以，两点共圆一点都不稀奇。
三点： 这就有点意思了。如果这三个点不共线（也就是说，不在同一条直线上），那么一定存在唯一一个圆经过这三个点。你可以想象一下，画一个三角形，这个三角形的三个顶点不共线吧？那么，一定有一个圆，叫做外接圆，能同时经过这三个顶点。这个外接圆的圆心，就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这是关键！三点共圆是基础。
第二步：四点共圆的条件
既然三点共圆是基础，那么咱们可以想，如果咱们有了三个点 A, B, C，它们确定了一个圆。现在再来一个点 D。什么时候 D 也会在这个圆上呢？
这取决于 D 和 A, B, C 的相对位置。一种常见且重要的四点共圆的条件是：如果点 A, B, C, D 构成的图形（比如四边形 ABCD）中，某一组对角互补（和为 180 度），那么这四个点就共圆。
怎么证明呢？ 假设 A, B, C 三点确定了一个圆。现在我们考虑第四个点 D。
如果 ABCD 是一个凸四边形，并且 ∠ABC + ∠ADC = 180°。
我们可以通过反证法来思考。假设 D 不在这个由 A, B, C 确定的圆上。那么，过 A, B, D 三点的圆会和过 A, B, C 的圆有一个交点，就是 A 和 B。如果 D 不在那个圆上，那么过 A, B, D 的圆就跟原来的圆有另一个交点 D'。
从圆的性质出发，在一个圆上的四个点，它们形成的四边形的对角和是 180°。反过来，如果一个四边形的对角和是 180°，那么这四个点一定共圆。
更直观的证明思路： 假设 A, B, C 三点确定了圆 O。如果点 D 使得 ∠ABC + ∠ADC = 180°，那么你可以证明 D 必定在这个圆 O 上。你可以考虑过 A, B, C 的圆，设为圆 K。如果 D 在圆 K 上，那么 ABCD 就是圆内接四边形，对角和是 180°。反之，如果 D 不在圆 K 上，那么过 A, B, D 的圆会与圆 K 相交于 A, B 两点，并且存在一点 D' 在圆 K 上，使得 ABD' 相似于 ABD。通过角度的转化，可以推导出 D 和 D' 是同一个点。
第三步：五点共圆——从四点到五点
那么，五点共圆的问题，其实可以看作是：如何从已知（或者满足某种条件的）四点共圆，推导出第五个点也落入同一个圆？
这就像搭积木一样，我们先要搭好一个四点的基础。
情况一：五点本身就满足了某个“共圆”的性质
最直接的情况是，这五个点本身就存在某种内在联系，使得它们天然就共圆。例如：
五个点是某个正五边形的顶点。 正多边形的顶点一定共圆，这是由对称性决定的。你可以证明正五边形的每个顶点到其中心点的距离都相等，这个中心点就是外接圆的圆心。
五个点是某个特殊几何图形的顶点，这个图形的顶点天然共圆。 比如，一个等腰梯形的四个顶点共圆，如果你能构造出第五个点，使得它和前面四个点有同样的性质，那它们也就能共圆。
情况二：利用“四点共圆”的条件，逐步添加第五个点
这是更普遍的证明思路。咱们可以这样操作：
1. 选取其中三个点： 假设我们有五个点 A, B, C, D, E。先选取 A, B, C 三个不共线的点。它们必然确定一个唯一的圆，我们称之为圆 K。
2. 判断第四个点是否共圆： 现在来看点 D。如果 A, B, C, D 四个点满足四点共圆的条件（比如，它们构成一个圆内接四边形，或者满足对角互补等），那么 D 就在圆 K 上。
3. 判断第五个点是否共圆：
如果 D 也在圆 K 上了： 那么我们现在有 A, B, C, D 四点都在圆 K 上。现在我们来看第五个点 E。我们需要证明 E 也在这个圆 K 上。这通常需要 E 和 A, B, C, D 之间存在某种特殊的几何关系。
如果 D 不在圆 K 上： 那么证明五点共圆就有点麻烦了，除非这五个点之间有我们还没发现的整体性质。
更实际的证明思路（通常是题目会给定的条件）：
很多时候，五点共圆的证明题，会给到你一些具体的条件，让你去验证。比如：
“证明点 A, B, C, D, E 五点共圆，已知 AB=BC=CD=DE 且 ∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°”
