当系统有扰动输入时，闭环传递函数如何求解?
好的，咱们来聊聊在系统受到扰动输入时，怎么求解闭环传递函数。这块儿是控制系统分析里面挺基础也挺重要的一步，理解了它，后续的设计和分析就容易多了。
首先，咱们得明确一下“扰动输入”是个啥。简单来说，扰动就是系统中除了咱们期望的参考信号之外，一切会影响系统输出的其他输入。这些东西可能是外界环境的变化，也可能是系统内部一些无法完全消除的因素。它们就像是给咱们本来设计好的系统“捣乱”的，所以咱们得考虑它们对系统输出的影响，并且想办法把这种影响减小。
闭环传递函数是什么？
在咱们进入扰动输入之前，先回顾一下“闭环传递函数”是啥。通常，咱们说的闭环传递函数是指系统在受到期望输入（通常是参考信号 R(s)）作用下，输出 Y(s) 与输入 R(s) 之间的关系。它一般表示为 $G_{cl}(s) = frac{Y(s)}{R(s)}$。这个函数描述了系统在没有扰动时的“理想”响应特性。
引入扰动输入：系统模型是怎么样的？
当有了扰动输入后，咱们需要把这个扰动也纳入到系统的数学模型中。一个典型的带有扰动的闭环系统，在方框图里大概是长下面这个样子的（虽然我不能画图，但你可以脑补一下）：
期望输入 R(s)：这是咱们想让系统做什么的信号。
控制器 C(s)：用来处理信号，生成给被控对象的控制指令。
被控对象 G(s)：就是咱们实际要控制的那个东西，比如电机、温度传感器等等。
输出 Y(s)：这是被控对象实际的状态。
反馈回路：通常会有一个反馈传函 H(s)（可能 H(s)=1，就是直接反馈输出），把输出 Y(s) 反馈回来。
比较器（求和环节）：在这里，期望输入 R(s) 和 反馈信号 会进行比较，产生一个误差信号 E(s)。
扰动输入 D(s)：这个扰动信号 D(s) 可以“插入”到系统的不同位置。最常见也最容易分析的位置是：
加在控制器输出和被控对象输入之间：也就是说，扰动直接影响了要施加给被控对象的控制指令。
加在被控对象输出端：扰动直接作用于被控对象的输出。
咱们就以一个最经典的模型为例：扰动 D(s) 加在被控对象 G(s) 的输入端（也就是控制器 C(s) 的输出端）。
求解闭环传递函数（带扰动）
有了上面这个模型，咱们来看如何求解在扰动 D(s) 作用下，输出 Y(s) 与扰动 D(s) 之间的关系，以及与期望输入 R(s) 之间的关系。
1. 求解 Y(s) 与 R(s) 的关系（忽略扰动 D(s) 时）：
首先，咱们先把扰动 D(s) 暂时设置为 0，这样就可以得到上面提到的那个“标准”闭环传递函数。
误差信号：$E(s) = R(s) H(s)Y(s)$
控制器输出：$U(s) = C(s)E(s) = C(s)(R(s) H(s)Y(s))$
被控对象输入：$X(s) = U(s)$ （如果扰动加在 G(s) 输入端）
被控对象输出：$Y(s) = G(s)X(s) = G(s)U(s) = G(s)C(s)(R(s) H(s)Y(s))$
整理一下，把 Y(s) 移到一边：
$Y(s) = G(s)C(s)R(s) G(s)C(s)H(s)Y(s)$
$Y(s)(1 + G(s)C(s)H(s)) = G(s)C(s)R(s)$
所以，在没有扰动时，输出 Y(s) 与期望输入 R(s) 的闭环传递函数是：
$G_{cl_R}(s) = frac{Y(s)}{R(s)} = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$
分母 $1 + G(s)C(s)H(s)$ 通常被称为闭环系统的特征多项式，它的根决定了系统的稳定性。
2. 求解 Y(s) 与 D(s) 的关系（忽略期望输入 R(s) 时）：
现在，咱们把期望输入 R(s) 暂时设置为 0，来分析扰动 D(s) 对输出 Y(s) 的影响。
误差信号：$E(s) = 0 H(s)Y(s) = H(s)Y(s)$
控制器输出：$U(s) = C(s)E(s) = C(s)(H(s)Y(s)) = C(s)H(s)Y(s)$
被控对象输入：$X(s) = U(s) + D(s)$ （因为扰动加在 G(s) 输入端）
被控对象输出：$Y(s) = G(s)X(s) = G(s)(U(s) + D(s)) = G(s)(C(s)H(s)Y(s) + D(s))$
整理一下，把 Y(s) 移到一边：
$Y(s) = G(s)C(s)H(s)Y(s) + G(s)D(s)$
$Y(s)(1 + G(s)C(s)H(s)) = G(s)D(s)$
所以，输出 Y(s) 与扰动输入 D(s) 的闭环传递函数是：
