最小二乘法只有在因变量服从正态分布时才能用吗？
最小二乘法本身并不要求因变量服从正态分布。它的核心思想是最小化残差平方和，从而找到最佳拟合直线（或超平面）。
但是，最小二乘法的一些重要的统计性质和推论，例如参数估计的无偏性、有效性以及统计检验的有效性，确实需要因变量满足一定的条件，其中正态性是一个非常关键的假设。
下面我们来详细阐述一下：
最小二乘法的核心思想：
假设我们有一个线性模型：
$y_i = eta_0 + eta_1 x_{i1} + eta_2 x_{i2} + ... + eta_k x_{ik} + epsilon_i$
其中：
$y_i$ 是第 $i$ 个观测值的因变量。
$x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{ik}$ 是第 $i$ 个观测值对应的自变量。
$eta_0, eta_1, ..., eta_k$ 是模型中的未知参数（系数）。
$epsilon_i$ 是第 $i$ 个观测值的误差项（残差）。
最小二乘法的目标是找到最优的参数估计值 $hat{eta}_0, hat{eta}_1, ..., hat{eta}_k$，使得所有观测值对应的误差项的平方和最小。数学上表示为：
$SSR = sum_{i=1}^n epsilon_i^2 = sum_{i=1}^n (y_i (eta_0 + eta_1 x_{i1} + ... + eta_k x_{ik}))^2$
最小二乘法通过对 SSR 求偏导并令导数为零来求解参数。这个过程本身不依赖于误差项 $epsilon_i$ 的分布。
为什么正态分布很重要？（高斯马尔可夫定理与最大似然估计）
虽然最小二乘法本身不要求正态分布，但当我们需要对参数估计进行统计推断时（比如计算置信区间、进行假设检验），或者当我们想知道最小二乘估计量是否具有最优性质（如最小方差）时，正态分布就变得至关重要。
这里涉及到高斯马尔可夫定理和最大似然估计。
1. 高斯马尔可夫定理 (GaussMarkov Theorem)
高斯马尔可夫定理指出，在以下几个经典线性回归的假设下，普通最小二乘法 (OLS) 估计量是最佳线性无偏估计量 (BLUE Best Linear Unbiased Estimator)：
线性性 (Linearity): 模型是线性的。
随机抽样 (Random Sampling): 观测值是独立同分布的。
无条件均值为零 (Zero Conditional Mean): $E(epsilon_i | x_{i1}, ..., x_{ik}) = 0$。这意味着自变量和误差项不相关。
同方差性 (Homoscedasticity): 所有误差项的方差相等，即 $Var(epsilon_i) = sigma^2$ 对于所有 $i$ 都相同。
无序列相关性 (No Serial Correlation): 误差项之间不相关，即 $Cov(epsilon_i, epsilon_j) = 0$ for $i eq j$。
注意： 高斯马尔可夫定理并没有要求误差项 $epsilon_i$ 服从正态分布。它只要求满足上述五个条件。在这些条件下，OLS 估计量是所有线性无偏估计量中方差最小的。
2. 正态分布的出现：最优性与统计推断
当我们将误差项服从正态分布这个假设加入进来时，OLS 估计量会获得更强的性质：
最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation MLE): 如果误差项 $epsilon_i$ 服从均值为 0、方差为 $sigma^2$ 的正态分布，即 $epsilon_i sim N(0, sigma^2)$，那么：
因变量 $y_i$ 也服从正态分布：$y_i sim N(eta_0 + eta_1 x_{i1} + ... + eta_k x_{ik}, sigma^2)$。
在这种情况下，OLS 估计量恰好等于最大似然估计量。这意味着 OLS 不仅仅是 BLUE，在正态假设下，它还是最大似然估计量，并且具有渐近最优性（例如，一致性、渐近有效性）。
