怎么求sin1°＋sin2°＋sin3°…＋sin90°?

这道题考的是三角函数求和，但不是简单的算术累加。sin1°＋sin2°＋sin3°…＋sin90°，这是一个等差数列的三角函数和。直接一个一个去算sin的值再相加，那工作量太大了，而且很多角的sin值也不是简单的分数或者根号形式，所以这肯定不是题目的本意。

我们得想想有没有什么数学技巧能够简化这个求和过程。通常遇到这种等差数列的三角函数求和，我们常常会用到复数求和或者积化和差的技巧。今天咱们就来仔细捋一捋怎么用复数的方法来解决这个问题。

核心思路：复数与三角函数的联系

我们要利用的是欧拉公式，它建立了指数函数和三角函数之间的美妙联系：

$e^{i heta} = cos heta + isin heta$

这里的 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。

如果我们把角度 $ heta$ 换成我们数列中的角度，比如 $k$ 度（这里 $k$ 是从1到90的整数），那么就有：

$e^{i(kpi/180)} = cos(kpi/180) + isin(kpi/180)$

注意，我们在欧拉公式里用的是弧度制，而题目里给出的是角度制。所以需要进行转换：角度制 $alpha$ 对应弧度制 $alpha imes (pi/180)$。因此，sin($k$°) 就对应着 $e^{i(kpi/180)}$ 的虚部。

构建复数数列

我们要求的和是 $S = sin1° + sin2° + dots + sin90°$。
我们不妨构造一个复数数列 $Z = e^{i(pi/180)} + e^{i(2pi/180)} + dots + e^{i(90pi/180)}$。

这个复数数列的每一项可以写成：
$Z_k = e^{i(kpi/180)}$

那么，我们要求的和 $S$ 就是这个复数数列 $Z$ 的虚部。
$S = ext{Im}(Z) = ext{Im}(e^{i(pi/180)} + e^{i(2pi/180)} + dots + e^{i(90pi/180)})$

利用等比数列求和公式

这个复数数列 $Z$ 是一个典型的等比数列，首项是 $a = e^{i(pi/180)}$，公比是 $r = e^{i(pi/180)}$，项数是 $n=90$。

等比数列的求和公式是：$Z = a frac{1r^n}{1r}$ (当 $r eq 1$ 时)。

代入我们的值：
$Z = e^{i(pi/180)} frac{1 (e^{i(pi/180)})^{90}}{1 e^{i(pi/180)}}$
$Z = e^{i(pi/180)} frac{1 e^{i(90pi/180)}}{1 e^{i(pi/180)}}$

化简复数表达式

现在我们来化简分子和分母的表达式：

分子部分：
$1 e^{i(90pi/180)} = 1 e^{i(pi/2)}$
我们知道 $e^{i(pi/2)} = cos(pi/2) + isin(pi/2) = 0 + i(1) = i$。
所以，分子就是 $1 i$。

分母部分：
$1 e^{i(pi/180)}$

为了方便处理，我们可以对分母进行一些操作。通常是使用三角恒等式将 $1 e^{i heta}$ 转化为更易处理的形式。
利用 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$：
$1 e^{i heta} = 1 (cos heta + isin heta) = (1 cos heta) isin heta$

利用三角半角公式：
$1 cos heta = 2sin^2( heta/2)$
$sin heta = 2sin( heta/2)cos( heta/2)$

所以，分母变为：
$1 e^{i(pi/180)} = 2sin^2(frac{pi}{360}) i(2sin(frac{pi}{360})cos(frac{pi}{360}))$
$= 2sin(frac{pi}{360}) (sin(frac{pi}{360}) icos(frac{pi}{360}))$

我们还可以进一步处理 $sin(frac{pi}{360}) icos(frac{pi}{360})$。
注意到 $cos(pi/2 phi) = sinphi$ 且 $sin(pi/2 phi) = cosphi$。
所以，$sin(frac{pi}{360}) icos(frac{pi}{360}) = i(cos(frac{pi}{360}) + isin(frac{pi}{360})) = i e^{i(pi/360)}$。

这样分母就是：
$1 e^{i(pi/180)} = 2sin(frac{pi}{360}) (i e^{i(pi/360)}) = 2isin(frac{pi}{360}) e^{i(pi/360)}$

另一种处理分母的方法 (更常用且简洁)：
我们可以用 $e^{i heta/2}$ 提出公因式：
$1 e^{i heta} = e^{i heta/2} (e^{i heta/2} e^{i heta/2})$
我们知道 $e^{iphi} e^{iphi} = 2isinphi$。
所以，$e^{i heta/2} e^{i heta/2} = 2isin( heta/2)$。

代入 $ heta = pi/180$：
$1 e^{i(pi/180)} = e^{i(pi/360)} (2isin(pi/360))$

将各项代回Z的表达式

我们回到 $Z = e^{i(pi/180)} frac{1 e^{i(90pi/180)}}{1 e^{i(pi/180)}}$。
用刚才的第二种方法处理分母：

$Z = e^{i(pi/180)} frac{1 i}{e^{i(pi/360)} (2isin(pi/360))}$
$Z = frac{e^{i(pi/180)} (1 i)}{2isin(pi/360) e^{i(pi/360)}}$
$Z = frac{e^{i(pi/180)} e^{i(pi/360)} (1 i)}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{e^{i(3pi/360)} (1 i)}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{e^{i(pi/120)} (1 i)}{2isin(pi/360)}$

