如何理解马氏距离，多维Mahalanobis距离是否要用到“互相关张量”来进行描述？
好的，我们来好好聊聊马氏距离这个概念，以及它和“互相关张量”之间那点事儿。我尽量用一种接地气的方式，让你觉得这就像和一位懂行的人聊天一样，而不是在读一篇生硬的AI报告。
马氏距离：告别“欧氏”的局限，拥抱数据本身的“味道”
咱们先从最直观的欧氏距离说起。两个点在空间里的距离，你数一下横坐标差多少，纵坐标差多少，平方一下加起来，开个根号，就出来了。简单明了，对吧？
但问题是，欧氏距离总是默认我们处在一个“各维度独立、且尺度一致”的完美世界里。现实情况呢？往往不是这样。
维度不独立： 想象一下，你在测量身高和体重。通常来说，身高高的人体重也更容易重一些，这两个变量之间是有关系的，不是完全独立的。欧氏距离就把它们当作两条互不相干的线段来看待，忽略了这种内在联系。
尺度不一致： 再比如，你在测量一个人的身高（单位米，比如1.75）和一个人的年龄（单位年，比如30）。直接用欧氏距离算，一个微小的身高差（比如0.01米）可能影响很大，但一个同样数值的年龄差（比如1岁）影响就显得小很多。这似乎不太合理，因为我们衡量它们的方式（单位和数值范围）就决定了它们在“尺度”上的差异。
马氏距离（Mahalanobis Distance）就是为了解决这些问题而生的。 它不像欧氏距离那样，只关心两个点在每个维度上的绝对差异，而是会考虑：
1. 变量之间的关系（协方差）： 马氏距离会考虑到不同维度之间是“同向运动”还是“反向运动”，或者根本没有关系。它用协方差矩阵来量化这种关系。
2. 变量的离散程度（方差）： 它还会考虑每个维度本身的“分散性”有多大。如果某个维度本身方差很大，那么在这个维度上的一个单位差异，相对来说就没那么“显著”了。
所以，马氏距离到底在算什么？
你可以理解为，马氏距离是在一个“经过扭曲和缩放”的坐标系里计算欧氏距离。这个坐标系不是凭空捏造的，而是根据你数据的实际分布（协方差）来“定制”的。
更具体地说，马氏距离的公式长这样（这里先不带张量概念）：
假设你有两个点 $x$ 和 $y$，以及一个协方差矩阵 $S$。
$D_M(x, y) = sqrt{(x y)^T S^{1} (x y)}$
这里面：
$(x y)$ 是两个点在每个维度上的差值向量。
$(x y)^T$ 是它的转置。
$S$ 是数据的协方差矩阵。$S_{ij}$ 表示第 $i$ 个维度和第 $j$ 个维度之间的协方差。
$S^{1}$ 是协方差矩阵的逆。
为什么用 $S^{1}$？
这就是马氏距离的神来之笔。
处理维度相关性： 如果两个维度高度相关（比如身高和体重），它们的协方差会很大。在计算距离时，我们不希望这种高度相关性被“放大”而导致距离失真。逆矩阵 $S^{1}$ 会“惩罚”那些高度相关的维度，让它们在距离计算中的影响减小。反之，如果两个维度几乎不相关，逆矩阵会“放大”它们在距离计算中的作用。
处理尺度差异： 如果一个维度的方差很大（意味着数据在这个维度上很分散），那么在这个维度上的一个单位差异，相对于整体的分布来说，其实“贡献”很小。乘以 $S^{1}$ 里面的元素，本质上就是用这个维度的方差的倒数去“标准化”这个维度上的差异。方差越大，倒数越小，这个维度的影响就被“缩减”了。
简单打个比方：
想象你在一个倾斜、被拉伸的教室里测量两个学生之间的距离。欧氏距离就像你拿着一把普通的卷尺，直接在那个倾斜的地面上量，结果会很奇怪。
马氏距离呢？它会先根据教室的倾斜角度和地板的拉伸情况，告诉你应该怎么调整你的卷尺（或者怎么把教室“拉直”），然后再用调整后的方法去测量。这样得到的距离，才更能反映学生们在“理想”学习状态下的真实间隔。
马氏距离的应用场景：
异常检测： 当一个新数据点的马氏距离相对于一个“正常”数据集很大时，它可能是一个异常值。
