什么是埃尔德什差异问题?
埃尔德什差异问题（Erdős Difference Problem）是一个数论中的著名问题，它涉及到给定一个整数集合，我们能否找到一个子集，使得该子集的所有元素之差都落在另一个预先设定的集合中。这个问题的表述和研究有多种形式，其中最著名和最具有代表性的是由匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）提出的一个版本。
为了详细解释，我们将从几个方面展开：
1. 问题核心的直观理解
想象一下你有一堆数字（一个集合 $A$）。你想要从中挑出一些数字（一个子集 $B subseteq A$），并且你对这些挑出来的数字之间的“距离”（差值）有特定的要求。具体来说，你希望所有差值（例如 $b_i b_j$，其中 $b_i, b_j in B$）都必须落在另一个预先给定的数字集合 $D$ 中。
2. 最经典的埃尔德什差异问题形式
埃尔德什差异问题最经典的表述是关于集合 $A$ 的差集 $AA = {a_i a_j mid a_i, a_j in A}$。
问题可以概括为：
给定一个有限整数集合 $A$，是否可以构造一个子集 $B subseteq A$，使得 $B$ 足够“大”（例如，元素的数量远大于某个阈值），并且 $B$ 的差集 $BB$（通常我们排除零差值，即 $0 otin BB$）只包含一个或少数几个特定的值？
或者更具体地说，埃尔德什本人提出了一个非常具有挑战性的版本：
是否存在一个无限的整数集合 $A$，使得所有非零差值 $a_i a_j$ 都属于某个固定的有限集合 $D$？
（注意：这个无限集合的版本通常被称为 埃尔德什差集问题 或 埃尔德什的差集猜想，而“埃尔德什差异问题”有时也泛指与此相关的有限集合问题。）
3. 问题的背景和重要性
数论中的结构性问题： 这个问题考察的是整数集合的内在结构。如果我们能找到一个子集，其差值非常“受限”，这意味着这个子集具有某种高度的周期性或规律性，即使在更大的集合中这种规律并不明显。
与组合数学和图论的联系： 这个问题可以转化为图论中的问题。例如，将集合 $A$ 的元素视为图的顶点，如果 $a_i a_j in D$ （或 $a_j a_i in D$），则在顶点 $a_i$ 和 $a_j$ 之间画一条边。那么问题就变成寻找一个子图（或导出子图）是否存在，其所有边都属于一个特定的边集，并且顶点数很大。
与解析数论的联系： 为了解决这个问题，研究者们常常使用解析数论的工具，如傅里叶分析、加权和技巧等，来估计集合的大小和差集的性质。
4. 埃尔德什的贡献和相关结果
埃尔德什本人对这个问题进行了深入研究，并提出了许多重要的猜想和研究方向。
有限集合版本（埃尔德什塞迈雷迪定理的背景）： 对于一个有限集合 $A$，如果我们要求其差集 $AA$ 的大小 $|Delta(A)|$ 满足 $|Delta(A)| le k$，那么 $|A|$ 的上界是什么？埃尔德什与塞迈雷迪（Endre Szemerédi）合作研究了这个问题，并导致了著名的 埃尔德什塞迈雷迪定理 (Erdős–Szemerédi theorem)。这个定理表明，对于一个包含 $n$ 个整数的集合 $A$，其差集的大小 $|Delta(A)|$ 要么很大，要么非常小。具体来说，如果 $A$ 是一个 $n$ 个整数的集合，那么 $|AA| ge c frac{n^2}{log n}$，其中 $c$ 是一个常数。这个结果表明，一个集合的差集不太可能非常小。换句话说，如果你想要一个子集的差集非常集中，那么这个子集本身相对于原始集合来说是“非常稀疏”的。
无限集合版本（埃尔德什差集猜想）： 埃尔德什本人猜想，不存在一个具有自然密度（natural density）的正整数集合 $A$，使得 $AA$ 只包含有限个值。 自然密度是指集合 $A$ 中小于 $N$ 的元素数量除以 $N$，当 $N o infty$ 时的极限。换句话说，埃尔德什认为，任何“足够大”的整数集合（在自然密度意义上），其差集一定会包含“很多”不同的值。
5. 研究的进展和相关定理
