怎么求lnsinx在0到pi/2的积分啊？
好的，我们来详细讲解如何求解 $int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
这是一个经典的积分问题，它涉及到特殊函数，通常称为狄利克雷积分 (Dirichlet integral) 的一个变种。直接使用初等函数的积分技巧会比较困难，但通过一些巧妙的替换和性质，我们可以求解它。
求解步骤：
第一步：定义积分并进行初步分析
设待求积分为 $I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
我们观察到被积函数 $ln(sin x)$ 在积分区间 $[0, pi/2]$ 上的性质：
当 $x o 0^+$ 时，$sin x o 0^+$，$ln(sin x) o infty$。这意味着这是一个瑕积分，我们需要确保积分收敛。
当 $x = pi/2$ 时，$sin x = 1$，$ln(sin x) = ln(1) = 0$。
在 $(0, pi/2]$ 区间内，$sin x > 0$，所以 $ln(sin x)$ 是有定义的。
第二步：利用积分的对称性或替换
为了处理这个积分，我们常常使用变量替换。一个常用的替换是 $x o pi/2 u$。
令 $x = pi/2 u$。
则 $dx = du$。
当 $x = 0$ 时，$u = pi/2$。
当 $x = pi/2$ 时，$u = 0$。
将这些代入积分 $I$ 中：
$I = int_{pi/2}^0 ln(sin(pi/2 u)) , (du)$
利用三角恒等式 $sin(pi/2 u) = cos u$：
$I = int_{pi/2}^0 ln(cos u) , (du)$
交换积分上下限并去掉负号：
$I = int_0^{pi/2} ln(cos u) , du$
我们将积分变量从 $x$ 改为 $u$ 或者 $t$ 都是等价的，所以我们也可以写成：
$I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
现在我们有了两个形式相同的积分：
$I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$
$I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
第三步：将两个积分相加
将这两个表达式相加：
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx + int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin x) + ln(cos x)) , dx$
利用对数性质 $ln a + ln b = ln(ab)$：
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin x cos x) , dx$
第四步：进一步利用三角恒等式
我们知道双角公式 $sin(2x) = 2 sin x cos x$。
因此，$sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$。
代入积分：
$2I = int_0^{pi/2} lnleft(frac{1}{2} sin(2x) ight) , dx$
再次利用对数性质 $ln(ab) = ln a + ln b$：
$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin(2x)) + ln(1/2)) , dx$
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx + int_0^{pi/2} ln(1/2) , dx$
计算第二个积分：
$int_0^{pi/2} ln(1/2) , dx = ln(1/2) int_0^{pi/2} 1 , dx = ln(1/2) cdot [x]_0^{pi/2} = ln(1/2) cdot (pi/2 0) = frac{pi}{2} ln 2$
所以，
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx frac{pi}{2} ln 2$
第五步：处理新的积分 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$
我们对积分 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$ 使用变量替换。
令 $t = 2x$。
则 $dt = 2 , dx$，即 $dx = frac{1}{2} dt$。
当 $x = 0$ 时，$t = 0$。
当 $x = pi/2$ 时，$t = pi$。
代入积分：
$int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx = int_0^{pi} ln(sin t) , frac{1}{2} dt$
$= frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt$
第六步：利用对数积分的性质 $int_0^{pi} ln(sin x) , dx$
我们知道一个重要的性质是：
$int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$
证明这个性质（如果需要）：
令 $J = int_0^{pi} ln(sin x) , dx$。
使用替换 $x = pi u$，$dx = du$。
当 $x=0$ 时，$u=pi$。
当 $x=pi$ 时，$u=0$。
$J = int_{pi}^0 ln(sin(piu)) (du) = int_0^{pi} ln(sin u) , du = int_0^{pi} ln(sin x) , dx$ (变量名无关紧要)。
这是对的，但是没有帮助。
我们应该使用这个性质：
$int_0^{pi} f(x) dx = int_0^{a} f(x) dx + int_a^{2a} f(x) dx$
对于 $int_0^{2a} f(x) dx$，如果有 $f(2ax) = f(x)$，那么 $int_0^{2a} f(x) dx = 2 int_0^a f(x) dx$。
这里我们的被积函数是 $ln(sin x)$，区间是 $[0, pi]$。设 $a = pi/2$，则 $2a = pi$。
我们需要检查 $ln(sin(pi x))$ 和 $ln(sin x)$ 的关系。
$sin(pi x) = sin x$。
所以 $ln(sin(pi x)) = ln(sin x)$。
因此，$int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
所以，$frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt = frac{1}{2} left( 2 int_0^{pi/2} ln(sin t) , dt ight) = int_0^{pi/2} ln(sin t) , dt = I$。
将此结果代回第五步的方程：
$2I = I frac{pi}{2} ln 2$