统计检验和置信区间的有效性：
为了进行 t 检验、F 检验来检验参数的显著性（例如，$H_0: eta_j = 0$），或者构建参数的置信区间，我们需要知道参数估计量（如 $hat{eta}_j$）的抽样分布。
当误差项服从正态分布时，我们可以推导出参数估计量 $hat{eta}_j$ 的抽样分布是正态分布：$hat{eta}_j sim N(eta_j, Var(hat{eta}_j))$。
有了参数估计量的抽样分布后，我们就可以构建 t 统计量和 F 统计量，它们的分布在原假设为真时是已知的（t 分布和 F 分布），从而进行统计推断。
如果误差项不服从正态分布，那么 $hat{eta}_j$ 的抽样分布不一定是正态分布。这时，基于正态分布的 t 检验和 F 检验的精确有效性会受到影响。
3. 中心极限定理 (Central Limit Theorem CLT) 的作用
需要注意的是，即使误差项本身不服从正态分布，如果样本量足够大，根据中心极限定理，参数估计量 $hat{eta}_j$ 的抽样分布也会近似服从正态分布。
在这种情况下，即使原始误差不是正态分布，t 检验和 F 检验在大样本下仍然是近似有效的。这就是为什么在实践中，对于大多数回归问题，即使没有严格的正态性检验通过，但只要样本量足够大，我们仍然可以使用 OLS 进行统计推断。
总结：
1. 最小二乘法的核心目标（最小化残差平方和）不依赖于因变量或误差项的分布。 你总能找到最小化残差平方和的参数估计。
2. “良好”的统计性质（如无偏性、有效性）和统计推断（置信区间、假设检验）确实依赖于一些假设。 其中最关键的是：
高斯马尔可夫定理（无偏性、最小方差等）只需要：线性性、随机抽样、误差期望为零、同方差性、无序列相关性。此时不需要正态性。
精确的统计推断（t检验、F检验的精确有效性）和参数估计量的最优性（最大似然估计）则需要误差项服从正态分布。
3. 大样本下的中心极限定理使得即使误差项非正态，在大样本量时，OLS 估计量的抽样分布也近似正态，从而使得统计推断（t检验、F检验）近似有效。
所以，回答你的问题：
最小二乘法能用吗？ 是的，最小二乘法的计算过程本身不要求因变量服从正态分布。
只有在因变量服从正态分布时才能用吗？ 不是的，但正态分布是获得最优统计性质和精确统计推断的充分条件。 如果你不关心统计推断的精确性，或者你的样本量足够大，那么非正态分布的误差项也不会阻止你使用最小二乘法。
在实际应用中，我们通常会检验模型的残差是否近似服从正态分布，并检查其他回归假设。如果残差偏离正态分布较远，并且样本量不大，我们可能需要考虑其他回归方法，或者对数据进行变换。
但是，最小二乘法的一些重要的统计性质和推论，例如参数估计的无偏性、有效性以及统计检验的有效性，确实需要因变量满足一定的条件，其中正态性是一个非常关键的假设。
下面我们来详细阐述一下：
最小二乘法的核心思想：
假设我们有一个线性模型：
$y_i = eta_0 + eta_1 x_{i1} + eta_2 x_{i2} + ... + eta_k x_{ik} + epsilon_i$
其中：
$y_i$ 是第 $i$ 个观测值的因变量。
$x_{i1}, x_{i2}, ..., x_{ik}$ 是第 $i$ 个观测值对应的自变量。
$eta_0, eta_1, ..., eta_k$ 是模型中的未知参数（系数）。
$epsilon_i$ 是第 $i$ 个观测值的误差项（残差）。
最小二乘法的目标是找到最优的参数估计值 $hat{eta}_0, hat{eta}_1, ..., hat{eta}_k$，使得所有观测值对应的误差项的平方和最小。数学上表示为：
$SSR = sum_{i=1}^n epsilon_i^2 = sum_{i=1}^n (y_i (eta_0 + eta_1 x_{i1} + ... + eta_k x_{ik}))^2$
最小二乘法通过对 SSR 求偏导并令导数为零来求解参数。这个过程本身不依赖于误差项 $epsilon_i$ 的分布。
