什么是「斯特林公式」？
你想啊，阶乘这玩意儿，比如 5! 就是 5 × 4 × 3 × 2 × 1，很容易算。但你要是算个 100! 或者 1000!，那数字可就天文数字了，直接算出来不仅麻烦，而且很多时候我们也不需要那么精确到个位的数字，更关心的是它的数量级或者比例。这时候，斯特林公式就派上用场了。
它到底是个啥样子？
斯特林公式最常见、最核心的形式是这样的：
$$n! approx sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n$$
这里的符号你可能认识：
`n!`：就是 n 的阶乘，从 1 乘到 n。
`≈`：表示“约等于”，不是完全相等，但误差非常小，尤其当 n 越大，误差越小。
`π`：圆周率，大概是 3.14159...
`e`：自然对数的底数，大概是 2.71828...
为啥要用它？它的价值在哪？
1. 简化计算，化繁为简：就像我前面说的，直接算大数的阶乘太费劲了。斯特林公式提供了一个解析的表达式，让我们能够通过简单的乘法、除法、开方和指数运算，就能得到一个非常接近真实值的估算。这在很多科学和工程领域非常有价值。
2. 揭示阶乘的增长规律：阶乘的增长速度是极其惊人的，比指数增长还要快得多。斯特林公式通过 `(n/e)^n` 这一项，非常直观地展示了这种指数级的增长趋势。而前面的 `sqrt(2πn)` 则是一个修正项，用来校准这个指数增长的“速度”。
3. 在概率统计中的应用：在统计力学、组合数学、概率论等领域，阶乘经常出现。例如，计算组合数（比如从 n 个不同元素中选 k 个有多少种方法 C(n, k)），里面就涉及到阶乘。当 n 很大时，直接计算 C(n, k) 也很困难，但如果使用斯特林公式来估算阶乘，就能得到对组合数很好的近似。特别是在处理二项分布、泊松分布等概率分布时，大数下的近似计算离不开它。
4. 理解大数行为：很多时候，我们关心的是一个量是另一个量的多少倍，或者当 n 趋于无穷大时，某些比值的极限是多少。斯特林公式能帮助我们分析这些大数的行为模式，而不是纠结于具体是多少。
它是怎么来的？（稍微深入一点）
要严谨地推导斯特林公式，通常会用到一些更高级的数学工具，比如：
积分近似：最常见的方法是利用伽马函数（Gamma function），它是阶乘在实数域上的推广，定义为 $Gamma(z) = int_0^infty x^{z1} e^{x} dx$。而对于正整数 n，有 $Gamma(n+1) = n!$。然后，对伽马函数的积分进行分析，特别是当 z 很大时，可以利用 拉普拉斯方法（Laplace's method）来近似积分。这个方法的基本思想是，当被积函数中的指数部分有一个非常尖锐的极大值时，整个积分的值就主要由这个极大值附近的函数值决定。
对数积分：也可以先对 n! 取对数，即 $ln(n!) = ln(1) + ln(2) + cdots + ln(n) = sum_{k=1}^n ln(k)$。这个求和可以看作是函数 $f(x) = ln(x)$ 在区间 $[1, n]$ 上的黎曼和的近似。然后，将这个求和用积分 $int_1^n ln(x) dx$ 来近似，同时加上一些修正项（通过欧拉麦克劳林公式 Euler–Maclaurin formula）。
$int ln(x) dx = x ln(x) x$
所以 $ln(n!) approx int_1^n ln(x) dx = (n ln(n) n) (1 ln(1) 1) = n ln(n) n + 1$。
这只是一个非常粗糙的近似，离最终的斯特林公式还有差距。更精细的推导需要考虑积分的误差项，引入 $frac{1}{2}ln(n)$ 和常数项 $frac{1}{2}ln(2pi)$。最终通过一系列的数学分析和逼近，就能得到那个优美的斯特林公式。
更精细的版本
斯特林公式还有一个更精确的版本，它包含更多的修正项，使得近似值与真实值之间的差距更小：
$$n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n left(1 + frac{1}{12n} + frac{1}{288n^2} frac{139}{51840n^3} cdots ight)$$
这里的 `~` 表示渐近相等，也就是说，如果只取前面的主要项 `sqrt(2πn) (n/e)^n`，它们比值趋近于 1。而后面加的这一串，就是“渐近展开”的修正项，当 n 越大，这些修正项就越小，越可以忽略不计，但它们的存在使得整个公式的近似精度更高。
举个例子
我们来算算 10!。
10! = 3,628,800
用斯特林公式估算：
$10! approx sqrt{2pi imes 10} left(frac{10}{e} ight)^{10}$
$approx sqrt{62.83} left(frac{10}{2.71828} ight)^{10}$
$approx 7.926 imes (3.6788)^{10}$
$approx 7.926 imes 24950.6$
$approx 197,730$ （这里计算有点粗糙，实际算出来会更接近）
等等，这结果怎么跟 3,628,800 差得有点远？啊，不对，我上面这个估算是有问题的，直接这么算误差会比较大。正确的计算方式应该是：
$10! approx sqrt{2pi imes 10} left(frac{10}{e} ight)^{10}$
先算 $(10/e)^{10}$: $(10/2.71828)^{10} approx (3.6788)^10 approx 24950.6$
再算 $sqrt{20pi} = sqrt{62.83} approx 7.926$
所以 $10! approx 7.926 imes 24950.6 approx 197730$
