分布函数相同，概率密度一定相同吗?
“分布函数相同，概率密度一定相同吗？” 这个问题，其实触及到了概率论中一个非常根本且重要的概念：分布函数和概率密度函数（或概率质量函数）之间的关系。直接回答的话，答案是：不一定。
理解这个问题，我们需要先梳理清楚这两个概念各自的含义和作用。
分布函数（CDF）：概率的全貌图
我们先从分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）说起。一个随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，定义为 $F(x) = P(X le x)$，也就是随机变量 $X$ 的取值小于或等于某个特定值 $x$ 的概率。
分布函数有两个非常重要的性质：
1. 单调非减性： 如果 $x_1 < x_2$，那么 $F(x_1) le F(x_2)$。这很好理解，因为 $X le x_1$ 的事件包含在 $X le x_2$ 的事件中，所以前者的概率不会比后者小。
2. 趋近性： 当 $x o infty$ 时，$F(x) o 0$；当 $x o +infty$ 时，$F(x) o 1$。这是因为当 $x$ 趋于无穷小时，随机变量取值小于等于 $x$ 的概率趋于零；当 $x$ 趋于无穷大时，随机变量必然会取小于等于 $x$ 的值，概率自然是1。
分布函数有一个“全景式”的特点，它描述了随机变量在所有可能取值上的概率积累情况。无论随机变量是离散的还是连续的，都可以定义其分布函数。
概率密度函数（PDF）/ 概率质量函数（PMF）：细节的刻画
接下来，我们看看概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）和概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）。
对于连续型随机变量： 我们用概率密度函数 $f(x)$ 来描述。它的特点是，$f(x) ge 0$，并且对整个取值范围积分等于1：$int_{infty}^{infty} f(x) dx = 1$。
概率密度函数本身并不是概率。它描述的是概率在某个点附近的“密度”。我们可以通过对PDF在某个区间进行积分来得到在该区间内的概率：$P(a < X le b) = int_{a}^{b} f(x) dx$。
关键在于，连续型随机变量在任何一个具体点的概率都是零，即 $P(X=x) = 0$。所以，$P(a < X le b) = P(a le X le b) = P(a < X < b) = P(a le X < b)$。
通过PDF的积分，我们可以得到其对应的分布函数：$F(x) = int_{infty}^{x} f(t) dt$。
对于离散型随机变量： 我们用概率质量函数 $p(x)$ 来描述。它直接给出随机变量取某个特定值 $x$ 的概率：$p(x) = P(X = x)$。
它的性质是：$p(x) ge 0$，并且所有可能取值的概率加起来等于1：$sum_{x} p(x) = 1$（对所有可能的 $x$ 求和）。
通过PMF，我们也可以得到其对应的分布函数：$F(x) = P(X le x) = sum_{k le x} p(k)$。
核心问题：PDF/PMF与CDF的关系的“单向性”
现在，我们回到最初的问题：分布函数相同，概率密度一定相同吗？
答案是：不一定，尤其是对于连续型随机变量。
为什么呢？我们来看看从PDF/PMF到CDF的推导是唯一的：
连续型：$F(x) = int_{infty}^{x} f(t) dt$ （这个积分结果是唯一的）
离散型：$F(x) = sum_{k le x} p(k)$ （这个求和结果也是唯一的）
也就是说，一旦你确定了一个概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF），那么与之对应的分布函数（CDF）就是唯一确定的。
然而，反过来就不一定了。
对于连续型随机变量：
我们知道，连续型随机变量在任何一个点的概率是零。这意味着，我们可以对PDF做一些“微调”，而不影响其积分结果，从而也不影响CDF。
最经典的例子就是修改PDF在孤立点上的值。
假设我们有一个PDF $f(x)$，并且对应的CDF是 $F(x)$。
现在，我们构造一个新的函数 $g(x)$，使得：
$g(x) = f(x)$ 对于所有 $x$ 都不等于某个特定的值 $a$。
$g(a)$ 可能与 $f(a)$ 不同，甚至 $g(a)$ 可以是无穷大（但积分仍然是有限的）。
关键在于，由于我们关注的是积分，在积分中对函数在一个孤立点的值进行修改，不会改变积分的结果。
$int_{a}^{b} g(x) dx = int_{a}^{b} f(x) dx$ 即使 $g(a) eq f(a)$。
更进一步说，对于任何 $x$，$F_{new}(x) = int_{infty}^{x} g(t) dt = int_{infty}^{x} f(t) dt = F(x)$。
这意味着，我们可以有无穷多个不同的概率密度函数（PDF），但它们都对应同一个分布函数（CDF）！
举个例子：
假设 $f_1(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{x^2}{2}}$ （这是标准正态分布的PDF）。
它对应的CDF是 $Phi(x) = int_{infty}^{x} frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{t^2}{2}} dt$。
