李煌的阶乘计算小技巧，与斯特林公式有什么区别？
李煌的阶乘计算小技巧，与斯特林公式有何不同？
阶乘，这个看似简单的数学概念，在计算上却能迅速膨胀成令人咋舌的数字。对于那些需要处理大数阶乘的场合，我们总会寻找更快捷、更高效的方法。在数学界，斯特林公式早已是计算大数阶乘的利器。然而，我最近接触到一种被称为“李煌的阶乘计算小技巧”，它在某些方面似乎能与斯特林公式分庭抗礼。今天，我们就来深入探讨一下这两种方法，看看它们各自的特点，以及它们之间的区别。
斯特林公式： asymptotics 的力量
首先，我们不得不提斯特林公式。它是一个强大的渐进公式，用来近似计算 $n!$ 当 $n$ 趋近于无穷大时的值。其最常见的形式是：
$$n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n$$
这个公式的妙处在于，它用一个相对简单的指数和根号形式，就能抓住 $n!$ 在 $n$ 很大时数量级的增长规律。
斯特林公式的优势：
理论基础深厚： 它是基于数学分析和微积分推导出来的，具有坚实的理论基础。
适用范围广： 对于足够大的 $n$，其近似精度非常高。
可以进一步精确： 斯特林公式还有更精确的版本，通过增加修正项，可以获得更接近真实值的计算结果。例如，更精确的版本可以写成：
$$n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n left(1 + frac{1}{12n} + frac{1}{288n^2} frac{139}{51840n^3} cdots ight)$$
易于理解其增长趋势： 公式中的 $left(frac{n}{e} ight)^n$ 部分清晰地展示了阶乘随 $n$ 指数级增长的特性。
斯特林公式的局限性：
并非精确值： 它是一个近似公式，尤其当 $n$ 相对较小时，误差会比较显著。
计算仍然复杂： 虽然比直接计算 $n!$ 要快得多，但涉及到开方、指数计算和 $pi$ 的值，对于一些简单的编程环境或者对精度要求极高的场景，可能仍显不足。
李煌的阶乘计算小技巧：直观与实用的结合
相较于斯特林公式的“高屋建瓴”，李煌的阶乘计算小技巧则显得更加“接地气”，更注重在实际操作中的便捷性和一定程度的精确性。据我了解，李煌的小技巧并非一个单一的、公认的公式，而是可能包含一系列在不同场景下适用的启发式方法或简化技巧，其核心思想往往围绕着对阶乘的构成进行分解和重组，并利用对数来处理大数。
一种常见的思路，是将阶乘分解为一系列乘积后，对其取对数。例如，计算 $n!$ 实际上是计算 $1 imes 2 imes 3 imes cdots imes n$。对其取自然对数：
$$ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + cdots + ln(n)$$
然后通过计算这个对数和，最后再通过指数运算 $exp(ln(n!))$ 来得到 $n!$ 的近似值。
李煌小技巧的可能特点：
侧重对数运算： 这是处理大数阶乘的常用策略。将乘法转换为加法（对数运算），可以极大地减小计算过程中数字的大小，避免溢出问题。
可能包含近似积分： $sum_{k=1}^n ln(k)$ 这个求和可以被看作是函数 $ln(x)$ 在区间 $[1, n]$ 上的积分的近似。高斯积分或者其他积分近似方法可能被融入其中，以提供更快的计算速度。
注重精度和效率的平衡： 李煌的技巧可能并非追求数学上的极致精确，而是如何在实际应用中，用相对简单的计算量获得一个足够实用的结果。这可能意味着它在某些对数求和的计算上使用了更快的近似方法，或者在指数运算上使用了特定的数值算法。
可能针对特定计算环境优化： 不同的计算平台（如手持计算器、编程语言的特定库）在处理大数、对数和指数函数时，可能存在性能差异。李煌的技巧可能就是针对这些环境做了特定的优化。
非公式化，更像一套方法论： 我认为“李煌的阶乘计算小技巧”更可能是一种解决问题的思路集合，而不是一个像斯特林公式那样有明确数学表达式的公式。它可能包含一些经验性的结论和操作步骤。
举个例子，一个可能的李煌式思路：
