如何通俗地讲解傅立叶分析和小波分析间的关系？
想象一下，我们要分析一段音乐。
傅立叶分析：用“固定音调”的乐器来解析音乐
傅立叶分析的核心思想：把复杂的信号分解成一系列简单的“正弦波”
傅立叶分析就像是一个非常有耐心的音乐家，他拿到一首复杂的交响乐（也就是我们的信号），然后说：“嗯，这首乐曲里面到底包含了哪些基础音符呢？”
他会用一个非常特殊的工具箱，这个工具箱里全是固定音调的乐器，这些乐器发出的声音都是纯粹的正弦波（sinusoidal waves）。想象一下，他有无穷多的音叉，每个音叉都发出一个精确的、单一频率的声音，比如C调、G调、A调等等。
然后，这个音乐家会做一件事：
1. “试听”： 他会一遍又一遍地播放他的音叉乐器。
2. “调音”： 他会不断地调整每个音叉发出的声音的响度（振幅）和相位（起始点）。
3. “组合”： 他最终的目标是找到一个精确的组合——也就是所有音叉发出的声音，以不同的响度和相位组合起来——能够完美地模拟出那首原始的交响乐。
举个例子：
如果你的信号是一段简单的声音，比如一个纯粹的钢琴C音。傅立叶分析会告诉你：“哦，这首歌里只有C调的纯正弦波，它的响度是多少，相位是多少。”
如果你的信号是一段包含C音和G音的和弦。傅立叶分析会告诉你：“这首歌里有C调的正弦波（响度X，相位A）和G调的正弦波（响度Y，相位B）。”
傅立叶分析的优点：
非常精确地告诉你信号由哪些“纯音调”组成。 它能告诉你信号在频率域上的分布，也就是信号由哪些频率的成分构成。
在很多领域非常有用。 比如分析音频信号的频谱、电路的频率响应、图像的纹理等等。
傅立叶分析的局限性（也是小波分析出现的原因）：
这里就是关键了！我们刚才说傅立叶分析的乐器是“固定音调”的。这意味着：
它只能告诉你“总共”有哪些频率成分，但不知道这些频率成分“什么时候”出现。 比如，如果交响乐在开头有一段小提琴独奏，后面有一段大提琴合奏，傅立叶分析只能告诉你“这个乐曲里既有小提琴的音域，也有大提琴的音域”，但它无法分辨出“小提琴的音是出现在开头，大提琴的音是出现在后面”。它把所有的声音信息混合在一起了。
对于“瞬时变化”的信号，傅立叶分析效果不佳。 比如，一个信号突然发出“砰”的一声（一个短暂的、能量集中的事件），傅立叶分析会把这个“砰”声的能量平均分配到所有的频率上，导致我们很难定位这个“砰”声发生在什么时候。
就好比，你只知道你买了一袋水果，里面有苹果、香蕉和橘子，但你不知道是先吃了个苹果，然后是香蕉，最后是橘子。
小波分析：用“可以伸縮”的乐器来解析音乐
现在，想象一下我们换了一个音乐家，他使用的乐器也不再是固定的音叉了，而是可以伸縮的乐器。
小波分析的核心思想：把复杂的信号分解成一系列“带有时间信息”的基础波形（小波）
小波分析的音乐家也想分解交响乐，但他使用的工具箱里是不同宽度（频率）和不同位置（时间）的乐器。
这些乐器叫做“小波”（wavelets）。你可以把它们想象成：
它们是像正弦波一样“好听”的波形，但它们不是无限长的。 它们有自己的一个“核心区域”或“形状”，然后这个形状会逐渐消失。
它们可以被“拉伸”或“压缩”。
拉伸（变宽）的小波，就像一个低沉、缓慢的乐器，能捕捉到低频率的信息（比如大提琴的长音）。
压缩（变窄）的小波，就像一个尖锐、快速的乐器，能捕捉到高频率的信息（比如小提琴的快速音符）。
它们还可以被“移动”到时间轴上的不同位置。 这样就能捕捉到信息出现的“时间点”。
所以，小波分析的音乐家会做：
1. “试听”： 他会拿出不同宽度（频率）和不同位置（时间）的小波乐器。
2. “调音”和“移动”： 他会调整每个小波的响度、相位，并且把它“放在”时间轴的某个特定位置上。
3. “组合”： 他寻找一个最佳的组合——也就是用不同时间点上，不同宽度（频率）的“小波乐器”，以不同的响度和相位组合起来——能够完美地模拟出原始交响乐。
举个例子：
如果交响乐开头有一段小提琴的快节奏旋律（高频率，出现在开头）。小波分析会找到一个“窄小的”、“出现在开头位置”的小波乐器，然后调整它的响度和相位，来精确地描述这段旋律。
如果交响乐后面有一段大提琴的长音（低频率，出现在后面）。小波分析会找到一个“宽大的”、“出现在后面位置”的小波乐器，来描述这段长音。
小波分析的优点：
同时提供频率和时间信息（时频分析）。 它能告诉你信号在什么时间点包含了哪些频率的成分。这对于分析那些随时间变化的信号至关重要。
对信号的局部特征非常敏感。 就像上面例子中的“砰”声，小波分析可以找到那个瞬间出现的高能量，并确定它是什么样的频率成分。
可以实现“多分辨率分析”。 也就是说，它可以用粗略的尺度（宽小波）去看大的趋势，也可以用精细的尺度（窄小波）去看细节。
傅立叶分析和小波分析的关系：是继承，也是发展
那么，它们之间到底是什么关系呢？
可以这样理解：
1. 小波分析是傅立叶分析的“拓展”和“升级”。
傅立叶分析可以看作是小波分析的一个特例。 如果我们只使用一种宽度（频率）且无限长的小波（也就是纯正弦波），并且不去考虑它在时间上的位置，那它就接近于傅立叶分析了。
傅立叶分析告诉你“信号由哪些纯粹的、无限长的音调组成”。
小波分析告诉你“信号在什么时候由哪些特定宽度（频率）的、有始有终的音调（小波）组成”。
2. 它们关注的维度不同。
傅立叶分析是“频率域”的分析。 它主要回答“信号的频谱是什么？”
小波分析是“时频域”的分析。 它主要回答“信号在哪个时间点有什么样的频率成分？”
一个形象的比喻：
傅立叶分析就像是一本“总账”，告诉你这个月一共花了多少钱在食物上，多少钱在交通上，多少钱在娱乐上。 它告诉你总的“构成比例”。
小波分析就像是一本详细的“流水账”，告诉你每天花了多少钱，其中这笔钱花在了哪里。 它告诉你“什么时候”、“发生什么事情”、“花了多少钱”。
总结一下它们的关系：
傅立叶分析是一个非常强大的工具，它把信号分解成了无限长的、具有固定频率的正弦波。它能完美地告诉你信号由哪些频率成分组成。然而，它丢失了这些频率成分出现的时间信息。
小波分析在此基础上进行了发展，它使用了一系列具有特定形状（但可以拉伸、压缩、移动）的“小波”来分解信号。这些小波可以同时捕捉到信号的频率信息和时间信息。因此，小波分析能够更好地分析那些在时间和频率上都发生变化的信号，比如瞬态事件、非平稳信号等。
所以，小波分析不是要取代傅立叶分析，而是在傅立叶分析的基础上，解决了它在分析时变信号时的局限性，提供了一个更全面的视角来理解信号。很多时候，在实际应用中，我们会根据信号的特点选择合适的分析方法，甚至结合使用这两种方法。
希望这个详细的讲解能帮助你理解傅立叶分析和小波分析之间的关系！
网友意见
从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。。）
一、傅里叶变换