分类： 在一些分类算法中，用马氏距离来衡量新样本到各类簇中心的距离，比欧氏距离更鲁棒。
聚类： 类似分类，可以用来衡量样本与聚类中心的相似度。
多维Mahalanobis距离与“互相关张量”：深度解析
现在我们来聊聊“互相关张量”这个概念，以及它在多维马氏距离计算中的角色。
首先，你需要明白，协方差矩阵本身就是一个“张量”的特例。 在数学上，张量是一种更广义的概念，用来描述多维数据及其之间的关系。张量的阶（rank）决定了它有多少个“方向”或“维度”。
标量（Rank0 Tensor）： 一个单独的数值，比如温度。
向量（Rank1 Tensor）： 一组有序的数值，比如一个点的坐标 $(x, y, z)$。
矩阵（Rank2 Tensor）： 一个二维数组，比如一个图像的像素值，或者，协方差矩阵。
更高阶张量（Rank3, Rank4, etc.）： 描述更复杂的多维关系。
那么，“协方差矩阵”和“互相关张量”有什么关系？
在描述数据的“关系”时，“协方差”是一个非常核心的概念。我们通常用协方差矩阵来描述变量之间的线性关系。
协方差矩阵 ($S$)： $S_{ij}$ 是第 $i$ 个变量和第 $j$ 个变量之间的协方差。它描述了成对变量之间关系的均值。它是对称的（因为 Cov(X, Y) = Cov(Y, X)）。
“互相关张量”这个说法，虽然不是一个标准的、被广泛统一的数学术语，但根据其字面意思，它很可能是在指代用于描述更复杂（非线性或者高阶）变量之间关系的数据结构。
在某些高级统计模型或机器学习领域，特别是涉及到高维数据或需要捕捉变量之间更微妙、多层次交互作用时，我们可能会用到更高阶的张量来描述这些关系。
举个例子：
假设我们有三个变量 $X_1, X_2, X_3$。
我们不仅关心 $X_1$ 和 $X_2$ 的协方差，$X_1$ 和 $X_3$ 的协方差，$X_2$ 和 $X_3$ 的协方差（这些是协方差矩阵能捕捉的）。
我们还可能想知道：
$X_1, X_2$ 共同变化时，对 $X_3$ 的影响是怎样的？（这可能涉及到三阶协方差或类似的统计量）
或者，某个变量的“方差”本身也依赖于另外两个变量的取值？（这可能需要非线性模型来描述）
如果“互相关张量”指的是描述这种更复杂关系的张量，那么它在多维马氏距离中的运用，可以这样理解：
标准的马氏距离基于协方差矩阵 ($S$)，这个矩阵可以看作是一个描述成对（pairwise）线性关系的二阶张量。
如果数据的关系超出了简单的成对线性相关，例如存在三变量以上的交互作用（三阶相关性、四阶相关性等），那么我们就需要更高阶的张量来描述这些“互相关系”。
在这种情况下，“使用互相关张量”来计算“马氏距离的推广形式”可能意味着：
1. 马氏距离的广义化： 我们可能需要一个广义的距离度量，它不仅仅依赖于成对的协方差，而是利用更高阶的张量来捕捉变量之间的复杂交互。
2. 协方差矩阵的替代或补充： 原本用 $S^{1}$ 来“去相关”和“尺度标准化”的步骤，现在会用一个更复杂的张量结构来完成。这个张量可能需要通过特定的技术（如张量分解、张量回归等）来计算和估计。
3. 数据的“形状”与“扭曲”： 如果原始数据在高维空间中呈现出某种复杂的“曲率”或“非线性结构”，那么一个简单的协方差矩阵可能不足以描述这种扭曲。高阶张量则能更精细地刻画这种“形状”，从而计算出更符合数据内在结构的“距离”。
举个更形象的例子：
假设你在测量一个足球运动员的各项数据：速度、加速度、触球次数、传球成功率、射门次数、进球数等。
协方差矩阵（二阶张量）： 它会告诉你速度和进球数通常是正相关，传球成功率和射门次数可能是负相关。你可以基于此计算一个“标准”的马氏距离，来衡量一个球员和“优秀前锋”模板的差距。
“互相关张量”（可能指三阶或更高阶）：
