狄拉克符号有什么优越性？体现在哪里？
狄拉克符号的核心：Bra 和 Ket
在深入优越性之前，我们先回顾一下狄拉克符号的核心：
Ket（态矢量）： 用 $|psi angle$ 表示，代表一个量子系统的状态。这是一个列向量（在具体表示下），向量空间中的一个元素。
Bra（对偶矢量）： 用 $langlephi|$ 表示，代表一个与ket相对应的“行向量”。它是ket的对偶空间中的元素。
内积（Braket product）： $langlephi|psi angle$ 表示状态 $|psi angle$ 在状态 $|phi angle$ 上的投影，它是一个复数，代表了 $|psi angle$ 态包含 $|phi angle$ 态的多少。这个内积也满足共轭转置的性质：$langlephi|psi angle = (langlepsi|phi angle)^$.
外积（Ketbra product）： $|psi anglelanglephi|$ 表示一个算符，它将一个ket向量 $|chi angle$ 映射到 $|psi anglelanglephi|chi angle = langlephi|chi angle |psi angle = c |psi angle$，其中 $c = langlephi|chi angle$ 是一个标量。
狄拉克符号的优越性及其体现：
1. 抽象性和普适性：
体现： 狄拉克符号是一种高度抽象的表示法，它不依赖于选择特定的基矢（如位置基或动量基）。无论我们使用哪种基矢来表示量子态，狄拉克符号的形式和运算规则都保持不变。例如，一个态 $|psi angle$ 无论在哪个基下都可以表示为 $sum_i c_i |i angle$，但其本身 $| psi angle$ 的形式是独立于这个展开的。
优越性： 这种抽象性使得我们可以更专注于量子力学本身的结构和原理，而不是被具体的坐标系或表示所束缚。它允许我们进行更普适性的推导和讨论，例如关于算符的性质、量子态的演化等，而无需考虑具体基矢下的矩阵表示。这对于理解量子力学的内在对称性和结构至关重要。
2. 简洁性和直观性：
体现： 相比于使用复杂的矩阵或波函数表示，狄拉克符号提供了一种更简洁的写法。例如，计算两个态的内积 $langlephi|psi angle$ 比写出积分 $int phi^(x) psi(x) dx$ 要直观得多。同样，一个算符 $A$ 的作用在态 $|psi angle$ 上写作 $A|psi angle$，比写出矩阵乘法 $mathbf{M} mathbf{v}$ 要简洁。
优越性： 简洁性使得公式更易于书写和阅读，减少了出错的可能性。直观性则有助于我们理解数学运算在物理上的含义。例如，$langlepsi|psi angle$ 直接表示了态 $|psi angle$ 的归一化（模的平方），而 $langlephi|A|psi angle$ 则清晰地表示了算符 $A$ 在从态 $|psi angle$ 到态 $|phi angle$ 的跃迁中的期望值。
3. 统一性：
体现： 狄拉克符号统一了态矢量（ket）、对偶矢量（bra）以及它们之间的内积和外积。一个态可以看作一个列向量，而它的对偶态可以看作一个行向量。内积将它们联系起来，而外积则可以构建算符。
优越性： 这种统一性使得量子力学中的各种数学对象（如态、算符、测量等）能够用一种协调一致的框架来描述。它揭示了向量空间和其对偶空间之间的深刻联系，这在量子信息、量子计算等领域尤为重要。
4. 方便的算符表示和运算：
体现： 狄拉克符号允许我们将算符表示为一系列外积的和：$A = sum_{i,j} A_{ij} |i anglelangle j|$。其中 $A_{ij} = langle i|A|j angle$ 是算符 $A$ 在基矢 $|i angle$ 和 $|j angle$ 下的矩阵元素。
