如何理解经济学中的混合策略 (Mixed Strategy) ？
经济学中的混合策略，这个概念听起来有点抽象，但其实它描述的是我们在做决策时，会有一种“不确定性”或者说“随机性”的处理方式。简单来说，就是我们不总是选择唯一一个确定的行为，而是会在几个可选的行为之间“随机地”抽取一个来执行。
为了更好地理解它，咱们可以从几个方面来深入聊聊。
一、为什么需要混合策略？
你可能会问，我们做决策的时候，难道不能直接选择一个最好的选项吗？为什么还要引入随机性呢？这主要有以下几个原因：
1. 预测性与策略博弈： 在很多经济活动中，你的决策会受到其他人的决策影响，而他们的决策又会受到你的影响。这就形成了一个“博弈”的局面。如果你总是选择一个固定的、可以预测的行为，那么你的对手很容易就会抓住你的规律，并利用这一点来对付你。
举个简单的例子：足球比赛中的点球大战。如果你每次都踢同一个方向（比如永远踢左边），那么对方守门员很快就会发现你的规律，并总是扑向左边。这样一来，你就很容易被扑出。为了避免被对手预测到，你可能会决定：我有 50% 的概率踢左边，50% 的概率踢右边。这样一来，守门员就很难准确判断，他也不得不采取一种“随机”的应对方式，比如事先猜测你可能踢的方向。
这种博弈的场景在经济学中非常普遍：企业之间的价格竞争、厂商决定生产多少产品、甚至是国际贸易谈判，都可能涉及这种你来我往的策略互动。混合策略就是解决这种“我预测你，你也预测我”的僵局的利器。
2. 规避对手的已知优势： 有时候，对手可能有一个明确的优势或者弱点。如果你总是和他玩他擅长的游戏，你可能会吃亏。混合策略可以让你在不暴露自己弱点的前提下，干扰对手的既定策略。
再比如，两个公司竞争广告投放。如果一家公司知道另一家公司总是倾向于在某个特定时段投放广告，那么它就可以利用这个信息来调整自己的投放策略，例如选择在对手投放广告的空档期投入更多资源，或者反其道而行之，在对手投放广告的同时投放，以期获得更高的曝光度。
3. 隐藏真实意图，增加不确定性： 在某些情况下，你可能不希望对手知道你真正的目标或者你打算采取的行动。通过引入随机性，你可以让你的行为变得更加难以捉摸，从而保护自己的利益。
设想一下，你在谈判中。如果你总是表现出非常坚决的态度，对手可能会认为你没有退让的空间，从而停止谈判。但如果你在不同的谈判回合中，对于同一个让步点表现出不同的反应，有时坚定拒绝，有时又显得有些犹豫，这种不确定性可能会让对手更愿意尝试一些其他方案，或者更认真地考虑你的提议。
二、如何理解混合策略的具体操作？
混合策略并不是说你要胡乱行动，它背后有一套严谨的数学和经济学理论支撑。最核心的概念是 纳什均衡（Nash Equilibrium）。
在博弈论中，一个 纳什均衡 是一个策略组合，在这种组合下，没有任何一个参与者可以通过单方面改变自己的策略而获得更好的结果。简单来说，就是在这个状态下，每个人都选择了自己认为最好的策略，而这个“最好”是基于他认为其他人也会选择他们最好的策略的假设。
混合策略纳什均衡是说，在这种均衡状态下，参与者通过随机选择策略来达到一个稳定的状态。关键在于，在混合策略均衡中，每个参与者都会随机地选择那些在他看来能使对手“无差别对待”的策略。
让我们来拆解一下“无差别对待”这个概念：
假设你是点球手，你有踢左边（L）和踢右边（R）两个选择。对方守门员也有扑左边（l）和扑右边（r）两个选择。
如果你总是踢左边，守门员就总是扑左边，你就没机会得分。
如果你总是踢右边，守门员就总是扑右边，你也没机会得分。
那么，什么情况下守门员会感到“无差别对待”呢？就是当守门员无论扑左还是扑右，他被你得分的概率是一样的，或者说他损失的概率是一样的。
假设你踢左边的得分率是 60%，踢右边的得分率是 40%。
守门员扑左边的话，你踢左边得分的概率是 60%，踢右边得分的概率是 40%。
守门员扑右边的话，你踢左边得分的概率是 40%，踢右边得分的概率是 60%。
在这种情况下，守门员会怎么想？如果他认为你踢左边的概率是 p，踢右边的概率是 (1p)。
