什么是狄利克雷分布？狄利克雷过程又是什么？

狄利克雷分布和狄利克雷过程，对于统计学和机器学习领域的不少朋友来说，可能不算陌生。但如果让我来解释，我希望能让它们在你脑海里生动起来，而不是仅仅列出一堆公式。我们一点点来聊。

狄利克雷分布：不仅仅是多项分布的“姊妹”

首先，我们从狄利克雷分布（Dirichlet Distribution）说起。

你可以把狄利克雷分布看作是多项分布（Multinomial Distribution）的“连续版”或者说“概率的概率”。

想想我们生活中经常遇到的场景：

抛硬币：你抛一次硬币，结果要么是正面，要么是反面。这是一个二项分布（Binomial Distribution），只有两种可能。
掷骰子：你掷一个标准的六面骰子，结果有1到6这六个数字。每次掷骰子，出现每个数字的概率都是1/6。如果你掷很多次，比如100次，你可以统计出每个数字出现的次数。比如，1出现了15次，2出现了20次，以此类推。这些次数的比例（15/100, 20/100...）就构成了一个概率分布。

问题来了：在实际应用中，我们往往不知道骰子是真的“公平”的，还是它本身就倾向于出现某些数字。也就是说，我们不知道那个“每次出现每个数字的概率”是多少。

这就是狄利克雷分布大显身手的地方。

狄利克雷分布定义了一个概率分布的概率分布。它描述的是一个概率向量的分布。

什么叫概率向量？就是所有元素加起来等于1的向量。比如，对于一个三分类的问题（比如，一朵花可能是红色的，也可能是黄色的，也可能是紫色的），一个可能的概率分布就是：

红色：0.4
黄色：0.3
紫色：0.3

这个向量 `[0.4, 0.3, 0.3]` 就是一个概率向量，因为 0.4 + 0.3 + 0.3 = 1。

狄利克雷分布有几个参数，叫做“浓度参数”（Concentration Parameters），通常用希腊字母 `α` (alpha) 表示，而且通常是一个向量，比如 `α = [α₁, α₂, ..., αk]`。

`k`：代表我们有多少个可能的类别（比如骰子的面数，或者花的颜色数）。
`αᵢ`：代表我们对第 `i` 个类别的“倾向性”或者“信念”。

狄利克雷分布的几个关键特点：

1. 输出是概率向量：狄利克雷分布不是直接告诉你某个事件发生的概率，而是告诉你一个概率分布本身的可能性。它输出的是一个 `k` 维的概率向量 `[p₁, p₂, ..., pk]`，其中 `pᵢ ≥ 0` 且 `∑ pᵢ = 1`。
2. 参数 `α` 的作用：
`αᵢ` 越大：对应的类别 `i` 在最终的概率向量 `p` 中出现的可能性就越大。也就是说，我们对这个类别的“信心”更强。
所有 `αᵢ` 都相等（比如都等于1）：狄利克雷分布就变成了一个均匀分布。这意味着所有的概率向量 `[p₁, ..., pk]` 都有相同的可能性，即每个类别出现的概率都差不多。
`α` 的总和 `∑ αᵢ` 越大：意味着我们对概率分布的“确定性”越高，输出的概率向量 `p` 会更“尖锐”，即更倾向于集中在某些类别上，而不是平均分布。反之，`∑ αᵢ` 越小，输出的概率向量就会越“平坦”，更接近均匀分布。
3. 共轭先验：在贝叶斯统计中，狄利克雷分布是多项分布的共轭先验。这意味着什么呢？如果你用狄利克雷分布来表示一个多项分布的参数（即我们不知道的那个“每次出现每个数字的概率”），当你观察到一些数据（比如掷骰子得到的次数）后，更新后的“后验分布”依然是一个狄利克雷分布。这极大地简化了计算。

举个例子：

假设我们有一个三类问题（K=3）。

`α = [1, 1, 1]`：这是一个均匀的狄利克雷分布。无论我们从这个分布里采样得到什么样的概率向量 `[p₁, p₂, p₃]`，比如 `[0.3, 0.4, 0.3]` 或 `[0.5, 0.2, 0.3]`，这些概率向量本身出现的可能性是均等的。
`α = [10, 1, 1]`：这时，我们对第一类有很强的倾向。从这个分布里采样的概率向量 `[p₁, p₂, p₃]`，`p₁` 出现的值会非常接近1，而 `p₂` 和 `p₃` 会非常接近0。比如，很可能采样到 `[0.9, 0.05, 0.05]` 这样的结果。
`α = [2, 2, 2]`：相比于 `[1, 1, 1]`，这个分布的“尖锐度”更高，但各个类别的概率仍然是相等的。采样的概率向量会更倾向于集中在某个值附近，但这个值是随机的。

