数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的?

在数值分析领域，我们经常需要寻找方程 $f(x) = 0$ 的根，也就是 $x$ 的取值，使得函数 $f(x)$ 的值为零。当解析方法难以求解时，我们就诉诸数值方法。割线法（Secant Method）就是其中一种常用的迭代方法。它借鉴了牛顿法（Newton's Method）的思想，但避免了计算导数，这在导数难以获得或者计算成本很高的情况下尤为重要。

理解割线法的收敛阶，就是理解它找到根的速度。收敛阶越高，方法收敛得越快，需要的迭代次数就越少，效率也就越高。

割线法是什么？

在介绍收敛阶的证明之前，我们先回顾一下割线法的基本原理。割线法需要两个初始的近似根，$x_0$ 和 $x_1$。它通过这两个点在函数 $f(x)$ 的图像上画一条直线（割线），然后找到这条割线与 x 轴的交点作为下一个近似根。这个过程不断重复，直到近似根收敛到真实的根。

更具体地说，从 $x_{n1}$ 和 $x_n$ 开始，割线方程可以表示为：

$y f(x_n) = frac{f(x_n) f(x_{n1})}{x_n x_{n1}}(x x_n)$

我们令 $y = 0$（即割线与 x 轴的交点），并且设这个交点为 $x_{n+1}$。那么：

$0 f(x_n) = frac{f(x_n) f(x_{n1})}{x_n x_{n1}}(x_{n+1} x_n)$

经过一番代数整理，我们可以得到割线法的迭代公式：

$x_{n+1} = x_n f(x_n) frac{x_n x_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

收敛阶：“线性”还是“超线性”？

在深入证明之前，我们先来看看割线法的“收敛阶”。通常我们会说割线法的收敛阶是 超线性（superlinear）的，具体来说，它的收敛阶接近于黄金分割率 $phi approx 1.618$。这意味着它比线性收敛（例如二分法，收敛阶为 1）要快，但不如二次收敛（例如牛顿法，收敛阶为 2）那么快。

证明收敛阶的关键：误差分析

要证明收敛阶，我们需要分析算法在每次迭代中，近似根的误差是如何减少的。设 $x^$ 是方程 $f(x)=0$ 的真实根。我们将误差定义为 $e_n = x_n x^$。

我们的目标是找到一个常数 $C > 0$ 和一个指数 $p$（收敛阶），使得当 $n$ 足够大时，满足：

$|e_{n+1}| le C |e_n|^p$

假设条件

为了进行严谨的误差分析，我们需要对函数 $f(x)$ 和其导数做一些假设：

1. $f(x)$ 在包含根 $x^$ 的区间 $[a, b]$ 上是两次连续可微的。 这意味着 $f(x)$, $f'(x)$, 和 $f''(x)$ 在这个区间内都存在并且是连续的。
2. $f(x^) = 0$，且 $f'(x^) e 0$。 这保证了根是简单根，并且在根附近函数的变化率不为零。
3. 初始点 $x_0$ 和 $x_1$ 足够接近真实根 $x^$。
4. $f(x_0) e f(x_1)$。 否则割线法会因为分母为零而无法进行。

误差的展开与推导

我们从误差的定义出发，利用泰勒展开来分析误差的变化。

首先，让我们看看割线法的迭代公式：

$x_{n+1} x^ = x_n x^ f(x_n) frac{x_n x_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

用误差项 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 代替 $x_n$ 和 $x_{n1}$：

$e_{n+1} = e_n f(x_n) frac{e_n e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

现在，我们将 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 在真实根 $x^$ 处进行泰勒展开。由于 $f(x^) = 0$，我们可以写成：

$f(x_n) = f(x^) + f'(x^)(x_n x^) + frac{f''(c_n)}{2}(x_n x^)^2$
$f(x_n) = f'(x^)(e_n) + frac{f''(c_n)}{2}(e_n)^2$
其中 $c_n$ 是介于 $x^$ 和 $x_n$ 之间的某个值。

同理：

$f(x_{n1}) = f'(x^)(e_{n1}) + frac{f''(c_{n1})}{2}(e_{n1})^2$
其中 $c_{n1}$ 是介于 $x^$ 和 $x_{n1}$ 之间的某个值。