如果守门员扑左边，他被你得分的期望概率是 `p 60% + (1p) 40%`。
如果守门员扑右边，他被你得分的期望概率是 `p 40% + (1p) 60%`。
守门员会选择让他被得分概率最低的那一边。为了让守门员“无差别对待”，也就是说，无论他扑左还是扑右，他被你得分的期望概率都一样。
那么，我们可以令：
`p 60% + (1p) 40% = p 40% + (1p) 60%`
解这个方程，你会发现 `p = 0.5`。
这意味着，当你以 50% 的概率踢左边，50% 的概率踢右边时，守门员无论扑左还是扑右，他被你得分的期望概率都是 50%。这个时候，守门员无论选择扑左还是扑右，对他来说结果都一样（从概率上看），他并没有一个明确的理由要去偏向某一个方向。
这就达到了一个混合策略纳什均衡。在这个均衡里：
你随机选择踢左或右，让守门员无法预测，从而使守门员陷入“无差别对待”的境地。
守门员也随机选择扑左或右（或者说，以某种概率去扑某个方向），以最大化自己的利益（最小化你的得分率）。
这种“让对手无差别对待”的策略，正是混合策略的核心。你通过引入随机性，消除了对手的优势或者规避了对手的预测，从而在博弈中占据一个相对有利的位置。
三、现实中的应用和思考
混合策略不仅仅是理论上的概念，在现实经济生活中有很多影子：
定价策略： 某些行业的公司会时不时地调整价格，甚至在某些时段内放出一些限时优惠，这种不确定性有时是为了扰乱竞争对手的定价预期。
产品发布和推广： 公司在新品发布的时间、推广渠道的选择上，也可能有意制造一些不确定性，让竞争对手难以准确把握其动向。
拍卖行为： 在一些复杂的拍卖场景下，参与者可能会采用混合策略来竞价，以期在不暴露自己真实估值的情况下获得拍品。
外交和谈判： 国家在进行外交谈判时，为了保持战略灵活性，也可能不会每次都采取完全一致的立场或策略，而是会根据情况调整，这种调整本身就带有一定的“随机性”以应对不同情况。
需要注意的是：
混合策略并非总是最优的： 如果没有对手进行博弈，或者对手的行为完全固定且容易预测，那么选择一个确定的最优策略（称为纯策略）往往是更好的。混合策略是在对手会根据你的行为做出反应的情况下才更有价值。
“随机性”的实现方式： 在实际操作中，这种随机性不一定是完全随机的骰子或硬币抛掷。它可以是基于概率的决策规则，也可以是周期性的、或者基于某些外部信号触发的策略切换。关键在于，这种切换使得对手难以精确预测你下一步会做什么。
理论与实践的差距： 尽管博弈论提供了混合策略的理论框架，但现实中的博弈往往更加复杂，参与者可能无法完全理性地计算和执行混合策略，信息也往往是不完整的。
总而言之，经济学中的混合策略是一种在相互依存的决策环境中，通过引入随机性来应对对手预测、保护自身利益的决策方式。它鼓励我们思考，在很多时候，最佳的策略不是死守一个不变的选项，而是通过巧妙的“不确定性”来赢得博弈。这是一种在动态变化和相互制约中寻求最优解的智慧。
为了更好地理解它，咱们可以从几个方面来深入聊聊。
一、为什么需要混合策略？
你可能会问，我们做决策的时候，难道不能直接选择一个最好的选项吗？为什么还要引入随机性呢？这主要有以下几个原因：
1. 预测性与策略博弈： 在很多经济活动中，你的决策会受到其他人的决策影响，而他们的决策又会受到你的影响。这就形成了一个“博弈”的局面。如果你总是选择一个固定的、可以预测的行为，那么你的对手很容易就会抓住你的规律，并利用这一点来对付你。
举个简单的例子：足球比赛中的点球大战。如果你每次都踢同一个方向（比如永远踢左边），那么对方守门员很快就会发现你的规律，并总是扑向左边。这样一来，你就很容易被扑出。为了避免被对手预测到，你可能会决定：我有 50% 的概率踢左边，50% 的概率踢右边。这样一来，守门员就很难准确判断，他也不得不采取一种“随机”的应对方式，比如事先猜测你可能踢的方向。
