为什么祖冲之的355/113等于3.1415929而不是3.1415926?
要搞清楚这个原因，咱们得从几个方面来聊：
1. 祖冲之的密率355/113 本身就是个“厉害的近似值”
首先，要明白355/113不是圆周率（π）的精确值，它是对π的一个分数近似。这个分数之所以牛，是因为它在当时能达到极高的精确度。我们来算算355除以113到底是多少：
如果用计算器直接算355 ÷ 113，你会得到一个无限循环小数（理论上，因为113是素数，分母是素数时，除非分子能被约分掉，否则小数部分会循环）。实际计算结果大概是：
3.1415929203539823008849557522124...
你看，这里的“9203...”和我们熟悉的3.1415926... 确实不一样。祖冲之选取的355/113，它的小数点后前七位（3.141592）是与π精确值相同的。然而，第八位开始，355/113就变成了“9”，而真正的π是“6”。
2. 为啥“9”和“6”差了那么点？——近似的本质
这里就涉及到近似的艺术和科学了。圆周率π是一个无理数，它的小数表示是无限不循环的。我们之所以能说3.1415926... 是π，是因为我们对它进行了越来越精确的测量和计算。
精确度是相对的： 任何一个有限小数（比如3.1415926）或者一个分数（比如355/113），它都不是π的精确值，而是对π的近似。这个近似有多好，就看它跟真实值有多接近。
圆的测量 vs. 数学计算： 祖冲之的时代，还没有我们今天这样强大的计算工具。他对圆周率的探索，更多地是通过几何方法，比如“割圆术”。想象一下，你在一张纸上画一个圆，然后用内接多边形和外切多边形来逼近圆的周长。边数越多，逼近得越好。割圆术就是一个不断增加多边形边数来逼近圆周长的过程。
祖冲之的“密率”355/113，就是在这样的几何逼近过程中，找到的一个非常巧妙的分数。他不是简单地“算”出了3.1415929，而是通过一种方法，找到一个最能代表当时精确度要求的分数。
3. 祖冲之是怎么找到355/113的？——可能是“连分数”的智慧
虽然我们无法完全复原祖冲之具体的计算过程，但数学家们普遍认为，像355/113这样的优良近似，很可能与“连分数”理论有关。
连分数是一种表示实数的方法，它能将一个实数表示成一个整数加上一个分数的倒数，这个分数又可以继续表示成类似的形式，形成一个“链条”：
$a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + ...}}}$
其中 $a_i$ 都是整数。通过截断这个连分数，我们可以得到一系列的“渐进分数”（convergents），这些渐进分数往往是原实数最好的有理数近似。
对π进行连分数展开，我们得到一串整数：
$[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 1, 3, ...]$
我们来看看前面几个渐进分数（截取连分数到某一项得到的分数）：
$[3] = 3/1$
$[3; 7] = 3 + 1/7 = 22/7$ (这是一个我们比较熟悉的近似值，阿基米德也用过，但精度不如355/113)
$[3; 7, 15] = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15}} = 3 + frac{1}{106/15} = 3 + frac{15}{106} = frac{318+15}{106} = frac{333}{106}$
$[3; 7, 15, 1] = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{15 + frac{1}{1}}} = 3 + frac{1}{7 + frac{1}{16}} = 3 + frac{1}{113/16} = 3 + frac{16}{113} = frac{339+16}{113} = frac{355}{113}$
看到了吗？355/113正是π的连分数展开中的一个非常靠前的渐进分数。而这个渐进分数在它的前面一项（333/106）之后，那个数字“292”在连分数展开中非常大，这通常意味着再往后的渐进分数会有非常高的精度。355/113就是这个“大数”之前最后一个非常优秀的近似。
4. 为什么355/113 的“9”比真实π的“6”要大？
回到你最开始的问题，为什么是3.1415929而不是3.1415926？
这是因为355/113 这个分数，它稍微比π大一点点。
我们计算了355/113 ≈ 3.1415929203...
而π的真实值 ≈ 3.1415926535...