简单来说，狄利克雷分布就是用来对“概率的概率”进行建模的，它给出了一个概率向量的可能性。

狄利克雷过程：无尽的类别和分组

理解了狄利克雷分布，我们再来看狄利克雷过程（Dirichlet Process, DP）。

如果说狄利克雷分布是“描述一个固定的、有k个类别的概率分布的分布”，那么狄利克雷过程则是“描述一个可能拥有无限多个类别的概率分布的分布”。

这听起来有点绕，我们还是用比喻来解释。

1. 想象一个“顾客餐馆”的比喻：

顾客：就像我们数据点（比如一张图片，一个文档）。
餐馆：就像数据的“类别”或“分组”。

我们希望把这些顾客分配到不同的餐馆里。

狄利克雷分布的情景：假设我们事先知道有 `K` 家餐馆，并且我们对每家餐馆的受欢迎程度（即顾客选择这家餐馆的概率）有一个先验的看法。这时，狄利克雷分布就可以告诉我们，一个“受欢迎程度的概率分布”长什么样。

狄利克雷过程的情景：现在，我们不知道有多少家餐馆。我们只知道，顾客来了，要么去一家已经存在的餐馆，要么开一家新的餐馆。

狄利克雷过程就是一种用来生成这种“无限餐馆”（或者说无限类别）的概率模型。

狄利克雷过程的核心思想是通过“粘粘球模型”（StickBreaking Construction）或者“抽签模型”（Chinese Restaurant Process, CRP）来构建。

粘粘球模型 (StickBreaking Construction)

这个模型非常形象：

1. 从一个（无限的）“大饼”开始：想象一个长度为1的饼。
2. 第一次切割：从这个饼上随机切割下一块。这块的大小 `β₁` 就成为第一个类别的概率。剩下的饼（1 `β₁`）继续。
3. 第二次切割：从剩下的饼上再随机切割下一块。这块的大小 `β₂` 就成为第二个类别的概率。剩下的饼（1 `β₁` `β₂`）继续。
4. 重复这个过程无限次。

理论上，你会得到一串概率 `β₁, β₂, β₃, ...`，它们加起来等于1，并且定义了一个无限维度的概率分布。

关键点：每次切割的“刀口”位置，也就是 `βᵢ` 的大小，是根据一个Beta分布来抽取的。

Beta分布： Beta分布是定义在 `[0, 1]` 区间上的一个概率分布，它接收两个形状参数（通常是 `α` 和 `β`）。
如果 `α > 1` 且 `β > 1`，Beta分布的概率密度会在 `(0, 1)` 区间内。
如果 `α` 和 `β` 都很大，Beta分布会更集中在0.5附近。
如果 `α` 很大而 `β` 很小，Beta分布会偏向1。

在粘粘球模型中，我们常用一个叫做 `α` 的“集中参数”（Concentration Parameter）来控制切割过程：

`α` 越大：意味着第一次切割得到 `β₁` 的概率就越大，饼就容易在早期被切掉大部分，导致前几个类别的概率就大，而后面的类别概率就很小。这使得最终的概率分布更“集中”在少数几个类别上。
`α` 越小：意味着切割更“平均”，每一个 `βᵢ` 的大小都比较接近，即使到了后面，还有不少饼可以切。这使得后面出现的类别也可能有一定的概率，但整体概率会更分散。

所以，狄利克雷过程（DP）生成的是一个随机的、无限维度的概率分布 `P = (p₁, p₂, p₃, ...)`。

抽签模型 (Chinese Restaurant Process, CRP)

这个模型更是生动地描述了狄利克雷过程如何用来聚类。

想象一家中餐馆，它有无限多的桌子。

1. 第一个顾客进来：他会选择第一张桌子坐下。
2. 第二个顾客进来：
他可能会选择第一张已经有人坐的桌子（就像选择一个已有的类别）。
或者，他可能开一张新桌子（就像创造一个新的类别）。
3. 后续顾客：规则是，一个顾客选择一张桌子的概率，与这张桌子已经坐了多少顾客成正比。如果选择已经有人坐的桌子，它会选择某个桌子的概率，取决于这张桌子的“受欢迎程度”。选择开新桌子的概率，则与总的顾客数量有关（或者说，与已经开的桌子数量有关）。

CRP 的生成规则（更精确的描述）：

假设现在已经有 `n` 个顾客，并且他们坐了 `k` 张桌子。第 `n+1` 个顾客进来：

选择一张已有的桌子：概率是 `n_i / (n + α)`，其中 `n_i` 是第 `i` 张桌子已有的顾客数，`α` 是狄利克雷过程的集中参数。
开一张新桌子：概率是 `α / (n + α)`。