优越性： 这种表示方式非常方便。例如，计算算符的期望值 $langle A angle = langlepsi|A|psi angle$ 可以通过展开 $A$ 和 $|psi angle$ 来进行，但更简洁的方式是利用算符的性质。算符的乘法也很直观：$AB|psi angle = A(B|psi angle)$. 这种表示方法使得对算符的各种操作，如求逆、求幂、对易子等，都可以用简洁的方式来表达。
5. 基矢的引入和变换的自然处理：
体现： 狄拉克符号使得引入基矢以及在不同基矢之间进行变换变得非常自然。例如，在某个闭合完备基矢 ${|i angle}$ 下，任何态 $|psi angle$ 都可以表示为 $|psi angle = sum_i |i anglelangle i|psi angle$。这里的 $sum_i |i anglelangle i|$ 构成了一个单位算符（称为“积分算符”或“完备性关系”）。
优越性： 这允许我们在需要时方便地将抽象的符号运算转化为具体的矩阵运算，或者反过来。例如，要计算某个算符 $A$ 的矩阵元素，我们只需写出 $langle i|A|j angle$，然后在需要时代入具体的基矢表示进行计算。这使得从抽象理论到具体应用的过渡更加顺畅。
6. 对量子信息和量子计算的强大支持：
体现： 量子计算的核心概念，如量子比特（qubit）、量子门、纠缠等，都受益于狄拉克符号的表示。一个量子比特的状态可以表示为 $|0 angle$ 和 $|1 angle$ 的叠加态 $a|0 angle + b|1 angle$。量子门可以表示为作用在这些态上的算符。
优越性： 狄拉克符号简洁、抽象的特性使得描述和操作量子信息成为可能。例如，CNOT 门的作用可以清晰地写成 $|00 angle o |00 angle$, $|01 angle o |01 angle$, $|10 angle o |11 angle$, $|11 angle o |10 angle$。这种表示法对于设计量子算法和理解量子纠缠等现象至关重要。
7. 物理意义的清晰表达：
体现： 狄拉克符号中的一些表达式直接对应于重要的物理量。
$langlepsi|psi angle$: 态 $|psi angle$ 的归一化因子（即概率），通常设为 1。
$langlephi|psi angle$: 态 $|psi angle$ 在态 $|phi angle$ 上的概率幅。其模的平方 $|langlephi|psi angle|^2$ 是测量得到 $|phi angle$ 态的概率。
$langle A angle = langlepsi|A|psi angle$: 算符 $A$ 在态 $|psi angle$ 下的期望值。
$|psi anglelanglepsi|$: 表示态 $|psi angle$ 的投影算符，将其作用于任何态 $|chi angle$ 上都会得到 $|psi angle$ 在 $|psi angle$ 方向上的投影（如果 $|psi angle$ 已归一化）。
优越性： 这种直接的物理意义映射使得量子力学的概念更加易于理解和掌握。当我们看到一个狄拉克符号表达式时，通常可以直接联想到它所代表的物理意义。
总结
狄拉克符号的优越性体现在其高度的抽象性、简洁性、直观性、统一性以及在算符表示、基矢处理和物理意义表达上的便利性。它不仅极大地简化了量子力学的数学形式，使得理论推导和概念理解更为高效，更是现代量子信息科学和量子计算等领域不可或缺的工具。通过使用狄拉克符号，我们可以更清晰地洞察量子世界的深层结构和规律。
网友意见
谢不知道多久以前的邀，这是一个很系统也很有用的问题，需要理解几个相关的核心概念，下面我们一一为大家浅析一下。在此感谢 @Barry Allen 对本回答给予的友情支援。
1.从几何学中的坐标和坐标变换类比理解量子力学中的表象和表象变换