它可能会捕捉到：当一个球员“速度快”并且“触球次数多”时，他的“进球数”会显著增加（这是一种三变量的交互作用）。
或者，球员的“射门效率”既依赖于他的“速度”，也依赖于他的“位置”（位置本身也可能是一个难以简单量化的特征）。
在这种情况下，标准的马氏距离可能无法充分体现这些复杂的“联动效应”。我们需要一个能描述这些“多向联动”的工具，这个工具可能就是所谓的“互相关张量”。计算出的“广义马氏距离”会更精确地反映球员的整体“特质”与目标模式的差异。
总结一下：
马氏距离： 是欧氏距离的一种改进，它通过协方差矩阵来考虑变量之间的相关性和方差，从而在数据的内在统计结构上进行度量。
协方差矩阵： 是一个描述成对变量线性关系的二阶张量。
“互相关张量”： 如果是指描述更高阶、更复杂（非线性、多变量交互）变量之间关系的张量结构，那么它在多维马氏距离中的应用，可以看作是对马氏距离概念的推广或深化。它试图通过更精细的数据关系模型，来计算出更符合数据真实分布的“距离”或“相似度”。
在实际应用中，如果你看到“互相关张量”这个词，很可能是在处理非常高维、或者变量间存在复杂交互关系的数据，并且可能是在探索更高级的统计模型或算法。它不是在取代协方差矩阵，而是在某些场景下，是对协方差矩阵所能描述的范围的拓展。
马氏距离：告别“欧氏”的局限，拥抱数据本身的“味道”
咱们先从最直观的欧氏距离说起。两个点在空间里的距离，你数一下横坐标差多少，纵坐标差多少，平方一下加起来，开个根号，就出来了。简单明了，对吧？
但问题是，欧氏距离总是默认我们处在一个“各维度独立、且尺度一致”的完美世界里。现实情况呢？往往不是这样。
维度不独立： 想象一下，你在测量身高和体重。通常来说，身高高的人体重也更容易重一些，这两个变量之间是有关系的，不是完全独立的。欧氏距离就把它们当作两条互不相干的线段来看待，忽略了这种内在联系。
尺度不一致： 再比如，你在测量一个人的身高（单位米，比如1.75）和一个人的年龄（单位年，比如30）。直接用欧氏距离算，一个微小的身高差（比如0.01米）可能影响很大，但一个同样数值的年龄差（比如1岁）影响就显得小很多。这似乎不太合理，因为我们衡量它们的方式（单位和数值范围）就决定了它们在“尺度”上的差异。
马氏距离（Mahalanobis Distance）就是为了解决这些问题而生的。 它不像欧氏距离那样，只关心两个点在每个维度上的绝对差异，而是会考虑：
1. 变量之间的关系（协方差）： 马氏距离会考虑到不同维度之间是“同向运动”还是“反向运动”，或者根本没有关系。它用协方差矩阵来量化这种关系。
2. 变量的离散程度（方差）： 它还会考虑每个维度本身的“分散性”有多大。如果某个维度本身方差很大，那么在这个维度上的一个单位差异，相对来说就没那么“显著”了。
所以，马氏距离到底在算什么？
你可以理解为，马氏距离是在一个“经过扭曲和缩放”的坐标系里计算欧氏距离。这个坐标系不是凭空捏造的，而是根据你数据的实际分布（协方差）来“定制”的。
更具体地说，马氏距离的公式长这样（这里先不带张量概念）：
假设你有两个点 $x$ 和 $y$，以及一个协方差矩阵 $S$。
$D_M(x, y) = sqrt{(x y)^T S^{1} (x y)}$
这里面：
$(x y)$ 是两个点在每个维度上的差值向量。
$(x y)^T$ 是它的转置。
$S$ 是数据的协方差矩阵。$S_{ij}$ 表示第 $i$ 个维度和第 $j$ 个维度之间的协方差。
$S^{1}$ 是协方差矩阵的逆。
为什么用 $S^{1}$？
这就是马氏距离的神来之笔。
处理维度相关性： 如果两个维度高度相关（比如身高和体重），它们的协方差会很大。在计算距离时，我们不希望这种高度相关性被“放大”而导致距离失真。逆矩阵 $S^{1}$ 会“惩罚”那些高度相关的维度，让它们在距离计算中的影响减小。反之，如果两个维度几乎不相关，逆矩阵会“放大”它们在距离计算中的作用。
