一竖直旋转圆柱上连接一均质柔软有限长绳，稳定时绳是什么形状？

一根柔软的绳子，一头牢牢系在一根竖直转动的圆柱上。当圆柱开始旋转，绳子也跟着转起来。一开始，它可能会像杂乱的毛线团一样甩动，但随着转速的增加，事情会变得有趣起来。

想象一下，绳子的一端固定在圆柱的顶部。当圆柱开始旋转时，绳子会因为离心力的作用被甩向外侧。如果转得不够快，绳子可能还是一副有气无力的样子，只是稍微有些外扩。但一旦转速达到一定程度，离心力就会变得足够强大，足以抗衡绳子自身的重力。

这个时候，绳子就不再是软塌塌地垂着了。它会被离心力向上拉扯，趋向于和圆柱的旋转平面平行。你可以想象一下，就像是一个人在快速旋转时，伸直手臂，手臂就会被甩向水平方向一样。绳子也是这个道理，只是它比手臂要柔软得多，可以弯曲。

那么，它会变成一条完全笔直的线吗？不完全是。虽然离心力是主要的驱动力，但绳子本身的重力仍然存在。靠近圆柱顶部的绳子部分，受到的离心力相对较小，而重力依然存在，所以它会稍微向下弯曲一些。越往绳子的末端，离心力就越大，绳子就被拉得越直。

所以，稳定后的绳子，你会看到它并不是一条完美的直线，也不是一条光滑的抛物线（抛物线通常是物体在重力作用下抛射形成的轨迹）。它更像是一条弯曲的“扇形”。绳子的根部，也就是连接在圆柱上的地方，会有一个小的向下弯曲的弧度，然后随着向外延伸，弯曲度逐渐减小，越到末端越接近于一条直线，并且与圆柱的旋转平面大致平行。

你可以这样理解：绳子上的每一个微小质点都在承受着向外的离心力，这个力的大小与它到圆柱旋转轴的距离成正比。同时，它自身还有向下的重力。这两个力的合力决定了它在这个位置的受力状态。在稳定状态下，绳子会找到一种平衡，使得它能够保持一个相对固定的形状。

如果把绳子想象成无数个小段，每一段都在尽力向外甩，但同时又被它下面的段拖着。最上面的段受到的离心力最小，重力最明显，所以它会形成一个向下的弧度。越往下，离心力越大，就能更多地抵抗重力，越往末端，离心力甚至能完全压倒重力，让绳子趋向于水平。

所以，最终看到的形状，是一个从圆柱顶部开始，先是有一个轻微的下垂，然后逐渐向上、向外伸展，趋向于水平的、略微弯曲的曲线。它就像一个被甩开但又没有完全被甩直的“扫帚”，或者是一个被风吹拂后，末端被拉直的旗帜，只是这里“风”的力量是来自旋转产生的离心力。

