经济学中的「效用」是全序的吗？是可加的吗？如何证明？
经济学中的“效用”是一个核心概念，它试图量化消费者从消费商品或服务中获得的满足感或偏好。要理解效用是否具有全序性或可加性，我们需要深入探讨这些属性的含义以及它们在效用理论中的作用。
效用是否是全序的？
我们先来理解“全序”这个概念。在数学和逻辑学中，全序是指一种关系，它对于任意两个元素都满足三种基本性质：
1. 自反性 (Reflexivity): 任何元素都与其自身可比，也就是说，任何一个消费束（一组商品和服务的组合）至少和它自己一样好。从直观上说，你至少和你自己拥有的东西一样满足。
2. 反对称性 (Antisymmetry) / 传递性 (Transitivity) 的推论: 如果A优于B，那么B就不能优于A。更严谨地说，全序要求的是反对称性（如果a R b且b R a，则a=b）和传递性（如果a R b且b R c，则a R c）。在效用语境下，这意味着，如果消费者认为消费束A“至少和”消费束B一样好（或者说A不比B差），并且B“至少和”A一样好（或者说B不比A差），那么A和B必须是完全相同的，消费者对它们的偏好程度是等同的。
3. 传递性 (Transitivity): 如果一个消费者认为消费束A比消费束B好，并且认为消费束B比消费束C好，那么他一定认为消费束A比消费束C好。这是一种理性偏好的基本假设。我们不喜欢“循环偏好”，比如喜欢A胜过B，B胜过C，但又偏好C胜过A，这会使得消费者的选择变得混乱无章。
所以，在标准的经济学理论中，效用被假设为是全序的。 这一假设是构建消费者选择模型的基础。当我们谈论“效用”时，我们实际上是在讨论一种偏好关系，并且这种偏好关系被要求满足上述的完备性（包括自反性和反对称性）和传递性。
如何证明（或者说，为什么我们这样假设）？
这里的“证明”更像是一种公理化或者假设，而不是一个数学上的推导。经济学家提出效用函数的目的是为了模拟和解释消费者的行为。如果消费者的偏好不满足全序性，那么我们就很难预测他们的选择，或者说，他们的选择将是不理性的、难以预测的。
完备性（Completeness）的证明/假设: 经济学家假设消费者总是能够对任意两个不同的消费束做出比较。也就是说，对于任何两个消费束A和B，消费者要么偏好A（A≻B），要么偏好B（B≻A），要么认为两者无差异（A~B）。这确保了消费者在面对任何选择时都有明确的判断，不会出现“不知道选哪个”或者“无法比较”的情况。这是“全”序的一部分，意味着比较是完整的。
传递性 (Transitivity) 的证明/假设: 传递性是理性选择的基石。如果消费者表现出传递性，那么他们的选择就是一致的。例如，如果消费者在面对A和B时选择了A，在面对B和C时选择了B，那么在面对A和C时，他们也应该选择A。如果他们不选择A而选择了C，这就违背了传递性，意味着他们的偏好是不稳定的，或者他们可能受到了某种外部因素的影响。经济学家通过观察大量消费者的行为，发现大多数情况下，人们的偏好表现出传递性，因此将其作为模型的基本假设。
效用是否是可加的？
“可加性”（Additivity）则是一个更强的性质。它指的是，消费者从不同商品中获得的效用可以简单地加起来，形成总效用。例如，如果消费一单位苹果给你带来2个效用单位，消费一单位香蕉给你带来3个效用单位，那么同时消费一单位苹果和一单位香蕉带来的总效用就是2+3=5个效用单位。
效用并非总是可加的。 也就是说，效用不一定是加法可分的。
为什么效用不总是可加的，以及如何理解？
主要原因是“边际替代率递减”以及商品之间的替代关系和互补关系。
边际替代率递减 (Diminishing Marginal Rate of Substitution): 这是消费理论中的一个重要概念。它意味着，为了维持相同的总效用水平，当一个人拥有的某种商品（比如苹果）越多，他愿意用另一种商品（比如香蕉）来替代苹果的数量就越少。如果效用是简单加和的，那么这种边际替代率应该是恒定的。但现实中，边际效用（增加一单位商品带来的额外效用）是递减的，而且不同商品组合在一起时的“替代”行为也并非简单的加法。
