共轭是指 ‘先验分布与后验分布共轭“ ，还是指 "先验分布与似然函数共轭“？
核心概念：共轭分布
在贝叶斯推断中，我们遵循着一个基本的更新过程：
先验分布 (Prior Distribution)：在你观察到任何数据之前，你对某个参数（比如一个概率值）的信念分布。它代表了你已有的知识或假设。
似然函数 (Likelihood Function)：它描述了在给定参数值的情况下，观察到特定数据的概率。换句话说，它告诉你数据有多“支持”某一个参数值。
后验分布 (Posterior Distribution)：在你观察到数据之后，你更新的对参数的信念分布。它是先验分布和似然函数结合（通过贝叶斯定理）的结果。
贝叶斯定理的数学表达是：
$$P( heta|D) = frac{P(D| heta) P( heta)}{P(D)}$$
其中：
$P( heta|D)$ 是后验分布（参数 $ heta$ 在观测到数据 $D$ 后的分布）。
$P(D| heta)$ 是似然函数（观测到数据 $D$ 在给定参数 $ heta$ 下的概率）。
$P( heta)$ 是先验分布（参数 $ heta$ 的先验概率分布）。
$P(D)$ 是数据的边际似然（或证据），它是一个归一化常数，确保后验分布的积分等于 1。
那么，“共轭”到底是指什么？
共轭性 直接指的是先验分布和后验分布属于同一族分布 的情况。也就是说，如果你选择了一个特定形式的先验分布，并且在与某个似然函数结合后，得到的后验分布也恰好是同一族中的一个成员，那么我们就说这个先验分布是这个似然函数的 共轭先验 (Conjugate Prior)。
为什么先验分布和后验分布共轭很重要？
想象一下，你对一个抛硬币出现正面的概率 $ heta$ 感兴趣。
似然函数 通常会选择二项分布或伯努利分布，因为每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的概率是固定的。
先验分布 你可以选择一个代表你对 $ heta$ 的初始信念的分布。
现在，如果我们选择 Beta 分布 作为 $ heta$ 的先验分布，并且硬币的观测结果遵循 二项分布（或者说似然函数是二项分布），那么通过贝叶斯定理计算出来的 后验分布也会是 Beta 分布。
为什么这很重要？
1. 计算上的便利性:
当先验和后验属于同一族分布时，后验分布的形式是已知的，并且可以通过简单的参数更新规则来计算。你不需要进行复杂的数值积分来计算后验分布的形状。
例如，如果先验是 Beta($alpha, eta$)，似然是二项分布（成功 $k$ 次，失败 $nk$ 次），那么后验将是 Beta($alpha+k, eta+nk$)。参数的更新非常直接和直观。
2. 直观的解释:
共轭先验使得参数的更新过程更加直观。例如，Beta 分布的参数可以被看作是“伪观测次数”。新的观测数据直接“加到”这些伪观测次数上，更新了分布的参数。
3. 理论上的优美性:
在统计理论研究中，共轭先验提供了一个数学上很方便的工具，可以用来推导各种性质，而无需陷入复杂的计算泥潭。
回到你的问题：是指“先验分布与后验分布共轭”还是“先验分布与似然函数共轭”？
严格来说，共轭性定义的是先验分布和后验分布属于同一族分布。但是，这种同族性之所以能够发生，是因为先验分布与似然函数具有“相容性”。
换句话说，我们可以这样理解：
“先验分布与后验分布共轭” 是对结果的描述：后验分布继承了先验分布的“家谱”。