将这两个展开式代入割线法的迭代公式中的分数项：

$frac{f(x_n) f(x_{n1})}{e_n e_{n1}} = frac{(f'(x^)(e_n) + frac{f''(c_n)}{2}e_n^2) (f'(x^)(e_{n1}) + frac{f''(c_{n1})}{2}e_{n1}^2)}{e_n e_{n1}}$
$= f'(x^) + frac{frac{f''(c_n)}{2}e_n^2 frac{f''(c_{n1})}{2}e_{n1}^2}{e_n e_{n1}}$

这部分比较复杂，我们可以换一个角度。考虑 $f(x_n) f(x_{n1})$ 的差值，它可以通过平均值定理来近似。根据柯西中值定理，存在一个 $xi$ 介于 $x_{n1}$ 和 $x_n$ 之间，使得：

$f(x_n) f(x_{n1}) = f'(xi)(x_n x_{n1})$

这样，割线法的迭代公式可以写成：

$x_{n+1} = x_n f(x_n) frac{x_n x_{n1}}{f'(xi)(x_n x_{n1})}$
$x_{n+1} = x_n frac{f(x_n)}{f'(xi)}$

现在我们用误差项来表示：

$e_{n+1} = x_{n+1} x^ = x_n x^ frac{f(x_n)}{f'(xi)}$
$e_{n+1} = e_n frac{f(x_n)}{f'(xi)}$

再次利用 $f(x_n)$ 的泰勒展开（近似到二阶）：

$f(x_n) approx f'(x^)(e_n) + frac{f''(x^)}{2}(e_n)^2$

同时，由于 $x_n$ 和 $x_{n1}$ 都趋近于 $x^$，那么 $xi$ 也趋近于 $x^$。所以 $f'(xi)$ 也可以近似为 $f'(x^)$。

$e_{n+1} approx e_n frac{f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2}{f'(x^)}$
$e_{n+1} approx e_n (e_n + frac{f''(x^)}{2f'(x^)}e_n^2)$
$e_{n+1} approx frac{f''(x^)}{2f'(x^)}e_n^2$

这是一个初步的估计，它表明误差的平方项在起主导作用。这个形式提示了二次收敛的可能性。然而，割线法使用 $f'(xi)$ 而不是 $f'(x^)$，这使得分析更微妙。

更精确的误差分析

我们回到更精确的泰勒展开。

$e_{n+1} = e_n f(x_n) frac{e_n e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

我们写出 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 的泰勒展开式，但这次不直接代入，而是考虑差值的比值：

$f(x_n) = f(x^) + f'(x^) e_n + frac{f''(x^)}{2} e_n^2 + O(e_n^3)$
$f(x_{n1}) = f(x^) + f'(x^) e_{n1} + frac{f''(x^)}{2} e_{n1}^2 + O(e_{n1}^3)$

由于 $f(x^) = 0$:

$f(x_n) = f'(x^) e_n + frac{f''(x^)}{2} e_n^2 + O(e_n^3)$
$f(x_{n1}) = f'(x^) e_{n1} + frac{f''(x^)}{2} e_{n1}^2 + O(e_{n1}^3)$

现在来看分母：

$f(x_n) f(x_{n1}) = f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n^2 e_{n1}^2) + O(e_n^3 + e_{n1}^3)$
$= f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + O(e_n^3 + e_{n1}^3)$

代入迭代公式：

$e_{n+1} = e_n frac{(f'(x^) e_n + frac{f''(x^)}{2} e_n^2 + ...)}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...} imes (e_n e_{n1})$

为了简化，我们注意到当 $n$ 足够大时，$e_n$ 和 $e_{n1}$ 都很小，而且 $e_n approx e_{n1}$。（这是关键！）
如果 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 趋于零，并且它们的值非常接近，那么 $frac{e_n e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})} approx frac{e_n e_{n1}}{f'(x^)(e_n e_{n1})} = frac{1}{f'(x^)}$.

让我们重新考虑 $x_{n+1} = x_n frac{f(x_n)}{f'(xi)}$ 的形式。这里的 $xi$ 介于 $x_n$ 和 $x_{n1}$ 之间。

另一种推导方式是，观察 $e_{n+1}$ 的表达式：
$e_{n+1} = x_{n+1} x^$
$e_{n+1} = x_n f(x_n) frac{x_n x_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})} x^$
$e_{n+1} = e_n f(x_n) frac{e_n e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

我们将 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 在 $x^$ 处展开，并用 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 来表示：
$f(x_n) = f'(x^) e_n + frac{f''(c_n)}{2} e_n^2$
$f(x_{n1}) = f'(x^) e_{n1} + frac{f''(c_{n1})}{2} e_{n1}^2$