在这种情况下，你可以先证明 A, B, C, D 四点共圆。因为 AB=BC 且 ∠ABC=90°，三角形 ABC 是等腰直角三角形。同理，BCD 是等腰直角三角形。
利用四点共圆的条件：考虑四边形 ABCD。∠ABC=90°，∠BCD=90°。不是对角互补，但我们可以想别的。
换个角度： AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD。那么 AB 平行于 CD。这构成了一个梯形。
更关键的是： AB=BC=CD。 我们可以利用圆的弦长和圆心角的关系。
具体证明：
1. 确定一个圆： 由于 ∠ABC = 90°，以 AC 为直径的圆会经过 B。同样，由于 ∠BCD = 90°，以 BD 为直径的圆会经过 C。
2. 找到一个共同点： AB=BC 且 ∠ABC=90°，可知 AC 的长度。AC 垂直平分线是 B 点的轨迹。
3. 利用中垂线： AC 的中点 M 是圆心。BD 的中点 N 是圆心。如果 M 和 N 是同一点，那么 A, B, C, D 就在同一个圆上。
4. 另一种方法： 考虑 A, B, C 三点。它们可以确定一个圆。我们可以证明 D 也在这个圆上。
5. 更简单的方式（题目给定的信息）： AB=BC，则圆心在 AB 的垂直平分线上。BC=CD，则圆心在 BC 的垂直平分线上。 ∠ABC=90°，∠BCD=90°。
6. 关键： AB=BC=CD。 想象一下，在圆上，相等的弦所对的圆心角相等。
7. 利用坐标几何（有时候也很有用）：
设 B 为原点 (0,0)。A 为 (0, a)，C 为 (b, 0)。
由于 ∠ABC=90°，AC 的中点是 ((a+b)/2, a/2)。
由于 AB=BC，所以 a=b。那么 A=(0,a)，B=(0,0)，C=(a,0)。AC 中点为 (a/2, a/2)。
∠BCD=90°，CD 的长度等于 BC（a）。 D 应该是 (a, a)。
现在我们有 A(0,a), B(0,0), C(a,0), D(a,a)。
AC 的中点是 (a/2, a/2)。以 AC 为直径的圆的半径的平方是 (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2。
验证 B 是否在圆上：(0 a/2)^2 + (0 a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2。B 在圆上。
验证 C 是否在圆上：(a a/2)^2 + (0 a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = a^2/2。C 在圆上。
验证 D 是否在圆上：(a a/2)^2 + (a a/2)^2 = a^2/4 + (3a/2)^2 = a^2/4 + 9a^2/4 = 10a^2/4。D 不在这个圆上！
我的例子可能不太好。 咱们换一个已知条件。
更常见的思路： 如果给定的五个点，都满足同一个圆的定义（例如，到同一个点的距离都相等），那自然就共圆了。
实际证明中，通常是利用以下几种思路：
1. 三点定圆，再证其余点：
选取三个点，证明它们共圆。
然后利用已有的共圆性质（如四点共圆的定理），证明第四个点也在这个圆上。
最后，利用前四个点共圆的性质，和第五个点与这四个点之间的关系，证明第五个点也在这同一个圆上。
2. 利用角度关系：
如果五个点构成的图形，可以通过角度关系推导出它们都满足“圆内接四边形”的性质，或者满足“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”等。
例如，如果能证明 ∠ACB = ∠ADB = ∠AEB，那么 A, B, C, D, E 这五个点就共圆，并且圆心在 AB 的垂直平分线上（如果 ∠ACB 是圆周角）。
3. 利用垂直平分线：
圆上的点到圆心的距离相等。
如果能证明存在一个点 P，使得 PA=PB=PC=PD=PE，那么这五个点就共圆，圆心为 P。
这通常是通过证明 P 是 AB, BC, CD, DE 等弦的中垂线的交点来实现。
4. 利用坐标几何：
选取三个点，通过这三个点的坐标，建立圆的方程 (xa)^2 + (yb)^2 = r^2。
然后将第四个点和第五个点的坐标代入这个方程，看它们是否满足。
如果题目给定的条件比较复杂，但又很“规整”，可以尝试用坐标几何来计算。