现在我们展开 $e^{i(pi/120)}$ 和 $(1i)$：
$e^{i(pi/120)} = cos(pi/120) + isin(pi/120)$
$1 i = sqrt{2} (frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}i) = sqrt{2} (cos(pi/4) isin(pi/4)) = sqrt{2} e^{i(pi/4)}$

代入：
$Z = frac{(cos(pi/120) + isin(pi/120)) sqrt{2} e^{i(pi/4)}}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{sqrt{2} e^{i(pi/120 pi/4)} }{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{sqrt{2} e^{i(11pi/120)} }{2isin(pi/360)}$

为了得到虚部，我们需要把 $i$ 提到分子上。注意到 $1/i = i$。
$Z = frac{sqrt{2} e^{i(11pi/120)} (i)}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2} (cos(11pi/120) + isin(11pi/120))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2} (cos(11pi/120) isin(11pi/120))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2}cos(11pi/120) sqrt{2}sin(11pi/120)}{2sin(pi/360)}$

$Z = frac{sqrt{2}sin(11pi/120)}{2sin(pi/360)} + i frac{sqrt{2}cos(11pi/120)}{2sin(pi/360)}$

我们要求的是 $S = ext{Im}(Z)$。
$S = frac{sqrt{2}cos(11pi/120)}{2sin(pi/360)}$

这里还没完，分母的 $sin(pi/360)$ 仍然是一个非常小的角度，不够简洁。我们再回过头看看其他化简方法。

重新审视等比数列求和的 $Z$ 表达式

$Z = e^{i(pi/180)} frac{1 e^{i(90pi/180)}}{1 e^{i(pi/180)}}$

令 $alpha = pi/180$。那么 $Z = e^{ialpha} frac{1 e^{i90alpha}}{1 e^{ialpha}}$。
这里 $90alpha = 90 imes (pi/180) = pi/2$。
$Z = e^{ialpha} frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ialpha}} = e^{ialpha} frac{1 i}{1 e^{ialpha}}$

我们还可以将分子分母都乘以一个共轭项，或者使用三角函数的和差化积形式来处理。

另一种化简 $Z$ 的方法

$Z = sum_{k=1}^{90} e^{i kpi/180}$
我们知道 $sum_{k=0}^{n1} r^k = frac{1r^n}{1r}$。
所以，$sum_{k=1}^{90} r^k = r frac{1r^{90}}{1r}$。

设 $r = e^{ipi/180}$。
$Z = e^{ipi/180} frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = e^{ipi/180} frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ipi/180}} = e^{ipi/180} frac{1 i}{1 e^{ipi/180}}$

现在我们用 $1e^{i heta} = e^{i heta/2}(e^{i heta/2} e^{i heta/2}) = e^{i heta/2}(2isin( heta/2))$ 来处理分母。
令 $ heta = pi/180$，那么 $ heta/2 = pi/360$。
$1 e^{ipi/180} = e^{ipi/360}(2isin(pi/360))$

代入 $Z$ 的表达式：
$Z = e^{ipi/180} frac{1 i}{e^{ipi/360}(2isin(pi/360))}$
$Z = frac{e^{ipi/180}}{2isin(pi/360)} frac{1i}{e^{ipi/360}}$
$Z = frac{e^{ipi/180} e^{ipi/360} (1i)}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{e^{ipi/360} (1i)}{2isin(pi/360)}$

我们知道 $1i = sqrt{2} e^{ipi/4}$。
$Z = frac{e^{ipi/360} sqrt{2} e^{ipi/4}}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{sqrt{2} e^{i(pi/360 pi/4)}}{2isin(pi/360)}$
$Z = frac{sqrt{2} e^{i(11pi/360)}}{2isin(pi/360)}$

把 $i$ 提到分子上： $1/(i) = i$.
$Z = frac{isqrt{2} e^{i(11pi/360)}}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2} (cos(11pi/360) + isin(11pi/360))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2} (cos(11pi/360) isin(11pi/360))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{isqrt{2}cos(11pi/360) + sqrt{2}sin(11pi/360)}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{sqrt{2}sin(11pi/360)}{2sin(pi/360)} + i frac{sqrt{2}cos(11pi/360)}{2sin(pi/360)}$

这仍然不是最简洁的形式。似乎在化简 $1e^{i heta}$ 的时候，我们处理的不是最对称的。

最经典的化简 $1e^{i heta}$ 的方法

$1e^{i heta} = e^{i heta/2}(e^{i heta/2} e^{i heta/2}) = e^{i heta/2}(2isin( heta/2))$
或者
$1e^{i heta} = e^{i heta/2}(e^{i heta/2} e^{i heta/2}) = e^{i heta/2}(2isin( heta/2)) = e^{i heta/2}2isin( heta/2)$
这是对的。

还有一种方法是将 $1e^{i heta}$ 的共轭项拿过来，但是在这里不太适用。

我们再试试另外一个思路。

三角函数的积化和差性质

对于求和 $sum sin(kx)$，有一个公式是：
$sum_{k=1}^{n} sin(kx) = frac{sin(nx/2)sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}$
这里的 $x$ 是以弧度为单位的。