莫里斯·博姆（Morris–Bocherer）定理： 这个定理在一定程度上解决了埃尔德什的无限集合猜想。他们证明了，如果一个集合 $A$ 具有正的自然密度，那么其差集 $AA$ 一定包含无限多个素数。这意味着差集不可能只包含一个或有限个值（除非这个集合本身非常平凡，例如只包含一个数）。
有限集版本研究的进展： 对于有限集，研究者们在限制差集大小的条件下寻找最大的子集大小。例如，如果差集 $AA$ 只包含一个非零值 $d$，那么集合 $A$ 的形式必须是 ${a_0, a_0+d, a_0+2d, dots, a_0+(k1)d}$，即一个等差数列。对于差集只包含几个值的情况，也有很多研究。
多项式差集（Polynomial Difference Sets）： 埃尔德什也研究过更一般的情况，即差集中的元素是否可以通过某个多项式生成。
6. 困难之处
反证法的运用： 很多研究方法是通过假设一个差集非常小的集合存在，然后通过复杂的论证来导出矛盾。
指数和的估计： 需要精确地估计由集合元素构成的指数和的增长速度，这通常涉及到解析数论的深刻技巧。
对结构的要求极高： 要想让差集很小，集合本身的结构就必须非常特殊，例如形成一个等差数列。但如果集合很大且没有这样强的结构，差集就会变得很大。
7. 举例说明
简单例子（差集非常小）： 设 $A = {1, 2, 3, 4}$。
$AA = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44}$
$AA = {0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0}$
去掉零和重复项，非零差集为 ${3, 2, 1, 1, 2, 3}$。这个集合相对较小。
等差数列（差集只有一个非零值）： 设 $A = {2, 5, 8, 11}$。这是一个公差为 $3$ 的等差数列。
$AA = {0, pm 3, pm 6, pm 9}$。非零差集为 ${pm 3, pm 6, pm 9}$。
如果 $A = {2, 5, 8, 11, 14}$，公差仍然是 $3$。
$AA = {0, pm 3, pm 6, pm 9, pm 12}$。
如果一个集合是等差数列 ${a, a+d, a+2d, dots, a+(k1)d}$，那么其差集是 ${m cdot d mid (k1) le m le k1}$。这个差集的大小是有限的。
反例（差集很大）： 设 $A = {1, 2, 4, 8, 16, dots, 2^{n1}}$ (一个几何数列的前 $n$ 项)。
这个集合的差集会非常大。例如，差值 $2^i 2^j$ 会产生很多不同的值。
总结
埃尔德什差异问题核心在于探究一个整数集合的子集，其元素之差是否能被限制在一个非常小的集合中。这个问题表面看似简单，实则涉及深刻的数论原理。它连接了数论、组合学和分析学，并催生了如埃尔德什塞迈雷迪定理这样的重要结果。虽然埃尔德什本人提出的关于正自然密度集合差集猜想在很大程度上被证明是正确的，但关于有限集合在不同限制下的精确界限，以及其他变种问题，至今仍是活跃的研究领域。
这个问题的重要性在于它揭示了整数集合的结构与它们之间差值分布之间的深刻联系，以及这种联系在数学的许多分支中的普适性。
为了详细解释，我们将从几个方面展开：
1. 问题核心的直观理解
想象一下你有一堆数字（一个集合 $A$）。你想要从中挑出一些数字（一个子集 $B subseteq A$），并且你对这些挑出来的数字之间的“距离”（差值）有特定的要求。具体来说，你希望所有差值（例如 $b_i b_j$，其中 $b_i, b_j in B$）都必须落在另一个预先给定的数字集合 $D$ 中。
2. 最经典的埃尔德什差异问题形式
埃尔德什差异问题最经典的表述是关于集合 $A$ 的差集 $AA = {a_i a_j mid a_i, a_j in A}$。
问题可以概括为：
给定一个有限整数集合 $A$，是否可以构造一个子集 $B subseteq A$，使得 $B$ 足够“大”（例如，元素的数量远大于某个阈值），并且 $B$ 的差集 $BB$（通常我们排除零差值，即 $0 otin BB$）只包含一个或少数几个特定的值？
