高中数学学那么多三角函数公式到底有什么用？
我理解这种困惑，毕竟高中数学很多知识点，我们感觉离日常生活“遥远”得很。但你要是真这么想，那可就错怪了三角函数和它的那些神奇公式了。它们可不是为了“折磨”你而存在的，而是你理解这个世界一个非常重要且有力的工具。
1. 认识我们生活的世界：波动与周期
你有没有想过，为什么会有日出日落？为什么会有潮汐涨落？为什么音乐会发出各种声音？为什么你的手机会接收到无线电波？这些看似毫不相关的现象，背后都有一个共同的数学语言在描述：波动和周期性。
三角函数就是描述这种波动和周期性最自然、最直观的函数。sin和cos函数，它们画出来的图形就是优美的波浪线。自然界中很多现象，从最基本的物理规律，到复杂的生物节律，都呈现出周期性的变化。
物理世界：
光的传播： 光是一种电磁波，它的强度、颜色等都可以用三角函数来描述。你看到的彩虹，不同颜色的光波长不同，频率也不同，这背后就是三角函数的功劳。
声音的传播： 声波也是一种波动。你听到的任何一个音符，它的高低、强弱，都可以用三角函数来表示。两个音符合在一起发出和谐的声音，或者不和谐的噪音，这涉及到声波的叠加和干涉，而三角函数的和差化积、积化和差公式就是用来分析这些叠加效果的利器。
机械振动： 弹簧振子、单摆的运动，都是典型的周期性运动。它们的位移、速度、加速度都会随时间做正弦或余弦的周期性变化。三角函数公式能帮助我们精确计算在任意时刻它们的位置和速度，这在设计各种机械设备时至关重要，比如钟表的摆轮，甚至是桥梁的减震系统。
交流电： 你家里的电力就是交流电，它的电压和电流都是随时间做正弦规律变化的。理解交流电的特性，计算电路的功率、相位差，都离不开三角函数。那些看似复杂的电路分析，背后都是三角函数的计算。
生物世界：
昼夜节律： 许多生物的活动都受到昼夜周期的影响，比如人的睡眠觉醒周期，植物的光合作用等等，这些生物钟的调节在很大程度上可以用三角函数模型来近似描述。
心跳： 心脏的跳动也是一种周期性泵血过程，虽然不是完美的正弦波，但其基本规律可以用三角函数来近似分析。
2. 精确的定位与测量：角度的秘密
三角函数最原始的用途，其实是解决几何问题，特别是跟角度和边长关系有关的问题。在古代，人们用它来测量高山、河流的距离，确定方向。
导航与测量：
测量高度与距离： 如果你知道一个物体到你的距离，以及仰望它顶部的角度，你就可以用正切函数（tan）来计算物体的高度。反过来，如果你知道一个物体的真实高度，以及你和它顶端的角度，你就能算出你距离它多远。这在建筑、测绘、甚至是在海上航行、飞机飞行时，用来确定位置都非常重要。想象一下，你坐在飞机上，想知道飞机的飞行高度，或者想知道下一个目的地还有多远，三角函数就是基础。
地图制作： 地图绘制需要将三维的地球表面投影到二维的平面上，这个投影过程涉及到复杂的几何变换，三角函数是其中的核心计算工具。
天文学： 古代天文学家通过测量天体的位置和运动轨迹，来预测日食、月食，制定历法，这些计算都大量运用了三角函数。比如，测量星星的角度，计算行星的轨道，都需要三角函数的支持。
建筑与工程：
坡度计算： 修建道路、桥梁、隧道，都需要精确计算坡度。坡度本质上就是角度的正切值。三角函数公式可以帮我们计算出所需的角度和长度，确保工程的安全和可行性。
力学分析： 在物理学中，很多力学问题都涉及到力在不同方向上的分解和合成，例如斜面上的物体受力分析，风或者水流对物体的影响等等。这些力可以看作是向量，而向量的分解和合成离不开三角函数来计算分量。比如，你在推一个箱子，箱子放在一个有坡度的地面上，箱子对地面的压力大小和方向都跟坡度有关，这个计算就要用到三角函数。
3. 解决复杂的数学问题
即使你将来不从事这些具体行业，三角函数公式本身也是数学的精髓之一，它们帮助我们：
化繁为简： 很多看似复杂的数学问题，通过三角函数的恒等变换，可以转化成更简单、更容易处理的形式。比如，计算复杂的乘法或除法，有时可以通过对数（虽然跟三角函数不直接相关，但都属于数学的“翻译器”）或者三角函数的变换来简化。