第七步：求解 $I$
从上面的方程，我们可以直接解出 $I$：
$2I I = frac{pi}{2} ln 2$
$I = frac{pi}{2} ln 2$
总结整个推导过程：
1. 设 $I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
2. 利用变量替换 $x = pi/2 u$，得到 $I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$。
3. 相加两个积分：$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin x) + ln(cos x)) , dx = int_0^{pi/2} ln(sin x cos x) , dx$。
4. 利用 $sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$，得到 $2I = int_0^{pi/2} ln(frac{1}{2} sin(2x)) , dx = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx int_0^{pi/2} ln 2 , dx$。
5. 计算常数项积分：$int_0^{pi/2} ln 2 , dx = frac{pi}{2} ln 2$。
6. 处理 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$：通过令 $t=2x$，得到 $frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt$。
7. 利用 $int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx = 2I$，所以 $frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt = I$。
8. 将所有结果代回：$2I = I frac{pi}{2} ln 2$。
9. 解得 $I = frac{pi}{2} ln 2$。
最终答案：
$int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx = frac{pi}{2} ln 2$
关于瑕积分收敛性的说明：
这个积分之所以能收敛，是因为当 $x o 0^+$ 时，$sin x approx x$。
所以 $ln(sin x) approx ln x$。
积分 $int_0^{epsilon} ln x , dx$ 是收敛的。我们可以计算它：
$int_0^{epsilon} ln x , dx = [x ln x x]_0^{epsilon} = (epsilon ln epsilon epsilon) lim_{x o 0^+} (x ln x x)$。
$lim_{x o 0^+} x ln x = lim_{x o 0^+} frac{ln x}{1/x} = lim_{x o 0^+} frac{1/x}{1/x^2} = lim_{x o 0^+} (x) = 0$。
所以 $int_0^{epsilon} ln x , dx = epsilon ln epsilon epsilon$。
当 $epsilon o 0^+$ 时，$epsilon ln epsilon o 0$，所以积分收敛到 0。
因此，原积分是收敛的。
希望这个详细的解释能够帮助你理解这个积分的求解过程！
这是一个经典的积分问题，它涉及到特殊函数，通常称为狄利克雷积分 (Dirichlet integral) 的一个变种。直接使用初等函数的积分技巧会比较困难，但通过一些巧妙的替换和性质，我们可以求解它。
求解步骤：
第一步：定义积分并进行初步分析
设待求积分为 $I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
我们观察到被积函数 $ln(sin x)$ 在积分区间 $[0, pi/2]$ 上的性质：
当 $x o 0^+$ 时，$sin x o 0^+$，$ln(sin x) o infty$。这意味着这是一个瑕积分，我们需要确保积分收敛。
当 $x = pi/2$ 时，$sin x = 1$，$ln(sin x) = ln(1) = 0$。
在 $(0, pi/2]$ 区间内，$sin x > 0$，所以 $ln(sin x)$ 是有定义的。
第二步：利用积分的对称性或替换
为了处理这个积分，我们常常使用变量替换。一个常用的替换是 $x o pi/2 u$。
令 $x = pi/2 u$。
则 $dx = du$。
当 $x = 0$ 时，$u = pi/2$。
当 $x = pi/2$ 时，$u = 0$。
将这些代入积分 $I$ 中：
$I = int_{pi/2}^0 ln(sin(pi/2 u)) , (du)$
利用三角恒等式 $sin(pi/2 u) = cos u$：
$I = int_{pi/2}^0 ln(cos u) , (du)$
交换积分上下限并去掉负号：
$I = int_0^{pi/2} ln(cos u) , du$
我们将积分变量从 $x$ 改为 $u$ 或者 $t$ 都是等价的，所以我们也可以写成：
$I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
现在我们有了两个形式相同的积分：
$I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$
$I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
第三步：将两个积分相加
将这两个表达式相加：
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx + int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$
$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin x) + ln(cos x)) , dx$
利用对数性质 $ln a + ln b = ln(ab)$：
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin x cos x) , dx$
第四步：进一步利用三角恒等式
我们知道双角公式 $sin(2x) = 2 sin x cos x$。
因此，$sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$。
代入积分：
$2I = int_0^{pi/2} lnleft(frac{1}{2} sin(2x) ight) , dx$
再次利用对数性质 $ln(ab) = ln a + ln b$：
$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin(2x)) + ln(1/2)) , dx$
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx + int_0^{pi/2} ln(1/2) , dx$
