如何通俗易懂地介绍 Gaussian Process？
从“点”到“线”到“世界”：我们到底在猜什么？
我们平时接触到的很多数据，比如某一天某一个地点的温度，或者一个人在不同时间段的体重，都可以看作是一个个“点”。比如，我们在时间 1 测量到温度是 20 度，时间 2 测量到温度是 22 度。这些点（时间，温度）构成了我们已知的信息。
高斯过程要做的事情，就是在这个基础上，尝试去“猜”出这些点背后隐藏的那个“函数”。你可以把这个函数想象成一条平滑的曲线，这条曲线代表了温度随时间变化的规律。我们只知道曲线上的几个点，而高斯过程就是试图“画出”这条最可能的曲线，并且告诉我们，在那些我们没测量过的时间点上，温度最可能是什么，以及有多大的不确定性。
为什么叫“高斯”？跟“高斯分布”有什么关系？
你可能听说过“高斯分布”，就是那个像小山丘一样的概率分布图，最常见的例子就是人们的身高、考试分数等等。高斯分布描述的是一个随机变量的取值概率。
高斯过程名字里带“高斯”，是因为它和高斯分布有着非常紧密的联系。但是，它猜的不是一个“点”的数值，而是猜的是一个“函数”的形状。
你可以这样理解：如果我们随便在纸上画一条曲线，这条曲线的点是有很多种可能的。但是，高斯过程告诉我们，如果我们把无数个这样的函数“拉平”，它们最可能的样子长什么样。而且，更神奇的是，它认为在任何一组我们选择的点上，这些函数的值（也就是函数在该点的输出）都服从一个高斯分布。
这听起来有点绕，我们换个更直观的比喻：
比喻一：猜画大冒险
想象你和朋友在玩“猜画大冒险”，你们选了一个主题，比如“猫”。你只看到一些零散的猫的轮廓、耳朵、尾巴。高斯过程就像一个超级厉害的画师，根据你提供的这些零碎信息，不仅能画出最像猫的完整图片，还能告诉你，在这个地方画猫耳朵的可能性有多大，在那里画猫尾巴的可能性有多大。
比喻二：猜天气预报
天气预报员知道今天早上 8 点的气温是 15 度，中午 12 点是 20 度。高斯过程可以根据这些信息，预测下午 3 点的气温是多少，同时告诉你预测的误差范围，比如“下午 3 点气温最可能在 23 度左右，但也有可能在 21 到 25 度之间”。它不是一个固定的预测，而是一个“可能性”的范围。
高斯过程的核心秘密：协方差函数（Kernel Function）
那么，高斯过程是怎么做到“猜”函数的呢？它有一个非常重要的“武器”—— 协方差函数（也叫核函数）。
协方差函数就像一个“判断相似度”的尺子。它告诉我们，在两个输入点（比如两个不同的时间点）上，函数的值有多大的可能性是“相似”的。
相似度高： 如果两个输入点很近（比如时间点 1 和时间点 1.1），那么根据协方差函数，它们对应的函数值也很有可能很接近。就像两只猫的耳朵，肯定比一只猫的耳朵和一只狗的尾巴更相似。
相似度低： 如果两个输入点很远（比如今天和明年），它们对应的函数值可能就没有那么强的联系了。
协方差函数有很多种，每一种都代表着一种对函数“平滑度”、“周期性”等性质的假设。选择合适的协方差函数，就像选择了合适的“画画风格”，决定了高斯过程“猜”出的函数会是什么样子。
高斯过程能做什么？它的神奇之处在哪？
高斯过程之所以受到大家的喜爱，是因为它有几个非常强大的能力：
1. 不确定性估计： 这是高斯过程最核心的优势之一。它不仅仅是给出一个预测值，还会告诉我们预测的“信心”有多高。就像天气预报告诉你“可能下雨”，但高斯过程会告诉你“有 70% 的概率下雨，但也有 30% 的概率不下”。这种不确定性信息对于很多决策非常重要。
2. 灵活的建模能力： 通过调整协方差函数，高斯过程可以拟合各种各样复杂的函数关系，从简单的线性关系到非常复杂的非线性关系。
3. 贝叶斯方法： 高斯过程是一种贝叶斯方法，这意味着它可以很好地结合先验知识（在开始猜测之前，我们对函数可能有什么样的认识）和观测数据，形成一个融合了两者信息的“后验”预测。
4. 作为“基准”模型： 在机器学习领域，高斯过程常常被用作一个强大的基准模型，用来和其他更复杂的模型进行比较。
什么时候会用到高斯过程？
高斯过程的应用非常广泛，比如：
机器人路径规划： 机器人需要在未知环境中移动，高斯过程可以用来建模环境的“高度”或“安全性”，并在规划路径时考虑不确定性。
天气预测： 就像我们前面说的，用来预测温度、降雨量等。
金融建模： 预测股票价格、风险等。
医学诊断： 预测疾病的进展，评估治疗效果。
材料科学： 预测材料的性能。