证明数学定理： 许多高等数学的定理，尤其是涉及几何、分析的领域，都以三角函数作为基础或工具。
理解更深层次的数学概念： 微积分中的许多概念，如导数和积分，在描述变化率和累积量时，经常会遇到三角函数。例如，求一个正弦函数的导数和积分，你就会用到它的基本定义和运算规则，这些都依赖于对三角函数公式的掌握。
为什么说“那么多公式”？
你觉得公式多，是因为三角函数确实有很多“身份”和“关系”。
单位圆定义： sin和cos的定义基于单位圆上的点，这本身就引入了角度和坐标的关系。
诱导公式： 这些公式让你能把任意角度的三角函数值，转化为锐角三角函数值，大大简化了计算。
和角公式 (sin(α+β)等)： 这是最核心的公式之一，很多其他公式都可以由它推导出来。它们告诉你如何计算两个角度的和或差的正弦和余弦。
倍角公式、半角公式： 当你只需要知道一个角度的两倍或一半的三角函数值时，它们就派上用场了。
三角函数的图像性质： 正弦和余弦函数的周期性、对称性等，也都隐藏在公式之中。
降幂公式： 可以把高次幂的三角函数（如sin²α）降到低次幂，这在积分计算中非常常用。
两角和差与积的互化公式： 这类公式让你能在“和差”形式和“乘积”形式之间灵活切换，解决特定的问题。
回到最开始的问题：它们真的有用吗？
是的，非常有用。即使你将来不直接写下“sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ”这个公式，但你生活中接触到的很多技术、产品、自然现象，它们的背后都离不开这些公式的计算和原理。
手机： 你的手机之所以能接收信号，能上网，能播放音乐，其内部的信号处理和傅里叶变换（一种将信号分解成不同频率的正弦和余弦波的数学工具）都离不开三角函数。
图像处理： 照片的压缩、滤镜效果，很多都基于傅里叶变换的原理，而这个原理又跟三角函数息息相关。
游戏开发： 游戏中的动画、物理模拟、角色运动，都需要精确的数学计算，三角函数是其中的基础。
金融分析： 分析股票市场的波动、预测经济趋势，有时也会用到周期性模型，其中三角函数是重要的组成部分。
所以，那些公式不是摆设，它们是你理解和改造世界的语言的一部分。高中阶段的学习，是在为你打下坚实的基础，让你在未来遇到具体问题时，能够有工具去分析、去解决，而不是只能茫然。就像学习语言是为了沟通，学习三角函数是为了沟通自然界的规律。别小看它们，它们比你想象的要有用得多。
网友意见
非常有用。
首先要明白一个道理，三角函数里的角度并非仅仅只是角度，它还是可以与时间挂钩的。
我们来看三人自行车：
注意看三个脚踏的角度位置，我们会发现都不一样，并且随着时间的推移，这种状态继续保持着。
如果我们来求脚踏与转轴中心的垂直高度差，我们发现这个值其实就是脚踏杆与转轴轴心平面的角度正弦值。但我们已经看出，此角度是时间的函数，从而得知脚踏与转轴中心的垂直高度差也是时间的函数。
推而广之，三角函数既可以用来描述与角度相关的物理量，也可以描述与时间相关的物理量。例如电学里的电角度，并由此出现了无数运用；再例如空气动力学和流体力学里的临界角度，由此又引出了无数的运用。
我们都知道，在复平面下，横轴是实数轴，而纵轴是虚数轴。若把高等数学运用到复平面中，则出现了复变函数。复变函数是流体力学与电学的基础数学工具，其中的各种函数变换，例如傅立叶变换和拉普拉斯变换等等，三角函数是绝对主角。
特别是自动控制理论中，我们把常微分方程用拉普拉斯方法做复平面下的时域变换，构成所谓的传递函数，是我们研究自动控制的有力工具；若把微分方程用傅立叶方法做复平面下的频域变换，构成的模型能够帮助我们了解各种频带分布。
我们看以下百度图：
在这里，当我们看到如此熟悉的正弦波时，是不是想到了三角函数的运用？
分形被誉为数学最美丽的王冠，它其实就是函数迭代生成的图像。当我们看到复平面下的函数迭代图像时，看到其中的各种曲线，是否会想到与三角函数有关？