我们要求的和是 $sin1° + sin2° + dots + sin90°$。
这里的角度是 $k$ 度，所以 $x = 1° = pi/180$ 弧度。
$n=90$。

代入公式：
$S = frac{sin(90 imes (pi/180)/2) sin((90+1) imes (pi/180)/2)}{sin((pi/180)/2)}$
$S = frac{sin(90pi/360) sin(91pi/360)}{sin(pi/360)}$
$S = frac{sin(pi/4) sin(91pi/360)}{sin(pi/360)}$

我们知道 $sin(pi/4) = frac{sqrt{2}}{2}$。
$S = frac{sqrt{2}}{2} frac{sin(91pi/360)}{sin(pi/360)}$

现在化简 $sin(91pi/360)$。
$91pi/360 = (90+1)pi/360 = pi/4 + pi/360$。
所以，$sin(91pi/360) = sin(pi/4 + pi/360)$。

使用和角公式 $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$：
$sin(pi/4 + pi/360) = sin(pi/4)cos(pi/360) + cos(pi/4)sin(pi/360)$
$= frac{sqrt{2}}{2}cos(pi/360) + frac{sqrt{2}}{2}sin(pi/360)$
$= frac{sqrt{2}}{2}(cos(pi/360) + sin(pi/360))$

将这个代回 $S$ 的表达式：
$S = frac{sqrt{2}}{2} frac{frac{sqrt{2}}{2}(cos(pi/360) + sin(pi/360))}{sin(pi/360)}$
$S = frac{sqrt{2}}{2} imes frac{sqrt{2}}{2} frac{cos(pi/360) + sin(pi/360)}{sin(pi/360)}$
$S = frac{1}{2} (frac{cos(pi/360)}{sin(pi/360)} + frac{sin(pi/360)}{sin(pi/360)})$
$S = frac{1}{2} (cot(pi/360) + 1)$

这个结果看起来比较简洁了，但仍然包含 $cot(pi/360)$。

回到复数求和，寻找更简洁的化简

我们再仔细看 $Z = frac{e^{i(pi/360)} (1i)}{2isin(pi/360)}$。
我们要求的是 $S = ext{Im}(Z)$。
为了得到虚部，我们把 $Z$ 写成 $a+bi$ 的形式。
$Z = frac{e^{i(pi/360)}(1i)}{2isin(pi/360)} = frac{(cos(pi/360) + isin(pi/360))(1i)}{2isin(pi/360)}$
分子展开：
$(cos(pi/360) + isin(pi/360))(1i) = cos(pi/360) icos(pi/360) + isin(pi/360) i^2sin(pi/360)$
$= (cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i(sin(pi/360) cos(pi/360))$

所以，$Z = frac{(cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i(sin(pi/360) cos(pi/360))}{2isin(pi/360)}$
为了提取虚部，我们需要将分母的 $2i$ 移到分子上，乘以 $i/i$：
$Z = frac{(cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i(sin(pi/360) cos(pi/360))}{sin(pi/360)} imes frac{1}{2i}$
$Z = frac{(cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i(sin(pi/360) cos(pi/360))}{sin(pi/360)} imes frac{i}{2i^2}$
$Z = frac{(cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i(sin(pi/360) cos(pi/360))}{sin(pi/360)} imes frac{i}{2}$

$Z = frac{i(cos(pi/360) + sin(pi/360)) + i^2(sin(pi/360) cos(pi/360))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{(sin(pi/360) cos(pi/360)) + i(cos(pi/360) + sin(pi/360))}{2sin(pi/360)}$
$Z = frac{cos(pi/360) sin(pi/360)}{2sin(pi/360)} + i frac{cos(pi/360) + sin(pi/360)}{2sin(pi/360)}$

虚部是 $S = ext{Im}(Z) = frac{cos(pi/360) + sin(pi/360)}{2sin(pi/360)}$
$S = frac{1}{2} (frac{cos(pi/360)}{sin(pi/360)} + frac{sin(pi/360)}{sin(pi/360)})$
$S = frac{1}{2} (cot(pi/360) + 1)$

结果和用积化和差公式得到的结果一致。这说明这两个公式推导是正确的。

寻找更具体的值

我们知道 $pi/360$ 是一个很小的角度。$cot( heta) approx 1/ heta$ 当 $ heta$ 很小时。
但这并不能直接得到一个简单的数值结果，比如整数或者分数。

重新检查题目和思路

sin1°＋sin2°＋sin3°…＋sin90°。
这个求和实际上是从一个很小的角度开始，一直到直角。
我们知道 $sin 90° = 1$。
$sin 0° = 0$.
$sin 30° = 1/2$.
$sin 45° = sqrt{2}/2$.
$sin 60° = sqrt{3}/2$.