超参数优化： 在训练其他机器学习模型时，高斯过程可以用来高效地搜索最优的模型参数。
为什么有些人觉得高斯过程“难”？
虽然概念听起来挺有趣，但真正深入理解高斯过程，尤其是涉及到计算部分时，确实需要一些数学基础。尤其是协方差函数的选择、矩阵运算等等，会涉及到线性代数、概率论等知识。
但核心思想就是：
我们试图“猜”出一条隐藏的函数。
我们通过一组已知的数据点来指导这个猜测。
“协方差函数”是我们用来判断不同点之间“相似度”的工具。
高斯过程不仅给出预测值，还给出预测的不确定性。
总结一下：
高斯过程就像一个非常聪明的“猜谜高手”，它不是一次性给你一个答案，而是通过一种“概率”的方式，告诉你最可能的函数是什么样子，并且告诉你它对这个猜测有多大的把握。它让我们的预测更加“人性化”，因为在现实世界里，很少有事情是可以百分之百确定的。
下次当你看到“高斯过程”这个词时，不妨想象一下一个画师在根据零散的草图，用最优雅的笔触画出整幅画，并且还能告诉你，在画面留白的地方，最有可能出现什么，以及有多大的把握。这就是高斯过程的魅力所在。
网友意见
这篇回答节选自我的专栏《机器学习中的数学：概率图与随机过程》，我们来仔细介绍和分析一下高斯过程。
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高斯过程，从字面上分解，我们就可以看出他包含两部分：
第一：高斯，指的是高斯分布
第二：过程，指的是随机过程
我们回过头来重新梳理一下整个高斯分布的脉络：
首先当随机变量是1维的时候，我们称之为一维高斯分布，概率密度函数 ，当随机变量的维度上升到有限的 维的时候，就称之为高维高斯分布， 。而高斯过程则更进一步，他是一个定义在连续域上的无限多个高斯随机变量所组成的随机过程，换句话说，高斯过程是一个无限维的高斯分布。
我们用符号来更严谨的进行描述：
对于一个连续域 （假设他是一个时间轴），如果我们在连续域上任选 个时刻： ，使得获得的一个 维向量 都满足其是一个 维高斯分布，那么这个 就是一个高斯过程。
下面我们来实际举一个例子，让大家更能直观的建立高斯过程的印象，下面的图中，横轴 是一个关于时间的连续域，表示人的一生，而纵轴表示的是体能值，对于同一个人种的男性而言，在任意不同的时间点体能值都服从正态分布，但是不同时间点分布的均值和方差不同。
图中，我们取出了 五个时间点，分别代表同一个男性群体童年、少年、青年、中年、老年的具体时刻， 分别对应五个时刻的体能值，他们都服从高斯分布，只不过从图中可以看出，均值和方差都不同，那么概率起来：
对于任意 ， ，也就是对于一个确定的高斯过程而言，对于任意时刻 ，他的 和 都已经确定了。而像上图中，我们对同一人种男性体能值在关键节点进行采样，然后平滑连接，也就是图中的两条虚线，就形成了这个高斯过程中的两个样本。
那如何用形式化的语言来描述一个具体的高斯过程呢？很简单，我们回忆下，最开始我们把高斯过程看作什么？看作是无限维的高斯分布。那么我们类比一下：
对于一个 维的高斯分布而言，决定他的分布是两个参数，一个是 维的均值向量 ，他反映了 维高斯分布中每一维随机变量的期望，另一个就是 的协方差矩阵 ，他反映了高维分布中，每一维自身的方差，以及不同维度之间的协方差。
定义在连续域 上的高斯过程其实也是一样，他是无限维的高斯分布，他同样需要描述每一个时间点 上的均值，但是这个时候就不能用向量了，因为是在连续域上的，维数是无限的，因此就应该定义成一个关于时刻 的函数： 。
协方差矩阵也是同理，无限维的情况下就定义为一个核函数 ，其中 和 表示任意两个时刻，核函数也称协方差函数。核函数是一个高斯过程的核心，他决定了高斯过程的性质，在研究和实践中，核函数有很多种不同的类型，他们对高斯过程的衡量方法也不尽相同，这里我们介绍和使用最为常见的一个核函数：径向基函数 ，其定义如下：
这里面的 和 是径向基函数的超参数，使我们提前可以设置好的，例如我们可以让 ， ，从这个式子中，我们可以解读出他的思想：
和 表示高斯过程连续域上的两个不同的时间点， 是一个二范式，简单点说就是 和 之间的距离，径向基函数输出的是一个标量，他代表的就是 和 两个时间点各自所代表的高斯分布之间的协方差值，很明显径向基函数是一个关于 距离负相关的函数，两个点距离越大，两个分布之间的协方差值越小，即相关性越小，反之越靠近的两个时间点对应的分布其协方差值就越大。