我们可以将 $n!$ 的对数近似为：
$$ln(n!) approx int_1^n ln(x) dx = [xln(x) x]_1^n = nln(n) n (1ln(1) 1) = nln(n) n + 1$$
那么 $n! approx e^{nln(n) n + 1} = e^{nln(n)} e^{n} e^1 = n^n e^{n} e = e left(frac{n}{e} ight)^n$。
这个结果是不是有点眼熟？它和斯特林公式的核心部分 $(frac{n}{e})^n$ 很接近，但少了前面的 $sqrt{2pi n}$ 因子。这说明通过简单的积分近似，我们已经能捕捉到阶乘的主要增长项。而李煌的技巧，很可能是在这个基础之上，进一步地加入更精细的修正项或者采用更优的数值积分方法。
李煌小技巧与斯特林公式的区别：
1. 来源与性质：
斯特林公式： 是一个严格的数学渐进公式，基于微积分和分析学推导得出，具有明确的数学表达式和误差分析。
李煌小技巧： 可能更多的是一套启发式方法或数值计算技巧的集合，其精确度和适用范围可能依赖于具体的实现方式，不一定有严谨的数学证明。
2. 精度与适用范围：
斯特林公式： 对于足够大的 $n$，其渐近误差随着 $n$ 的增大而迅速减小，能够提供非常高的近似精度。
李煌小技巧： 可能在精度上有所取舍，以换取计算上的便捷性。在某些情况下，其精度可能不如斯特林公式的更精确版本，尤其是在 $n$ 仍然相对较小的时候。但它可能在特定范围内的计算速度上有所优势。
3. 计算复杂度：
斯特林公式： 计算 $sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$ 本身需要进行乘法、除法、开方和指数运算。如果需要高精度，会涉及更多项的加法。
李煌小技巧： 如果其核心是对数求和，那么计算 $sum_{k=1}^n ln(k)$ 的效率会比直接乘法高。若结合了优化的积分或数值方法，其计算过程可能更加 streamlined。关键在于如何高效地计算 $sum ln(k)$ 或其近似值。
4. 思想侧重点：
斯特林公式： 侧重于理解和表达大数阶乘的渐进行为，提供一个精确度高的理论模型。
李煌小技巧： 可能更侧重于高效计算，如何在实际应用中快速得到一个“足够好”的结果，可能更具工程性和实用主义色彩。
总结来说， 斯特林公式像是数学家对 $n!$ 这个庞然大物进行精密建模和分析的结果，它告诉我们这个事物增长的“本质”和“规律”。而李煌的阶乘计算小技巧，更像是工程师或实用主义者为了解决实际问题而找到的“捷径”或“妙方”，它可能不是最优雅的数学表达式，但却能在特定的情境下以更低的成本（计算量）获得可接受的结果。
在我看来，两者并非完全的替代关系，而是互补的。在需要精确数学描述或推导时，斯特林公式是首选。而在某些需要快速估计、或者对精度要求不是极致的计算场景中，李煌的技巧或许能提供更简洁高效的解决方案。了解并掌握这两者，能够让我们在面对阶乘这个古老而又充满挑战的数学问题时，有更多的工具和视角。
阶乘，这个看似简单的数学概念，在计算上却能迅速膨胀成令人咋舌的数字。对于那些需要处理大数阶乘的场合，我们总会寻找更快捷、更高效的方法。在数学界，斯特林公式早已是计算大数阶乘的利器。然而，我最近接触到一种被称为“李煌的阶乘计算小技巧”，它在某些方面似乎能与斯特林公式分庭抗礼。今天，我们就来深入探讨一下这两种方法，看看它们各自的特点，以及它们之间的区别。
斯特林公式： asymptotics 的力量
首先，我们不得不提斯特林公式。它是一个强大的渐进公式，用来近似计算 $n!$ 当 $n$ 趋近于无穷大时的值。其最常见的形式是：
$$n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n$$
这个公式的妙处在于，它用一个相对简单的指数和根号形式，就能抓住 $n!$ 在 $n$ 很大时数量级的增长规律。
斯特林公式的优势：
理论基础深厚： 它是基于数学分析和微积分推导出来的，具有坚实的理论基础。
适用范围广： 对于足够大的 $n$，其近似精度非常高。