或者更具体地说，埃尔德什本人提出了一个非常具有挑战性的版本：
是否存在一个无限的整数集合 $A$，使得所有非零差值 $a_i a_j$ 都属于某个固定的有限集合 $D$？
（注意：这个无限集合的版本通常被称为 埃尔德什差集问题 或 埃尔德什的差集猜想，而“埃尔德什差异问题”有时也泛指与此相关的有限集合问题。）
3. 问题的背景和重要性
数论中的结构性问题： 这个问题考察的是整数集合的内在结构。如果我们能找到一个子集，其差值非常“受限”，这意味着这个子集具有某种高度的周期性或规律性，即使在更大的集合中这种规律并不明显。
与组合数学和图论的联系： 这个问题可以转化为图论中的问题。例如，将集合 $A$ 的元素视为图的顶点，如果 $a_i a_j in D$ （或 $a_j a_i in D$），则在顶点 $a_i$ 和 $a_j$ 之间画一条边。那么问题就变成寻找一个子图（或导出子图）是否存在，其所有边都属于一个特定的边集，并且顶点数很大。
与解析数论的联系： 为了解决这个问题，研究者们常常使用解析数论的工具，如傅里叶分析、加权和技巧等，来估计集合的大小和差集的性质。
4. 埃尔德什的贡献和相关结果
埃尔德什本人对这个问题进行了深入研究，并提出了许多重要的猜想和研究方向。
有限集合版本（埃尔德什塞迈雷迪定理的背景）： 对于一个有限集合 $A$，如果我们要求其差集 $AA$ 的大小 $|Delta(A)|$ 满足 $|Delta(A)| le k$，那么 $|A|$ 的上界是什么？埃尔德什与塞迈雷迪（Endre Szemerédi）合作研究了这个问题，并导致了著名的 埃尔德什塞迈雷迪定理 (Erdős–Szemerédi theorem)。这个定理表明，对于一个包含 $n$ 个整数的集合 $A$，其差集的大小 $|Delta(A)|$ 要么很大，要么非常小。具体来说，如果 $A$ 是一个 $n$ 个整数的集合，那么 $|AA| ge c frac{n^2}{log n}$，其中 $c$ 是一个常数。这个结果表明，一个集合的差集不太可能非常小。换句话说，如果你想要一个子集的差集非常集中，那么这个子集本身相对于原始集合来说是“非常稀疏”的。
无限集合版本（埃尔德什差集猜想）： 埃尔德什本人猜想，不存在一个具有自然密度（natural density）的正整数集合 $A$，使得 $AA$ 只包含有限个值。 自然密度是指集合 $A$ 中小于 $N$ 的元素数量除以 $N$，当 $N o infty$ 时的极限。换句话说，埃尔德什认为，任何“足够大”的整数集合（在自然密度意义上），其差集一定会包含“很多”不同的值。
5. 研究的进展和相关定理
莫里斯·博姆（Morris–Bocherer）定理： 这个定理在一定程度上解决了埃尔德什的无限集合猜想。他们证明了，如果一个集合 $A$ 具有正的自然密度，那么其差集 $AA$ 一定包含无限多个素数。这意味着差集不可能只包含一个或有限个值（除非这个集合本身非常平凡，例如只包含一个数）。
有限集版本研究的进展： 对于有限集，研究者们在限制差集大小的条件下寻找最大的子集大小。例如，如果差集 $AA$ 只包含一个非零值 $d$，那么集合 $A$ 的形式必须是 ${a_0, a_0+d, a_0+2d, dots, a_0+(k1)d}$，即一个等差数列。对于差集只包含几个值的情况，也有很多研究。
多项式差集（Polynomial Difference Sets）： 埃尔德什也研究过更一般的情况，即差集中的元素是否可以通过某个多项式生成。
6. 困难之处
反证法的运用： 很多研究方法是通过假设一个差集非常小的集合存在，然后通过复杂的论证来导出矛盾。
指数和的估计： 需要精确地估计由集合元素构成的指数和的增长速度，这通常涉及到解析数论的深刻技巧。
对结构的要求极高： 要想让差集很小，集合本身的结构就必须非常特殊，例如形成一个等差数列。但如果集合很大且没有这样强的结构，差集就会变得很大。
7. 举例说明
简单例子（差集非常小）： 设 $A = {1, 2, 3, 4}$。
$AA = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44}$