这是此分形的完整图，注意看它的细节：
如此美丽的分形，与三角函数有何关系？
我们在白纸上画上一系列平行线，平行线之间的距离刚好等于牙签的长度。然后我们往白纸上丢牙签，并记下牙签压线和不压线的次数。当次数充分大时，它们的概率比值居然就是2与圆周率之比，而且与正弦函数有点关系，想不到吧？！
可见，三角函数是十分重要的一门基础数学课。
三角函数的记忆确实很烦，但有点窍门。其实只要记住基本表达式，以及和化积即可，其它都可以推出来。我就是如此。
不过，这种方法不适用于中学生。我们工程技术人员必须学以致用，而中学生却要应付高考，所以还是按教学要求该记多少就记多少。
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午休时刻，我们来看两个电学里的例子：
第一个例子：
我们知道，若A为一般角，则有： 。
上述这个式子很容易用三角函数公式证明。
现在，我们把上式各项都乘以Im，也即： 。
这是什么意思？这就是三相交流电里的三相平衡电流，它们的和等于零。
值得注意的是，零线电流In就等于三相电流的和。当三相平衡时，主干零线电流等于零；当三相不平衡时，主干零线电流当然就不等于零。对于零线支线来说，例如我们家里的零线，它里面的电流与火线电流大小相等，但方向相反。
第二个例子：
我们知道，导线间有电流流过时，它们之间会产生电动力。
对于支线系统的火线和零线来说，它们的大小相等方向相反。因此，火线和零线之间的电动力F为： 。
令 ，代入上式，则有：
这里用的是三角函数的平方化简公式。
我们来看下图：
图中粉色的是电流线，而天蓝色的则是电动力线。
在上式中，电动力非脉动分量 ，它呈现出电动力的非脉动部分。电动力脉动分量 ，它当然呈现了电动力的脉动部分。两者迭加后，最小值为零，最大值为Fz的两倍。
也因此，我们把直流继电器改用相同电压等级的交流电压驱动，我们会发现继电器剧烈抖动。原因很简单：当交流电流过零时，电动力亦过零。此时，继电器的反力会将触头斥开，电流过零后再吸合。所以直接将直流继电器改成交流继电器，它的触头振动厉害，线圈发热严重。
为此，需要在交流电磁系统铁芯端面中增加分磁环，使得电流过零时继电器铁芯磁通不过零，极大地降低铁芯振动，改善交流电磁系统的吸合能力。
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最后，我来回答题主的问题。
题主是已经职场中人了，由于自修的原因，需要用到三角函数。
其实，从我们学习高等数学开始，与中学数学相比，事实上对三角函数已经弱化了。知道为什么？三角函数只是初等数学中的一种而已，而高等数学和工程数学，它们研究的对象和方法，已经远远地超越了中学阶段。就算用到三角函数，也只是其中的几个公式而已。
如果说高等数学中三角函数被弱化，但不等于工程数学以及其它专业课中三角函数也被弱化。
另外，与大学专业课相比，说实在的，那几个三角函数的公式，实在不能算多。我授课的课程中公式都是以数百来计算的，比三角函数多N倍。当然这些公式都具有很强的物理意义。
公式如此之多，如何记忆？
记忆公式的方法很重要，光靠背不能解决问题，关键是要知晓和记忆主要公式，并掌握公式之间的关联性和来龙去脉。如此一来，许多公式甚至都不必特别记忆，用到时自己就能方便地推导出来。
提示楼主：对于已经工作的人来说，手边有一本《数学手册》是很重要的。另外，自学者的学习过程非常艰难，建议看导论为好，例如《傅里叶分析导论》、《复变函数导论》等等。看导论，难度会降低，同时又增加了许多应用方面的横向知识，一举N得。
实话实说，确实意义不大。
因为中学阶段绝大部分复杂的三角变换从欧拉公式的角度看都是显然的。
所以这十几年来，高考对三角变换的要求一直在降低，而且我认为这个趋势很合理。
当然最基本的还是要掌握的。
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