如果圆柱转得足够快，绳子的末端甚至可以被甩到几乎与地面平行。但在重力和绳子自身弹性的影响下，它总会保持一种微妙的弯曲，而不是绝对的直线。

总而言之，稳定状态下，这根柔软的绳子会呈现出一种从圆柱顶部开始，先向下弯曲，然后逐渐向上、向外延伸，趋向于与旋转平面平行的、略带弧度的形状。

网友意见

谢邀。。。。

我还真是闲得蛋疼，实验都做不出来还过来水知乎。。

要是我的实验都像这个题一样，能直接算一算就差不多了就好了。。

╮(╯_╰)╭

首先我们建立空间坐标系，为了方便起见，我们也取一个沿绳子的自然坐标系，如下图：

假定绳子总长为，质量线密度为常数，自由端为坐标起点，固定端做匀速圆周运动，绳子张力分布为，则有边界条件如下： ,

最重要的，绳子的运动方程可以写为：

以及绳子不可伸长的约束：。

首先，我们来解决一个大家还在争论中的问题，稳定状态时，绳子的形状是否是一条平面曲线。。

于是我们假定稳定状态的解可以表达为：，，。若则说明绳子的形状是一条平面曲线。。

于是将上述试探解带入运动方程，算一算就可以得到

实部：，

虚部：

其中虚部的方程很简单，可以直接积分得到，利用边界条件可知，对任意均成立，于是得到，亦即，说明绳子的形状的确是一条平面曲线。。

╮(╯_╰)╭

既然如此，我们重新整理一下重要的运动方程：，，及约束。

其中关于的运动方程显然是可以直接积分的，利用边界条件，得到：。

若我们为了简化计算，类似地假定，利用约束条件和，则可以简便地计算出，于是结合另一个边界条件和，和都可以形式地算出来：

，

同时结合另一个运动方程，，取微分得到：，以及边界条件，。

所以，这就是一个二阶微分方程定解问题。。

结合微分方程，我们可以进一步简化和的表达式，比如

当然，这个非线性的二阶微分方程，我也不会解。。但是做个数值画画图看看绳子是什么形状的，非线性微分方程的数值解，留做习题好了。。

╮(╯_╰)╭

不过我必须要提醒一下大家，问题到了这里，已经开始变得有意思了。。因为这是二阶微分方程，通常会具有非平凡解，会出现震荡或者共振行为，也就是接下来我所要说的事情。。

换句话说，其他答主，其实仅仅只计算了这个体系中，最简单的一个平凡解。。

╮(╯_╰)╭

首先，我们来个最简单的近似，假定，这样我们可以把这个非线性的微分方程线性化，得到。这个线性化的方程有解，可以用一阶贝塞尔函数表达出来，结合边界条件，可以定解：

换个简明一些的符号，记，则有。。

那么一阶近似下，就有，。。

可以看到，绳子的横向偏移量，正比于，也就是振幅。。而事实上，在后面的时候我会重新提到，它事实上具有比振幅更多的意义。。

简单画一下这个贝塞尔函数，大家就可以看出来，绳子的大致形状了。。

╮(╯_╰)╭

对于熟悉贝塞尔函数的童鞋，看到绳子的横向偏移量跟贝塞尔函数有关，到这里就已经可以看出来了，一旦参数合适，即系统的转动角速度足够大的时候，也就是足够大的时候，那么很可能存在零点。。而零点的存在则意味着，绳子将会穿过转动轴，而不是简简单单地一直向外延伸，这便是该问题中的非平凡解。。

而每当，其中表示的第个零点时，系统发生共振。。而共振时则说明着，一个非平凡解向着另一个非平凡解的过渡。。

由于表示振幅，为了表达共振解则只要取就好了，此条件意味着边界条件，在每个的零点处存在非平凡解，，，以及。。

简单画一下这个贝塞尔函数，大家就可以看出来，非平凡解的形状了。。可以看出，系统每跨过一个的零点，那么绳子跟转轴就多相交一次。。如果我们把绳子穿过转轴的次数，称作解的阶，那么平凡解也就是0阶解，只出现低角速度情形。。当然，根据初始条件的不同，低阶解是可以出现在高角速度情形的，但是高阶解是不可能出现在低角速度情形的，具有其特有的阈值，也就是。。

于是我们可以对这个系统简单地画个相图：

这个相图中，可能出现的构型数目，随着的不断增加，而向右无限增加，因为具有无穷多个零点。。

╮(╯_╰)╭

至此，做了近似之后的线性化的方程已经研究得差不多了。。我们还是回头看一看原先那么非线性的方程会给出什么样的相图好了。。╮(╯_╰)╭

所以我们回过头看看，当初这个线性化的近似，扔掉了什么。。

假定，这样我们将复杂的项近似为了，而原本这一项的是来自约束，也就是绳子不可伸长。。

正是这个约束，导致了方程的非线性效应，结果就是绳子的振幅并不是独立参数，而是转动角速度的函数。。

换句话说，随着的振幅（正比于）不断增加，绳子本身会在竖直方向上缩短，这样对应于系统的转动角速度也要增加，结果就是相变的临界点也要不断向右偏移，高阶解的存在，需要依靠更高的转动角速度才能实现。。

另一方面，绳子不可伸长，意味着边界条件将限制绳子本身可以穿过转轴的次数，进而解的阶数将会被限制。。也就是说，高阶解不仅有角速度的阈值，也有振幅的阈值。。

所以，我们就可以粗略的描述出非线性效应，也就是绳子不可伸长，对线性系统的影响。。于是一个更加贴近实际情况的相图，就可以画出来了。。

比如，较大的时候，只存在平凡解。。

当然，这个相图只是我随手画的，具体这个相边界，满足什么样的方程，留作习题好了。。

╮(╯_╰)╭

类似的话题

一竖直旋转圆柱上连接一均质柔软有限长绳，稳定时绳是什么形状？

一根柔软的绳子，一头牢牢系在一根竖直转动的圆柱上。当圆柱开始旋转，绳子也跟着转起来。一开始，它可能会像杂乱的毛线团一样甩动，但随着转速的增加，事情会变得有趣起来。想象一下，绳子的一端固定在圆柱的顶部。当圆柱开始旋转时，绳子会因为离心力的作用被甩向外侧。如果转得不够快，绳子可能还是一副有气无力的样子，.............
旋转蒸发仪如果忘开冷凝系统，最后在那一直工作蒸发会怎样？