由此，高斯过程的两个核心要素：均值函数和核函数的定义我们就描述清楚了，按照高斯过程存在性定理，一旦这两个要素确定了，那么整个高斯过程就确定了：
我们来看一段径向基函数的演示代码：
代码片段：
import numpy as np def gaussian_kernel(x1, x2, l=1.0, sigma_f=1.0): m, n = x1.shape[0], x2.shape[0] dist_matrix = np.zeros((m, n), dtype=float) for i in range(m): for j in range(n): dist_matrix[i][j] = np.sum((x1[i] - x2[j]) ** 2) return sigma_f ** 2 * np.exp(- 0.5 / l ** 2 * dist_matrix) train_X = np.array([1, 3, 7, 9]).reshape(-1, 1)#转换为4*1矩阵形式 print(gaussian_kernel(train_X, train_X)) 运行结果：
[[1.00000000e+00 1.35335283e-01 1.52299797e-08 1.26641655e-14] [1.35335283e-01 1.00000000e+00 3.35462628e-04 1.52299797e-08] [1.52299797e-08 3.35462628e-04 1.00000000e+00 1.35335283e-01] [1.26641655e-14 1.52299797e-08 1.35335283e-01 1.00000000e+00]] 在这个函数中，我们输入4个时间点： ，输出的是一个 的协方差矩阵，反映的任意 和 两个时间点对应的高斯分布的协方差值，当 时，就是自身的方差。
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最后我们来看高斯过程回归
这个过程我们其实可以看作是一个先验+观测值，然后推出后验的过程，怎么讲？
我们先通过 和 定义一个高斯过程，但是因为此时并没有任何的观测值，所以这是一个先验：
那么，如果我们获得了一组观测值之后，如何来修正这个高斯过程的均值函数和核函数，使之得到他的后验过程呢？
我们先回顾一下高维高斯分布的条件概率，我们知道，高斯分布有一个很好的特性，那就是高斯分布的联合概率、边缘概率、条件概率仍然是满足高斯分布的，假设：
维的随机变量满足高斯分布：
那么如果我们把这个 维的随机变量分成两部分： 维的 和 维的 ，满足 ，那么按照均值向量 和协方差矩阵 的分块规则，就可以写成：
那么依据高斯分布的性质，我们知道下列条件分布依然是一个高维的高斯分布：
也就是说，设置了高斯过程的先验参数，一旦我们拿到一些观测值，那么就可以对高斯过程的均值函数和核函数进行修正，得到一个修正后的后验高斯过程，而更新后验参数的信息就来自于观测值。
那么将高斯过程对比高维高斯分布，我们把均值向量替换成均值函数，把协方差矩阵替换成核函数，就能够得到高斯过程基于观测值的后验过程的参数表达式：
我们的一组观测值，他们的时刻对应一个向量 ，那么对应的值时另一个同纬度的向量的 ，假设有4组观测值，那就是
那么余下的所有非观测点，在连续域上我们定义为 ，值定义为
首先，联合分布显然是满足无限维高斯分布的：
从这个联合分布所派生出来的条件概率 同样也服从高斯分布，当然这里指的是无限维高斯分布，其实对比一下，把 看作是 ，把 看作是 ，直接类比条件分布的参数表达式：
这里面的 和 就是条件分布下的后验高斯过程的均值函数和核函数的形式。
类比我们就可以写成表达式：
好了，公式堆的够多了，下面我们来实际的进行代码演示，在我们的例子中，高斯过程先验，我们设置均值函数为 ，径向基函数 中的超参数为 ， 。
然后我们 的位置上设置一组观测值， 为$X$取正弦的基础上加上一点高斯噪声。
我们在四个观测点的基础上，来求高斯过程的后验。在下面的具体程序实现中，由于绘图是离散化处理的，因此连续域上的均值函数以及核函数，我们使用一个 很大的 维均值向量以及 协方差矩阵进行表示的：
代码片段：