可以进一步精确： 斯特林公式还有更精确的版本，通过增加修正项，可以获得更接近真实值的计算结果。例如，更精确的版本可以写成：
$$n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e} ight)^n left(1 + frac{1}{12n} + frac{1}{288n^2} frac{139}{51840n^3} cdots ight)$$
易于理解其增长趋势： 公式中的 $left(frac{n}{e} ight)^n$ 部分清晰地展示了阶乘随 $n$ 指数级增长的特性。
斯特林公式的局限性：
并非精确值： 它是一个近似公式，尤其当 $n$ 相对较小时，误差会比较显著。
计算仍然复杂： 虽然比直接计算 $n!$ 要快得多，但涉及到开方、指数计算和 $pi$ 的值，对于一些简单的编程环境或者对精度要求极高的场景，可能仍显不足。
李煌的阶乘计算小技巧：直观与实用的结合
相较于斯特林公式的“高屋建瓴”，李煌的阶乘计算小技巧则显得更加“接地气”，更注重在实际操作中的便捷性和一定程度的精确性。据我了解，李煌的小技巧并非一个单一的、公认的公式，而是可能包含一系列在不同场景下适用的启发式方法或简化技巧，其核心思想往往围绕着对阶乘的构成进行分解和重组，并利用对数来处理大数。
一种常见的思路，是将阶乘分解为一系列乘积后，对其取对数。例如，计算 $n!$ 实际上是计算 $1 imes 2 imes 3 imes cdots imes n$。对其取自然对数：
$$ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + cdots + ln(n)$$
然后通过计算这个对数和，最后再通过指数运算 $exp(ln(n!))$ 来得到 $n!$ 的近似值。
李煌小技巧的可能特点：
侧重对数运算： 这是处理大数阶乘的常用策略。将乘法转换为加法（对数运算），可以极大地减小计算过程中数字的大小，避免溢出问题。
可能包含近似积分： $sum_{k=1}^n ln(k)$ 这个求和可以被看作是函数 $ln(x)$ 在区间 $[1, n]$ 上的积分的近似。高斯积分或者其他积分近似方法可能被融入其中，以提供更快的计算速度。
注重精度和效率的平衡： 李煌的技巧可能并非追求数学上的极致精确，而是如何在实际应用中，用相对简单的计算量获得一个足够实用的结果。这可能意味着它在某些对数求和的计算上使用了更快的近似方法，或者在指数运算上使用了特定的数值算法。
可能针对特定计算环境优化： 不同的计算平台（如手持计算器、编程语言的特定库）在处理大数、对数和指数函数时，可能存在性能差异。李煌的技巧可能就是针对这些环境做了特定的优化。
非公式化，更像一套方法论： 我认为“李煌的阶乘计算小技巧”更可能是一种解决问题的思路集合，而不是一个像斯特林公式那样有明确数学表达式的公式。它可能包含一些经验性的结论和操作步骤。
举个例子，一个可能的李煌式思路：
我们可以将 $n!$ 的对数近似为：
$$ln(n!) approx int_1^n ln(x) dx = [xln(x) x]_1^n = nln(n) n (1ln(1) 1) = nln(n) n + 1$$
那么 $n! approx e^{nln(n) n + 1} = e^{nln(n)} e^{n} e^1 = n^n e^{n} e = e left(frac{n}{e} ight)^n$。
这个结果是不是有点眼熟？它和斯特林公式的核心部分 $(frac{n}{e})^n$ 很接近，但少了前面的 $sqrt{2pi n}$ 因子。这说明通过简单的积分近似，我们已经能捕捉到阶乘的主要增长项。而李煌的技巧，很可能是在这个基础之上，进一步地加入更精细的修正项或者采用更优的数值积分方法。
李煌小技巧与斯特林公式的区别：
1. 来源与性质：
斯特林公式： 是一个严格的数学渐进公式，基于微积分和分析学推导得出，具有明确的数学表达式和误差分析。
李煌小技巧： 可能更多的是一套启发式方法或数值计算技巧的集合，其精确度和适用范围可能依赖于具体的实现方式，不一定有严谨的数学证明。