CRP 的核心特点：

“富者愈富”：坐了更多人的桌子，吸引下一个顾客的概率就越大。这是一种“马太效应”，导致少数几张桌子（类别）会非常受欢迎，而大部分桌子（类别）可能只有一两个顾客。
`α` 的作用：
`α` 越大：新桌子被开的概率就越大。这意味着，即使已经有很多人坐在一些桌子上了，新顾客还是有比较大的机会开一个新的桌子。最终，会有更多的桌子（类别）被创建。
`α` 越小：新桌子被开的概率就越小。新顾客更倾向于选择已有的桌子，结果就是顾客更集中地聚集在少数几张桌子上，创建的桌子（类别）数量会更少。

CRP 与狄利克雷分布的关系：

CRP 实际上是狄利克雷过程在离散化场景下的一个具体体现。如果你从一个狄利克雷过程（DP）中采样得到一个无限维度的概率分布 `P = (p₁, p₂, ...)`，然后用这个 `P` 作为参数去生成一个多项分布，你就会发现，CRP 的行为与这种方式非常相似。CRP 里的 `α` 参数，对应了 DP 的集中参数，也对应了狄利克雷分布中 `α` 总和的作用。

总结和对比

狄利克雷分布：

作用：描述一个固定数量 k 的概率分布（即概率向量 `p = [p₁, ..., pk]`）的可能性。
输入/输出：输入是浓度参数 `α = [α₁, ..., αk]`，输出是一个概率向量 `p`。
关键参数： `α` 向量。`αᵢ` 控制第 `i` 个类别的概率大小。`∑ αᵢ` 控制分布的“尖锐度”。
应用：作为多项分布的共轭先验，用于主题模型（如 LDA）、文本分类等。

狄利克雷过程：

作用：描述一个可能拥有无限数量类别的概率分布的分布。它生成一个随机的、无限维度的概率分布 `P = (p₁, p₂, ...)`。
核心概念：通过粘粘球模型或抽签模型（CRP）来构建。
关键参数：集中参数 `α`。`α` 越大，生成的类别越多，分布越分散；`α` 越小，生成的类别越少，分布越集中。
应用：非参数贝叶斯方法的核心，用于聚类（如 DPMeans, DPHMM）、主题模型（如无限主题模型）、推荐系统等，允许模型自动决定簇的数量或主题的数量。

简单来说，狄利克雷分布是关于“一个已知数量的分类问题的类别概率分布”，而狄利克雷过程则是关于“一个可能包含无限多个类别的分类问题的类别概率分布”。狄利克雷过程给了我们一个模型，可以让我们在不知道有多少类别的情况下，也能从数据中“发现”出有多少类别。

希望这次的解释，能让你对这两个概念有更直观的认识！

网友意见

最近问的人有点多，打算写一系列“简单易懂地理解XXX系列”。

今天来讲一下dirichlet distribution和dirichlet process怎么回事。力求让初学者看懂，而且我比较追求motivation，追求数学严谨性和简洁性的大神请移步不要看了。不喜欢看各种细节的也可以直接跳着看文中的结论。

实际上这是学习nonparametric bayesian里常见的困惑，有些同学碰到paper或者PPT读着读着发现怎么就弄出一个dirichlet distribution了？这里面有什么intuition吗？

读三遍：要想简单地理解，还得要先从简单的例子讲起。

要想易懂地理解dirichlet distribution，首先先得知道它的特殊版本beta distribution干了什么。而要理解beta distribution有什么用，还得了解Bernoulli process。

首先先看Bernoulli process。要理解什么是Bernoulli process，首先先看什么Bernoulli trial。Bernoulli trial简单地说就是一个只有两个结果的简单trial，比如抛硬币。

那我们就用抛一个(不均匀）硬币来说好了，X = 1就是头，X = 0就是字，我们设定q是抛出字的概率。

那什么是bernoulli process？就是从Bernoulli population里随机抽样，或者说就是重复的独立Bernoulli trials，再或者说就是狂抛这枚硬币n次记结果吧（汗=_=）。好吧，我们就一直抛吧，我们记下X=0的次数k.