替代品和互补品:
替代品 (Substitutes): 比如茶和咖啡。如果喝一杯茶能给你带来5个效用单位，喝一杯咖啡也能给你带来5个效用单位，那么简单相加会认为同时喝茶和咖啡总效用是10。但实际上，大多数人会选择喝其中一种，而不是两者都喝。而且，咖啡的味道可能会影响你对茶的偏好，反之亦然。
互补品 (Complements): 比如咖啡和糖。如果一杯咖啡给你带来5个效用单位，一勺糖给你带来2个效用单位，总效用可能是7。但是，如果咖啡和糖是强互补品，那么喝咖啡不加糖可能带来比5个效用单位少得多的满足感，而糖的效用也很大程度上依赖于咖啡的存在。简单相加可能无法准确捕捉这种协同效应。
证明（或者说，展示效用不一定是可加的）
我们无法“证明”效用一定是可加的，因为这本身就是一个更强的、并非普遍成立的假设。相反，我们可以展示在什么情况下，效用不是可加的。
举个例子：
假设有两种商品：A（香烟）和B（打火机）。
效用函数可以写成 U(a, b)，其中 a 是香烟的数量，b 是打火机的数量。
如果效用是可加的，那么 U(a, b) = U_A(a) + U_B(b)。
这意味着，一个人对香烟的偏好与他对打火机的偏好是完全独立的，两者相加就是总效用。
但是，实际情况往往是：
如果一个人根本不抽烟（a=0），那么他拥有的打火机（b>0）对他来说几乎没有效用，甚至可能是负效用（占地方）。
如果一个人抽烟（a>0），但没有打火机（b=0），那么香烟对他来说也基本没有效用（无法点燃）。
只有当a>0且b>0时，香烟和打火机才能结合起来产生积极的效用。
这意味着，U(a, b) 远不是 U_A(a) + U_B(b) 那么简单。可能存在一个交互项，或者说，其中一种商品（打火机）的效用是依赖于另一种商品（香烟）的存在的。
更数学化的表达是，一个可加效用函数（Additively Separable Utility Function）的形式是：
$U(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^n u_i(x_i)$
其中 $x_i$ 是第 i 种商品的数量，$u_i(x_i)$ 是该商品单独的效用函数。
然而，很多消费行为无法用这种形式来描述。例如，斯通吉里（StoneGeary）效用函数或者科布道格拉斯（CobbDouglas）效用函数（尽管科布道格拉斯函数在某些方面表现出可加性，但其对数形式的线性组合更常见）都不是严格意义上的简单加和形式，它们更适合描述商品的替代或互补关系。
总结来说：
效用是全序的： 这是经济学家用来确保消费者偏好具有逻辑一致性和可预测性的基本假设。它意味着消费者总能比较任何两个消费束，并且这些比较是传递的。
效用不总是可加的： 简单地将不同商品带来的效用相加，往往无法准确反映商品之间的替代、互补关系以及消费者行为的复杂性。许多实际的效用函数形式都包含了交互项，或者采用了更复杂的结构来描述这种非加和性。
因此，在现代微观经济学中，我们首先要求效用具有全序性，以此来构建消费者选择理论。而可加性则是一个更强的、并非普适的属性，只在特定类型的商品组合或特定的模型假设下才成立。
效用是否是全序的？
我们先来理解“全序”这个概念。在数学和逻辑学中，全序是指一种关系，它对于任意两个元素都满足三种基本性质：
1. 自反性 (Reflexivity): 任何元素都与其自身可比，也就是说，任何一个消费束（一组商品和服务的组合）至少和它自己一样好。从直观上说，你至少和你自己拥有的东西一样满足。
2. 反对称性 (Antisymmetry) / 传递性 (Transitivity) 的推论: 如果A优于B，那么B就不能优于A。更严谨地说，全序要求的是反对称性（如果a R b且b R a，则a=b）和传递性（如果a R b且b R c，则a R c）。在效用语境下，这意味着，如果消费者认为消费束A“至少和”消费束B一样好（或者说A不比B差），并且B“至少和”A一样好（或者说B不比A差），那么A和B必须是完全相同的，消费者对它们的偏好程度是等同的。