“先验分布与似然函数共轭” 是对原因的解释：正是因为先验分布和似然函数的数学形式“搭配得当”，才导致了后验分布也落在了同一个“家谱”里。
所以，更准确的说法是：当一个先验分布是某个似然函数的 共轭先验 时，那么这个先验分布与由此产生的后验分布就处于 共轭关系。
更详细的解释：
“共轭”这个词源于数学和物理学，通常表示一种对称或互补的关系。在概率论中，它强调了更新过程中分布族的一致性。
我们来看几个例子：
二项分布似然 + Beta 分布先验 = Beta 分布后验
先验是 Beta($alpha, eta$)。
似然是二项分布 $Bin(n, k)$，这里 $k$ 是成功次数，$n$ 是试验次数。
后验是 Beta($alpha+k, eta+nk$)。
这是典型的共轭关系：Beta 分布是二项分布（或伯努利分布）的共轭先验。
泊松分布似然 + Gamma 分布先验 = Gamma 分布后验
先验是 Gamma($alpha, eta$)。
似然是泊松分布 $Poi(lambda)$，表示在固定区间内事件发生的次数。
后验是 Gamma($alpha+k, eta+1+n$)，这里 $k$ 是观测到的事件总数，$n$ 是观测的时间长度或区间数量。
Gamma 分布是泊松分布的共轭先验。
高斯分布似然（均值未知，方差已知）+ 高斯分布先验 = 高斯分布后验
先验是 $N(mu_0, sigma_0^2)$。
似然是高斯分布 $N(x|mu, sigma^2)$，我们观测到一组数据 $x_1, dots, x_n$，它们都来自均值为 $mu$ 的高斯分布。
后验是 $N(mu_n, sigma_n^2)$，其中 $mu_n$ 和 $sigma_n^2$ 是先验参数和数据信息（样本均值、方差）的加权组合。
高斯分布是高斯分布（均值未知）的共轭先验。
总结一下：
当你说“共轭”时，你是在描述先验分布和后验分布之间的关系，即它们属于同一个参数化分布族。然而，这个关系之所以能成立，是因为 先验分布与似然函数的形式是“相容”的，使得贝叶斯更新过程能够保持在同一分布族内。所以，我们可以说“先验分布是似然函数的共轭先验”，从而导致了先验和后验的共轭。
如果你在学术讨论中听到“共轭先验”，它明确指的是“先验分布是某似然函数的共轭先验”。而当讨论“共轭”本身时，焦点在于先验和后验的同族性。两者是因果关系。
现代贝叶斯统计中，尽管共轭先验非常方便，但很多时候我们会选择更灵活的非共轭先验，这时就需要借助马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 等数值方法来近似计算后验分布。但理解共轭性的价值和机制，对于把握贝叶斯推断的基础仍然至关重要。
网友意见
共轭分布(conjugate distribution)与共轭先验(conjugate prior)，其实是两个非常也有意思的概念。
什么是共轭？
在说共轭分布共轭先验之前，我们先说说什么是共轭。
首先应该你可以记得起来的应该是复数的定义中：
为什么它两被称为共轭呢？
因为它两如果在复平面上表示的话，关于实轴对称！所以我们的直观理解就是
共轭是某种意义上的“对称”！
接下去，或许你还会想起的是一个叫共轭双曲线的东西，即下面那个东东
看着图，应该可以找到两组双曲线吧？说到双曲线或许高中的小伙伴应该不陌生吧，刻画双曲线的几个重要量，焦点，渐近线，离心率。在这个图中我们可以看到，
它们共渐进线，它们的焦点都在一个圆上，他们的离心率的倒数的平方和等于1.