求和范围是1度到90度，共90项。

有没有更直接的化简方式？

考虑一个对称性。
$sin(k^circ) = sin((180k)^circ)$
$sin(1^circ) = sin(179^circ)$
$sin(89^circ) = sin(91^circ)$

这里我们只有到90度，所以这个对称性用不了。

有没有一种方式，能够让 $1sin heta$ 或者 $1+sin heta$ 出现？

考虑将 $sin(kx)$ 转化成 $cos$。
$sin(kx) = cos(90^circ kx)$
那么求和就变成了 $sum_{k=1}^{90} cos(90^circ k imes frac{pi}{180})$
$= cos(89^circ) + cos(88^circ) + dots + cos(1^circ) + cos(0^circ)$
$= cos(0^circ) + cos(1^circ) + dots + cos(89^circ)$
$= 1 + cos(1^circ) + dots + cos(89^circ)$

这是一个余弦的等差数列求和。
使用复数求和方法来算 $sum_{k=0}^{89} e^{ikpi/180}$。
首项 $a = e^{i0} = 1$。
公比 $r = e^{ipi/180}$。
项数 $n = 90$。
和 $Z' = 1 imes frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}} = frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ipi/180}} = frac{1 i}{1 e^{ipi/180}}$。

这个和 $Z'$ 的实部就是我们要求的 $cos(0^circ) + cos(1^circ) + dots + cos(89^circ)$。
$Z' = frac{1i}{1 e^{ipi/180}} = frac{1i}{e^{ipi/360}(2isin(pi/360))} = frac{i(1i)}{2sin(pi/360)e^{ipi/360}}$
$Z' = frac{i+1}{2sin(pi/360)e^{ipi/360}} = frac{sqrt{2}e^{ipi/4}}{2sin(pi/360)e^{ipi/360}}$
$Z' = frac{sqrt{2}e^{i(pi/4 pi/360)}}{2sin(pi/360)} = frac{sqrt{2}e^{i(3pi/360 pi/360)}}{2sin(pi/360)}$
$Z' = frac{sqrt{2}e^{i(2pi/360)}}{2sin(pi/360)} = frac{sqrt{2}e^{i(pi/180)}}{2sin(pi/360)}$
$Z' = frac{sqrt{2}(cos(pi/180) + isin(pi/180))}{2sin(pi/360)}$
$Z' = frac{sqrt{2}cos(pi/180)}{2sin(pi/360)} + i frac{sqrt{2}sin(pi/180)}{2sin(pi/360)}$

所以，$sum_{k=0}^{89} cos(k^circ) = ext{Re}(Z') = frac{sqrt{2}cos(pi/180)}{2sin(pi/360)}$。
使用 $2sin hetacos heta = sin(2 heta)$，则 $cos(pi/180) = frac{sin(pi/90)}{2sin(pi/180)}$。
所以实部是 $frac{sqrt{2}}{2sin(pi/360)} imes frac{sin(pi/90)}{2sin(pi/180)} = frac{sqrt{2}sin(pi/90)}{4sin(pi/360)sin(pi/180)}$。

这个结果似乎也没有变得更简单。

重要的观察点：求和的对称性

我们要求的和是 $S = sin1° + sin2° + dots + sin89° + sin90°$。
考虑 $sin(k^circ)$ 和 $sin((90k)^circ)$。
$sin(1^circ)$ 和 $sin(89^circ)$
$sin(2^circ)$ 和 $sin(88^circ)$
...
$sin(44^circ)$ 和 $sin(46^circ)$
$sin(45^circ)$ 是中间项。

我们知道 $sin(90^circ x) = cos(x)$。
所以，$sin(89^circ) = cos(1^circ)$
$sin(88^circ) = cos(2^circ)$
...
$sin(46^circ) = cos(44^circ)$

那么，$S = (sin1° + sin89°) + (sin2° + sin88°) + dots + (sin44° + sin46°) + sin45° + sin90°$
$S = (sin1° + cos1°) + (sin2° + cos2°) + dots + (sin44° + cos44°) + sin45° + sin90°$

这个组合并没有让问题变简单。

回顾一下复数求和结果 $Z = frac{1}{2} (cot(pi/360) + 1)$

$S = frac{1}{2} (cot(frac{180^circ}{360}) + 1) = frac{1}{2} (cot(0.5^circ) + 1)$。
这仍然需要计算 $cot(0.5^circ)$。

再次审视题目和可能的答案形式

很多这类问题，答案都是比较规整的数字，比如整数或者简单的有理数。这说明我们前面的化简可能漏掉了什么或者有什么更巧妙的方法。

有没有可能，答案是 $45$ 或 $45.5$ 这样的数字？

回到复数求和最原始的表达式：
$Z = sum_{k=1}^{90} e^{i kpi/180}$
$S = ext{Im}(Z)$

另一种化简 $Z$ 的方法：使用 $frac{sin(nx/2)}{sin(x/2)}$ 形式

我们知道 $sum_{k=1}^n sin(kx) = frac{sin(nx/2)sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}$
这个公式是正确的。
代入 $n=90$, $x=pi/180$:
$S = frac{sin(90 cdot frac{pi}{180} cdot frac{1}{2}) sin((90+1) cdot frac{pi}{180} cdot frac{1}{2})}{sin(frac{pi}{180} cdot frac{1}{2})}$
$S = frac{sin(frac{pi}{4}) sin(frac{91pi}{360})}{sin(frac{pi}{360})}$
$S = frac{frac{sqrt{2}}{2} sin(frac{91pi}{360})}{sin(frac{pi}{360})}$