$AA = {0, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0}$
去掉零和重复项，非零差集为 ${3, 2, 1, 1, 2, 3}$。这个集合相对较小。
等差数列（差集只有一个非零值）： 设 $A = {2, 5, 8, 11}$。这是一个公差为 $3$ 的等差数列。
$AA = {0, pm 3, pm 6, pm 9}$。非零差集为 ${pm 3, pm 6, pm 9}$。
如果 $A = {2, 5, 8, 11, 14}$，公差仍然是 $3$。
$AA = {0, pm 3, pm 6, pm 9, pm 12}$。
如果一个集合是等差数列 ${a, a+d, a+2d, dots, a+(k1)d}$，那么其差集是 ${m cdot d mid (k1) le m le k1}$。这个差集的大小是有限的。
反例（差集很大）： 设 $A = {1, 2, 4, 8, 16, dots, 2^{n1}}$ (一个几何数列的前 $n$ 项)。
这个集合的差集会非常大。例如，差值 $2^i 2^j$ 会产生很多不同的值。
总结
埃尔德什差异问题核心在于探究一个整数集合的子集，其元素之差是否能被限制在一个非常小的集合中。这个问题表面看似简单，实则涉及深刻的数论原理。它连接了数论、组合学和分析学，并催生了如埃尔德什塞迈雷迪定理这样的重要结果。虽然埃尔德什本人提出的关于正自然密度集合差集猜想在很大程度上被证明是正确的，但关于有限集合在不同限制下的精确界限，以及其他变种问题，至今仍是活跃的研究领域。
这个问题的重要性在于它揭示了整数集合的结构与它们之间差值分布之间的深刻联系，以及这种联系在数学的许多分支中的普适性。
网友意见
这是一个值得科普的好问题。
2015 年 9 月 17 日，陶哲轩 宣布破解 埃尔德什差异问题（the Erdős Discrepancy Problem)（论文地址：
http:// arxiv.org/abs/1509.0536 3），实在是可喜可贺。
埃尔德什差异问题 当然是一个很难的问题。从提出者和破解者的履历便可见一斑：
- Terence Tao 有多厉害，相信大家都知道：12 岁获得 IMO 金牌，31 岁获得菲尔兹奖等，都是极其厉害的成就。当然，让我印象深刻的，还有这么一段描述：“陶哲轩的数学生涯 也并非一帆风顺。9岁多时，他未能入选澳大利亚队，去参加国际数学奥林匹克竞赛。”
- 但我们更应该知道，Paul Erdős 也是一个很厉害的人，至少，从成就上来说，他可能比现在的 Tao 更厉害： 他发表论文高达 1475 篇，为现时发表论文数最多的数学家（第二位为 欧拉）；曾和 511 人合写论文。如果你看过《我的大脑敞开了》或《数字情种》，你一定会对这个神奇的数学家留下深刻的印象。
然而，与两人的光辉履历形成鲜明对比的是，“埃尔德什差异问题” 从 问题描述 来说，却是相当简洁且便于理解的——通过适当的解释，只要是小学毕业了的人，都可以理解这个问题在说什么。
埃尔德什差异问题 的描述是这样的：
- 对于任意无穷数列，
接下来，我尝试用 小学生可以理解的方式 来解释这个问题：
（1） 首先，有一个无限长的数列 ，数列中的每个数，都是由 1 和 -1 组成的。
- 比如数列 A：1，-1，-1，-1，1，-1……就是一个满足条件的数列。
（2） 接下来，我们要取数列的某些项，这些项在数列中的位置都是某个自然数 N 的倍数，并且是从头开始的连续几个倍数（即第 N 、2N、3N……项）。
- 比如，我们可以取数列的第 1、2、3、4 项（在 A 中分别为 1，-1，-1，-1），因为它们都是 1 的倍数，且为前 4 项；或者取数列的第 2、4、6 项（在 A 中分别为 -1，-1，-1），因为‘它们都是 2 的倍数，且为前 3 项。但我们不能取数列的第 1、2、4 项 或者 第 4、6、8 项，因为它们不是【从头开始】的【连续几个倍数】。
（3）对于（2）中的每种取法构成的新的数列，我们可以求该数列所有项的和。我们要证明的命题是：无论原来的无穷数列长什么样，我们都可以找到一种取法，使得新数列的和的绝对值大于任意给定的自然数 C。