$frac{f(x_n) f(x_{n1})}{e_n e_{n1}} = frac{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{1}{2}(f''(c_n)e_n^2 f''(c_{n1})e_{n1}^2)}{e_n e_{n1}}$
$= f'(x^) + frac{1}{2} frac{f''(c_n)e_n^2 f''(c_{n1})e_{n1}^2}{e_n e_{n1}}$

我们可以证明 $frac{f''(c_n)e_n^2 f''(c_{n1})e_{n1}^2}{e_n e_{n1}}$ 的项可以被控制住。

一个更常用的方法是直接分析 $e_{n+1}$ 的表达式：
$e_{n+1} = x_{n+1} x^$
$e_{n+1} = x_n x^ frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})} (x_n x_{n1})$
$e_{n+1} = e_n frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})} (e_n e_{n1})$

我们把 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 在 $x^$ 处展开，并记住 $f(x^)=0$：
$f(x_n) = f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + O(e_n^3)$
$f(x_{n1}) = f'(x^)e_{n1} + frac{f''(x^)}{2}e_{n1}^2 + O(e_{n1}^3)$

然后，我们计算 $frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})}$ 的比值：
$frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})} = frac{f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + ...}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n^2 e_{n1}^2) + ...}$

将分子分母都除以 $f'(x^)$:
$= frac{e_n + frac{f''(x^)}{2f'(x^)}e_n^2 + ...}{(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2f'(x^)}(e_n^2 e_{n1}^2) + ...}$

令 $K = frac{f''(x^)}{2f'(x^)}$。
$= frac{e_n + Ke_n^2 + ...}{(e_n e_{n1}) + K(e_n^2 e_{n1}^2) + ...}$

然后我们用这个比值去乘 $(e_n e_{n1})$：
$e_{n+1} = e_n left( frac{e_n + Ke_n^2 + ...}{(e_n e_{n1}) + K(e_n^2 e_{n1}^2) + ...} ight) (e_n e_{n1})$

这部分代数推导比较繁琐，我们可以换一个更直观的角度，通过分析误差比值来确定收敛阶。

分析误差比

设 $e_n$ 是第 $n$ 次迭代的误差。割线法产生的下一项误差 $e_{n+1}$ 与前两项误差 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 的关系是我们关注的焦点。

$x_{n+1} x^ = x_n x^ frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})}(x_n x_{n1})$
$e_{n+1} = e_n frac{f(x_n)}{f(x_n) f(x_{n1})}(e_n e_{n1})$

我们可以把 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 看作是关于 $x^$ 的函数。当 $x_n o x^$ 时，我们可以利用泰勒展开：
$f(x_n) = f'(x^)(x_n x^) + frac{f''(x^)}{2}(x_n x^)^2 + O((x_n x^)^3)$
$f(x_n) = f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + O(e_n^3)$
$f(x_{n1}) = f'(x^)e_{n1} + frac{f''(x^)}{2}e_{n1}^2 + O(e_{n1}^3)$

所以，
$f(x_n) f(x_{n1}) = f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n^2 e_{n1}^2) + O(e_n^3 + e_{n1}^3)$
$f(x_n) f(x_{n1}) = f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + O(e_n^3 + e_{n1}^3)$

将这些代入 $e_{n+1}$ 的表达式：
$e_{n+1} = e_n frac{f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + ...}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...} (e_n e_{n1})$

为了简化，我们在分子分母中都除以 $f'(x^)$ 并令 $K = frac{f''(x^)}{2f'(x^)}$：
$e_{n+1} = e_n frac{e_n + Ke_n^2 + ...}{(e_n e_{n1}) + K(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...} (e_n e_{n1})$
$e_{n+1} = e_n frac{(e_n + Ke_n^2 + ...)(e_n e_{n1})}{(e_n e_{n1}) + K(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...}$

将第一项 $e_n$ 移过去：
$e_{n+1} = frac{e_n [(e_n e_{n1}) + K(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...] (e_n + Ke_n^2 + ...)(e_n e_{n1})}{(e_n e_{n1}) + K(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ...}$

分子展开：
$e_n(e_n e_{n1}) + Ke_n(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1}) + ... (e_n + Ke_n^2 + ...)(e_n e_{n1})$
$= (e_n e_{n1}) [e_n + Ke_n(e_n + e_{n1}) + ...] (e_n + Ke_n^2 + ...)(e_n e_{n1})$
$= (e_n e_{n1}) [e_n + Ke_n^2 + Ke_ne_{n1} + ... e_n Ke_n^2 ...]$
$= (e_n e_{n1}) [e_{n1} + Ke_ne_{n1} + ...]$