处理尺度差异： 如果一个维度的方差很大（意味着数据在这个维度上很分散），那么在这个维度上的一个单位差异，相对于整体的分布来说，其实“贡献”很小。乘以 $S^{1}$ 里面的元素，本质上就是用这个维度的方差的倒数去“标准化”这个维度上的差异。方差越大，倒数越小，这个维度的影响就被“缩减”了。
简单打个比方：
想象你在一个倾斜、被拉伸的教室里测量两个学生之间的距离。欧氏距离就像你拿着一把普通的卷尺，直接在那个倾斜的地面上量，结果会很奇怪。
马氏距离呢？它会先根据教室的倾斜角度和地板的拉伸情况，告诉你应该怎么调整你的卷尺（或者怎么把教室“拉直”），然后再用调整后的方法去测量。这样得到的距离，才更能反映学生们在“理想”学习状态下的真实间隔。
马氏距离的应用场景：
异常检测： 当一个新数据点的马氏距离相对于一个“正常”数据集很大时，它可能是一个异常值。
分类： 在一些分类算法中，用马氏距离来衡量新样本到各类簇中心的距离，比欧氏距离更鲁棒。
聚类： 类似分类，可以用来衡量样本与聚类中心的相似度。
多维Mahalanobis距离与“互相关张量”：深度解析
现在我们来聊聊“互相关张量”这个概念，以及它在多维马氏距离计算中的角色。
首先，你需要明白，协方差矩阵本身就是一个“张量”的特例。 在数学上，张量是一种更广义的概念，用来描述多维数据及其之间的关系。张量的阶（rank）决定了它有多少个“方向”或“维度”。
标量（Rank0 Tensor）： 一个单独的数值，比如温度。
向量（Rank1 Tensor）： 一组有序的数值，比如一个点的坐标 $(x, y, z)$。
矩阵（Rank2 Tensor）： 一个二维数组，比如一个图像的像素值，或者，协方差矩阵。
更高阶张量（Rank3, Rank4, etc.）： 描述更复杂的多维关系。
那么，“协方差矩阵”和“互相关张量”有什么关系？
在描述数据的“关系”时，“协方差”是一个非常核心的概念。我们通常用协方差矩阵来描述变量之间的线性关系。
协方差矩阵 ($S$)： $S_{ij}$ 是第 $i$ 个变量和第 $j$ 个变量之间的协方差。它描述了成对变量之间关系的均值。它是对称的（因为 Cov(X, Y) = Cov(Y, X)）。
“互相关张量”这个说法，虽然不是一个标准的、被广泛统一的数学术语，但根据其字面意思，它很可能是在指代用于描述更复杂（非线性或者高阶）变量之间关系的数据结构。
在某些高级统计模型或机器学习领域，特别是涉及到高维数据或需要捕捉变量之间更微妙、多层次交互作用时，我们可能会用到更高阶的张量来描述这些关系。
举个例子：
假设我们有三个变量 $X_1, X_2, X_3$。
我们不仅关心 $X_1$ 和 $X_2$ 的协方差，$X_1$ 和 $X_3$ 的协方差，$X_2$ 和 $X_3$ 的协方差（这些是协方差矩阵能捕捉的）。
我们还可能想知道：
$X_1, X_2$ 共同变化时，对 $X_3$ 的影响是怎样的？（这可能涉及到三阶协方差或类似的统计量）
或者，某个变量的“方差”本身也依赖于另外两个变量的取值？（这可能需要非线性模型来描述）
如果“互相关张量”指的是描述这种更复杂关系的张量，那么它在多维马氏距离中的运用，可以这样理解：
标准的马氏距离基于协方差矩阵 ($S$)，这个矩阵可以看作是一个描述成对（pairwise）线性关系的二阶张量。
如果数据的关系超出了简单的成对线性相关，例如存在三变量以上的交互作用（三阶相关性、四阶相关性等），那么我们就需要更高阶的张量来描述这些“互相关系”。
在这种情况下，“使用互相关张量”来计算“马氏距离的推广形式”可能意味着：
1. 马氏距离的广义化： 我们可能需要一个广义的距离度量，它不仅仅依赖于成对的协方差，而是利用更高阶的张量来捕捉变量之间的复杂交互。