这种博弈的场景在经济学中非常普遍：企业之间的价格竞争、厂商决定生产多少产品、甚至是国际贸易谈判，都可能涉及这种你来我往的策略互动。混合策略就是解决这种“我预测你，你也预测我”的僵局的利器。
2. 规避对手的已知优势： 有时候，对手可能有一个明确的优势或者弱点。如果你总是和他玩他擅长的游戏，你可能会吃亏。混合策略可以让你在不暴露自己弱点的前提下，干扰对手的既定策略。
再比如，两个公司竞争广告投放。如果一家公司知道另一家公司总是倾向于在某个特定时段投放广告，那么它就可以利用这个信息来调整自己的投放策略，例如选择在对手投放广告的空档期投入更多资源，或者反其道而行之，在对手投放广告的同时投放，以期获得更高的曝光度。
3. 隐藏真实意图，增加不确定性： 在某些情况下，你可能不希望对手知道你真正的目标或者你打算采取的行动。通过引入随机性，你可以让你的行为变得更加难以捉摸，从而保护自己的利益。
设想一下，你在谈判中。如果你总是表现出非常坚决的态度，对手可能会认为你没有退让的空间，从而停止谈判。但如果你在不同的谈判回合中，对于同一个让步点表现出不同的反应，有时坚定拒绝，有时又显得有些犹豫，这种不确定性可能会让对手更愿意尝试一些其他方案，或者更认真地考虑你的提议。
二、如何理解混合策略的具体操作？
混合策略并不是说你要胡乱行动，它背后有一套严谨的数学和经济学理论支撑。最核心的概念是 纳什均衡（Nash Equilibrium）。
在博弈论中，一个 纳什均衡 是一个策略组合，在这种组合下，没有任何一个参与者可以通过单方面改变自己的策略而获得更好的结果。简单来说，就是在这个状态下，每个人都选择了自己认为最好的策略，而这个“最好”是基于他认为其他人也会选择他们最好的策略的假设。
混合策略纳什均衡是说，在这种均衡状态下，参与者通过随机选择策略来达到一个稳定的状态。关键在于，在混合策略均衡中，每个参与者都会随机地选择那些在他看来能使对手“无差别对待”的策略。
让我们来拆解一下“无差别对待”这个概念：
假设你是点球手，你有踢左边（L）和踢右边（R）两个选择。对方守门员也有扑左边（l）和扑右边（r）两个选择。
如果你总是踢左边，守门员就总是扑左边，你就没机会得分。
如果你总是踢右边，守门员就总是扑右边，你也没机会得分。
那么，什么情况下守门员会感到“无差别对待”呢？就是当守门员无论扑左还是扑右，他被你得分的概率是一样的，或者说他损失的概率是一样的。
假设你踢左边的得分率是 60%，踢右边的得分率是 40%。
守门员扑左边的话，你踢左边得分的概率是 60%，踢右边得分的概率是 40%。
守门员扑右边的话，你踢左边得分的概率是 40%，踢右边得分的概率是 60%。
在这种情况下，守门员会怎么想？如果他认为你踢左边的概率是 p，踢右边的概率是 (1p)。
如果守门员扑左边，他被你得分的期望概率是 `p 60% + (1p) 40%`。
如果守门员扑右边，他被你得分的期望概率是 `p 40% + (1p) 60%`。
守门员会选择让他被得分概率最低的那一边。为了让守门员“无差别对待”，也就是说，无论他扑左还是扑右，他被你得分的期望概率都一样。
那么，我们可以令：
`p 60% + (1p) 40% = p 40% + (1p) 60%`
解这个方程，你会发现 `p = 0.5`。
这意味着，当你以 50% 的概率踢左边，50% 的概率踢右边时，守门员无论扑左还是扑右，他被你得分的期望概率都是 50%。这个时候，守门员无论选择扑左还是扑右，对他来说结果都一样（从概率上看），他并没有一个明确的理由要去偏向某一个方向。
这就达到了一个混合策略纳什均衡。在这个均衡里：
你随机选择踢左或右，让守门员无法预测，从而使守门员陷入“无差别对待”的境地。
守门员也随机选择扑左或右（或者说，以某种概率去扑某个方向），以最大化自己的利益（最小化你的得分率）。
这种“让对手无差别对待”的策略，正是混合策略的核心。你通过引入随机性，消除了对手的优势或者规避了对手的预测，从而在博弈中占据一个相对有利的位置。
三、现实中的应用和思考
混合策略不仅仅是理论上的概念，在现实经济生活中有很多影子：