我们知道 $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$
$sin(frac{91pi}{360}) = sin(frac{90pi}{360} + frac{pi}{360}) = sin(frac{pi}{4} + frac{pi}{360})$
$= sin(frac{pi}{4})cos(frac{pi}{360}) + cos(frac{pi}{4})sin(frac{pi}{360})$
$= frac{sqrt{2}}{2}cos(frac{pi}{360}) + frac{sqrt{2}}{2}sin(frac{pi}{360})$

代入 $S$:
$S = frac{frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{2}}{2} (cos(frac{pi}{360}) + sin(frac{pi}{360}))}{sin(frac{pi}{360})}$
$S = frac{frac{1}{2} (cos(frac{pi}{360}) + sin(frac{pi}{360}))}{sin(frac{pi}{360})}$
$S = frac{1}{2} (frac{cos(frac{pi}{360})}{sin(frac{pi}{360})} + frac{sin(frac{pi}{360})}{sin(frac{pi}{360})})$
$S = frac{1}{2} (cot(frac{pi}{360}) + 1)$

这个结果是正确的，但仍然是 $cot(pi/360)$。
有没有可能题目本身的数值是固定的，不需要计算那个小角度的 cot 值？

一个关键点： $sin(90^circ) = 1$。
整个数列的和是 $sin 1^circ + sin 2^circ + dots + sin 89^circ + 1$。

考虑 $sin x$ 的积分近似
$int_0^{pi/2} sin x dx = [cos x]_0^{pi/2} = cos(pi/2) (cos(0)) = 0 (1) = 1$.
但是这个是积分，不是求和。求和一般会比积分结果大或者小，取决于采样点。

有没有可能答案是一个简单的组合？
比如 $sin 1^circ + sin 89^circ = sin 1^circ + cos 1^circ$。
$sin 2^circ + sin 88^circ = sin 2^circ + cos 2^circ$。

如果我们把整个和写成：
$S = (sin 1^circ + sin 89^circ) + (sin 2^circ + sin 88^circ) + dots + (sin 44^circ + sin 46^circ) + sin 45^circ + sin 90^circ$
$S = (sin 1^circ + cos 1^circ) + (sin 2^circ + cos 2^circ) + dots + (sin 44^circ + cos 44^circ) + frac{sqrt{2}}{2} + 1$

这里的 $(sin x + cos x)$ 结合起来，也没有什么特别简单的形式。

思考另一个角度的化简：

$S = sin 1^circ + sin 2^circ + dots + sin 90^circ$
将每一项 $sin(k^circ)$ 写成 $cos(90^circ k^circ)$
$S = cos 89^circ + cos 88^circ + dots + cos 1^circ + cos 0^circ$
$S = 1 + cos 1^circ + cos 2^circ + dots + cos 89^circ$

我们要求的是这个新的和的实部！
我们之前算过 $Z' = sum_{k=0}^{89} e^{ikpi/180} = frac{sqrt{2}cos(pi/180)}{2sin(pi/360)} + i frac{sqrt{2}sin(pi/180)}{2sin(pi/360)}$
所以，$S = ext{Re}(Z') = frac{sqrt{2}cos(pi/180)}{2sin(pi/360)}$。

使用 $cos(2 heta) = 2cos^2 heta 1$ 和 $sin(2 heta) = 2sin hetacos heta$
$cos(pi/180) = cos(2 cdot pi/360) = 2cos^2(pi/360) 1$
$sin(pi/180) = 2sin(pi/360)cos(pi/360)$

代入 $S = ext{Re}(Z')$：
$S = frac{sqrt{2} (2cos^2(pi/360) 1)}{2sin(pi/360)} = frac{sqrt{2}}{2} (frac{2cos^2(pi/360)}{sin(pi/360)} frac{1}{sin(pi/360)})$
$S = frac{sqrt{2}}{2} (2cos(pi/360)cot(pi/360) csc(pi/360))$

这个化简也没有让我们摆脱 $pi/360$ 这个小角度。

一个非常重要的细节：
我们求的不是 $sin 1^circ + dots + sin 90^circ$，而是 $sin 1^circ + sin 2^circ + dots + sin 90^circ$。

回到 $Z = frac{1}{2} (cot(pi/360) + 1)$
这里的 $pi/360$ 是指 $(pi/180)/2$。
没错，就是 $frac{1}{2} (cot(0.5^circ) + 1)$。

一个可能的简化方向：利用 $1+cot x = frac{sin x + cos x}{sin x}$

最后一次尝试复数求和的代数化简。

$Z = sum_{k=1}^{90} e^{i kpi/180}$
$Z = e^{ipi/180} + e^{i2pi/180} + dots + e^{i90pi/180}$
$Z = e^{ipi/180} frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}} = e^{ipi/180} frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = e^{ipi/180} frac{1i}{1e^{ipi/180}}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + isin(pi/180))(1i)}{1 (cos(pi/180) + isin(pi/180))}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + sin(pi/180)) + i(sin(pi/180) cos(pi/180))}{(1 cos(pi/180)) isin(pi/180)}$

现在我们要提取虚部。
$S = ext{Im}(Z)$
$S = frac{(sin(pi/180) cos(pi/180))(1 cos(pi/180)) + (cos(pi/180) + sin(pi/180))sin(pi/180)}{(1 cos(pi/180))^2 + sin^2(pi/180)}$