3. 传递性 (Transitivity): 如果一个消费者认为消费束A比消费束B好，并且认为消费束B比消费束C好，那么他一定认为消费束A比消费束C好。这是一种理性偏好的基本假设。我们不喜欢“循环偏好”，比如喜欢A胜过B，B胜过C，但又偏好C胜过A，这会使得消费者的选择变得混乱无章。
所以，在标准的经济学理论中，效用被假设为是全序的。 这一假设是构建消费者选择模型的基础。当我们谈论“效用”时，我们实际上是在讨论一种偏好关系，并且这种偏好关系被要求满足上述的完备性（包括自反性和反对称性）和传递性。
如何证明（或者说，为什么我们这样假设）？
这里的“证明”更像是一种公理化或者假设，而不是一个数学上的推导。经济学家提出效用函数的目的是为了模拟和解释消费者的行为。如果消费者的偏好不满足全序性，那么我们就很难预测他们的选择，或者说，他们的选择将是不理性的、难以预测的。
完备性（Completeness）的证明/假设: 经济学家假设消费者总是能够对任意两个不同的消费束做出比较。也就是说，对于任何两个消费束A和B，消费者要么偏好A（A≻B），要么偏好B（B≻A），要么认为两者无差异（A~B）。这确保了消费者在面对任何选择时都有明确的判断，不会出现“不知道选哪个”或者“无法比较”的情况。这是“全”序的一部分，意味着比较是完整的。
传递性 (Transitivity) 的证明/假设: 传递性是理性选择的基石。如果消费者表现出传递性，那么他们的选择就是一致的。例如，如果消费者在面对A和B时选择了A，在面对B和C时选择了B，那么在面对A和C时，他们也应该选择A。如果他们不选择A而选择了C，这就违背了传递性，意味着他们的偏好是不稳定的，或者他们可能受到了某种外部因素的影响。经济学家通过观察大量消费者的行为，发现大多数情况下，人们的偏好表现出传递性，因此将其作为模型的基本假设。
效用是否是可加的？
“可加性”（Additivity）则是一个更强的性质。它指的是，消费者从不同商品中获得的效用可以简单地加起来，形成总效用。例如，如果消费一单位苹果给你带来2个效用单位，消费一单位香蕉给你带来3个效用单位，那么同时消费一单位苹果和一单位香蕉带来的总效用就是2+3=5个效用单位。
效用并非总是可加的。 也就是说，效用不一定是加法可分的。
为什么效用不总是可加的，以及如何理解？
主要原因是“边际替代率递减”以及商品之间的替代关系和互补关系。
边际替代率递减 (Diminishing Marginal Rate of Substitution): 这是消费理论中的一个重要概念。它意味着，为了维持相同的总效用水平，当一个人拥有的某种商品（比如苹果）越多，他愿意用另一种商品（比如香蕉）来替代苹果的数量就越少。如果效用是简单加和的，那么这种边际替代率应该是恒定的。但现实中，边际效用（增加一单位商品带来的额外效用）是递减的，而且不同商品组合在一起时的“替代”行为也并非简单的加法。
替代品和互补品:
替代品 (Substitutes): 比如茶和咖啡。如果喝一杯茶能给你带来5个效用单位，喝一杯咖啡也能给你带来5个效用单位，那么简单相加会认为同时喝茶和咖啡总效用是10。但实际上，大多数人会选择喝其中一种，而不是两者都喝。而且，咖啡的味道可能会影响你对茶的偏好，反之亦然。
互补品 (Complements): 比如咖啡和糖。如果一杯咖啡给你带来5个效用单位，一勺糖给你带来2个效用单位，总效用可能是7。但是，如果咖啡和糖是强互补品，那么喝咖啡不加糖可能带来比5个效用单位少得多的满足感，而糖的效用也很大程度上依赖于咖啡的存在。简单相加可能无法准确捕捉这种协同效应。
证明（或者说，展示效用不一定是可加的）