$G_{cl_D}(s) = frac{Y(s)}{D(s)} = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$
3. 综合分析：当 R(s) 和 D(s) 同时存在时
在一个线性时不变（LTI）系统中，叠加原理是适用的。也就是说，当有多个输入同时作用时，总的输出是各个输入单独作用时输出的代数和。
所以，总的输出 Y(s) 可以表示为：
$Y(s) = Y_{from_R}(s) + Y_{from_D}(s)$
其中，$Y_{from_R}(s)$ 是在 R(s) 作用下（D(s)=0）的输出，$Y_{from_D}(s)$ 是在 D(s) 作用下（R(s)=0）的输出。
根据咱们前面推导的传递函数：
$Y_{from_R}(s) = G_{cl_R}(s) R(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} R(s)$
$Y_{from_D}(s) = G_{cl_D}(s) D(s) = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} D(s)$
将两者相加：
$Y(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} R(s) + frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} D(s)$
这个 Y(s) 的表达式，就是同时考虑了期望输入 R(s) 和扰动输入 D(s) 作用下的系统输出。
关键点和思考
扰动的位置：上面咱们是以扰动加在 G(s) 输入端为例。如果扰动加在其他位置，推导过程会有所不同，但基本思路是一样的：画出方框图，写出各环节的数学关系，然后解方程组。
比如，扰动加在 G(s) 的输出端：
被控对象输出：$Y_{obj}(s) = G(s)U(s)$
总输出：$Y(s) = Y_{obj}(s) + D(s) = G(s)U(s) + D(s)$
然后继续往前推导 U(s) 的关系，最终会得到一个 Y(s) 的表达式。在这种情况下，Y(s) 与 D(s) 的传递函数分母通常还是 $1 + G(s)C(s)H(s)$，但分子会变。
关注什么？ 咱们看 $Y(s)$ 的表达式，可以清楚地看到两部分：一部分是期望输入 R(s) 引起的输出，另一部分是扰动 D(s) 引起的输出。
$G_{cl_R}(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 描述了系统对期望输入的跟踪能力。
$G_{cl_D}(s) = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 描述了系统抑制扰动能力的“传递特性”。
如何抑制扰动？ 从 $G_{cl_D}(s)$ 可以看出，如果想减小扰动 D(s) 对输出 Y(s) 的影响，就需要让 $frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 这个传递函数的值在扰动所在的频率范围内尽可能小。
增大控制器增益 C(s)：在许多情况下，增大 C(s) 的增益，特别是低频部分的增益，可以有效地减小 $G_{cl_D}(s)$ 的值，从而抑制低频扰动。
增大反馈回路 H(s)：如果 H(s) 是一个有增益的环节，增大它也能减小扰动的影响。
选择合适的控制器结构：PID 控制器中的积分环节 (I) 就对抑制常值扰动非常有效。
分母是关键：注意到，无论是对期望输入还是扰动的传递函数，分母都是一样的：$1 + G(s)C(s)H(s)$。这个分母决定了系统的稳定性。如果这个分母在某个频率下变成零，系统就会不稳定，输出可能变成无穷大。
总结一下求解步骤：
1. 画出系统方框图：清晰地表示出期望输入、扰动输入、控制器、被控对象、反馈环节以及它们之间的连接关系。
2. 写出各环节的数学表达式：用传递函数表示各个模块。
3. 写出节点关系：根据方框图，写出信号之间的加减关系，例如误差信号的形成。
4. 解方程组：通过代入和整理，将输出 Y(s) 用输入 R(s) 和 D(s) 的函数表示出来。
5. 分离不同输入的影响：通过将 R(s) 或 D(s) 设置为零，得到各个输入对输出的传递函数。
通过这种方式，咱们就可以系统地分析在有扰动输入时，系统输出的完整情况，并为后续的控制器设计（比如选择合适的 C(s) 来减小扰动影响）提供理论依据。希望这个解释足够详细！