比较一下小数点后第八位：
355/113 是 9
π 的真实值是 6
显然，9 > 6。这说明355/113 是一个偏大的近似值。
这种“偏大”和“偏小”是所有有理数近似无理数都必然存在的现象。355/113 的厉害之处在于，它以相对“简单”的分母（113）提供了一个非常好的近似，而且它的误差非常小。它的误差大约是 |3.1415929203... 3.1415926535...| ≈ 0.0000002668...，这非常非常接近于零。
相比之下，我们再看22/7 ≈ 3.142857...。它的误差就大多了，而且它是一个偏大的近似值。
总结一下：
355/113 是对π的一个优秀分数近似，但不是精确值。 它的小数形式是3.1415929203...。
你看到的3.1415926 是π更精确的小数截断。
355/113 的近似值比π精确到小数点后第七位（3.141592），第八位开始出现差异。 355/113 在第八位是9，而π的真实值在第八位是6。
这种差异是近似的必然结果。 任何分数或有限小数作为π的近似，都会或多或少地偏离真实值，355/113 是当时能达到的最佳有理数近似之一。
祖冲之很可能利用了连分数理论或者类似的高效逼近方法找到了这个“密率”。
所以，你提出的问题非常精准地抓住了“近似”这个概念的核心。祖冲之的355/113是一个用分数形式表达的、非常非常接近π的数字，它的小数展开正好在你提到的那个位置上，比我们日常熟知的更精确的π值（3.1415926...）的第八位数字要大一点点。这并不是祖冲之算错了，而是他找到了一个当时条件下极难得的、最恰当的分数近似。
网友意见
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行：从π的355/113近似说起
本文提供了python计算最接近π的分数的程序与说明，阅读仅需要5min。
提起中国古代的数学成就，就都会想起南北朝时期的祖冲之。
提起祖冲之，大家最熟悉的就是他在计算圆周率π方面的杰出贡献，祖冲之在前人研究圆周率的基础上进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，即
3.1415926＜π＜3.1415927
他还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。密率355/113传到了日本，日本人将它叫做“祖率”。
很多人知道用355/113表示π是一项了不起的贡献，但是，它的奇妙之处很少有人能够了解，或者说不全。
首先，它非常精确：
355/113=3.1415929204···
而
π=3.1415926535···
因此，两者之间的误差不足0.000000267···，即2.67e-07。
但是它足够精确吗，根据祖冲之得到的3.1415926＜π＜3.1415927，他可以得到一个更加精确的分数：
314159265/100000000=3.14159265
作为π的近似值，因为误差不超过0.00000005，即5e-08，比2.67e-07精确了一个数量级。
那祖冲之为什么不用314159265/100000000或者62831853/20000000来作为密率呢？
因为这个分母过大，且不容易记住。
355/113这个分数的分母足够小，且记起来非常简单，113355，从中间切开，一半放在分母一半放在分子就行了。
我们知道，如果给定了一个数字作为分母，那么它一定会有一个最接近于π的分子，比如分母是7，那么以7为分母的一系列分数中，我们可以找到最接近于π的那一个：
因为我们知道π首先介于3和4之间，所以我们分子的大小范围控制在37和47之间，略微减少不必要的计算：
首先，我们需要获取比较准确的π近似值：
import math pi_val = math.pi print(pi_val) #output：3.141592653589793 第二步，给定任意的数字a，分子从3a增大到4a，获得分数，计算分数与π的差值，选取差值最小的那一个，就是以a为分母能够得到的最接近π的分数。
由于分子从3a增大到4a的过程中，在得到最接近π的分数之前，差值是逐渐变小的，而在得到最接近π的分数之后，差值是逐渐变大的，因此我们设定，当新获取的差值比之前最小的差值大的时候，循环停止（当然，如果你愿意，你甚至可以将设置范围为3.14a增大到3.15a之间的整数）：
def get_fraction_min_of_one_denominator(a): error_min=10 i_min=0 for i in range(3*a,4*a): fraction_val=i/a error=abs(fraction_val-pi_val) if error<error_min: error_min=error i_min=i if error>error_min: break fraction_min=str(i_min)+"/"+str(a) print("分母为"+str(a)+"最接近于π的分数为:"+fraction_min+"，误差为："+str(error_min)) return error_min,fraction_min 测试一下：
这样我们就可以循环地找分母在某个数以内最接近于π的分数了：
