向心力加速度公式 a=v²/r 是怎么推导出来的（要详细过程）？
这可真是个好问题！我们来一起把这个向心加速度的公式好好说道说道。很多人看到 `a = v²/r` 可能会觉得是个天生的定理，但其实它是从更基础的物理概念里一步步“拧”出来的，就像拧开瓶盖一样，需要点技巧和耐心。
咱们从最根本的出发点开始，也就是加速度的定义。
基础中的基础：加速度的定义
加速度，说白了，就是物体速度变化的快慢程度。速度是个向量，包含大小（速率）和方向。所以，速度变化，要么是速率变了，要么是方向变了，要么两者都变了。
数学上讲，加速度 `a` 就是速度 `v` 对时间 `t` 的变化率：
`a = dv/dt`
这里的 `dv` 是速度的微小变化量，`dt` 是微小的时间间隔。
匀速圆周运动的特点
现在我们聚焦到“匀速圆周运动”。顾名思义，有两层意思：
1. 匀速： 它的速率（速度的大小）是不变的。比如，一个质量为 `m` 的物体，以恒定的速率 `v` 绕着半径为 `r` 的圆周运动。
2. 圆周运动： 物体的运动轨迹是一个圆。这意味着，虽然速率不变，但它的方向一直在变！想想看，在圆周上任何一点，速度的方向都是沿着该点的切线方向。当你沿着圆周走，切线方向就一直在转动。
关键问题：速度方向变化也意味着加速度！
因为速度是向量，方向的变化就代表了速度的变化。即使速率不变，方向变了，那也一定有加速度！这个加速度就是我们今天要找的“向心加速度”。
如何量化方向的变化？
这是推导的核心难点。速度的大小不变，我们怎么知道它的方向变化有多快呢？
想象一下物体在圆周上运动。我们可以在非常非常短的时间 `dt` 内，观察它的速度向量 `v` 的变化。
在 `t` 时刻，物体的速度向量是 `v`，方向沿着切线。
在 `t + dt` 时刻，物体的速度向量变成了 `v'`，方向也沿着新的切线。
因为是匀速圆周运动，所以 `|v| = |v'| = v` （速度的大小不变）。
我们来看速度向量的变化量 `dv = v' v`。
向量图的魔法
我们把 `v` 和 `v'` 画出来。由于它们的大小相等，我们可以把它们的起点放在同一个地方（就像一个速度的“全集”）。
`v` 指向一个方向。
`v'` 指向另一个方向，与 `v` 之间有一个微小的夹角 `dθ`。
那么，`dv` 就是从 `v` 的终点指向 `v'` 终点的向量。
现在看这个由 `v`、`v'` 和 `dv` 组成的向量三角形。这是一个等腰三角形，因为 `|v| = |v'| = v`。
我们再看圆周运动的轨迹。在极短的时间 `dt` 内，物体从圆周上的 `P` 点运动到 `P'` 点。这两点之间的弧长是 `ds = v dt`。
同时，连接圆心的两条半径 `r` 与速度向量 `v` 和 `v'` 之间形成的角度，也与 `v` 和 `v'` 之间的夹角是相同的。也就是说，物体运动的这个弧长 `ds` 所对应的圆心角也是 `dθ`。
所以，我们有弧长公式：`ds = r dθ`。
结合 `ds = v dt`，我们得到 `v dt = r dθ`，或者说 `dθ = (v dt) / r`。
回到速度变化向量 `dv`
现在我们看那个等腰向量三角形。当 `dt` 非常非常小的时候，这个等腰三角形的顶角 `dθ` 也非常非常小。在数学上，当一个角度非常小时，这个角度所对的弦长（也就是 `|dv|`）近似等于以这个角度为圆心角、以 `v`（或其他两条等边）为半径的圆弧的长度。
所以，我们近似有：`|dv| ≈ v dθ`
我们已经知道 `dθ = (v dt) / r`，代入上面的式子：
`|dv| ≈ v (v dt) / r`
`|dv| ≈ (v² / r) dt`
计算加速度的大小
加速度的定义是 `a = dv/dt`。我们现在关心的是向心加速度的大小，所以用 `|a|` 来表示：
`|a| = |dv| / dt`
把我们刚刚得到的 `|dv|` 的近似值代进去：
`|a| ≈ ((v² / r) dt) / dt`
看！`dt` 约掉了！
`|a| ≈ v² / r`
加速度的方向在哪里？
我们前面提到，`dv` 是从 `v` 的终点指向 `v'` 的终点。在那个等腰向量三角形里，当 `dθ` 非常小时，`dv` 这个向量的方向几乎是垂直于 `v`（或者 `v'`）的方向的。
想想看，`v` 是沿着圆周切线方向。那么垂直于切线方向的是什么？正是指向圆心的方向！