这看起来还是有点乱。让我们换一个角度，直接估计误差的比值。

当 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 都很小时，有 $e_n approx alpha e_{n1}$ 对于某个常数 $alpha$ （如果收敛是线性的），或者 $e_n approx alpha e_{n1}^p$ （如果收敛是超线性的）。

假设收敛阶是 $p$。那么 $e_{n+1} approx C e_n^p$。
同时，我们也可以认为 $e_n approx C e_{n1}^p$。
那么 $e_{n+1} approx C (C e_{n1}^p)^p = C^{1+p} e_{n1}^{p^2}$。
这就暗示了如果误差满足 $e_{n+1} approx C e_n^p$ 并且 $e_n approx C e_{n1}^p$，那么 $e_n approx C^{1/(p1)} e_{n1}^{p/(p1)}$，这就有点循环了。

更正式地，我们可以考虑误差的比例：
$frac{e_{n+1}}{e_n} approx C e_n^{p1}$
$frac{e_n}{e_{n1}} approx C e_{n1}^{p1}$

如果我们代入割线法的迭代公式的简化形式 $e_{n+1} approx K e_n^2$ (来自牛顿法类似推导)，那么 $p=2$。但是割线法不是二次收敛的。

关键在于 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 的关系。
设 $e_{n} = lambda e_{n1}$ 并且 $|lambda| < 1$ 趋于 0.

考虑误差的组合 $e_{n+1}$ 与 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 的关系。
如果 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 是前两项误差，那么 $e_{n+1}$ 的误差可以通过这两项的“平均”得到，但不是简单的算术平均。

一个关键的观察是，割线法就像是牛顿法在一个由 $(x_{n1}, f(x_{n1}))$ 和 $(x_n, f(x_n))$ 确定的割线上进行迭代。这条割线在 $x^$ 附近的斜率，近似于 $f'(x^)$。

让我们回到误差分析的核心：
$e_{n+1} = e_n f(x_n) frac{e_n e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$

用泰勒展开：
$f(x_n) = f'(x^)(e_n e^) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e^)^2 + ... = f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + ...$
$f(x_{n1}) = f'(x^)e_{n1} + frac{f''(x^)}{2}e_{n1}^2 + ...$

$e_{n+1} = e_n frac{f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + ...}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n^2 e_{n1}^2) + ...}(e_n e_{n1})$

我们可以写成：
$e_{n+1} = frac{e_n (f(x_n) f(x_{n1})) f(x_n)(e_n e_{n1})}{f(x_n) f(x_{n1})}$
$e_{n+1} = frac{e_n f(x_n) e_n f(x_{n1}) f(x_n)e_n + f(x_n)e_{n1}}{f(x_n) f(x_{n1})}$
$e_{n+1} = frac{f(x_n)e_{n1} f(x_{n1})e_n}{f(x_n) f(x_{n1})}$

代入泰勒展开（略去高阶项）：
$e_{n+1} = frac{(f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2)(e_{n1}) (f'(x^)e_{n1} + frac{f''(x^)}{2}e_{n1}^2)(e_n)}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n^2 e_{n1}^2)}$
$e_{n+1} = frac{f'(x^)e_ne_{n1} + frac{f''(x^)}{2}e_n^2e_{n1} f'(x^)e_{n1}e_n frac{f''(x^)}{2}e_{n1}^2e_n}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1})}$
$e_{n+1} = frac{frac{f''(x^)}{2}(e_n^2e_{n1} e_{n1}^2e_n)}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1})}$

为了化简，我们注意到 $e_n^2e_{n1} e_{n1}^2e_n = e_ne_{n1}(e_n e_{n1})$。

$e_{n+1} = frac{frac{f''(x^)}{2}e_ne_{n1}(e_n e_{n1})}{f'(x^)(e_n e_{n1}) + frac{f''(x^)}{2}(e_n e_{n1})(e_n + e_{n1})}$

现在，我们可以将分子分母中的 $(e_n e_{n1})$ 项约去（假设 $e_n e e_{n1}$，这是迭代初期会发生的）：

$e_{n+1} = frac{frac{f''(x^)}{2}e_ne_{n1}}{f'(x^) + frac{f''(x^)}{2}(e_n + e_{n1})}$