计算第二个积分：
$int_0^{pi/2} ln(1/2) , dx = ln(1/2) int_0^{pi/2} 1 , dx = ln(1/2) cdot [x]_0^{pi/2} = ln(1/2) cdot (pi/2 0) = frac{pi}{2} ln 2$
所以，
$2I = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx frac{pi}{2} ln 2$
第五步：处理新的积分 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$
我们对积分 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$ 使用变量替换。
令 $t = 2x$。
则 $dt = 2 , dx$，即 $dx = frac{1}{2} dt$。
当 $x = 0$ 时，$t = 0$。
当 $x = pi/2$ 时，$t = pi$。
代入积分：
$int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx = int_0^{pi} ln(sin t) , frac{1}{2} dt$
$= frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt$
第六步：利用对数积分的性质 $int_0^{pi} ln(sin x) , dx$
我们知道一个重要的性质是：
$int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$
证明这个性质（如果需要）：
令 $J = int_0^{pi} ln(sin x) , dx$。
使用替换 $x = pi u$，$dx = du$。
当 $x=0$ 时，$u=pi$。
当 $x=pi$ 时，$u=0$。
$J = int_{pi}^0 ln(sin(piu)) (du) = int_0^{pi} ln(sin u) , du = int_0^{pi} ln(sin x) , dx$ (变量名无关紧要)。
这是对的，但是没有帮助。
我们应该使用这个性质：
$int_0^{pi} f(x) dx = int_0^{a} f(x) dx + int_a^{2a} f(x) dx$
对于 $int_0^{2a} f(x) dx$，如果有 $f(2ax) = f(x)$，那么 $int_0^{2a} f(x) dx = 2 int_0^a f(x) dx$。
这里我们的被积函数是 $ln(sin x)$，区间是 $[0, pi]$。设 $a = pi/2$，则 $2a = pi$。
我们需要检查 $ln(sin(pi x))$ 和 $ln(sin x)$ 的关系。
$sin(pi x) = sin x$。
所以 $ln(sin(pi x)) = ln(sin x)$。
因此，$int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
所以，$frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt = frac{1}{2} left( 2 int_0^{pi/2} ln(sin t) , dt ight) = int_0^{pi/2} ln(sin t) , dt = I$。
将此结果代回第五步的方程：
$2I = I frac{pi}{2} ln 2$
第七步：求解 $I$
从上面的方程，我们可以直接解出 $I$：
$2I I = frac{pi}{2} ln 2$
$I = frac{pi}{2} ln 2$
总结整个推导过程：
1. 设 $I = int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx$。
2. 利用变量替换 $x = pi/2 u$，得到 $I = int_0^{pi/2} ln(cos x) , dx$。
3. 相加两个积分：$2I = int_0^{pi/2} (ln(sin x) + ln(cos x)) , dx = int_0^{pi/2} ln(sin x cos x) , dx$。
4. 利用 $sin x cos x = frac{1}{2} sin(2x)$，得到 $2I = int_0^{pi/2} ln(frac{1}{2} sin(2x)) , dx = int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx int_0^{pi/2} ln 2 , dx$。
5. 计算常数项积分：$int_0^{pi/2} ln 2 , dx = frac{pi}{2} ln 2$。
6. 处理 $int_0^{pi/2} ln(sin(2x)) , dx$：通过令 $t=2x$，得到 $frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt$。
7. 利用 $int_0^{pi} ln(sin x) , dx = 2 int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx = 2I$，所以 $frac{1}{2} int_0^{pi} ln(sin t) , dt = I$。
8. 将所有结果代回：$2I = I frac{pi}{2} ln 2$。
9. 解得 $I = frac{pi}{2} ln 2$。
最终答案：
$int_0^{pi/2} ln(sin x) , dx = frac{pi}{2} ln 2$
关于瑕积分收敛性的说明：
这个积分之所以能收敛，是因为当 $x o 0^+$ 时，$sin x approx x$。
所以 $ln(sin x) approx ln x$。
积分 $int_0^{epsilon} ln x , dx$ 是收敛的。我们可以计算它：
$int_0^{epsilon} ln x , dx = [x ln x x]_0^{epsilon} = (epsilon ln epsilon epsilon) lim_{x o 0^+} (x ln x x)$。
$lim_{x o 0^+} x ln x = lim_{x o 0^+} frac{ln x}{1/x} = lim_{x o 0^+} frac{1/x}{1/x^2} = lim_{x o 0^+} (x) = 0$。
所以 $int_0^{epsilon} ln x , dx = epsilon ln epsilon epsilon$。
当 $epsilon o 0^+$ 时，$epsilon ln epsilon o 0$，所以积分收敛到 0。
因此，原积分是收敛的。
希望这个详细的解释能够帮助你理解这个积分的求解过程！
网友意见
令 ，
则
故 .
这类积分太常见了，赶紧借这个问题码起来几个(由易到难)
下文中 是卡塔兰常数
是罗巴切夫斯基函数 ：
正文：
申明：
1.这就是照着书码的字(部分刻意默写训练，如错提醒)
2.照着书码字而不直接拍是为了方便看的更清楚，希望不要冷嘲热讽。
如有乱码，见图
如何解决乱码有大佬知道吗/哭
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