分母化简：
$(1 cos(pi/180))^2 + sin^2(pi/180) = 1 2cos(pi/180) + cos^2(pi/180) + sin^2(pi/180)$
$= 1 2cos(pi/180) + 1 = 2 2cos(pi/180)$
$= 2(1 cos(pi/180)) = 2(2sin^2(pi/360)) = 4sin^2(pi/360)$

分子化简：
$sin(pi/180) cos(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) + cos(pi/180)sin(pi/180) + sin^2(pi/180)$
$= sin(pi/180) cos(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) + sin(pi/180)cos(pi/180) + sin^2(pi/180)$
出错在乘法展开。

分子展开：
$(sin(pi/180) cos(pi/180))(1 cos(pi/180)) = sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) cos(pi/180) + cos^2(pi/180)$
$(cos(pi/180) + sin(pi/180))sin(pi/180) = cos(pi/180)sin(pi/180) + sin^2(pi/180)$

将两部分相加：
$sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) cos(pi/180) + cos^2(pi/180)$
$+ cos(pi/180)sin(pi/180) + sin^2(pi/180)$
$= sin(pi/180) cos(pi/180) + (cos^2(pi/180) + sin^2(pi/180))$
$= sin(pi/180) cos(pi/180) + 1$

所以，$S = frac{1 + sin(pi/180) cos(pi/180)}{4sin^2(pi/360)}$
使用半角公式 $1 cos(2 heta) = 2sin^2 heta$
$S = frac{2sin^2(pi/360) + sin(pi/180)}{2(1cos(pi/180))}$

有没有可能是题目本身就是错的？ 或者说，这个题目考查的是一个已知的数学常数？

思考一个非常简单的组合：
$sin 1^circ + sin 89^circ = sin 1^circ + cos 1^circ$
$sin 2^circ + sin 88^circ = sin 2^circ + cos 2^circ$
...
$sin 45^circ = sqrt{2}/2$
$sin 90^circ = 1$

一个常见的错误思路：认为 $sin 1^circ + sin 2^circ + dots + sin 90^circ$ 会等于 $90 imes (sin 1^circ + sin 90^circ) / 2$ 之类的算术平均。 那是绝对错的。

最终的答案可能是一个简单的数值。
经过仔细查证，这类三角求和，特别是等差角度的求和，最终的结果往往会化简到一个比较简洁的形式，而不包含复杂的三角函数。

重新使用 $frac{sin(nx/2)sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}$ 公式的结果：
$S = frac{sqrt{2}}{2} frac{sin(91pi/360)}{sin(pi/360)}$
$S = frac{sqrt{2}}{2} frac{sin(pi/4 + pi/360)}{sin(pi/360)}$
$S = frac{sqrt{2}}{2} frac{sin(pi/4)cos(pi/360) + cos(pi/4)sin(pi/360)}{sin(pi/360)}$
$S = frac{sqrt{2}}{2} (frac{sqrt{2}}{2}frac{cos(pi/360)}{sin(pi/360)} + frac{sqrt{2}}{2})$
$S = frac{1}{2} (cot(pi/360) + 1)$

这个结果的确是正确的数学推导。但是，如果题目要求的是一个简单的数值，那么 $cot(pi/360)$ 必须有简化的办法。

一种可能性：公式推导过程中的巧合。

考虑另一种复数求和的化简方式：
$Z = sum_{k=1}^{90} e^{i kpi/180}$
$Z = frac{1 e^{ipi}}{1 e^{ipi/180}} 1$ (因为我们要求的是从k=1开始，而等比数列求和公式通常是从k=0或k=1开始，这里我们实际计算的是 $e^{ipi/180} frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}}$)

正确应用公式是：
$Z = a frac{1r^n}{1r}$
$a = e^{ipi/180}$
$r = e^{ipi/180}$
$n = 90$
$Z = e^{ipi/180} frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}} = e^{ipi/180} frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = e^{ipi/180} frac{1 i}{1 e^{ipi/180}}$

为了获得虚部，我们可以写成：
$Z = frac{e^{ipi/180} i e^{ipi/180}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + isin(pi/180)) i(cos(pi/180) + isin(pi/180))}{1 (cos(pi/180) + isin(pi/180))}$
$Z = frac{cos(pi/180) + isin(pi/180) icos(pi/180) + sin(pi/180)}{(1 cos(pi/180)) isin(pi/180)}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + sin(pi/180)) + i(sin(pi/180) cos(pi/180))}{(1 cos(pi/180)) isin(pi/180)}$

对分子分母同时乘以共轭项 $(1 cos(pi/180)) + isin(pi/180)$：
分母 $= (1 cos(pi/180))^2 + sin^2(pi/180) = 2 2cos(pi/180)$。
分子 $= [(cos(pi/180) + sin(pi/180)) + i(sin(pi/180) cos(pi/180))] imes [(1 cos(pi/180)) + isin(pi/180)]$
展开分子实部（这是我们需要的部分）：
$(cos(pi/180) + sin(pi/180))(1 cos(pi/180)) (sin(pi/180) cos(pi/180))sin(pi/180)$
$= cos(pi/180) cos^2(pi/180) + sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180)$
$ (sin(pi/180)sin(pi/180) cos(pi/180)sin(pi/180))$
$= cos(pi/180) cos^2(pi/180) + sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180)$
$ sin^2(pi/180) + cos(pi/180)sin(pi/180)$
$= cos(pi/180) + sin(pi/180) (cos^2(pi/180) + sin^2(pi/180))$
$= cos(pi/180) + sin(pi/180) 1$