2. 协方差矩阵的替代或补充： 原本用 $S^{1}$ 来“去相关”和“尺度标准化”的步骤，现在会用一个更复杂的张量结构来完成。这个张量可能需要通过特定的技术（如张量分解、张量回归等）来计算和估计。
3. 数据的“形状”与“扭曲”： 如果原始数据在高维空间中呈现出某种复杂的“曲率”或“非线性结构”，那么一个简单的协方差矩阵可能不足以描述这种扭曲。高阶张量则能更精细地刻画这种“形状”，从而计算出更符合数据内在结构的“距离”。
举个更形象的例子：
假设你在测量一个足球运动员的各项数据：速度、加速度、触球次数、传球成功率、射门次数、进球数等。
协方差矩阵（二阶张量）： 它会告诉你速度和进球数通常是正相关，传球成功率和射门次数可能是负相关。你可以基于此计算一个“标准”的马氏距离，来衡量一个球员和“优秀前锋”模板的差距。
“互相关张量”（可能指三阶或更高阶）：
它可能会捕捉到：当一个球员“速度快”并且“触球次数多”时，他的“进球数”会显著增加（这是一种三变量的交互作用）。
或者，球员的“射门效率”既依赖于他的“速度”，也依赖于他的“位置”（位置本身也可能是一个难以简单量化的特征）。
在这种情况下，标准的马氏距离可能无法充分体现这些复杂的“联动效应”。我们需要一个能描述这些“多向联动”的工具，这个工具可能就是所谓的“互相关张量”。计算出的“广义马氏距离”会更精确地反映球员的整体“特质”与目标模式的差异。
总结一下：
马氏距离： 是欧氏距离的一种改进，它通过协方差矩阵来考虑变量之间的相关性和方差，从而在数据的内在统计结构上进行度量。
协方差矩阵： 是一个描述成对变量线性关系的二阶张量。
“互相关张量”： 如果是指描述更高阶、更复杂（非线性、多变量交互）变量之间关系的张量结构，那么它在多维马氏距离中的应用，可以看作是对马氏距离概念的推广或深化。它试图通过更精细的数据关系模型，来计算出更符合数据真实分布的“距离”或“相似度”。
在实际应用中，如果你看到“互相关张量”这个词，很可能是在处理非常高维、或者变量间存在复杂交互关系的数据，并且可能是在探索更高级的统计模型或算法。它不是在取代协方差矩阵，而是在某些场景下，是对协方差矩阵所能描述的范围的拓展。
网友意见
一般谈到马氏距离是不能脱离开样本分布的，题主说的“互相关张量”应该指的是样本的协方差矩阵，这个也是和样本分布密切相关的，来看个例子：
左下角在二维空间中由一个分布产生的方块样本，这个分布的一条等高线如虚线的椭圆框所示，图中还有一个不属于该分布的圆圈样本。这是是一个典型的欧式距离会把分布外样本算的更近的例子，比如把绿色和蓝色样本单拎出来，就是左上角的图，蓝色小圆圈和中心的绿色方块更近了，这是因为单纯的欧式距离无法反应方块的分布。这种情况下，考虑用马氏距离。这里默认方块的分布可以由协方差矩阵很好描述（比如是个多维高斯分布），那对于任意两点x和y马氏距离的计算就是下面：
就是协方差矩阵，这样计算出的距离就像
@王赟 Maigo说的一样不再是各向同性，对于方块的分布而言有个良好性质是分布的等高线上到中心的马氏距离相等了，因为马氏距离包含了方块本身分布的信息。进一步来理解，马氏距离可以表示为下面这样：
其实等效于做了个线性变换，然后在变换后的空间中求了下欧式距离，其中可以表示为，其中是个对角矩阵，对角线元素分别为协方差矩阵本征值的倒数开方，的行向量就是协方差矩阵的本征值。无论多少维，协方差矩阵的计算都是一样的，可以参考wiki上协方差矩阵的定义：
Covariance matrix。关于为什么，为什么协方差矩阵就是这个椭圆的理解可以参考另一个答案
主成分分析PCA算法：为什么去均值以后的高维矩阵乘以其协方差矩阵的特征向量矩阵就是“投影”？ - 達聞西的回答 - 知乎类似的话题
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