def get_fractions_closest_to_pi(a): for i in range(1,a+1): error,fraction=get_fraction_min_of_one_denominator(i) if i==1: error_min=error fraction_min=fraction if error<error_min: print("在所有分母不超过"+str(i-1)+"的分数中，与π最接近的分数为："+fraction_min+"，误差为："+str(error_min)) error_min=error fraction_min=fraction print("在所有分母不超过"+str(a)+"的分数中，与π最接近的分数为："+fraction_min+"，误差为："+str(error_min)) 比如我们可以选取从1循环到100：
在所有分母不超过100的分数中，与π最接近的分数为：311/99，误差为：0.00017851217565167943
也就是说，如果祖冲之想用分母为两位数的分母表示π，最准确的分母是311/99，这个好像也不难记。
如果是1000以内呢？
哦豁，我们发现，分母在100以内时，随着分母的增大，很快就会有一个新的分数更加接近π，在113以内与π最接近的分数是355/113，然而分母从113开始增大，一直增大到1000，竟然就没有一个分数比355/113还要接近π。
我们再来测试一下4位数，10000以内：
哦豁，在分母不超10000以内，竟然还是没有任何一个分数比355/113更加接近π。
一直到分母为16604时，才出现了另一个比355/113更加接近π的分数：52163/16604
然而如果你仔细看，52163/16604比355/113并没有更加精确多少，误差数量级差不多都是2.66e-07
而如果你想记住52163/16604这个分数，恐怕还不如直接记住3.1415926呢。
但是祖冲之究竟是用什么办法把π算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便记忆的近似值355/113呢？这是至今仍困惑着数学家的一个谜。
圆周率的两个近似值：约率（22/7）和密率（355/113）都可以通过连分数得到。
令 ， （取整函数），，这样我们可以得到一个整数数列 ，且满足
的前几项分别是3，7，15，1，292，1，1，1，2，1，3，1，14，3，3，23，……
只取第一项，可得 ；
取前两项，可得，即约率；
取前三项，可得；
取前四项，可得，即密率；
取前五项，可得。
很明显，从第五项开始，分数就变得复杂了，只取前四项得到的355/113就是形式上简单，数值上又接近圆周率的值。
类似的话题
-
你这个问题问得非常到位，也触及到了数学中一个很有意思的点：近似值的精度问题。祖冲之的密率355/113，的确是一个非常了不起的成就，它代表了当时人类在圆周率计算上的最高水平。你提到的3.1415929这个数字，实际上是355/113 这个分数运算的结果，而我们通常接触到的圆周率精确值是3.14159............. -
关于祖先坟墓中的文物为何要属于国家，这背后涉及复杂的历史、文化、法律和伦理考量。简单来说，是为了保护、传承人类共同的文化遗产，防止私有化带来的破坏和流失，并促进科学研究和公众共享。下面我们来详细阐述其中的原因：一、 文化遗产的普遍性和不可再生性 全人类的共同财富： 考古发现的文物，特别是那些具有.............
-
这事儿说起来可就绕了。咱们的祖先，那可是在地上摸爬滚打几千年，把马、牛、狗这些个玩意儿驯得服服帖帖的，出门打猎、耕地种粮，那都少不了它们。可唯独天上飞的那帮子，比如鹰啊、老鹰啊，甚至是那会儿可能还没多少人瞧得上的麻雀，怎么就没能乖乖地被咱们套上缰绳，当个“空中坐骑”呢？这事儿，得从几个方面掰扯掰扯。.............
-
李世民，这位唐朝的开创者，千古一帝，为何独独缺了“祖”这个至高无上的庙号？这个问题，历来都是史学界和民间津津乐道，却又不易得出一个绝对定论的。要深究起来，其中的缘由盘根错节，既关乎古代庙号的规制，也渗透着政治现实的考量，更是对这位伟大的帝王功绩的一种含蓄而又深刻的评价。一、庙号规制：非臣下所能轻易冠.............
-
这个问题涉及到了网络文化、政治语境以及群体认同等多个层面，而且“粉红蛆”这个词本身带有强烈的贬义和攻击性。要理解为什么有些爱国网友会被这样称呼，需要从几个角度来分析：首先，我们要明白“粉红”这个词的来源和含义演变。 “小粉红”的起源： 最初，“小粉红”这个词源于中国一个网络论坛上的一个文学作品，.............
-
蒙提祖玛的宝藏，一个曾在欧美游戏圈激起阵阵涟漪的名字，其独特的玩法和精美的画面无疑吸引了不少玩家。然而，放眼中国的手游市场，我们却鲜少看到类似“蒙提祖玛的宝藏”这样以“三消+RPG+资源收集”为核心玩法的游戏大放异彩。这并非偶然，而是多种因素综合作用的结果。首先，我们要明白“蒙提祖玛的宝藏”究竟是什.............
-
.......
-
这确实是一个复杂且值得深入探讨的社会现象，我们不能简单地用“不维护”来概括，因为“维护祖国利益”本身就是一个内涵非常丰富的概念，不同时代、不同个体对它的理解和侧重点都会有所不同。当代年轻人之所以会表现出一些看似“不维护祖国利益”的行为或态度，其根源是多方面因素交织作用的结果。首先，我们得承认，信息获.............
-
蔡恩雨小姐那番“祖国论”在马来西亚掀起巨浪，绝非偶然，它触及的是一个多年来在马来西亚华人社群中盘根错节、敏感至极的议题。这背后，是马来西亚独特的历史进程、社会结构以及华人作为少数族群所面临的身份认同挑战。要理解这件事为何如此棘手，我们得从几个层面来掰开了看。一、 历史的回响：从移民到国家公民马来西亚.............