2. 精度与适用范围：
斯特林公式： 对于足够大的 $n$，其渐近误差随着 $n$ 的增大而迅速减小，能够提供非常高的近似精度。
李煌小技巧： 可能在精度上有所取舍，以换取计算上的便捷性。在某些情况下，其精度可能不如斯特林公式的更精确版本，尤其是在 $n$ 仍然相对较小的时候。但它可能在特定范围内的计算速度上有所优势。
3. 计算复杂度：
斯特林公式： 计算 $sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$ 本身需要进行乘法、除法、开方和指数运算。如果需要高精度，会涉及更多项的加法。
李煌小技巧： 如果其核心是对数求和，那么计算 $sum_{k=1}^n ln(k)$ 的效率会比直接乘法高。若结合了优化的积分或数值方法，其计算过程可能更加 streamlined。关键在于如何高效地计算 $sum ln(k)$ 或其近似值。
4. 思想侧重点：
斯特林公式： 侧重于理解和表达大数阶乘的渐进行为，提供一个精确度高的理论模型。
李煌小技巧： 可能更侧重于高效计算，如何在实际应用中快速得到一个“足够好”的结果，可能更具工程性和实用主义色彩。
总结来说， 斯特林公式像是数学家对 $n!$ 这个庞然大物进行精密建模和分析的结果，它告诉我们这个事物增长的“本质”和“规律”。而李煌的阶乘计算小技巧，更像是工程师或实用主义者为了解决实际问题而找到的“捷径”或“妙方”，它可能不是最优雅的数学表达式，但却能在特定的情境下以更低的成本（计算量）获得可接受的结果。
在我看来，两者并非完全的替代关系，而是互补的。在需要精确数学描述或推导时，斯特林公式是首选。而在某些需要快速估计、或者对精度要求不是极致的计算场景中，李煌的技巧或许能提供更简洁高效的解决方案。了解并掌握这两者，能够让我们在面对阶乘这个古老而又充满挑战的数学问题时，有更多的工具和视角。
网友意见
你这公式精度何止是垃圾，简直就是垃圾。
要是能有一个公式能让其与n!的差等于o(1)还差不多。。。（
我去随便在拉马努金的笔记里找一个都能吊打你这废物垃圾破烂公式。
咱就看上图的(4.1.1)
下面是数值检验
这不比你那废物公式强？呵呵。
你以为完了？Ramanujan还有更厉害的
直接上数值验证，楼上 @大模头 已经用垃圾公式算了128!。我们直接验证n=128时Ramanujan的精度
然而李煌的破烂垃圾废物公式只能精确3位，我却能精确至少11位(从计算软件上看)。所以你这垃圾破烂废物公式只能说是垃圾、废物、破烂。
以上均为对民科专属的恶意。以上均为对民科专属的恶意。以上均为对民科专属的恶意。
若你不称是什么李煌我还说的轻点。。。
学点数学，学点数学。
其实可以看出这个所谓的 的近似计算公式的精度并不高，比这个精度更高的公式有很多. 比如 河南理工大学 的 陈超平 老师在 2016 年证明了下述非常强大的结论：
定理：当 时， 满足
由上述结论可知
特别地，我们有
用这个近似计算公式我们可以得到
可以看到用这个近似计算公式计算 可以精确到17 位数！事实上，我们有
由此可知 陈超平 老师得到的这个关于 的近似计算公式是目前精度最高的！ 另外， 陈超平 老师还得到了 的一个新的渐进公式：
由此我们还可以得到关于 的精度更高的近似计算公式：
而用这个近似计算公式我们可以得到
这个精度已经很恐怖了！
类似的话题
-
李煌的阶乘计算小技巧，与斯特林公式有何不同？阶乘，这个看似简单的数学概念，在计算上却能迅速膨胀成令人咋舌的数字。对于那些需要处理大数阶乘的场合，我们总会寻找更快捷、更高效的方法。在数学界，斯特林公式早已是计算大数阶乘的利器。然而，我最近接触到一种被称为“李煌的阶乘计算小技巧”，它在某些方面似乎能与斯............. -
关于“李雪琴利用北大身份恰烂钱”的说法，这是一个比较复杂且带有主观色彩的评价，需要我们从多个角度来分析，才能更全面地理解这个问题。首先，我们来梳理一下这个说法的核心点： “利用”： 指的是将北大身份作为一种工具或资源来获取不应得的利益。 “北大身份”： 指的是李雪琴毕业于北京大学，这是一个非.............