我们无法“证明”效用一定是可加的，因为这本身就是一个更强的、并非普遍成立的假设。相反，我们可以展示在什么情况下，效用不是可加的。
举个例子：
假设有两种商品：A（香烟）和B（打火机）。
效用函数可以写成 U(a, b)，其中 a 是香烟的数量，b 是打火机的数量。
如果效用是可加的，那么 U(a, b) = U_A(a) + U_B(b)。
这意味着，一个人对香烟的偏好与他对打火机的偏好是完全独立的，两者相加就是总效用。
但是，实际情况往往是：
如果一个人根本不抽烟（a=0），那么他拥有的打火机（b>0）对他来说几乎没有效用，甚至可能是负效用（占地方）。
如果一个人抽烟（a>0），但没有打火机（b=0），那么香烟对他来说也基本没有效用（无法点燃）。
只有当a>0且b>0时，香烟和打火机才能结合起来产生积极的效用。
这意味着，U(a, b) 远不是 U_A(a) + U_B(b) 那么简单。可能存在一个交互项，或者说，其中一种商品（打火机）的效用是依赖于另一种商品（香烟）的存在的。
更数学化的表达是，一个可加效用函数（Additively Separable Utility Function）的形式是：
$U(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^n u_i(x_i)$
其中 $x_i$ 是第 i 种商品的数量，$u_i(x_i)$ 是该商品单独的效用函数。
然而，很多消费行为无法用这种形式来描述。例如，斯通吉里（StoneGeary）效用函数或者科布道格拉斯（CobbDouglas）效用函数（尽管科布道格拉斯函数在某些方面表现出可加性，但其对数形式的线性组合更常见）都不是严格意义上的简单加和形式，它们更适合描述商品的替代或互补关系。
总结来说：
效用是全序的： 这是经济学家用来确保消费者偏好具有逻辑一致性和可预测性的基本假设。它意味着消费者总能比较任何两个消费束，并且这些比较是传递的。
效用不总是可加的： 简单地将不同商品带来的效用相加，往往无法准确反映商品之间的替代、互补关系以及消费者行为的复杂性。许多实际的效用函数形式都包含了交互项，或者采用了更复杂的结构来描述这种非加和性。
因此，在现代微观经济学中，我们首先要求效用具有全序性，以此来构建消费者选择理论。而可加性则是一个更强的、并非普适的属性，只在特定类型的商品组合或特定的模型假设下才成立。
网友意见
我觉得目前的答案把问题复杂化了，事实上这个问题应该很简单。
首先效用是全序的，我们存在一个全序关系，即交换意愿。令张三此刻的效用函数为f，对于张三此刻而言，若愿意使用A交换B，则有，对于任何可以产生效用的东西，我们都可以通过这种方式进行比较，所以效用是一个全序集。
至于问题中的：
比如某人认为“拥有某限量版跑车给我带来的是任何其他东西所不能比拟的”，同时又认为“拥有某限量版CD给我带来的是任何其他东西所不能比拟的”
很显然是一种不严谨的表达。
要破解这个问题其实也非常简单，只需要让这个人在限量版的跑车和限量版的CD之间做一个选择就可以了。
至于提问者的困惑，边际效用递减效应与之是不矛盾的。很显然边际效用递减并不影响效用的全序性，也满足可加性，譬如说得到一百颗苹果的效用肯定还是比得到一个苹果大，虽然不是大一百倍。
但是吃掉一百个苹果，并不是一百个吃掉一个苹果的累加。所以也就不会出现吃吐了导致效用相加后为会小于相加前的情况出现。准确地说是对一个吃腻了苹果的人来说，吃掉一个苹果的效用是负的，而在这个人没吃腻苹果和肚子很饿的时候，效用是正的。一个人在今天明天后天，上午下午，此时那刻，任何时候的效用函数都是不一样的。不同情况下，一个人的效用函数是不同的。
深入研究这个问题后我发现，其实基数效用论就是说效用是测度，序数效用论就是说效用是全序么。其实要大家都是数学家，很多理论大可不必写的那么啰嗦啊。
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