现在，我们构造另一个函数 $f_2(x)$：
$f_2(x) = egin{cases} frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{x^2}{2}} & ext{if } x eq 0 \ 100 & ext{if } x = 0 end{cases}$
这个 $f_2(x)$ 仍然是一个合法的PDF（因为它在除了 $x=0$ 之外的地方与 $f_1(x)$ 相同，而 $x=0$ 这个点对积分没有影响，所以积分仍然是1），但它与 $f_1(x)$ 不是同一个概率密度函数。然而，它们会导出同一个分布函数！
所以，对于连续型随机变量，分布函数相同，概率密度不一定相同。
对于离散型随机变量：
情况又有所不同。
我们知道，离散型随机变量的分布函数是“阶梯状”的。它的跳跃点恰好是随机变量取值的点，而跳跃的大小就是该点的概率质量。
$F(x) = P(X le x)$
$F(x) F(x^) = P(X le x) P(X < x) = P(X = x) = p(x)$
其中 $F(x^) = lim_{y o x^} F(y)$ 是左极限。
对于离散型随机变量，分布函数和概率质量函数（PMF）之间存在着一对一的映射关系。 也就是说，如果你知道了一个离散型随机变量的分布函数，你就可以唯一地确定它的概率质量函数（PMF）。反之亦然。
如果两个离散型随机变量有相同的分布函数，那么它们在所有取值点上的概率（PMF的值）也必然是相同的。
总结一下：
从 PDF/PMF 到 CDF： 这个过程是唯一的。一个确定的 PDF 或 PMF 对应一个唯一确定的 CDF。
从 CDF 到 PDF/PMF：
对于离散型随机变量：是唯一的。CDF 相同，PMF 也相同。
对于连续型随机变量：不是唯一的。PDF 在孤立点上的值可以任意修改，而不影响积分（CDF）。因此，可能存在多个不同的 PDF，但它们对应同一个 CDF。
所以，当你听到“分布函数相同”时，如果是针对离散型随机变量，那么它们的概率分布（PMF）也是相同的。但如果是针对连续型随机变量，仅仅知道分布函数相同，还不能断定它们的概率密度函数（PDF）也一定相同。我们只能说，它们在某个测度（比如勒贝格测度）下是“几乎处处相同”的，但在孤立点的取值可能不同。
理解这个问题，我们需要先梳理清楚这两个概念各自的含义和作用。
分布函数（CDF）：概率的全貌图
我们先从分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）说起。一个随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，定义为 $F(x) = P(X le x)$，也就是随机变量 $X$ 的取值小于或等于某个特定值 $x$ 的概率。
分布函数有两个非常重要的性质：
1. 单调非减性： 如果 $x_1 < x_2$，那么 $F(x_1) le F(x_2)$。这很好理解，因为 $X le x_1$ 的事件包含在 $X le x_2$ 的事件中，所以前者的概率不会比后者小。
2. 趋近性： 当 $x o infty$ 时，$F(x) o 0$；当 $x o +infty$ 时，$F(x) o 1$。这是因为当 $x$ 趋于无穷小时，随机变量取值小于等于 $x$ 的概率趋于零；当 $x$ 趋于无穷大时，随机变量必然会取小于等于 $x$ 的值，概率自然是1。
分布函数有一个“全景式”的特点，它描述了随机变量在所有可能取值上的概率积累情况。无论随机变量是离散的还是连续的，都可以定义其分布函数。
概率密度函数（PDF）/ 概率质量函数（PMF）：细节的刻画
接下来，我们看看概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）和概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）。
对于连续型随机变量： 我们用概率密度函数 $f(x)$ 来描述。它的特点是，$f(x) ge 0$，并且对整个取值范围积分等于1：$int_{infty}^{infty} f(x) dx = 1$。
概率密度函数本身并不是概率。它描述的是概率在某个点附近的“密度”。我们可以通过对PDF在某个区间进行积分来得到在该区间内的概率：$P(a < X le b) = int_{a}^{b} f(x) dx$。
关键在于，连续型随机变量在任何一个具体点的概率都是零，即 $P(X=x) = 0$。所以，$P(a < X le b) = P(a le X le b) = P(a < X < b) = P(a le X < b)$。
通过PDF的积分，我们可以得到其对应的分布函数：$F(x) = int_{infty}^{x} f(t) dt$。
对于离散型随机变量： 我们用概率质量函数 $p(x)$ 来描述。它直接给出随机变量取某个特定值 $x$ 的概率：$p(x) = P(X = x)$。
它的性质是：$p(x) ge 0$，并且所有可能取值的概率加起来等于1：$sum_{x} p(x) = 1$（对所有可能的 $x$ 求和）。
通过PMF，我们也可以得到其对应的分布函数：$F(x) = P(X le x) = sum_{k le x} p(k)$。
核心问题：PDF/PMF与CDF的关系的“单向性”