为什么正态分布很重要？（高斯马尔可夫定理与最大似然估计）
虽然最小二乘法本身不要求正态分布，但当我们需要对参数估计进行统计推断时（比如计算置信区间、进行假设检验），或者当我们想知道最小二乘估计量是否具有最优性质（如最小方差）时，正态分布就变得至关重要。
这里涉及到高斯马尔可夫定理和最大似然估计。
1. 高斯马尔可夫定理 (GaussMarkov Theorem)
高斯马尔可夫定理指出，在以下几个经典线性回归的假设下，普通最小二乘法 (OLS) 估计量是最佳线性无偏估计量 (BLUE Best Linear Unbiased Estimator)：
线性性 (Linearity): 模型是线性的。
随机抽样 (Random Sampling): 观测值是独立同分布的。
无条件均值为零 (Zero Conditional Mean): $E(epsilon_i | x_{i1}, ..., x_{ik}) = 0$。这意味着自变量和误差项不相关。
同方差性 (Homoscedasticity): 所有误差项的方差相等，即 $Var(epsilon_i) = sigma^2$ 对于所有 $i$ 都相同。
无序列相关性 (No Serial Correlation): 误差项之间不相关，即 $Cov(epsilon_i, epsilon_j) = 0$ for $i eq j$。
注意： 高斯马尔可夫定理并没有要求误差项 $epsilon_i$ 服从正态分布。它只要求满足上述五个条件。在这些条件下，OLS 估计量是所有线性无偏估计量中方差最小的。
2. 正态分布的出现：最优性与统计推断
当我们将误差项服从正态分布这个假设加入进来时，OLS 估计量会获得更强的性质：
最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation MLE): 如果误差项 $epsilon_i$ 服从均值为 0、方差为 $sigma^2$ 的正态分布，即 $epsilon_i sim N(0, sigma^2)$，那么：
因变量 $y_i$ 也服从正态分布：$y_i sim N(eta_0 + eta_1 x_{i1} + ... + eta_k x_{ik}, sigma^2)$。
在这种情况下，OLS 估计量恰好等于最大似然估计量。这意味着 OLS 不仅仅是 BLUE，在正态假设下，它还是最大似然估计量，并且具有渐近最优性（例如，一致性、渐近有效性）。
统计检验和置信区间的有效性：
为了进行 t 检验、F 检验来检验参数的显著性（例如，$H_0: eta_j = 0$），或者构建参数的置信区间，我们需要知道参数估计量（如 $hat{eta}_j$）的抽样分布。
当误差项服从正态分布时，我们可以推导出参数估计量 $hat{eta}_j$ 的抽样分布是正态分布：$hat{eta}_j sim N(eta_j, Var(hat{eta}_j))$。
有了参数估计量的抽样分布后，我们就可以构建 t 统计量和 F 统计量，它们的分布在原假设为真时是已知的（t 分布和 F 分布），从而进行统计推断。
如果误差项不服从正态分布，那么 $hat{eta}_j$ 的抽样分布不一定是正态分布。这时，基于正态分布的 t 检验和 F 检验的精确有效性会受到影响。
3. 中心极限定理 (Central Limit Theorem CLT) 的作用
需要注意的是，即使误差项本身不服从正态分布，如果样本量足够大，根据中心极限定理，参数估计量 $hat{eta}_j$ 的抽样分布也会近似服从正态分布。
在这种情况下，即使原始误差不是正态分布，t 检验和 F 检验在大样本下仍然是近似有效的。这就是为什么在实践中，对于大多数回归问题，即使没有严格的正态性检验通过，但只要样本量足够大，我们仍然可以使用 OLS 进行统计推断。
总结：
1. 最小二乘法的核心目标（最小化残差平方和）不依赖于因变量或误差项的分布。 你总能找到最小化残差平方和的参数估计。
2. “良好”的统计性质（如无偏性、有效性）和统计推断（置信区间、假设检验）确实依赖于一些假设。 其中最关键的是：