举个更具体的例子（如何像正常人一样思考和证明）：
问题： 证明：以等腰梯形 ABCD 的腰 AB 和 CD 的中点 M、N 为圆心，分别以 MA、ND 为半径的两个圆相交于点 P，则 A, B, C, P 四点共圆。
分析：
等腰梯形 ABCD，AB 和 CD 是腰。这说明 AD || BC 且 AB = CD。
M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点。
圆 M 的半径是 MA = MB = AB/2。
圆 N 的半径是 ND = NC = CD/2。
因为 AB = CD，所以 MA = MB = ND = NC。
两个圆相交于 P。这意味着 MP = MA = MB， NP = ND = NC。
所以，PA = PB = PC = PD。
证明：
1. 确定共圆条件： 我们要证明 A, B, C, P 四点共圆。这意味着我们需要找到一个点 O，使得 OA = OB = OC = OP。
2. 利用已知信息：
因为 M 是 AB 的中点，MA = MB，且 P 在以 M 为圆心，MA 为半径的圆上，所以 MP = MA = MB。
因此，PA = PB。 （由 MP = MA 和 MP = MB 得到）
因为 N 是 CD 的中点，ND = NC，且 P 在以 N 为圆心，ND 为半径的圆上，所以 NP = ND = NC。
因此，PC = PD。 （由 NP = ND 和 NP = NC 得到）
3. 连接等腰梯形性质：
在等腰梯形 ABCD 中，AD || BC，AB = CD。
过 M 作 ME || AD，交 AC 于 Q，交 BD 于 R。
更重要是的，等腰梯形的对角线相等，AC = BD。
等腰梯形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的中点是同一个点。
关键点： 我们已经证明了 PA = PB。 这说明点 P 在 AB 的垂直平分线上。由于 M 是 AB 的中点，所以 MP 垂直于 AB。
我们也证明了 PC = PD。 这说明点 P 在 CD 的垂直平分线上。由于 N 是 CD 的中点，所以 NP 垂直于 CD。
4. 整合信息：
我们有 PA = PB。
现在需要证明 PC 也等于 PA。
MP = MA = MB。NP = ND = NC。 且 MA = ND。
所以 MP = NP。
思考： 等腰梯形 ABCD。 AD || BC。 AB = CD。 AC = BD。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。 MP = AB/2。 NP = CD/2。 因为 AB=CD，所以 MP=NP。
关键推论： 我们已经得到 PA=PB。 如果我们能证明 PC=PA，那么 A,B,C,P 就共圆了。
利用等腰梯形的性质： 等腰梯形 ABCD，AB=CD。 AD || BC。
设想圆心： 我们知道 P 到 A 和 B 的距离相等。同时 P 到 C 和 D 的距离也相等。
角度思考： MP 垂直于 AB。NP 垂直于 CD。
重点来了： 在等腰梯形 ABCD 中，AC = BD。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。 MP = AB/2， NP = CD/2。 因为 AB=CD，所以 MP=NP。
如何证明 PC = PA？
考虑等腰梯形 ABCD。AD || BC。 AB = CD。
P 是圆 M 和圆 N 的交点。 MP = MA = AB/2。 NP = ND = CD/2。
因为 AB = CD，所以 MA = ND。 于是 MP = NP。
PA = PB (由圆 M)。 PC = PD (由圆 N)。
现在需要证明 PA = PC。
重要几何关系： 在等腰梯形中，AD 和 BC 分别是底边。AB 和 CD 是腰。 M 是 AB 中点，N 是 CD 中点。
利用对称性： 如果 AD 和 BC 的中点重合，或者 AD 与 BC 的中垂线就是 MN，那会简单很多。
考虑三角形 PAB 和 PCD： PA=PB，所以三角形 PAB 是等腰三角形。PC=PD，所以三角形 PCD 是等腰三角形。