所以，这个速度变化向量 `dv` 的方向，就是指向圆心的。因此，加速度的方向也是指向圆心的。这就是为什么我们叫它“向心加速度”。
总结一下推导过程的关键点：
1. 加速度是速度变化率： `a = dv/dt`。
2. 匀速圆周运动速度特点： 大小不变，方向变化。
3. 速度变化量 `dv` 的几何表示： 在速度向量的起点相同的情况下，`dv` 是连接 `v` 和 `v'` 终点的向量。
4. 小角度近似： 当时间间隔 `dt` 非常小，速度变化向量 `dv` 的大小近似等于速度大小 `v` 乘以速度方向变化的角度 `dθ`。
5. 角度与运动的关系： 速度方向的变化角度 `dθ` 等于物体运动的圆心角，而圆心角又可以通过弧长 `ds` 和半径 `r` 来表示：`dθ = ds / r`。
6. 弧长与速度的关系： 弧长 `ds` 等于速度大小 `v` 乘以时间间隔 `dt`。
7. 整合求解： 将这些关系式代入加速度的定义中，通过代数运算（主要是消去 `dt`），最终得到加速度的大小 `a = v²/r`，并且确认其方向是指向圆心的。
这个推导过程中，“小角度近似”是关键，它让原本复杂的向量变化问题变得可以处理。而且，最终得到的加速度方向“刚好”是指向圆心，这也不是巧合，而是物理规律使然。
希望这个详细的讲解能让你对 `a = v²/r` 的来龙去脉有个更深的理解！这玩意儿虽然看起来简单，背后可是有不少巧妙的数学和物理思想在里面呢！
咱们从最根本的出发点开始，也就是加速度的定义。
基础中的基础：加速度的定义
加速度，说白了，就是物体速度变化的快慢程度。速度是个向量，包含大小（速率）和方向。所以，速度变化，要么是速率变了，要么是方向变了，要么两者都变了。
数学上讲，加速度 `a` 就是速度 `v` 对时间 `t` 的变化率：
`a = dv/dt`
这里的 `dv` 是速度的微小变化量，`dt` 是微小的时间间隔。
匀速圆周运动的特点
现在我们聚焦到“匀速圆周运动”。顾名思义，有两层意思：
1. 匀速： 它的速率（速度的大小）是不变的。比如，一个质量为 `m` 的物体，以恒定的速率 `v` 绕着半径为 `r` 的圆周运动。
2. 圆周运动： 物体的运动轨迹是一个圆。这意味着，虽然速率不变，但它的方向一直在变！想想看，在圆周上任何一点，速度的方向都是沿着该点的切线方向。当你沿着圆周走，切线方向就一直在转动。
关键问题：速度方向变化也意味着加速度！
因为速度是向量，方向的变化就代表了速度的变化。即使速率不变，方向变了，那也一定有加速度！这个加速度就是我们今天要找的“向心加速度”。
如何量化方向的变化？
这是推导的核心难点。速度的大小不变，我们怎么知道它的方向变化有多快呢？
想象一下物体在圆周上运动。我们可以在非常非常短的时间 `dt` 内，观察它的速度向量 `v` 的变化。
在 `t` 时刻，物体的速度向量是 `v`，方向沿着切线。
在 `t + dt` 时刻，物体的速度向量变成了 `v'`，方向也沿着新的切线。
因为是匀速圆周运动，所以 `|v| = |v'| = v` （速度的大小不变）。
我们来看速度向量的变化量 `dv = v' v`。
向量图的魔法
我们把 `v` 和 `v'` 画出来。由于它们的大小相等，我们可以把它们的起点放在同一个地方（就像一个速度的“全集”）。
`v` 指向一个方向。
`v'` 指向另一个方向，与 `v` 之间有一个微小的夹角 `dθ`。
那么，`dv` 就是从 `v` 的终点指向 `v'` 终点的向量。
现在看这个由 `v`、`v'` 和 `dv` 组成的向量三角形。这是一个等腰三角形，因为 `|v| = |v'| = v`。
我们再看圆周运动的轨迹。在极短的时间 `dt` 内，物体从圆周上的 `P` 点运动到 `P'` 点。这两点之间的弧长是 `ds = v dt`。
同时，连接圆心的两条半径 `r` 与速度向量 `v` 和 `v'` 之间形成的角度，也与 `v` 和 `v'` 之间的夹角是相同的。也就是说，物体运动的这个弧长 `ds` 所对应的圆心角也是 `dθ`。
所以，我们有弧长公式：`ds = r dθ`。
结合 `ds = v dt`，我们得到 `v dt = r dθ`，或者说 `dθ = (v dt) / r`。
回到速度变化向量 `dv`
现在我们看那个等腰向量三角形。当 `dt` 非常非常小的时候，这个等腰三角形的顶角 `dθ` 也非常非常小。在数学上，当一个角度非常小时，这个角度所对的弦长（也就是 `|dv|`）近似等于以这个角度为圆心角、以 `v`（或其他两条等边）为半径的圆弧的长度。