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np #高斯核函数 def gaussian_kernel(x1, x2, l=0.5, sigma_f=0.2): m, n = x1.shape[0], x2.shape[0] dist_matrix = np.zeros((m, n), dtype=float) for i in range(m): for j in range(n): dist_matrix[i][j] = np.sum((x1[i] - x2[j]) ** 2) return sigma_f ** 2 * np.exp(- 0.5 / l ** 2 * dist_matrix) #生成观测值，取sin函数没有别的用意，单纯就是为了计算出Y def getY(X): X = np.asarray(X) Y = np.sin(X)*0.4 + np.random.normal(0, 0.05, size=X.shape) return Y.tolist() #根据观察点X，修正生成高斯过程新的均值和协方差 def update(X, X_star): X = np.asarray(X) X_star = np.asarray(X_star) K_YY = gaussian_kernel(X, X) # K(X,X) K_ff = gaussian_kernel(X_star, X_star) # K(X*, X*) K_Yf = gaussian_kernel(X, X_star) # K(X, X*) K_fY = K_Yf.T # K(X*, X) 协方差矩阵是对称的，因此分块互为转置 K_YY_inv = np.linalg.inv(K_YY + 1e-8 * np.eye(len(X))) # (N, N) mu_star = K_fY.dot(K_YY_inv).dot(Y) cov_star = K_ff - K_fY.dot(K_YY_inv).dot(K_Yf) return mu_star, cov_star f, ax = plt.subplots(2, 1, sharex=True,sharey=True) #绘制高斯过程的先验 X_pre = np.arange(0, 10, 0.1) mu_pre = np.array([0]*len(X_pre)) Y_pre = mu_pre cov_pre = gaussian_kernel(X_pre, X_pre) uncertainty = 1.96 * np.sqrt(np.diag(cov_pre))#取95%置信区间 ax[0].fill_between(X_pre, Y_pre + uncertainty,Y_pre - uncertainty, alpha=0.1) ax[0].plot(X_pre, Y_pre, label="expection") ax[0].legend() #绘制基于观测值的高斯过程后验 X = np.array([1, 3, 7, 9]).reshape(-1, 1)#4*1矩阵 Y = getY(X) X_star = np.arange(0, 10, 0.1).reshape(-1, 1) mu_star, cov_star = update(X, X_star) Y_star = mu_star.ravel() uncertainty = 1.96 * np.sqrt(np.diag(cov_star))#取95%置信区间 ax[1].fill_between(X_star.ravel(), Y_star + uncertainty, Y_star - uncertainty, alpha=0.1) ax[1].plot(X_star, Y_star, label="expection") ax[1].scatter(X, Y, label="observation point", c="red", marker="x") ax[1].legend() plt.show() 运行结果：
我们分析一下试验结果，图中浅蓝半透明区域表示在该点均值附近取 置信区间的区域，上面一幅图是高斯过程的先验，下面是在观测值的基础上的高斯过程后验，明显可以看出，由于观测点信息的带入，连续域上各个点的均值发生了变化，同时大部分取值点的 置信空间也收窄，证明确定性得到了增强。
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