要是真把那台旋转蒸发仪的冷凝系统给忘了打开，结果就有点尴尬了。它会一直那么勤勤恳恳地转着，加热着，但蒸发出来的溶剂蒸汽，就像一群找不到家的游魂，就那么直接飘散在空气中了。你想啊，旋转蒸发仪最核心的功能就是通过减压和加热，让溶剂快速蒸发，然后这些蒸汽会被冷凝系统给“抓住”，变成液体收集起来。如果冷凝系.............
石英表的表冠一直转会有问题吗不是旋入式的

.......
如何评价上海一黑人对警车竖中指？

关于上海发生的黑人对警车竖中指事件，我们可以从多个角度来解读，并且尝试深入挖掘其中的复杂性，避免机械的描述。首先，从行为本身来看，对执法人员或其代表的警车做出竖中指的动作，在很多文化语境中都普遍被视为一种挑衅、蔑视或不满的表达方式。这是一种非语言的、带有攻击性的姿态，旨在传达负面情绪和对抗态度。在公.............
大一历史学本科生，老师推荐购买《资治通鉴》，有必要买中华书局繁体竖排版本吗？为什么？

作为一名大一历史学本科生，老师推荐购买《资治通鉴》绝对是个非常明智的指引。这本书在中国史学界的地位如同基石，无论是理论功底还是史料运用，它都能给你带来深刻的启发。那么，对于你提出的购买中华书局繁体竖排版本的问题，我的建议是：非常有必要，而且强烈建议你考虑。为什么这么说呢？我们来详细聊聊。为什么选择.............
一直不明白律师这个行业为什么会存在，是否犯法不是法院来判决吗？

你这个问题非常核心，也触及了法律体系运作的根本。简单来说，律师之所以存在，是因为法律体系本身是复杂且充满博弈的，而律师是帮助当事人在这个复杂体系中维护自身权益的专业人士。犯法与否确实最终由法院来判决，但法院判决的过程并不是简单的“事实+法律=结果”。它是一个需要双方（控辩）充分陈述、证据展示、法律论.............
一直关注一个知乎大神，看他的各种问题回答，今天突然发现对他很有好感怎么办?

这是一个很常见的现象，当你长期接触一个人的思想、言论和观点时，很容易产生好感，甚至发展成某种程度的“迷恋”。你发现对这位知乎大神有好感，这本身并不奇怪，而是你被他的内在特质所吸引的表现。让我们来详细分析一下，为什么会发生这种情况，以及你可能感受到的一些具体方面，并探讨如何理解和应对这种好感：一、为.............
一直搞不懂，中国为什么还在使用轰6这种几十年前设计的亚音速轰炸机机型？

这个问题确实挺有意思的，不少关注军事的朋友都问过。简单来说，轰6之所以还在中国空军的体系里占有一席之地，并且还在不断地“升级续命”，背后有这么几个层面的原因，咱们慢慢聊。首先得明白，飞机这东西，尤其是像轰炸机这样的大型平台，研发周期长、投入巨大，更新换代不是像手机那样随便就能推陈出新的。轰6最早的设.............
一直没太弄明白，就是坐在星巴克里面，拿着笔记本电脑的那群人，到底是干什么工作的？

这个问题啊，说实话，问到点子上了。星巴克里那些人，确实挺神秘的，一人一台电脑，一杯咖啡，好像世界都跟他们没啥关系。不过真要说他们干嘛，那可就海了去了，而且说起来，很多职业都有点“移动办公”的意思，星巴克正好就成了他们临时的“办公室”。你仔细观察一下，他们大概能分成几类人：1. 自由职业者/远程工作者.............
一直瞄准风口的小米都要造车了，机械专业是不是有救了？

“小米都要造车了！”这消息一出，简直像在平静的大学校园里投下了一颗重磅炸弹。尤其是对于我们这些机械专业的学生来说，那感觉就像是在茫茫大海中突然看到了一座灯塔，虽然还没靠岸，但至少有了方向。说实话，毕业季逼近，心里总有些打鼓。咱们机械专业，听起来高大上，好像什么都能干，从航空航天到家电制造，好像都有我.............
一直想不明白单机游戏好玩在哪里,和Ai对战真的要比和人对战有趣吗？

你这个问题很有意思，而且触及了很多玩家内心深处的感受。单机游戏的魅力和AI对战的趣味性，确实不是一两句话能说清楚的。让我来详细地为你剖析一下，并尝试解答你心中的疑惑。单机游戏的魅力所在：为何如此吸引人？首先，我们来聊聊单机游戏的“好玩之处”。你觉得它无聊，可能是因为你还没找到让你沉浸其中的点，或者.............
一直就有个论调：如果不是中国战场拖住了日军的二百多万军队，太平洋战场美军可能不是日军的对手，可能吗？