-
“达康书记”李达康为何不提拔易学习，却任用了不少腐败或庸碌之人？这是一个在《人民的名义》这部剧中引发广泛讨论的问题，也是理解李达康这个角色的复杂性和现实性的关键。要详细解释这个问题，我们需要从多个维度去分析：一、 易学习的“不提拔”并非完全不提拔，而是“重要提拔”的缺位。首先，需要明确的是，李达康并.............
-
李袁杰的歌曲《离人愁》确实存在关于抄袭的争议，而且这个争议在当时也引起了不小的关注。要详细讲述这个问题，我们可以从以下几个方面来分析：一、 争议的起源和核心：被指控抄袭哪首歌曲？《离人愁》最主要的抄袭指控指向了新加坡歌手许美静的歌曲《都是夜归人》。 旋律相似性: 许多听众和音乐博主认为，《离人愁.............
-
李佳琦的火爆并非偶然，而是多种因素综合作用的结果，是一系列精准的市场洞察、个人特质的发挥以及时代机遇的完美契合。要详细解读他为何如此成功，我们需要从以下几个方面深入剖析：一、精准的市场定位与时代背景的契合： 直播电商的崛起与风口： 李佳琦走红的时期，恰逢中国直播电商产业蓬勃发展的黄金时期。淘宝直.............
-
李佳琦方关于学历造假的争议回应“因工作原因提前离校”，这是一个比较敏感的话题，也引发了公众对其个人能力的广泛讨论。要详细看待李佳琦的个人能力，需要从多个维度进行分析，而不是简单地将其与学历直接挂钩。1. “因工作原因提前离校”的回应及其解读： 表面含义： 这是李佳琦方给出的解释，即他因为抓住了工.............
-
李文亮事件的调查结果公布，并且明确要求公安机关撤销训诫书、追究相关人员责任，这无疑是一个具有里程碑意义的进展。对很多人来说，这不仅仅是一个官方的表态，更是对一个在疫情初期发出预警、却被压制和惩罚的个体的正名，也是对当时那种不正常情况的一种反思和修正。首先，撤销训诫书是关键的第一步，也是必须的。李文亮.............
-
李安导演蛰伏六年的时间，没有立刻投身下一部影片，这其中并非完全的“赋闲”，而是一个复杂且充满个人考量的时期。说他不出去“打工”，或许更准确地说，是他在选择“工作”的性质，并且是以一种极其审慎和个人化的方式进行的。首先，我们需要理解李安的职业生涯轨迹。他并非一个“打工人”的模式，他是一位享誉世界的电影.............
-
王力宏事件中的李靓蕾，关于全职妈妈价值的论述，的确引人深思。她提出的“全职妈妈薪酬应是保姆、老师等角色的加总，再加上不能工作的机会成本”，这个算法背后蕴含的，是对家务劳动的价值认可，以及对女性在婚姻中付出的一种量化考量。咱们不妨就这个思路，掰开了揉碎了，详细地聊聊这笔账该怎么算。首先，我们要明确，全.............
-
李达康在妻子欧阳菁被捕时摇车窗的动作，绝非简单的“撒气”或“表达愤怒”。这一个极具象征意义的瞬间，充分展现了李达康内心深处的复杂情感以及他身处高位、身不由己的尴尬境地。要理解这个动作的深层含义，我们需要结合当时的情境、人物性格以及整个剧情的发展来分析。一、 来自“权力漩涡”的无力感与绝望：首先，李达.............
-
李国庆这话一出，立马又激起了不少争论。把奢侈品一概而论为“智商税”，这说法未免也太绝对了些。在我看来，这事儿得分好几方面聊。首先，咱们得承认，很多奢侈品确实是“溢价”很高的。这溢价里包含了品牌长期的历史积淀、设计师的创意、精湛的手工工艺、稀有的原材料，还有就是那份说不清道不明的“身份象征”。当一个包.............