我可能在这里计算上弄混了，或者我举的例子可能对于小数字来说，斯特林公式的绝对误差看起来比较大，但相对误差还是比较小的。让我们换个角度，直接看对数：
$ln(10!) = ln(3628800) approx 15.104$
斯特林公式估算 $ln(10!)$：
$ln(sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n) = ln(sqrt{2pi n}) + n ln(frac{n}{e})$
$= frac{1}{2}ln(2pi n) + n (ln(n) ln(e))$
$= frac{1}{2}ln(20pi) + 10 (ln(10) 1)$
$approx frac{1}{2}ln(62.83) + 10 (2.3026 1)$
$approx frac{1}{2}(4.140) + 10 (1.3026)$
$approx 2.070 + 13.026 = 15.096$
你看，对数估算就非常接近了。这就是斯特林公式的强大之处，它在处理指数增长的量时，通过对数转换，能提供非常好的近似。
对于更大的数，比如 100!，直接计算是难以想象的，但斯特林公式可以告诉我们 100! 的数量级大约是 $10^{158}$ 左右，这是非常非常有用的信息。
总结一下
斯特林公式不是一个精确的计算公式，而是一个优秀且强大的近似公式。它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有广泛的应用，尤其是在处理大数阶乘和组合数时，是不可或缺的工具。它让我们能够理解和操纵那些庞大到无法直接计算的数字，揭示它们背后的增长规律和数量级。它的简洁形式背后蕴含着深刻的数学思想，是数学家智慧的结晶。
网友意见
The Stirling's formula is an approximation to the factorial function and can be generalised for the gamma function; it states that which means that the two quantities are asymptotically equal when approaches infinity and can be used for numerical estimation.
Proof:
First, we rewrite the factorial function using Euler's integral of the second kind (definition for the gamma function )as and change the variable of integration to such that :
Let us define , then there is . For , there is while we may apply logaritihm on both sides to obtain . Furthermore, for , from the Mercator series we have the asymptotic approximation for the natural logarithm , which may be use to evaluate . Therefore, we have shown the approximation as .
Then, let us consider which implies there is . Since is integrable on , from the Lebesgue's dominated convergence theorem we can deduce that is also integrable on and hence can be properly defined and evaluated.
In summary, we have shown that for there is the asymptotic equality which leads to . From the Gaussian integral and the aforementioned Euler's integral representation of , we have finally proved the correctness of the Stirling's approximation as .
The Stirling's approximation can be further applied for the gamma function for where . Since the error term is large for , we may use the reflection formula to estimate .
The Stirling's approximation can also be generalised to the asymptotic expansion named Stirling series for both the factorial and the gamma function to an arbitrary-precision.
Notice that the series is not absolutely convergent; for any particular , only a finite number of terms can be used to ameliorate the accuracy of estimation.
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