关键： AB 和 CD 是等腰梯形的腰。AB=CD。
重点： MP 垂直于 AB。 NP 垂直于 CD。 并且 MP = NP。
几何推导：
PA = PB = AB/2
PC = PD = CD/2
因为 AB = CD，所以 PA = PB = PC = PD。
结论： 因为 PA = PB = PC，所以点 P 到 A, B, C 的距离都相等。存在一个圆，以 P 为圆心，PA 为半径，经过 A, B, C。
最后一步： 我们也证明了 PD = PA，所以 D 也在这个圆上。 （这和题目要求证明 A,B,C,P 共圆略有不同，但原理一致）
回到题目： 证明 A, B, C, P 四点共圆。
我们已经证明 PA = PB。
现在需要证明 PC = PA。
如何从 PA = PB = AB/2 和 PC = PD = CD/2 以及 AB=CD 来推导出 PA = PC？
MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 MP = NP。
利用向量或者复数有时会更方便，但咱们用纯几何：
设梯形顶点坐标：A=(a, h), B=(a, h), C=(b, 0), D=(b, 0)。 (AD || BC)
腰 AB=CD。 2a = sqrt((ba)^2 + (0h)^2)。
M 是 AB 中点: M=(0, h)。 N 是 CD 中点: N=(0, 0)。
圆 M 的半径 MA = a。圆 N 的半径 ND = b。
这里我用错了等腰梯形的定义，等腰梯形是底边平行，腰相等。
正确的坐标设法： 设 A=(a, h), B=(a, h), C=(c, 0), D=(d, 0)。 AD || BC，所以 h=0 不行。 AD 和 BC 是底边。
设 A=(a, h), B=(a, h), C=(b, 0), D=(c, 0)。AD || BC。
等腰梯形，腰相等。 AB = CD。 2a = sqrt((b(c))^2 + (00)^2) = b+c。 AB = 2a。
所以 AB = b+c。
M 是 AB 中点: M=(0, h)。 N 是 CD 中点: N = ((bc)/2, 0)。
圆 M 的半径 MA = a。 圆 N 的半径 ND = c。
因为 AB=CD，所以 2a=c+b (我的坐标设法还是有点问题)。
换个思路，利用角度：
关键： MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 且 MP = NP。
如果 AD || BC， AB=CD。
PA = PB， PC = PD。
MP = AB/2。 NP = CD/2。
因为 AB=CD，所以 MP=NP。
考虑三角形 PAB 和 PCD。 PA=PB，PC=PD。
如果 MN 垂直于 AD 和 BC，那么 M 和 N 之间的连线就是对称轴。
核心： AB 和 CD 是等腰梯形的腰。 MP = MA = AB/2。 NP = ND = CD/2。
因为 AB=CD，所以 MP = NP。
PA = PB (因为 M 是 AB 中点，P 在以 M 为圆心的圆上)。
PC = PD (因为 N 是 CD 中点，P 在以 N 为圆心的圆上)。
最重要的推论： MN 是 AB 和 CD 的中垂线的交点？不一定。
证明 PA=PC：
MP 垂直 AB， NP 垂直 CD。 MP=NP。
思考： 向量法可能更好理解。 $vec{PA} = vec{MA} vec{MP}$， $vec{PB} = vec{MB} vec{MP}$。 由于 $vec{MA} = vec{MB}$ 且 $|vec{MP}|=|vec{MA}|$，所以 $vec{PA} cdot vec{PA} = (vec{MA}vec{MP}) cdot (vec{MA}vec{MP}) = |vec{MA}|^2 2vec{MA}cdotvec{MP} + |vec{MP}|^2$。
几何思路：
PA = PB （PA² = PM²+MA²2PM·MA cos∠PMA）
AB是弦，M是AB中点，PM垂直AB。 所以PA² = PM² + MA²。
CD是弦，N是CD中点，PN垂直CD。 所以PC² = PN² + NC²。