现在问题来了。

Q：我们如何知道这枚硬币抛出字的概率？我们知道，如果可以一直抛下去，最后k/n一定会趋近于q；可是现实中有很多场合不允许我们总抛硬币，比如我只允许你抛4次。你该怎么回答这个问题？显然你在只抛4次的情况下，k/n基本不靠谱；那你只能"猜一下q大致分布在[0,1]中间的哪些值里会比较合理",但绝不可能得到一个准确的结果比如q就是等于k/n。

举个例子，比如：4次抛掷出现“头头字字”，你肯定觉得q在0.5附近比较合理，q在0.2和0.8附近的硬币抛出这个结果应该有点不太可能，q = 0.05和0.95那是有点扯淡了。

你如果把这些值画出来，你会发现q在[0,1]区间内呈现的就是一个中间最高，两边低的情况。从感性上说，这样应当是比较符合常理的。

那我们如果有个什么工具能描述一下这个q可能的分布就好了，比如用一个概率密度函数来描述一下? 这当然可以，可是我们还需要注意另一个问题，那就是随着n增长观测变多，你每次的概率密度函数该怎么计算？该怎么利用以前的结果更新（这个在形式上和计算上都很重要）？

到这里，其实很自然地会想到把bayes theorem引进来，因为Bayes能随着不断的观测而更新概率；而且每次只需要前一次的prior等等…在这先不多说bayes有什么好，接下来用更形式化语言来讲其实说得更清楚。

我们现在用更正规的语言重新整理一下思路。现在有个硬币得到random sample X = (x1,x2,...xn)，我们需要基于这n次观察的结果来估算一下q在[0,1]中取哪个值比较靠谱，由于我们不能再用单一一个确定的值描述q，所以我们用一个分布函数来描述：有关q的概率密度函数（说得再简单点，即是q在[0,1]“分布律”）。当然，这应当写成一个条件密度：f(q|X)，因为我们总是观测到X的情况下，来猜的q。

现在我们来看看Bayes theorem，看看它能带来什么不同：

在这里P(q)就是关于q的先验概率（所谓先验，就是在得到观察X之前，我们设定的关于q的概率密度函数）。P(q|x)是观测到x之后得到的关于q的后验概率。注意，到这里公式里出现的都是"概率"，并没有在[0,1]上的概率密度函数出现。为了让贝叶斯定理和密度函数结合到一块。我们可以从方程两边由P(q)得到f(q)，而由P(q|x)得到f(q|x)。

又注意到P(x)可以认定为是个常量（Q：why？），可以在分析这类问题时不用管。那么，这里就有个简单的结论——关于q的后验概率密度f(q|x)就和“关于q的先验概率密度乘以一个条件概率"成比例，即：

带着以上这个结论，我们再来看这个抛硬币问题：

连续抛n次，即为一个bernoulli process，则在q确定时，n次抛掷结果确定时，又观察得到k次字的概率可以描述为：

那么f(q|x)就和先验概率密度乘以以上的条件概率是成比例的：

虽然我们不知道，也求不出那个P(x)，但我们知道它是固定的，我们这时其实已经得到了一个求f(q|x)的公式（只要在n次观测下确定了，f(q)确定了，那么f(q|x)也确定了)。

现在在来看f(q)。显然，在我们对硬币一无所知的时候，我们应当认为硬币抛出字的概率q有可能在[0,1]上任意处取值。f(q)在这里取个均匀分布的密度函数是比较合适的，即f(q) = 1 (for q in [0,1]) 。

有些同学可能发现了，这里面，那个乘上[0,1]的均匀分布不就是一个Beta distribution么？

对，它就是一个Beta distribution。Beta distribution由两个参数alpha、beta确定；在这里对应的alpha等于k+1，beta等于n+1-k。而均匀分布的先验密度函数，就是那个f(q)也可以被beta distribution描述，这时alpha等于1，beta也等于1。

更有意思的是，当我们每多抛一次硬币，出现字时，我们只需要alpha = alpha + 1；出现头只需要beta = beta + 1。这样就能得到需要估计的概率密度f(q|x)…

其实之所以计算会变得这么简单，是因为被beta distribution描述的prior经过bayes formula前后还是一个beta distribution；这种不改变函数本身所属family的特性，叫共轭(conjugate)。

ok。讲到这你应该明白，对于有两个结果的重复Bernoulli trial，我们用beta prior/distribution就能解决。那么加入我们有n个结果呢？比如抛的是骰子？

这时候上面的Bernoulli trial就要变成有一次trial有k个可能的结果； Bernoulli distribution就变成multinomial distribution。而beta distribution所表述的先验分布，也要改写成一个多结果版本的先验分布。那就是dirichlet distribution。

均匀的先验分布Beta(1,1)也要变成k个结果的Dir(alpha/K)。dirichlet prior也有共轭的性质，所以也是非常好计算的。

简而言之，就是由2种外推到k种，而看待它们的视角并没有什么不同。

他们有着非常非常非常相似的形式。

结论1：dirichlet distribution就是由2种结果bernoulli trial导出的beta distribution外推到k种的generalization

（占坑，稍后继续补充dirichlet process）

（sorry，最近很懒，结果看到Gaussian Process就先答了GP，有机会随后补上=_=）

其它系列欢迎关注：

如何通俗易懂地介绍Gaussian Process？ - 知乎用户的回答如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？ - 知乎用户的回答

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