所以，$S = ext{Im}(Z) = frac{sin(pi/180) + cos(pi/180) 1}{2(1 cos(pi/180))}$
使用 $1 cos heta = 2sin^2( heta/2)$
分母 $= 2(2sin^2(pi/360)) = 4sin^2(pi/360)$。

分子 $= sin(pi/180) + cos(pi/180) 1$
$sin(pi/180) = 2sin(pi/360)cos(pi/360)$
$cos(pi/180) = 1 2sin^2(pi/360)$
分子 $= 2sin(pi/360)cos(pi/360) + (1 2sin^2(pi/360)) 1$
$= 2sin(pi/360)cos(pi/360) 2sin^2(pi/360)$
$= 2sin(pi/360)(cos(pi/360) sin(pi/360))$

所以，$S = frac{2sin(pi/360)(cos(pi/360) sin(pi/360))}{4sin^2(pi/360)}$
$S = frac{cos(pi/360) sin(pi/360)}{2sin(pi/360)}$
$S = frac{1}{2} (frac{cos(pi/360)}{sin(pi/360)} frac{sin(pi/360)}{sin(pi/360)})$
$S = frac{1}{2} (cot(pi/360) 1)$

前面算出来是 $+1$，这里是 $1$。哪里错了？

重新审视复数 $Z$ 的求和公式：
$Z = sum_{k=1}^{n} r^k = r frac{1r^n}{1r}$
$a = e^{ipi/180}$, $r = e^{ipi/180}$, $n=90$
$Z = e^{ipi/180} frac{1 (e^{ipi/180})^{90}}{1 e^{ipi/180}} = e^{ipi/180} frac{1 e^{ipi/2}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = e^{ipi/180} frac{1i}{1 e^{ipi/180}}$

为了提取虚部 $S = ext{Im}(Z)$。
$Z = frac{e^{ipi/180} i e^{ipi/180}}{1 e^{ipi/180}}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + isin(pi/180)) i(cos(pi/180) + isin(pi/180))}{1 (cos(pi/180) + isin(pi/180))}$
$Z = frac{(cos(pi/180) + sin(pi/180)) + i(sin(pi/180) cos(pi/180))}{(1 cos(pi/180)) isin(pi/180)}$

设 $A = cos(pi/180) + sin(pi/180)$
设 $B = sin(pi/180) cos(pi/180)$
设 $C = 1 cos(pi/180)$
设 $D = sin(pi/180)$
$Z = frac{A+iB}{C+iD}$
$S = ext{Im}(Z) = frac{BC AD}{C^2 + D^2}$
$C^2 + D^2 = (1 cos(pi/180))^2 + (sin(pi/180))^2 = 2 2cos(pi/180)$
$BC = (sin(pi/180) cos(pi/180))(1 cos(pi/180))$
$= sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) cos(pi/180) + cos^2(pi/180)$
$AD = (cos(pi/180) + sin(pi/180))(sin(pi/180))$
$= cos(pi/180)sin(pi/180) sin^2(pi/180)$

$BC AD = sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) cos(pi/180) + cos^2(pi/180) (cos(pi/180)sin(pi/180) sin^2(pi/180))$
$= sin(pi/180) sin(pi/180)cos(pi/180) cos(pi/180) + cos^2(pi/180)$
$+ cos(pi/180)sin(pi/180) + sin^2(pi/180)$
$= sin(pi/180) cos(pi/180) + (cos^2(pi/180) + sin^2(pi/180))$
$= sin(pi/180) cos(pi/180) + 1$

所以，$S = frac{1 + sin(pi/180) cos(pi/180)}{2 2cos(pi/180)}$
再次使用 $1 cos heta = 2sin^2( heta/2)$
分母 $= 2(1 cos(pi/180)) = 4sin^2(pi/360)$。
分子 $= (1 cos(pi/180)) + sin(pi/180)$
$= 2sin^2(pi/360) + 2sin(pi/360)cos(pi/360)$
$= 2sin(pi/360) (sin(pi/360) + cos(pi/360))$

$S = frac{2sin(pi/360) (sin(pi/360) + cos(pi/360))}{4sin^2(pi/360)}$
$S = frac{sin(pi/360) + cos(pi/360)}{2sin(pi/360)}$
$S = frac{1}{2} (1 + cot(pi/360))$

结论是 $frac{1}{2}(1 + cot(0.5^circ))$。

如果题目确实要求一个具体的数值，那么这个形式本身就需要进一步化简。但目前为止，所有正确的推导都导向这个结果。这表明，除非存在一个非常规的恒等式或者我忽略了什么，否则这个结果是最终的形式。

重要反思：
通常这类题目不会出现需要计算 $cot(0.5^circ)$ 这种无法具体简化的值，除非题目出自需要使用计算器的场景。如果题目来自数学竞赛或者教材练习，答案通常是整数或分数。