令 $C = frac{f''(x^)}{2f'(x^)}$。当 $n o infty$， $e_n o 0$ 且 $e_{n1} o 0$，所以 $e_n + e_{n1} o 0$。
$e_{n+1} = frac{C f'(x^)e_ne_{n1}}{f'(x^) + C f'(x^)(e_n + e_{n1})}$
$e_{n+1} = frac{Ce_ne_{n1}}{1 + C(e_n + e_{n1})}$

如果 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 都很小，那么分母可以近似为 1。
$e_{n+1} approx Ce_ne_{n1}$

现在，我们来分析这个关系式来确定收敛阶 $p$。
假设误差序列满足 $e_n sim alpha^n$ (线性收敛) 或者 $e_n sim c^{phi^n}$ (超线性收敛)。

我们尝试假设收敛阶为 $p$ 且 $e_{n+1} approx M e_n^p$。
如果 $e_n approx A lambda^n$，那么 $e_{n+1} approx A lambda^{n+1}$。
$A lambda^{n+1} approx C (A lambda^n) (A lambda^{n1}) = C A^2 lambda^{2n1}$
$lambda approx C A lambda^{n1}$。这不对。

假设收敛阶为 $p$，意味着误差满足 $e_{n+1} approx C e_n^p$。
我们还假设误差满足一个线性反馈关系，即 $e_n approx M e_{n1}^p$ (这里是假设的)。
那么 $e_{n+1} approx M (M e_{n1}^p)^p = M^{1+p} e_{n1}^{p^2}$。

我们拥有的关系式是 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$。
假设 $e_n approx A r^n$.
$A r^{n+1} approx C (A r^n)(A r^{n1}) = C A^2 r^{2n1}$
$r approx C A r^{n1}$. 这看起来也不对。

正确的思路是，分析误差的“相对变化”。
$e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$.
令 $e_n = e_{n1}^p epsilon_n$.
$e_{n+1} = C e_n e_{n1}$.
将 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 表示为 $e_{n+1}$ 的幂次。
令 $e_n = x_{n+1} x^$, $e_{n1} = x_n x^$.
如果 $e_{n+1} approx C e_n^p$, 并且 $e_n approx C e_{n1}^p$, 那么 $e_{n+1} approx C (C e_{n1}^p)^p = C^{1+p} e_{n1}^{p^2}$.
我们有 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$.
假设误差比例是固定的，例如 $frac{e_n}{e_{n1}} approx ho$.
那么 $e_n approx ho e_{n1}$, $e_{n+1} approx ho e_n approx ho^2 e_{n1}$.
代入 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$:
$ ho^2 e_{n1} approx C ( ho e_{n1}) e_{n1} = C ho e_{n1}^2$.
这表明误差的比例 $ ho$ 不是常数，而是依赖于 $e_{n1}$，这才是收敛的本质。

我们来看 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$。
如果 $e_n = M cdot ( ext{something})$ and $e_{n1} = M cdot ( ext{something})$.
令 $e_n = x_{n+1} x^$. 割线法的收敛阶由以下方程决定：
$e_{n+1} = C e_n e_{n1}$
考虑 $E_n = ln |e_n|$. 那么 $ln |e_{n+1}| = ln |C| + ln |e_n| + ln |e_{n1}|$.
$E_{n+1} = ln |C| + E_n + E_{n1}$.
这是一个齐次线性递推关系的变种。
如果 $e_n approx A lambda^n$，那么 $E_n = ln A + n ln lambda$.
$ln A + (n+1) ln lambda = ln |C| + (ln A + n ln lambda) + (ln A + (n1) ln lambda)$
$ln A + n ln lambda + ln lambda = ln |C| + 2 ln A + 2n ln lambda ln lambda$.
$ln lambda = ln |C| + ln A$. $lambda = |C| A$.

这看起来不是直接得到收敛阶 $p$。
我们直接考虑收敛阶 $p$ 的定义：$|e_{n+1}| sim |e_n|^p$.
如果我们有 $e_{n+1} sim C e_n e_{n1}$, 并且当 $n$ 增大时，$e_n$ 比 $e_{n1}$ 小得更快。
假设 $e_n approx K_1 e_{n1}^p$ and $e_{n1} approx K_2 e_{n2}^p$.
那么 $e_{n+1} approx C (K_1 e_{n1}^p) e_{n1} = C K_1 e_{n1}^{p+1}$.
我们希望 $e_{n+1} approx K_3 e_n^p = K_3 (K_1 e_{n1}^p)^p = K_3 K_1^p e_{n1}^{p^2}$.
所以我们要求 $p+1 = p^2$.
$p^2 p 1 = 0$.
解这个二次方程，得到 $p = frac{1 pm sqrt{1 4(1)(1)}}{2} = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$.
因为收敛速度是正的，我们取正根：
$p = frac{1 + sqrt{5}}{2} = phi approx 1.618$.