因而他们有相同的地方，他们也有不同的地方。所以在这里共轭直观的理解可以是
共轭描述的某些重要指标相同，某些量互补。
在下面如果你了解矩阵就应该知道矩阵中也有个非常重要的共轭概念--共轭矩阵，或者说是自共轭矩阵也叫Hermite阵，即矩阵的第i行第j列都与第j行第i列共轭相等（按照复数的共轭定义）：
比如，这样的一个矩阵：
观察一下这个矩阵，应该可以想到一个共轭矩阵的主对角线必然是实数，因为 那么b肯定只能是0。另外所有实对称矩阵自然都是共轭矩阵啦，对不？这里的共轭矩阵会带来很多优秀的性质。在这里，我们可以直观的理解是：
共轭会保证一些优秀的性质，以便于之后的分析计算。
什么是共轭分布？
其实看到上面这一些的共轭，大家应该对共轭这个词语有了一定的了解。现在我们来说说分布意义上的共轭。既然这个数字可以有共轭，曲线可以有共轭，矩阵可以有共轭，那么分布为什么不能有共轭呢？说到这个分布意义下的共轭，必然离不开那个经典的贝叶斯推断的公式：
后验 = 先验 * 似然！
首先说说这三者的关系，任意一个模型都是有observation和参数构成的吧。区别于频率学派，贝叶斯的世界中，所有的参数并不是一个固定的数字，而是一个个的随机变量，既然是随机变量，那么我们自然可以假定（或者根据经验要求）其来自某一个已知的性质良好的概率分布，对吧？这个概率分布我们称之为“先验prior distribution”。
那什么是似然呢？
The likelihood function(often simply called the likelihood) describes the joint probability of the observed dataas a function of the parameters of the chosen statistical model.[
似然是我们认定的，用来描述观测值在给定参数的时候的联合分布的概率！这是个既定事实，这代表了我们对于这个问题的看法，一般的模型建立后就不会去更改。你肯定了它的likelihood是高斯的那么它一直都是高斯的。
那什么是后验呢？后验就是根据你给出的prior和确定下来的likelihood，由贝叶斯公式计算出来的东西。它表示了大家对于参数的看法在给定observation之后的更新！这些都是贝叶斯统计的基础内容，相信大家已经看过好多的文章介绍了吧，这里就不多叙述啦！
那什么是共轭分布(conjugate distribution)呢？
In Bayesian probability theory, if the posterior distribution p(θ | x) is in the same probability distribution family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are then called conjugate distributions,and the prior is called a conjugate priorfor the likelihood function p(x |θ).
即，先验与后验来自于同一个族的概率分布。
为什么说是同一个族的概率分布而不是同一个概率分布呢?
因为即便是高斯分布，mean或者variance一变，自然就是不同的分布了哈！这个先验算上likelihood自然不可能跟后验是exact same distribution啦，那么自然只能退而求其次，同一个类型的分布啦！即先验是高斯分布的，给定某个likelihood下，后验也是高斯分布，那么我们就叫这个两个分布是共轭分布，这个先验叫做是基于这个给定的likelihood下的共轭先验。
比如一般假定高斯的likelihood（一直variance，模型参数只有mean）下，高斯分布的共轭分布还是高斯（当然这里其实还有好多好多的情况， 详情请见：https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior）。从形式上来讲，即
其中一个高斯的密度函数乘以一个高斯的密度函数，无视系数的情况下还是可以写成一个高斯密度函数的形式！
为什么要定义这种分布意义下的共轭？
其实仔细想来，这样的分布意义下的共轭是不是也挺满足一般意义下共轭的说法呢？
1。 对称。 emmmm， 如果把likelihood看做是一个实轴一样的东西，那其实这不就是两个分布在依赖于likelihood的情况下，翻过来翻过去吗？
2。 有些相似有些不同。相似的是他们都具有相同的分布族，对吧？不同是是在贝叶斯统计中，一个位于prior的位置，另一个位于posterior的位置上。是不是也有些像那个双曲线的图呢？一组是左右的，一组是上下的，但是他们共用渐近线和焦点都在同一个圆上呢？
3。保证优秀的性质。这点其实才是最为核心的原因，当然也是最实用的哈！
为什么呢？因为贝叶斯统计所操作是整天都是prior，likelihood，posterior，对吧？如果先验和后验同属一个分不族，计算上自然是好很多，可以大大简化很多的计算过程。另外，一旦是共轭分布，那么在很多需要积分的地方则可以直接给出显式的数学表达式，而不需要使用数值方法去计算！
同时，不计算的情况下，也可以为贝叶斯统计推断提供一些最为直观快速的inspiration！
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