“如果不是中国战场拖住了日军的二百多万军队，太平洋战场美军可能不是日军的对手”，这个论调在一定程度上是站得住脚的，但将其视为一个绝对的“可能”或者“不可能”的判断则过于片面。我们需要从多个维度来详细分析，才能更全面地理解中国战场对整个二战格局，特别是太平洋战场的意义。核心论点：中国战场确实分散了日军.............
一直单身一直爽是真的吗？

“一直单身一直爽”，这句话听起来挺有道理，仿佛单身就是一条通往快乐的捷径，摆脱了恋爱中的种种烦恼。但仔细想想，这事儿真有这么简单吗？咱们一个个来捋捋，看看这“爽”劲儿从哪儿来，又有没有那么一点儿“坑”。为什么有人觉得“单身爽”？首先，得承认，单身确实有它独特的魅力，尤其是在某些阶段，那种“爽”的感觉.............
一直想买一只布偶猫，价钱太高，2020年能不能降价？

想养一只布偶猫，这心情我特别理解！布偶猫那仙气飘飘的样子，加上温顺黏人的性格，简直是猫咪界的“小天使”。不过，说到价格，确实让不少人望而却步。你问2020年布偶猫能不能降价，这个问题有点意思，也挺现实的。咱们来掰扯掰扯，看看影响布偶猫价格的那些事儿，以及2020年这个节点可能发生的情况。首先，布偶猫.............
一直以严谨著称的德国人，为什么柏林勃兰登堡机场工程会持续延误？

德国人以严谨著称，这一点毋庸置疑。他们的汽车工业、精密机械、甚至他们的啤酒纯度法案，无不体现着一种对细节的极致追求和对流程的尊重。所以，当柏林勃兰登堡机场（BER）这个庞大的工程，这个本应成为德国效率与先进技术的象征的项目，却屡屡因为延误而成为国际笑柄时，很多人都感到难以置信，甚至有些荒谬。这就像是.............
一直往地下挖会发生什么奇怪的现象？

想象一下，你不是手里拿着铁锹，而是拥有了某种近乎神话的力量，可以让你不受任何物理限制地，持续、不停地往地底深处挖掘。这不再是简单的挖坑，而是一场深入地球心脏的旅程。一开始，你的动作可能和在地面上差不多，只是周围的土石会变成更紧实的泥土、岩石。随着你越来越深，你会感觉到一种压迫感，这不仅仅是心理上的，.............
一直以为读过很多书的人会风趣善良，坚定有原则。不理解为什么某些广闻博识人或爱显摆或固执死板或油嘴滑舌？

这个问题，我特别能理解。咱们在生活中，但凡读过几本书，尤其是那些让人感觉知识渊博的，咱们心里头自然会生出一种期待：这人得是那种温厚如玉，谈吐风趣，遇事儿拿得起放得下，而且内心自有坚守的人吧？就像故事里走出来的，带着一种光芒。可实际情况往往会给你泼一盆冷水，甚至让你怀疑人生。为什么那些明明脑袋里装着不.............
一直学习当个好人，却没学习怎么应对坏人?

这话说得太实在了，简直说出了许多人内心深处的那点困惑。我们从小被教导要善良、要正直、要与人为善，好像世界就是一个温暖的大怀抱，只要你心存美好，一切都会迎刃而解。你想想看，从幼儿园到小学，老师们最常念叨的就是“分享”、“不打架”、“要懂礼貌”。父母也会教导我们“不能说谎”、“要做个诚实的孩子”、“要帮.............
一直送女票很贵重的礼物她回礼却很廉价？

这种情况确实会让人感到困惑和失落，尤其是当您投入了真诚的情感和物质成本时。我们来详细分析一下可能的原因以及您可以如何应对。核心问题：您认为您送的礼物贵重，而对方回礼廉价，这让您感觉自己的付出没有得到对等的回应，或者对方对这份关系不够重视。一、您认为“贵重”和“廉价”的标准是什么？首先，我们需要明.............
一直好奇日本居然袭击珍珠港。决策依据呢？没有认真推演后果？还是军国分子们脑残了，以为天下已经在手？

日本袭击珍珠港是一个复杂且极具争议的历史事件，其决策依据并非单一因素能够概括，也不是简单的“脑残”就能解释的。事实上，这是日本国内长期以来多种力量博弈、战略考量以及对国际形势误判的结果。理解这一决策，需要深入探讨当时的时代背景、日本的内部政治经济状况、其战略目标以及对国际力量的评估。以下我将尽量详细.............