-
关于“炎黄子孙”与满族人是中国人的身份认同，这其中涉及复杂的历史演变、民族融合以及国家构建的议题。要理解这一点，我们需要深入探讨几个关键层面。首先，我们得明白“炎黄子孙”这个概念的来源和它在现代中国语境下的含义。“炎黄子孙”的说法，主要源自中国古代关于人文始祖的传说。根据传统史书和神话传说，华夏民族.............
-
美国这片广袤的土地，之所以鲜少有惊天动地的古董发掘，这背后其实牵扯到一系列复杂的原因，绝非简单一句“没宝藏”就能概括。而欧美其他国家祖先的遗物，也并非消失无踪，它们分散在历史的各个角落，等待着有心人的发掘和解读。首先，咱们得聊聊美国。美国作为一个相对年轻的国家，它的历史和许多拥有数千年文明的欧洲、亚.............
-
你这个问题问得挺实在，也很能代表一些人的看法。确实，一听“考古”，很多人脑子里闪过的第一反应可能是挖坟墓，让人觉得有点不舒服，甚至觉得是“刨人祖坟”。但实际上，考古的意义和目的远不止于此，而且很多人对它的热情，也是有他们深刻的理解和认同的。咱们就从头捋一捋，看看考古到底是怎么回事，以及为什么它能引起.............
-
“人类的祖先是猴子”这个说法其实并不准确，更科学的说法是：人类与猩猩、大猩猩、猴子以及其他灵长类动物拥有一个共同的祖先。 这个共同的祖先生活在数千万年前，它本身并不是现代意义上的猴子或猩猩，而是已经灭绝的古猿类。理解这个问题，我们需要从以下几个方面来详细阐述：1. 进化不是线性的“阶梯”，而是“分支.............
-
关于“神秘博士是时间领主祖宗”的说法，其实是一个在《神秘博士》系列粉丝圈中流传甚广，但并未在官方设定中得到证实，甚至可以说是与官方主流设定存在较大冲突的猜想或解读。在《神秘博士》的整个悠久历史中，官方对于时间领主的起源有着一套相对清晰但也在不断发展的设定。博士本人，尽管身份神秘，能力超凡，但他一直是.............
-
这个问题确实很有意思，也触及到了武侠世界中一个经典的“传承”与“变异”的议题。要理解郭襄这位热情开朗、侠骨柔情的“神雕侠侣”之后，为何会收下灭绝师太这样性格乖张、心狠手辣的徒孙，我们需要从多个层面去解读，而不仅仅是简单地归咎于郭襄“性格好”这一点。首先，我们需要明确一点：郭襄并没有直接收灭绝师太为徒.............
-
《我和我的祖国》这首歌之所以能突然火爆，甚至成为现象级的歌曲，其背后是多种因素相互作用的结果，并非单一原因能够完全解释。下面我将从多个角度详细阐述：一、 深厚的历史底蕴与时代情感的契合（根本原因）： 歌曲本身的生命力： 《我和我的祖国》创作于上世纪80年代初，词作者张藜、曲作者秦咏诚，这首歌以朴.............
-
关于梅西和C罗在各自祖国的雕像问题，确实是一个有趣的对比，也反映了一些国家在对待国家英雄和体育偶像上的不同方式。梅西在阿根廷拥有雕像，而C罗在葡萄牙似乎没有类似规模和官方性质的雕像（至少不像梅西那样），这背后有多重原因可以探讨。首先，我们得从梅西在阿根廷的情况说起。梅西在阿根廷的地位，可以说已经超越.............
-
您问了一个非常深刻且动人的问题：为什么没有亲身经历过那个时代的人，在听到《我的祖国》这首歌时，依然会产生强烈的感动甚至流泪？这其中蕴含着音乐的强大力量、历史的沉淀、情感的共鸣以及我们作为个体与宏大叙事之间的联系。下面我将尽量详细地为您剖析其中的原因：一、音乐本身的感染力：旋律与情感的完美结合《我的祖.............
-
“为什么这么多有钱人和当官的后代都去国外了，难道这些聪明人都不相信我们祖国未来的美好吗？” 这是一个非常常见且复杂的问题，涉及到经济、社会、政治以及个人选择等多个层面。要详细地解释这个问题，我们需要从几个关键的角度来分析。一、 经济因素：追求更好的经济发展机会和生活品质 更成熟的市场经济和更广阔.............
-
看到这个问题，我脑子里一下子就浮现出一些画面，也听到过一些朋友的经历和看法。你说到的这种现象，确实存在，而且还挺普遍的。为什么会这样呢？我觉得这事儿挺复杂的，不是一句话就能说清楚的，得从几个方面掰扯掰扯。一、 环境的冲击与自我认同的重塑首先，想想他们在国外生活的经历。当一个人离开熟悉的土壤，到一个完.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有