——————————
遇到这样的问题，一个很自然的思路是：试试 C 比较小的时候，我们是否可以给出证明。
- 当 C=0 时，结论是显然的。
我们只要取数列的第 1 项就可以，它的绝对值肯定大于0。
- 当 C=1 时，结论就不那么显然了。
我们要证明的是，对任意满足要求的数列，
我思考了这个问题，给出了自己的解法，并认为这可以成为一道中学数学竞赛题。为了便于理解，解答过程不使用超过初中的数学。
**********
证明：
用反证法。假设存在一个数列，满足
于是我们有两个简单的推论：
- 对任意正整数 d，数列的第 d 项和第 2d 项的和为 0——反之，它们的和必为 2 或-2，矛盾；
- 对任意正整数 d，数列的第 2d-1 项和第 2d 项的和为 0——反之，设 k 为最小的不满足该条件的数，即第 2k-1 项和 第 2k 项的和为 2 或 -2，则数列的前 2k 项的和为 2 或 -2，矛盾；
不失一般性，设数列第 1 项为 1。
- 由推论2 => 第 2 项为 -1；
- 由推论1 => 第 4 项为 1；
- 由推论2 => 第 3 项为 -1；
- 由推论1 => 第 6 项为 1；
- 由推论2 => 第 5 项为 -1；
- 由推论1 => 第 10 项为 1；
- 由推论2 => 第 9 项为 -1；
考虑数列的第 12 项：
由于数列的第 6 项为 1，由推论1 => 第 12 项为 -1；
但此时数列的第 3、6、9、12 项分别为 -1，1，-1，-1，其和为 -2，与题设矛盾！
故假设不成立，结论成立。
**********
好了，通过一阵折腾，我们证明了 C=1 的情况是成立的。
那么，C=2 的时候，会是什么情况呢？
- 2014 年 2 月，英国利物浦大学的 Alexei Lisitsa 和 Boris Konev，利用计算机，几近于暴力验证的办法，验证了 C=2 的特殊情况。但是，计算机验证过程产生数据达到 13G，甚至超过整个Wikipedia 网站的总数据量。
C=3 呢？
- 相同的计算机算法，没有给出结果……
——————————
然后，陶哲轩登场了！
他证明了一个更强的命题：
- 对于任意无穷数列，
这段话是什么意思呢？
首先，数列不再局限于由 1 和 -1 组成了，只要满足 即可，
其中 H 代表
希尔伯特空间。
当然，对于非数学系的同学来说，要理解希尔伯特空间可能有些困难。
为了让高中生也能有一个概念，我们取一个该空间的子集：复数集。
即，对于数列的每一项，只要满足模等于 1 即可。
比如，数列可以长成这样： ……
在这种情况下，Tao 证明了：
- 我们总可以找到满足要求的子数列，使得它们的和的模大于任意一个自然数。
现在，你是不是感觉到，这个结论好像真的很强？
然而我们可不能忘记，希尔伯特空间比复数集还要大得多得多。
对了，刚才忘了说，陶哲轩从接触这个问题，到最终发表论文，只用了不到两周：
他并没有专门去攻克埃尔德什差异问题，只是在研究其他问题时，发现恰好和这个问题有关，于是“顺手”证明了一下而已。
（注：这其实是一个略带夸张的说法，评论区
@chen ke指出，Tao自己在这篇paper里就说明了这个结果是基于polymath project的成果，而他本人就参加了这个项目）
所以，如果陶哲轩的证明最终被认为是正确的，
那么对于我们而言，除了默默围观和赞叹，
还能做什么呢？
【完】
********************
【如需转载，请联系作者】
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去埃及留学一年，说实话，准备行李确实是个挺费心思的事儿，毕竟你将在一个完全不同的文化和生活环境下度过一年。我想跟你分享一些我总结的经验，希望能帮你更实在地准备：衣物类： 轻便透气的夏装为主，但也要备几件长袖。 埃及大部分地区常年炎热，尤其是夏天，白天温度很高。所以T恤、短裤、薄长裤、裙子是你衣柜.............
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