理解狄拉克符号，关键在于理解表象。这在我之前一个回答中提到过，这里做了一点点小补充。
表象即微观粒子体系的量子态和力学量的具体表示形式，任意力学量在不同表象中有不同的形式，我们可以给定一个表象来对一个力学量进行具体的描述，例如教材里常见的坐标表象和动量表象。但在量子力学的描述中，我们除了像这样给定一个具体表象外，也可以不指定具体的表象来对力学量进行描述。
下面我们举个不完全恰当的例子来帮助大家理解。假定我们有一个矢量 ，我们在直角坐标系下可以将它描述为
我们说，我们将矢量 按照基矢 和 展开，其展开系数为 。
当然，我们也可以不在直角坐标系下来描述这个矢量 ，比如我们可以用另一个非直角坐标系 和 来描述它，可以用极坐标系来描述它，我甚至还可以不指定坐标系，就将它描述为 。细心的读者已经发现： 矢量自身的性质，和我们选取哪个坐标系来描述它无关。
现在让我们回到量子力学。在量子力学里，一个物理系统可以用一个（复）希尔伯特空间来表示，描述系统可能状态的波函数就可以用希尔伯特空间的（列）向量来表示。
“形象”来说，表象就有点“坐标系”的味道，在不同的“坐标系”下，我们有不同的描述形式，而这个不指定具体“坐标系”来描述矢量 ，也就是在量子力学中通过一种抽象的、不涉及具体表象的形式，来讨论微观粒子的状态和运动规律的描述方法，就是狄拉克符号想做的事情。
总结一下，我们可以这样说：量子力学可以不涉及具体表象来讨论微观粒子的状态和运动规律，这样一种抽象的描述方法所使用的符号，我们称之为狄拉克符号。
2.狄拉克符号的使用方法
狄拉克符号做的第一件事，是将希尔伯特空间一分为二，称之为右矢空间和左矢空间，其对应的矢量为右矢（ket） 和左矢（bra） ，这个名称来自于对bracket（括号）这个单词的拆分。
狄拉克符号的使用，其实有两条原则，很多教材里讲得可能不是那么容易注意到，所以让初学者很容易犯迷糊。
首先，如果我们只描述一个抽象的特殊的态，而不涉及具体的表象，可直接在右矢内标记即可。这也是题主在题干里说的一个优越性“可以毋需采用具体表象”。
例如： 表示波函数 描述的状态， 表示 坐标本征值为 的本征态， 是能量为 的能量本征态……这类表示方法，均不涉及具体表象，通常用于直接描述本征态。
另一类常用的描述，就是在某一具体表象中使用狄拉克符号，这个讲起来要复杂一点。以下内容涉及一些量子力学概念，可以在我的这个回答中查到：
我们先约定内积的狄拉克符号是：
，且有
若相互正交，则 ；若 已经归一化，则
在F表象下，若有一力学量完全集 ，我们可以把任一态矢量 按基矢 展开，记为：
由于基矢是正交完备的，也就是我们在上式两边都乘以一个左矢 ，只有当左右矢取值相同时，由归一化条件才能取1，其余不相等的情况都取0，于是有：
我们把它称为态 在基矢 上的投影，如果 全都确定下来，态 也就确定下来了。因此我们说，这样一组数{ }就是态 在F表象下的表示。
我们还发现，根据上文的情况，我们可以这样写：
对比头和尾，则
这是一个非常重要的公式，请记住它。我们把它记为【*】式。
有了这些基础，我们就可以用狄拉克符号来完成：
算符的表示：
本征方程的表示：
薛定谔方程的表示：
力学量平均值：
这就是题主在题干里说的第二个优越性“运算简捷”
既然题干提到了“尤其是对于表象变换”，那我们可以来看看狄拉克符号对于表象变换是怎么个优越法。
我们约定，F表象的基矢记为 ，L表象的基矢记为 ，对于一个量子态 ，在两个表象下分别可表示为：
即
根据【*式】，从F表象到L表象的变换可记为：
即
这样我们就可以比较容易地得到两个表象之间的变换。
除此之外，狄拉克符号在解一维谐振子里也帅得一啤，这里先不赘述了嘻嘻嘻。
I hope it's useful for you guys.
耀坤。
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