一个常见的技巧是配对求和：
$sin 1^circ + sin 89^circ = 2 sin 45^circ cos 44^circ = sqrt{2} cos 44^circ$
$sin 2^circ + sin 88^circ = 2 sin 45^circ cos 43^circ = sqrt{2} cos 43^circ$
$dots$
$sin 44^circ + sin 46^circ = 2 sin 45^circ cos 1^circ = sqrt{2} cos 1^circ$
$sin 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
$sin 90^circ = 1$

$S = sqrt{2}(cos 44^circ + cos 43^circ + dots + cos 1^circ) + frac{sqrt{2}}{2} + 1$
这个余弦求和项依然复杂。

最终的答案很可能是 $45.5$ 吗？
如果答案是 $45.5$，那么 $frac{1}{2}(1 + cot(0.5^circ)) = 45.5 implies 1 + cot(0.5^circ) = 91 implies cot(0.5^circ) = 90$。
$cot(0.5^circ) = 90$ 吗？ $ an(0.5^circ) approx 0.5 imes (pi/180) approx 0.5 imes 0.01745 approx 0.0087$
$cot(0.5^circ) approx 1/0.0087 approx 115$。 所以 $45.5$ 不对。

真相可能在于一个非常特殊的代数化简。
重新检查 $frac{sin(nx/2)sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}$ 这个公式的推导，它本身就是通过复数求和得到的。

一个可能的误区是，题目可能简化到了一个非常直观的整数，比如 45 或者 50。
如果考虑 $sum_{k=1}^{90} k = 90 imes 91 / 2 = 4095$ 这个数字没啥意义。

总结：
经过多种方法的尝试，从复数求和到三角函数求和公式，结果都指向 $frac{1}{2} (1 + cot(pi/360))$。如果题目需要一个数值答案，并且是在不需要计算器的情况下完成，那么这里一定有一个巧妙的简化步骤被忽略了。但根据常见的三角函数求和问题，这个形式本身就是它的最终答案。 除非有特殊的恒等式或者题目本身有更简单的切入点。

但是，我想到了一个可能简化这个结果的思路。
我们计算的是 $sin 1^circ + sin 2^circ + dots + sin 90^circ$。
考虑所有 $1^circ$ 到 $179^circ$ 的正弦值求和 $sum_{k=1}^{179} sin k^circ$。
$sin k^circ = sin (180^circ k^circ)$
$sin 1^circ + sin 179^circ = 2 sin 1^circ$
$sin 89^circ + sin 91^circ = 2 sin 89^circ$
$sin 90^circ$ 是中间项。
$sum_{k=1}^{179} sin k^circ = 2 sum_{k=1}^{89} sin k^circ + sin 90^circ$
这里我们可以用 $sum_{k=1}^{n} sin(kx) = frac{sin(nx/2)sin((n+1)x/2)}{sin(x/2)}$。
对于 $sum_{k=1}^{89} sin k^circ$ ($n=89, x=pi/180$)
$frac{sin(89pi/360)sin(90pi/360)}{sin(pi/360)} = frac{sin(89pi/360)sin(pi/2)}{sin(pi/360)} = frac{sin(89pi/360)}{sin(pi/360)}$
$sin(89pi/360) = sin(pi/2 pi/360) = cos(pi/360)$.
所以 $sum_{k=1}^{89} sin k^circ = frac{cos(pi/360)}{sin(pi/360)} = cot(pi/360)$.
那么 $sum_{k=1}^{179} sin k^circ = 2cot(pi/360) + 1$.

这也没有帮助我们简化我们的目标和。

最后的结论是，按照标准的数学推导，结果为 $frac{1}{2}(1 + cot(0.5^circ))$。 除非有隐藏的、非常特殊的三角恒等式能化简它，否则这就是答案的最终形式。如果题目确实要求一个简单的数值，那可能是这道题目本身的一个约定俗成的简化方式，或者它就是为了让你认识到这个形式。

这是一类很经典的题型，更一般地是形如 的式子，即三角函数里的角呈等差数列。自主招生中，这种题的一般做法(甚至是考试的唯一做法)是：乘以半公差的正弦，再积化和差，错位相减^[1]。让我们乘以 即

进而

对于这道题，应该有

—————————————2021.02.28———————————————

看到有小朋友在追更，其实我在想这有啥可更的，标准的复数做法其它答案里都有了。那我就介绍个有物理背景的例题吧。

假设一个质量为 的小球锁定在一个半径为 的竖直圆轨道上，以恒定速率 运动。已知动摩擦因素为 问小球从最低点运动到最右端的过程中，摩擦力做了多少功？

显然我们需要使用一些手段求变力做功。早些年竞赛会率先考虑微元法。将半个圆周均匀细分为 等份，每段弧长为 所对圆心角为 在每段圆弧上运动时，认为轨道支持力恒为 因而摩擦力为 做功由 给出。设下半圆上的一点 其中 与水平线夹角设为 受力分析得到

我们每一小段的做功全部加起来

其实学过定积分的小朋友就应该清楚了，这其实就是用定义法去求

—————————————2021.06.12———————————————

又有小朋友在追更呐=_= 那我再给个有趣的结论吧.

注意前面的结果即

我们将第二个 拆开可得到

这意味着具有上下界. 结论是边界为

和

参考

1. ^ 我看评论里有说是裂项相消的，其实区别真的不大，实际上都只是求和符号的哑元替换而已，没啥好争论的。