关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）
下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号：
做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
一切没有问题。但是，如果是频率随着时间变化的非平稳信号呢？
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
看图：
时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！
用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。
是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。
使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？
窗太宽太窄都有问题：
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是无法获取的。）
看看实例效果吧：
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
上图对同一个信号（4个频率成分）采用不同宽度的窗做STFT，结果如右图。用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。
所以窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低，宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。
三、小波变换
那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。
但事实上小波并不是这么做的（关于这一点，方沁园同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。）
至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重，STFT做不到正交化，这也是它的一大缺陷。
于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了~
【解释】
来我们再回顾一下傅里叶变换吧，没弄清傅里叶变换为什么能得到信号各个频率成分的同学也可以再借我的图理解一下。
傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：
这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。
仔细体会可以发现，这一步其实是在计算信号和三角函数的相关性。
看，这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。
以上，就是粗浅意义上傅里叶变换的原理。
如前边所说，小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波嘛~
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。
而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分。
看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！
做傅里叶变换只能得到一个频谱，做小波变换却可以得到一个时频谱！
↑：时域信号
↑：傅里叶变换结果
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
↑：小波变换结果
小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：
然而衰减的小波就不一样了：
以上，就是小波的意义。
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以上只是用形象地给大家展示了一下小波的思想，希望能对大家的入门带来一些帮助。毕竟如果对小波一无所知，直接去看那些堆砌公式、照搬论文语言的教材，一定会痛苦不堪。
在这里推荐几篇入门读物，都是以感性介绍为主，易懂但并不深入，对大家初步理解小波会很有帮助。文中有的思路和图也选自于其中：
1. THE WAVELET TUTORIAL （强烈推荐，点击链接：
）
2. WAVELETS：SEEING THE FOREST AND THE TREES
3. A Really Friendly Guide to Wavelets
4. Conceptual wavelets
但是真正理解透小波变换，这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在，它是构造“小波函数”的关键，并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析，理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理；你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕，大家就一点一点啃吧~
第一次在知乎写这么长的回答，都是利用实验室搬完砖之余的时间一点点弄的，欢迎分享，如转载还请跟我说一声哈~
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2015.3.26
评论中的一些问题的回答：
1. 关于海森堡不确定性原理
不确定性原理，或者叫测不准原理，最早出自量子力学，意为在微观世界，粒子的位置与动量不可同时被确定。但是这个原理并不局限于量子力学，有很多物理量都有这样的特征，比如能量和时间、角动量和角度。体现在信号领域就是时域和频域。不过更准确一点的表述应该是：一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中；一个函数时域越“窄”，它经傅里叶变换的频域后就越“宽”。
如果有兴趣深入研究一下的话，这个原理其实非常耐人寻味。信号处理中的一些新理论在根本上也和它有所相连，比如压缩感知。如果你剥开它复杂的数学描述，最后会发现它在本质上能实现其实和不确定性原理密切相关。而且大家不觉得这样一些矛盾的东西在哲学意义上也很奇妙吗？
2. 关于正交化
什么是正交化？为什么说小波能实现正交化是优势?
