如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？

改变形状和位置的魔法：通俗易懂的仿射变换

想象一下，你正在玩一个橡皮泥游戏，手里捏着一团柔软的橡皮泥。你可以用手指捏、搓、拉伸、挤压，甚至把它压成薄薄的一片。这些动作，在数学的世界里，很多都可以用一个叫做“仿射变换”的神奇工具来描述。

核心思想：保持“直”和“平行”

仿射变换最核心、最容易理解的特点是，它能保持线条的“直”和“平行”的性质。

保持直线不变: 你用手指把橡皮泥搓成一个长条，这个长条本身是直的。就算你把它弯曲一下，或者拉伸一下，它原来作为“直”的这条线，在新的形状里也仍然是一条“直线”（当然，可能变长、变短、变粗、变细）。仿射变换不会把直线变成曲线，也不会把一个点变成一个区域。
保持平行线不变: 如果你把橡皮泥捏成一个方块，它的对边是平行的。当你拉伸或挤压它时，比如把它变成一个长方形，甚至一个梯形，原来的平行线还是会保持平行。它们不会交叉，也不会变成其他奇怪的形状。

它能做什么？

仿射变换就像一个灵活的“变形金刚”，可以对物体进行一系列基本的操作：

1. 移动（平移）： 就像你把橡皮泥从桌子的一边挪到另一边，它本身的大小和形状都没变，只是位置变了。这就是平移。
2. 旋转： 你可以把橡皮泥转个圈，让它朝向不同的方向。这就是旋转。
3. 缩放： 你可以把橡皮泥捏得更大，或者压得更小。这就是缩放。你可以整体放大缩小，也可以在不同方向上放大缩小（比如把橡皮泥压扁，就像擀面条一样，长度方向不变，宽度方向变小）。
4. 剪切（错切）： 这个稍微有点抽象。想象一下你把橡皮泥的一边向上推，另一边不动。整个橡皮泥就会发生倾斜，变成一个平行四边形。原来垂直的边现在变成了斜边。这就是剪切。

重点是： 仿射变换可以将这些基本操作“组合”起来。你可以先移动，再旋转，再缩放，再剪切，所有这些操作加在一起，依然是一个仿射变换。

为什么它这么有用？

图像处理： 在电脑里，当我们调整照片的大小、旋转照片、或者把照片中的某个区域放大时，背后很多都是仿射变换在起作用。比如，把一个正方形的图片拉伸成一个长方形，这就是一个仿射变换。
计算机图形学： 在制作3D动画或者游戏时，让物体移动、旋转、变形，都需要用到仿射变换。
几何学： 在研究图形的性质时，仿射变换可以帮助我们理解哪些性质是不随变换而改变的。
科学计算： 在很多工程和科学领域，都需要对数据进行变换，仿射变换是一种基础而强大的工具。

它和“仿射”这个词的关系？

“仿射”这个词，有点像是在说“相似但不完全一样”或者“有亲缘关系”。仿射变换保持了形状的“相似性”，但并不要求所有角度都保持不变（比如剪切就会改变角度）。它比“相似变换”（只包含平移、旋转、缩放）更广泛一些，因为它还包含了剪切。

举个例子，让它更具体：

想象你有一张桌布，上面画着一条直线，还有两条平行的线。

1. 平移： 你把桌布从房间一头拿到另一头，直线还是直线，平行线还是平行线。
2. 旋转： 你把桌布旋转90度，直线还是直线，平行线还是平行线。
3. 缩放： 你把桌布拉伸（比如横向拉长，纵向不变），直线还是直线，平行线还是平行线。
4. 剪切： 你抓住桌布的一角，把它往旁边一拽，让它发生倾斜。原来是直线的，现在还是直线；原来是平行的，现在也仍然是平行的（虽然它们之间的距离可能也改变了，但方向上的平行关系没变）。

什么不是仿射变换？

弯曲： 如果你把橡皮泥捏成一个“S”形，或者把一个正方形的一个角向外凸起，让它变成一个圆角，这就不是仿射变换了，因为直线变成了曲线。
透视变形： 想象你在看一个远方的正方形，在你的视角里，它看起来像一个梯形。这是因为我们的大脑在处理“透视”信息，近处的边看起来比远处的边更长、更粗。这种“透视变换”虽然也改变了形状，但它不属于仿射变换，因为它不一定保持所有平行线仍然平行（比如铁轨在远处汇聚）。

总结一下：

仿射变换就像一个万能的“橡皮泥工具箱”，里面有“移动”、“旋转”、“缩放”、“剪切”这些基本操作。它可以把一个物体变得更大、更小、移到别处、转个方向，甚至让它发生倾斜，但有一个铁律：它不会把直线变成曲线，也不会破坏平行线的平行关系。 它是我们理解和操作几何图形、图像以及很多科学现象的基础。

下次你在电脑上放大照片，或者在游戏里让角色转身时，就可以想想，背后可能就有这个神奇的“仿射变换”在默默工作哦！

网友意见

简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

先看什么是线性变换？

1 线性变换

线性变换从几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

1.1 代数

简单讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。

你可以手动操作下，会发现旋转矩阵在不断变化（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

总结下来，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。

2 仿射变换

仿射变换从几何直观只有两个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条。

比如平移：

因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化。

2.1 代数

我们来看下仿射变换是怎么用代数来表示的。

上一节我们说了，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。

因为我们表示仿射变换为：

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

这是我觉得非常优美的一个地方：

什么意思？继续举例子：

这样我就可以在三维空间下通过 这个线性变换来操作 平面上的二维正方形，完成仿射变换：

自己动手操作一下：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

我们平移到需要的位置的时候：

如果还有没有清楚的地方，可以结合之前的描述，看一下维基百科“仿射变换”词条里的一个gif动图，非常生动的表明了这一过程：

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