现在，我们回到最初的问题：分布函数相同，概率密度一定相同吗？
答案是：不一定，尤其是对于连续型随机变量。
为什么呢？我们来看看从PDF/PMF到CDF的推导是唯一的：
连续型：$F(x) = int_{infty}^{x} f(t) dt$ （这个积分结果是唯一的）
离散型：$F(x) = sum_{k le x} p(k)$ （这个求和结果也是唯一的）
也就是说，一旦你确定了一个概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF），那么与之对应的分布函数（CDF）就是唯一确定的。
然而，反过来就不一定了。
对于连续型随机变量：
我们知道，连续型随机变量在任何一个点的概率是零。这意味着，我们可以对PDF做一些“微调”，而不影响其积分结果，从而也不影响CDF。
最经典的例子就是修改PDF在孤立点上的值。
假设我们有一个PDF $f(x)$，并且对应的CDF是 $F(x)$。
现在，我们构造一个新的函数 $g(x)$，使得：
$g(x) = f(x)$ 对于所有 $x$ 都不等于某个特定的值 $a$。
$g(a)$ 可能与 $f(a)$ 不同，甚至 $g(a)$ 可以是无穷大（但积分仍然是有限的）。
关键在于，由于我们关注的是积分，在积分中对函数在一个孤立点的值进行修改，不会改变积分的结果。
$int_{a}^{b} g(x) dx = int_{a}^{b} f(x) dx$ 即使 $g(a) eq f(a)$。
更进一步说，对于任何 $x$，$F_{new}(x) = int_{infty}^{x} g(t) dt = int_{infty}^{x} f(t) dt = F(x)$。
这意味着，我们可以有无穷多个不同的概率密度函数（PDF），但它们都对应同一个分布函数（CDF）！
举个例子：
假设 $f_1(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{x^2}{2}}$ （这是标准正态分布的PDF）。
它对应的CDF是 $Phi(x) = int_{infty}^{x} frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{t^2}{2}} dt$。
现在，我们构造另一个函数 $f_2(x)$：
$f_2(x) = egin{cases} frac{1}{sqrt{2pi}} e^{frac{x^2}{2}} & ext{if } x eq 0 \ 100 & ext{if } x = 0 end{cases}$
这个 $f_2(x)$ 仍然是一个合法的PDF（因为它在除了 $x=0$ 之外的地方与 $f_1(x)$ 相同，而 $x=0$ 这个点对积分没有影响，所以积分仍然是1），但它与 $f_1(x)$ 不是同一个概率密度函数。然而，它们会导出同一个分布函数！
所以，对于连续型随机变量，分布函数相同，概率密度不一定相同。
对于离散型随机变量：
情况又有所不同。
我们知道，离散型随机变量的分布函数是“阶梯状”的。它的跳跃点恰好是随机变量取值的点，而跳跃的大小就是该点的概率质量。
$F(x) = P(X le x)$
$F(x) F(x^) = P(X le x) P(X < x) = P(X = x) = p(x)$
其中 $F(x^) = lim_{y o x^} F(y)$ 是左极限。
对于离散型随机变量，分布函数和概率质量函数（PMF）之间存在着一对一的映射关系。 也就是说，如果你知道了一个离散型随机变量的分布函数，你就可以唯一地确定它的概率质量函数（PMF）。反之亦然。
如果两个离散型随机变量有相同的分布函数，那么它们在所有取值点上的概率（PMF的值）也必然是相同的。
总结一下：
从 PDF/PMF 到 CDF： 这个过程是唯一的。一个确定的 PDF 或 PMF 对应一个唯一确定的 CDF。
从 CDF 到 PDF/PMF：
对于离散型随机变量：是唯一的。CDF 相同，PMF 也相同。
对于连续型随机变量：不是唯一的。PDF 在孤立点上的值可以任意修改，而不影响积分（CDF）。因此，可能存在多个不同的 PDF，但它们对应同一个 CDF。
所以，当你听到“分布函数相同”时，如果是针对离散型随机变量，那么它们的概率分布（PMF）也是相同的。但如果是针对连续型随机变量，仅仅知道分布函数相同，还不能断定它们的概率密度函数（PDF）也一定相同。我们只能说，它们在某个测度（比如勒贝格测度）下是“几乎处处相同”的，但在孤立点的取值可能不同。
网友意见
坐在马桶上反对 @理呆哥 强词夺理故意玩概念的回答。
首先，他举的例子的确，没有错误，因为只要一个函数f的不定积分等于分布函数F，那么f就是F的密度函数。但是，按照他的构造方法，同一个分布函数的不同密度函数都是几乎处处（almost everywhere）相等的，在我们看来几乎处处相等就是相等，因为在测度的意义下不相等的点可以忽略不计。举这种例子看似“严谨”，实则没有意义甚至徒增初学者的困惑。
如果第一个还是有误导或者杠精嫌疑，那么第二个纯属误导了。
同分布指的就是分布相同，分布等同于分布函数。因此同分布指的就是分布函数相等。分布函数是随机变量最本质的刻画，携带了随机变量关于概率测度的所有信息，所以都是用分布函数定义的，不存在用密度函数定义同分布，因为密度函数可能不存在，照样可以同分布。
关键这答案还领取了什么“致知计划”流量。。。
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