首先，咱们得明确一下“扰动输入”是个啥。简单来说，扰动就是系统中除了咱们期望的参考信号之外，一切会影响系统输出的其他输入。这些东西可能是外界环境的变化，也可能是系统内部一些无法完全消除的因素。它们就像是给咱们本来设计好的系统“捣乱”的，所以咱们得考虑它们对系统输出的影响，并且想办法把这种影响减小。
闭环传递函数是什么？
在咱们进入扰动输入之前，先回顾一下“闭环传递函数”是啥。通常，咱们说的闭环传递函数是指系统在受到期望输入（通常是参考信号 R(s)）作用下，输出 Y(s) 与输入 R(s) 之间的关系。它一般表示为 $G_{cl}(s) = frac{Y(s)}{R(s)}$。这个函数描述了系统在没有扰动时的“理想”响应特性。
引入扰动输入：系统模型是怎么样的？
当有了扰动输入后，咱们需要把这个扰动也纳入到系统的数学模型中。一个典型的带有扰动的闭环系统，在方框图里大概是长下面这个样子的（虽然我不能画图，但你可以脑补一下）：
期望输入 R(s)：这是咱们想让系统做什么的信号。
控制器 C(s)：用来处理信号，生成给被控对象的控制指令。
被控对象 G(s)：就是咱们实际要控制的那个东西，比如电机、温度传感器等等。
输出 Y(s)：这是被控对象实际的状态。
反馈回路：通常会有一个反馈传函 H(s)（可能 H(s)=1，就是直接反馈输出），把输出 Y(s) 反馈回来。
比较器（求和环节）：在这里，期望输入 R(s) 和 反馈信号 会进行比较，产生一个误差信号 E(s)。
扰动输入 D(s)：这个扰动信号 D(s) 可以“插入”到系统的不同位置。最常见也最容易分析的位置是：
加在控制器输出和被控对象输入之间：也就是说，扰动直接影响了要施加给被控对象的控制指令。
加在被控对象输出端：扰动直接作用于被控对象的输出。
咱们就以一个最经典的模型为例：扰动 D(s) 加在被控对象 G(s) 的输入端（也就是控制器 C(s) 的输出端）。
求解闭环传递函数（带扰动）
有了上面这个模型，咱们来看如何求解在扰动 D(s) 作用下，输出 Y(s) 与扰动 D(s) 之间的关系，以及与期望输入 R(s) 之间的关系。
1. 求解 Y(s) 与 R(s) 的关系（忽略扰动 D(s) 时）：
首先，咱们先把扰动 D(s) 暂时设置为 0，这样就可以得到上面提到的那个“标准”闭环传递函数。
误差信号：$E(s) = R(s) H(s)Y(s)$
控制器输出：$U(s) = C(s)E(s) = C(s)(R(s) H(s)Y(s))$
被控对象输入：$X(s) = U(s)$ （如果扰动加在 G(s) 输入端）
被控对象输出：$Y(s) = G(s)X(s) = G(s)U(s) = G(s)C(s)(R(s) H(s)Y(s))$
整理一下，把 Y(s) 移到一边：
$Y(s) = G(s)C(s)R(s) G(s)C(s)H(s)Y(s)$
$Y(s)(1 + G(s)C(s)H(s)) = G(s)C(s)R(s)$
所以，在没有扰动时，输出 Y(s) 与期望输入 R(s) 的闭环传递函数是：
$G_{cl_R}(s) = frac{Y(s)}{R(s)} = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$
分母 $1 + G(s)C(s)H(s)$ 通常被称为闭环系统的特征多项式，它的根决定了系统的稳定性。
2. 求解 Y(s) 与 D(s) 的关系（忽略期望输入 R(s) 时）：
现在，咱们把期望输入 R(s) 暂时设置为 0，来分析扰动 D(s) 对输出 Y(s) 的影响。
误差信号：$E(s) = 0 H(s)Y(s) = H(s)Y(s)$
控制器输出：$U(s) = C(s)E(s) = C(s)(H(s)Y(s)) = C(s)H(s)Y(s)$
被控对象输入：$X(s) = U(s) + D(s)$ （因为扰动加在 G(s) 输入端）
被控对象输出：$Y(s) = G(s)X(s) = G(s)(U(s) + D(s)) = G(s)(C(s)H(s)Y(s) + D(s))$
整理一下，把 Y(s) 移到一边：
$Y(s) = G(s)C(s)H(s)Y(s) + G(s)D(s)$
$Y(s)(1 + G(s)C(s)H(s)) = G(s)D(s)$
所以，输出 Y(s) 与扰动输入 D(s) 的闭环传递函数是：
$G_{cl_D}(s) = frac{Y(s)}{D(s)} = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$
3. 综合分析：当 R(s) 和 D(s) 同时存在时