这就是割线法收敛阶为超线性（接近 1.618）的由来。这个证明依赖于在误差 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 都很小时，误差关系可以近似为 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$。

证明的严格性

上面的推导在很大程度上是基于近似和直觉。要使其更严谨，我们需要处理泰勒展开中的余项，以及保证 $e_n$ 和 $e_{n1}$ 的相对大小关系。

1. 误差项的精确表示: 使用更精确的泰勒展开，例如：
$f(x_n) = f'(x^)e_n + frac{f''(x^)}{2}e_n^2 + frac{f'''(c_n)}{6}e_n^3$
这会导致更复杂的代数运算。

2. 比值分析的严谨性: 分析 $frac{f(x_n) f(x_{n1})}{e_n e_{n1}}$ 的极限行为。根据均值定理，$frac{f(x_n) f(x_{n1})}{x_n x_{n1}} = f'(xi)$。而 $e_n e_{n1} = x_n x_{n1}$.

3. 收敛性证明: 为了证明收敛性，通常需要展示存在一个界限 $M$ 使得 $|e_{n+1}| le M |e_n e_{n1}|$，并且当误差足够小时，收敛阶为 $phi$。这通常涉及证明存在一个区间，在这个区间内割线法可以很好地工作，并且误差会以超线性方式减小。

另一种更严谨的证明方式是证明存在一个常数 $K$ 使得：
$|e_{n+1}| le K |e_n| |e_{n1}|$
当 $n$ 充分大时，我们有 $|e_n| le alpha |e_{n1}|^phi$.
然后代入，可以证明收敛阶为 $phi$.

总结证明思路：

1. 定义误差： $e_n = x_n x^$.
2. 割线法迭代公式变形： 将 $x_{n+1}$ 的表达式转化为关于 $e_{n+1}$, $e_n$, $e_{n1}$ 的关系。关键步骤是得到 $e_{n+1} = frac{f(x_n)e_{n1} f(x_{n1})e_n}{f(x_n) f(x_{n1})}$.
3. 泰勒展开： 对 $f(x_n)$ 和 $f(x_{n1})$ 在 $x^$ 处进行泰勒展开，用到 $f(x^) = 0$ 和 $f'(x^) e 0$.
4. 代入与简化： 将泰勒展开式代入误差关系式，并进行代数化简，得到形如 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$ 的关系。
5. 利用收敛阶定义： 假设误差满足 $e_n approx A r^n$. 通过代入误差关系式 $e_{n+1} approx C e_n e_{n1}$ 来推导收敛阶 $p$ 满足 $p^2 = p+1$，从而得到 $p = phi$.

这个推导的核心在于，割线法在每次迭代中，是将前两次的误差项以一种“相乘”的方式影响下一次的误差，而这种乘法关系最终导致了超线性的收敛。它比牛顿法（二次收敛）稍微慢一些，但不需要计算导数，因此在实际应用中有其优势。

考虑我们对于零点求解问题 利用割线法得到一列两两不同的零点估计值 ，此函数 的精确零点为 。不妨假设 具有充分好的光滑性且割线法收敛，即 ，且 （ 为一个一阶零点）

则有：

要考虑收敛阶，我们自然地考虑误差 ：

计算：

则

令 ，由 充分光滑， ，得到：

。

这是因为：我们可以定义映射 ，则由 充分光滑， 在 处连续且可导，且 （Taylor）。

不妨假设收敛阶为 ，即 。

则 ，故 。

故 为非零常数。

结合上面关于 的求解，得到 。（这里之所以是大于等于是因为 可能为零）

故解得 。

得到结论：在 光滑性充分好、割线法收敛且精确零点 为一阶零点的情形下，收敛阶至少为 。当然题主可以自行地削弱 所需要满足的光滑性条件来得到更强的结论，但是大致的思路是相同的。值得注意的是：割线法类似于牛顿法，当 为高于一阶的零点时，收敛阶数可能退化，在上面的证明中我们也能够容易地看出这一点。