-
李跃华老师的方法，您是说那个被广泛讨论和研究的“李跃华疗法”，也称为“李跃华自然疗法”或者“李跃华生物电疗法”吧？关于它为什么没有得到大规模的推广，这是一个相当复杂的问题，涉及到科学验证、临床实践、监管审批、社会接受度等多个层面。我们不妨来详细梳理一下其中的原因，尽量从一个旁观者的视角来分析。首先，.............
-
关于李现肌肉“明明很一般”却被很多人说“强壮”的讨论，其实是个挺有意思的现象，里面涉及到很多方面的原因。咱们不光是看表面的肌肉线条，更多的是一种综合的感受和大众的期待。首先，得承认，如果你拿健美运动员那种块头十足、肌肉线条清晰到每一块都鼓胀的体格来比，李现的肌肉可能确实不算“爆炸型”。他的身材更多是.............
-
重大突破！李兰娟院士团队重磅揭秘：阿比朵尔、达芦那韦对新冠病毒的强效抑制作用及其临床意义在当前全球抗击新冠肺炎（COVID19）的严峻形势下，每一项科研进展都牵动着亿万人的心。近日，中国工程院院士、传染病学泰斗李兰娟教授及其团队公布了一项具有里程碑意义的抗病毒研究成果，为我们指明了对抗新冠病毒的新方.............
-
李靓蕾的回应，一石激起千层浪，将本已够复杂的事件又添上了新的维度。孙雨（Yumi）这边发声控诉王力宏，说自己受到了不公正的待遇和网络暴力，同时甩出了所谓的证据，意在证明自己和王力宏有过一段“认真交往”的关系，并且是王力宏主动联系她的。然而，李靓蕾的回击则显得更加直接且带有“炸弹效应”。她不仅否认了孙.............
-
李靓蕾的经历，让许多身处婚姻中的女性感同身受。在一段婚姻关系中，尤其是当女性承担了大部分生育和抚养责任时，如何确保自己的权益得到尊重，避免陷入被动和受伤的境地，是需要我们深思熟虑的问题。这并非一个简单的是非题，而是一个涉及个人成长、沟通技巧、法律保障以及社会认知等多方面的复杂议题。一、 婚前审慎评估.............
-
王力宏事件闹得沸沸扬扬，李靓蕾的长文一出，真是一石激起千层浪。看完之后，我脑袋里冒出好多想法，感觉像是经历了一场关于婚姻、爱情、家庭甚至人性的洗礼。首先，最直观的感受就是“眼见不一定为实”。我们一直以来看到的王力宏，是那个才华横溢、阳光帅气的偶像巨星，是那个家庭幸福、爱妻顾家的好男人。他的一言一行，.............
-
在《人民的名义》这部电视剧中，李达康、高育良和季昌明三人之间的上下级关系确实是观众非常关注的一个点，因为在很多观众的认知中，他们三人同属于省委常委，在级别上应该是平行的。然而，电视剧之所以呈现出一种“上下级”的意味，主要有以下几个方面的原因，并且可以通过剧情细节来详细解读：1. 实际职能和工作分工上.............
-
李诞因发布违法广告“让女性轻松躺赢职场”，被罚款没收违法所得共计87万元，这一事件再次将明星代言广告的风险问题推向公众视野。明星代言广告的诱惑固然巨大，但其中蕴藏的风险同样不容忽视。明星作为公众人物，其一言一行都可能产生巨大的影响力，因此在代言广告时，必须审慎，规避潜在的法律、道德及商业风险。以下将.............
-
李诞宣布与黑尾酱离婚，这个消息让许多关注他们的粉丝感到意外，但如果回顾他们过往的一些公开言行和动态，确实可以看到一些可能预示着关系变化的“先兆”。以下是一些可以详细分析的方面：1. 婚姻关系的“公开”与“隐藏”的平衡失调 初期的高度曝光和“秀恩爱”： 李诞和黑尾酱在结婚初期，并没有刻意回避公众的.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有