所以，我们近似有：`|dv| ≈ v dθ`
我们已经知道 `dθ = (v dt) / r`，代入上面的式子：
`|dv| ≈ v (v dt) / r`
`|dv| ≈ (v² / r) dt`
计算加速度的大小
加速度的定义是 `a = dv/dt`。我们现在关心的是向心加速度的大小，所以用 `|a|` 来表示：
`|a| = |dv| / dt`
把我们刚刚得到的 `|dv|` 的近似值代进去：
`|a| ≈ ((v² / r) dt) / dt`
看！`dt` 约掉了！
`|a| ≈ v² / r`
加速度的方向在哪里？
我们前面提到，`dv` 是从 `v` 的终点指向 `v'` 的终点。在那个等腰向量三角形里，当 `dθ` 非常小时，`dv` 这个向量的方向几乎是垂直于 `v`（或者 `v'`）的方向的。
想想看，`v` 是沿着圆周切线方向。那么垂直于切线方向的是什么？正是指向圆心的方向！
所以，这个速度变化向量 `dv` 的方向，就是指向圆心的。因此，加速度的方向也是指向圆心的。这就是为什么我们叫它“向心加速度”。
总结一下推导过程的关键点：
1. 加速度是速度变化率： `a = dv/dt`。
2. 匀速圆周运动速度特点： 大小不变，方向变化。
3. 速度变化量 `dv` 的几何表示： 在速度向量的起点相同的情况下，`dv` 是连接 `v` 和 `v'` 终点的向量。
4. 小角度近似： 当时间间隔 `dt` 非常小，速度变化向量 `dv` 的大小近似等于速度大小 `v` 乘以速度方向变化的角度 `dθ`。
5. 角度与运动的关系： 速度方向的变化角度 `dθ` 等于物体运动的圆心角，而圆心角又可以通过弧长 `ds` 和半径 `r` 来表示：`dθ = ds / r`。
6. 弧长与速度的关系： 弧长 `ds` 等于速度大小 `v` 乘以时间间隔 `dt`。
7. 整合求解： 将这些关系式代入加速度的定义中，通过代数运算（主要是消去 `dt`），最终得到加速度的大小 `a = v²/r`，并且确认其方向是指向圆心的。
这个推导过程中，“小角度近似”是关键，它让原本复杂的向量变化问题变得可以处理。而且，最终得到的加速度方向“刚好”是指向圆心，这也不是巧合，而是物理规律使然。
希望这个详细的讲解能让你对 `a = v²/r` 的来龙去脉有个更深的理解！这玩意儿虽然看起来简单，背后可是有不少巧妙的数学和物理思想在里面呢！
网友意见
本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布
给一个不太一样的视角，从数学的角度考虑这个问题。
一个质点的运动可以描述为一条光滑的参数曲线
其中就是参数时间。这个质点的速度是，加速度是。首先我们着手建立一个不依赖的基的坐标系，即自然坐标系或者Frenet标架。
Frenet标架
我们考虑一般的曲线运动，也就是与处处线性无关。
速度矢量是曲线的一个切矢量，对应方向上的单位矢量记为
我们考虑的是曲线本身的几何性质，所以要找到一个比时间更好描述曲线运动的参数——弧长。注意到这两个参数的变换Jacobian
恰好是速率。下面先暂定曲线的参数取为，最后再换回时间。
以为参数能立刻得到一个有用的结论：注意到是单位矢量，长度不变，于是有
也就是与处处正交。
单位切矢沿曲线的变化率可以表征曲线的弯曲程度，我们定义
称为曲线的曲率。在方向上的单位矢量记为
最后我们定义一个正交于和的单位矢量：
这样就构成了一个随曲线运动的右手单位正交标架，称为Frenet标架。对应的三个坐标轴分别称为切线，主法线和次法线。
运动学方程
现在我们回到以时间为参数的情况，给出Frenet标架下的运动学方程。
从速度公式
出发，求导得
这里沿切线的加速度分量是，沿主法线的加速度分量是。
匀速圆周运动
回到题目中最特殊的情况——匀速圆周运动。首先我们来求圆的曲率。圆关于弧长的参数方程为
单位切矢
曲率
即半径为的圆的曲率是。
对于匀速圆周运动，线速度恒定，于是加速度就是
其中单位矢量是时时刻刻指向圆心的（与位置矢量方向相反）。
其实上面的推导绕了很大一圈，但是这个方法的好处是能够推广到各种各样的曲线运动。
参考
- ^ 陈维桓《微分几何》
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