简单说，如果采用正交基，变换域系数会没有冗余信息，变换前后的信号能量相等，等于是用最少的数据表达最大的信息量，利于数值压缩等领域。JPEG2000压缩就是用正交小波变换。
比如典型的正交基：二维笛卡尔坐标系的（1,0）、（0,1），用它们表达一个信号显然非常高效，计算简单。而如果用三个互成120°的向量表达，则会有信息冗余，有重复表达。
但是并不意味着正交一定优于不正交。比如如果是做图像增强，有时候反而希望能有一些冗余信息，更利于对噪声的抑制和对某些特征的增强。
3. 关于瞬时频率
原问题：图中时刻点对应一频率值，一个时刻点只有一个信号值，又怎么能得到他的频率呢？
很好的问题。如文中所说，绝对意义的瞬时频率其实是无法得到的。单看一个时刻点的一个信号值，当然得不到它的频率。我们只不过是用很短的一段信号的频率作为该时刻的频率，所以我们得到的只是时间分辨率有限的近似分析结果。这一想法在STFT上体现得很明显。小波用衰减的基函数去测定信号的瞬时频率，思想也类似。（不过到了Hilbert变换，思路就不一样了，以后有机会细讲）
4. 关于小波变换的不足
这要看和谁比了。
A.作为图像处理方法，和多尺度几何分析方法（超小波）比：
对于图像这种二维信号的话，二维小波变换只能沿2个方向进行，对图像中点的信息表达还可以，但是对线就比较差。而图像中最重要的信息恰是那些边缘线，这时候ridgelet（脊波）, curvelet（曲波）等多尺度几何分析方法就更有优势了。
B. 作为时频分析方法，和HHT比：
相比于HHT等时频分析方法，小波依然没脱离海森堡测不准原理的束缚，某种尺度下，不能在时间和频率上同时具有很高的精度；以及小波是非适应性的，基函数选定了就不改了。
5. 关于文中表述的严谨性
评论中有不少朋友提到，我的一些表述不够精准。这是肯定的，并且我也是知道的。比如傅里叶变换的理解部分，我所说的那种“乘出一个大的值”的表述肯定是不够严谨的。具体我也在评论的回答中做了解释。我想说的是通俗易懂和精确严谨实在难以兼得，如果要追求严谨，最好的就是教科书上的数学表达，它们无懈可击，但是对于初学者来说，恐怕存在门槛。如果要通俗解释，必然只能侧重一个关键点，而出现漏洞。我想这也是教科书从来不把这些通俗解释写出来的原因吧——作者们不是不懂，而是怕写错。所以想深入理解傅里叶变换和小波变换的朋友还请认真学习教材，如果这篇文章能给一些初学者一点点帮助，我就心满意足了。
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2015.11.19
谢谢大家！万万没想到能收到这么多赞。。还有老师拿我这篇文章在课上讲。。？真是受宠若惊。本以为这么学术的一个东西不会有多少人看的。。
收到了一万点激励！话说我也一直想更新一些新东西，只是正值申请季，实验室里砖又没搬完，看来只能等明年了。。
接下来考虑的题目有：压缩感知、希尔伯特变换、信号的不确定性原理、小波-尺度函数与多分辨率分析、小波-二维小波与多尺度几何分析、独立成分分析。。
图像处理领域的，比如图像分割、图像去噪算法之类的也可以！
绝对要通俗易懂！
不造大家资词不资词啊。。
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2016.4.30
未经允许，禁止任何微信公众号直接转载。
2016.9.14
现已更新专栏：
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