定价策略： 某些行业的公司会时不时地调整价格，甚至在某些时段内放出一些限时优惠，这种不确定性有时是为了扰乱竞争对手的定价预期。
产品发布和推广： 公司在新品发布的时间、推广渠道的选择上，也可能有意制造一些不确定性，让竞争对手难以准确把握其动向。
拍卖行为： 在一些复杂的拍卖场景下，参与者可能会采用混合策略来竞价，以期在不暴露自己真实估值的情况下获得拍品。
外交和谈判： 国家在进行外交谈判时，为了保持战略灵活性，也可能不会每次都采取完全一致的立场或策略，而是会根据情况调整，这种调整本身就带有一定的“随机性”以应对不同情况。
需要注意的是：
混合策略并非总是最优的： 如果没有对手进行博弈，或者对手的行为完全固定且容易预测，那么选择一个确定的最优策略（称为纯策略）往往是更好的。混合策略是在对手会根据你的行为做出反应的情况下才更有价值。
“随机性”的实现方式： 在实际操作中，这种随机性不一定是完全随机的骰子或硬币抛掷。它可以是基于概率的决策规则，也可以是周期性的、或者基于某些外部信号触发的策略切换。关键在于，这种切换使得对手难以精确预测你下一步会做什么。
理论与实践的差距： 尽管博弈论提供了混合策略的理论框架，但现实中的博弈往往更加复杂，参与者可能无法完全理性地计算和执行混合策略，信息也往往是不完整的。
总而言之，经济学中的混合策略是一种在相互依存的决策环境中，通过引入随机性来应对对手预测、保护自身利益的决策方式。它鼓励我们思考，在很多时候，最佳的策略不是死守一个不变的选项，而是通过巧妙的“不确定性”来赢得博弈。这是一种在动态变化和相互制约中寻求最优解的智慧。
网友意见
这个问题挺有意思的，按我的理解，所谓混合策略就是“把选择权交给老天爷”。
假如，一个混合策略是0.7概率选择行动A，以0.3概率选择行动B，我想题主的问题可能是，这个(0.7,0.3)的概率测度是怎么实现的，人可以选择A，可以选择B，这个0.7-A-0.3-B是怎么出来的呢？这个在博弈论里面有一个术语，叫做“随机化”。
其实实现随机化的方式很简单，首先，你要推迟选择，比如，A表示明天去上课，B表示明天在宿舍睡大头觉，(0.7, 0.3)这个概率是考虑了老师是不是点名的收益和其他同学的选择求解出来的。
下面就很简单了，你查了一下天气预报，发现明天早上不下雨的概率是0.7，下雨的概率是0.3，于是你的策略是：下雨就不去上课，不下雨就去上课。在这里，你的选择被推到了“明早是否降雨”这个随机因素实现之后。
我记得我当时的微观老师是这么说的：你觉得你在做纯策略的时候，很多时候你都是在做混合策略。
当然，Colin Camerer在那本巨著 Behavioral Game 当中用了一个章节来介绍各种各样的实验结果，证实人在随机化过程中出现了大量的问题。就比如中科院前几年惊世骇俗的剪子包袱锤研究，就证明了人们存在胜者不做改变的倾向。也就是说，人本身确实不拥有完美的随机化能力，就像上面的例子里说的，人不可能总找到那么巧合的概率分布。
不过，这里也存在另一个问题，就是动态不一致性。在上面的例子里面，决定是否去上课的学生，实际上选择加入了一个自己和 nature 之间进行的子博弈。人与人之间的博弈要考虑对方的支付函数，而人与自然则不同，只需要一个海萨尼转换把自然的策略转化成随机状态的概率分布即可。在这个子博弈里面，自然的策略决定了人的策略，所以是把选择权交给老天爷。
那动态不一致性出现在哪里呢？仔细观察，事实上这里涉及到了参与人对自己进行的承诺，也就是说，参与人实际上也选择了一个承诺，承诺在不下雨时上课。如果一夜之后，参与人的偏好改变了（北方冬天的早上），变成了无论如何都要逃课（占优策略均衡），那无论是否下雨他都不会去上课。昨天的随机化，事实上就没用了。
女孩儿抛硬币决定是不是买一件死贵的衣服时，总是抛到符合买的条件为止，根据optimal stopping，这个概率是1。
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