高斯马尔可夫定理（无偏性、最小方差等）只需要：线性性、随机抽样、误差期望为零、同方差性、无序列相关性。此时不需要正态性。
精确的统计推断（t检验、F检验的精确有效性）和参数估计量的最优性（最大似然估计）则需要误差项服从正态分布。
3. 大样本下的中心极限定理使得即使误差项非正态，在大样本量时，OLS 估计量的抽样分布也近似正态，从而使得统计推断（t检验、F检验）近似有效。
所以，回答你的问题：
最小二乘法能用吗？ 是的，最小二乘法的计算过程本身不要求因变量服从正态分布。
只有在因变量服从正态分布时才能用吗？ 不是的，但正态分布是获得最优统计性质和精确统计推断的充分条件。 如果你不关心统计推断的精确性，或者你的样本量足够大，那么非正态分布的误差项也不会阻止你使用最小二乘法。
在实际应用中，我们通常会检验模型的残差是否近似服从正态分布，并检查其他回归假设。如果残差偏离正态分布较远，并且样本量不大，我们可能需要考虑其他回归方法，或者对数据进行变换。
网友意见
这种认识是错误的，相反，MLE（最大似然估计）才对扰动项的分布形式有要求，虽然原则上讲只要你知道扰动项的分布形式，即便不是正态分布，MLE也可以估计，但你必须知道扰动项的具体分布形式是什么才能入手，而最小二乘法是可以放宽“知道扰动项的分布形式”这个要求的。
许多本科计量教材在最小二乘法时假设扰动项正态分布，是因为这些教材往往没有从介绍大样本理论入手。
最小二乘法虽然名字上是最小二乘法，实际上也的确最小二乘了，但本质上是一种矩估计。
只要模型的线形设置是正确的，矩条件E（x’u）=0，即“解释变量和扰动项的乘积”的均值是0，以及无完全多重共线性条件满足，那么最小二乘法就是一致估计，就是说只要这几样满足了，只要样本够多，那么估计的系数就会由于大数定理随着样本的增加而逐渐趋于真实的系数。
而且，只要样本够多，且“扰动项独立同分布的假设”满足，那么无论扰动项的具体分布是什么，参数的估计值都会由于中心极限定理而渐进服从正态分布，假设检验依旧有效。
即使出现异方差和自相关，也只会影响假设检验的显著性，不会影响参数估计的一致性，因为异方差和自相关不伤及前面所说的矩条件，这两种情况本质上只是破坏了中心极限定理应用时“扰动项是独立同分布”的应用条件。
只有样本不够多时，中心极限定理木有卵用，你为了进行假设检验，就必须得手动认为参数的估计值服从正态分布，所以你就只好假设扰动项是正态分布了。
综上所述，正态性假定在样本够多时完全不必要，异方差，自相关不会损害一致性，而且可以在已经搜集到的数据中通过方法进行调整，所以根本就不是什么大问题。
只有两个敌人是计量经济学的大敌，其一，矩条件不满足，这个被称为“内生性”，这是实证研究的主要攻克对象。其二，模型线形形式的设置问题，面对这个问题，计量经济学如果不进行非参数估计，一般不负责解决。而寄希望于纯经济学来解决。所以其实绝大多数的实证研究不过都是在经济学的框架下进行有限的验证，靠这种验证并不能说明整个经济学体系的科学性。
经典谣言之一了。
总结一下普通最小二乘的优良性质所需要的条件。对于回归方程：
以及如下假设：
- (y,x)独立同分布
- u和x不相关
- 同方差
- 正态性假设：
注意以上假设中：
- 假设3可以推导出假设2
- 假设5蕴含着假设3和假设4
- 假设5需要的是条件正态，而不是
那么最小二乘法的性质：
- 无偏性需要1、3
- 一致性需要1、2
- BLUE需要：1、3、4
以上这些性质都不需要正态性假设。所以如果只需要以上性质，正态性统统不需要。
啥时候需要正态性假设呢？
- 小样本条件下的假设检验，即 以及F分布需要假设1、5
所以你样本小的话，OLS不是不可以用，只是假设检验可能会误差比较大而已。
一个简单的反例：
其中 ， ，那么y大概是这样一个分布：
这正态吗？当然不正态啊。
但是能用最小二成法吗？
实际上完全符合上述假设的1-5。
这个经典谣言出现的本质原因是因为：
搞不清楚条件分布和无条件分布，小样本和大样本。
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