在一个线性时不变（LTI）系统中，叠加原理是适用的。也就是说，当有多个输入同时作用时，总的输出是各个输入单独作用时输出的代数和。
所以，总的输出 Y(s) 可以表示为：
$Y(s) = Y_{from_R}(s) + Y_{from_D}(s)$
其中，$Y_{from_R}(s)$ 是在 R(s) 作用下（D(s)=0）的输出，$Y_{from_D}(s)$ 是在 D(s) 作用下（R(s)=0）的输出。
根据咱们前面推导的传递函数：
$Y_{from_R}(s) = G_{cl_R}(s) R(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} R(s)$
$Y_{from_D}(s) = G_{cl_D}(s) D(s) = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} D(s)$
将两者相加：
$Y(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} R(s) + frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)} D(s)$
这个 Y(s) 的表达式，就是同时考虑了期望输入 R(s) 和扰动输入 D(s) 作用下的系统输出。
关键点和思考
扰动的位置：上面咱们是以扰动加在 G(s) 输入端为例。如果扰动加在其他位置，推导过程会有所不同，但基本思路是一样的：画出方框图，写出各环节的数学关系，然后解方程组。
比如，扰动加在 G(s) 的输出端：
被控对象输出：$Y_{obj}(s) = G(s)U(s)$
总输出：$Y(s) = Y_{obj}(s) + D(s) = G(s)U(s) + D(s)$
然后继续往前推导 U(s) 的关系，最终会得到一个 Y(s) 的表达式。在这种情况下，Y(s) 与 D(s) 的传递函数分母通常还是 $1 + G(s)C(s)H(s)$，但分子会变。
关注什么？ 咱们看 $Y(s)$ 的表达式，可以清楚地看到两部分：一部分是期望输入 R(s) 引起的输出，另一部分是扰动 D(s) 引起的输出。
$G_{cl_R}(s) = frac{G(s)C(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 描述了系统对期望输入的跟踪能力。
$G_{cl_D}(s) = frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 描述了系统抑制扰动能力的“传递特性”。
如何抑制扰动？ 从 $G_{cl_D}(s)$ 可以看出，如果想减小扰动 D(s) 对输出 Y(s) 的影响，就需要让 $frac{G(s)}{1 + G(s)C(s)H(s)}$ 这个传递函数的值在扰动所在的频率范围内尽可能小。
增大控制器增益 C(s)：在许多情况下，增大 C(s) 的增益，特别是低频部分的增益，可以有效地减小 $G_{cl_D}(s)$ 的值，从而抑制低频扰动。
增大反馈回路 H(s)：如果 H(s) 是一个有增益的环节，增大它也能减小扰动的影响。
选择合适的控制器结构：PID 控制器中的积分环节 (I) 就对抑制常值扰动非常有效。
分母是关键：注意到，无论是对期望输入还是扰动的传递函数，分母都是一样的：$1 + G(s)C(s)H(s)$。这个分母决定了系统的稳定性。如果这个分母在某个频率下变成零，系统就会不稳定，输出可能变成无穷大。
总结一下求解步骤：
1. 画出系统方框图：清晰地表示出期望输入、扰动输入、控制器、被控对象、反馈环节以及它们之间的连接关系。
2. 写出各环节的数学表达式：用传递函数表示各个模块。
3. 写出节点关系：根据方框图，写出信号之间的加减关系，例如误差信号的形成。
4. 解方程组：通过代入和整理，将输出 Y(s) 用输入 R(s) 和 D(s) 的函数表示出来。
5. 分离不同输入的影响：通过将 R(s) 或 D(s) 设置为零，得到各个输入对输出的传递函数。
通过这种方式，咱们就可以系统地分析在有扰动输入时，系统输出的完整情况，并为后续的控制器设计（比如选择合适的 C(s) 来减小扰动影响）提供理论依据。希望这个解释足够详细！
网友意见
了解闭环传递函数的定义，你就理解了。
很多时候的疑惑，其实是我们忽视了对定义的理解，CloseLoop = Y(s)/R(s)。
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