因为 MP=MA=AB/2 (M是AB中点，MA是半径)，所以 PA² = MA² + MA² = 2MA²。
因为 NP=NC=CD/2 (N是CD中点，NC是半径)，所以 PC² = NC² + NC² = 2NC²。
因为 AB=CD，所以 MA=NC。
因此 PA² = 2MA² 且 PC² = 2NC²。 由于 MA=NC，所以 PA² = PC²。
即 PA = PC。
5. 最终结论：
我们已经证明了 PA = PB。
并且证明了 PA = PC。
因此，PA = PB = PC。
这意味着点 P 到 A, B, C 的距离相等。
所以，存在一个圆，以 P 为圆心，PA 为半径，该圆经过 A, B, C 三点。
故 A, B, C, P 四点共圆。
总结一下证明五点共圆的通用思路：
1. 找到“定圆”的三点： 通常是选取题目中给出某些特定关系的三个点，证明它们共圆。
2. 利用共圆性质推导：
四点共圆定理： 如果一个四边形的对角互补，或者外角等于内对角，则这四点共圆。
同弧定理： 同弧所对的圆周角相等，或者圆心角是圆周角的两倍。
3. 逐步添加： 如果前几点共圆，并且第五点与这几点之间存在满足共圆条件的几何关系，就可以证明第五点也在此圆上。
4. 寻找共同的圆心： 如果能证明存在一个点到所有五个点的距离都相等，那么这五点就共圆。
5. 利用特殊图形的性质： 正多边形、等腰梯形等特殊图形的顶点天然共圆，可以利用这些性质作为出发点。
需要注意的是：
“五点共圆”不是一个独立的定理，它是一个问题，一个需要根据具体条件来证明的命题。 不同的条件，证明的方法和思路也会不同。
关键在于挖掘题目中隐含的几何关系。 很多时候，题目给出的条件（比如相等的线段、相等的角、平行线等）都是用来帮助你建立起“三点共圆”或者“四点共圆”的联系。
希望我这番解释能让你对五点共圆问题有了更深入的理解。数学证明的关键在于严谨的逻辑推理和对几何性质的深刻掌握。
网友意见
怎么没人邀请我？我可是五点共圆四号机。
我个人非常喜欢这个几何问题，就来这里讨论一下。
实际上国家领导人发现数学定理是很普遍的现象。
例如拿破仑就发现了拿破仑定理，虽然没有什么大用，但是很美。
以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。
出门在外，不能用wiki，见谅
------------------------
五点共圆也是这样的一个很美的定理。
首先看题，
在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是K、O、N、M、L。
求证：K、O、N、M、L五点共圆。
这是个很好玩的问题，原因就在于有如此多的点共圆以及园共点。
而这类问题，我一般都直接用密克定理及其逆定理。
密克定理：
定理陈述
三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。
逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。
证明密克定理：
密克定理∠ONC=∠ONB
∠ONC=∠OPA=∠OMA=∠ONB
证明逆定理
∠A=180°-∠MOP
∠C=180°-∠NOP
故∠MON=∠A+∠C=180°-∠B
MONB四点共圆，证毕
再看五点共圆
我们看△AIC，其边上有HGD三点。
所以△IHD，△GCH和△ADG的外接圆共点
这个点就是点N，故ADGN共圆
而与△ADG有关的是△BJD（故ADGI四点共圆）。
于是，ANLD四点共圆
我们要证五点共圆，就任意证四点共圆即可
我们已知ANLD四点共圆，
所以，通过对称性，我们可以断定应该证KOLN共圆
那么，我们就证明∠KON+∠KLN=180°即可
注意到∠KLN=∠ALN-∠ALK，∠KON=∠KOI+∠ION
故命题∠KOI+∠ION+∠ALN-∠ALK=180°
∠ALK=∠AJK=180°-∠KJI=∠KOI
∠ALN=180°-∠ADN=180°-∠ION
命题得证。
这个命题看起来比较难，其实就是由于很多的圆迷惑了你的视线，这时就需要一句话也不说，闷头计算。
很惭愧
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