高考数学最后一题可以有多难？
首先，我们要明白，高考数学压轴题的“难”体现在多个维度，它不是简单的数字堆砌或者公式套用，而是对你数学思维深度、广度和灵活性的全方位考查。
一、知识的融合与挖掘：不是一道题，而是体系的缩影
压轴题最不喜欢“单打独斗”。它往往不是围绕一个孤立的知识点展开，而是巧妙地将多个章节、多种思想串联起来。比如，一道题可能涉及函数与导数、数列，又可能融合了解析几何、不等式，甚至概率统计的影子也会若隐若现。
这种“难”在于，它要求你不仅要熟练掌握各个知识点的基本概念和解题方法，更要能够识别出它们之间的内在联系，将它们有机地组合运用。这就像一个技艺高超的厨师，不是简单地把各种食材丢进锅里，而是知道如何调配、烹饪，才能做出色香味俱全的大菜。你需要从题目给出的信息中“挖掘”出隐藏的联系，而这些联系可能在你平时学习中只是一些零散的点。
二、思维的深度与抽象：从具体到一般，再从一般到具体
很多压轴题的切入点可能是一个看似简单的数学对象或情境。但要解决它，你往往需要上升到更抽象的层面去思考。可能需要构建模型、进行变量转化、或者运用数学归纳法、反证法等思想来证明某个性质或者求解某个值。
举个例子，一道解析几何的压轴题，可能一开始给的是一个圆或者一条直线，但随着题意的深入，你会发现它可能和向量、导数、不等式等都有关系。你可能需要将点坐标转化为向量形式，或者利用导数分析函数的单调性，再用不等式来约束变量的范围。这种从具体问题到一般性规律的提炼，再将一般性规律应用到具体问题中去的思维过程，是压轴题的核心难点之一。
它也考验你对数学语言的理解和驾驭能力。很多题目用词精准但又充满暗示，需要你仔细揣摩每一个词的含义，才能找到突破口。
三、条件的精炼与隐藏：一眼看穿本质的锐利眼光
压轴题的条件往往经过精心的设计，它们可能看似冗余，实则环环相扣，也可能看似简单，实则蕴含着深刻的含义。有时候，问题的“难”恰恰在于你可能忽略了某个关键条件，或者误解了某个条件的真正作用。
它要求你具备“庖丁解牛”般的眼光，能够一眼看穿那些看似复杂条件背后的本质联系。也许题目给出的是一堆参数，你需要通过巧妙的变形，找到参数之间的某种不变关系；也许是两个函数的图像交于一点，你可能需要设出交点坐标，然后分析方程的根的性质。
有时，压轴题还会设置一些“陷阱”，比如给出一些看起来很有用的信息，但实际上是干扰项，或者某些条件下题目才有意义。你需要有强大的辨别能力，区分有效信息和无效信息，抓住问题的关键所在。
四、创新与灵活性：打破常规，另辟蹊径
高考数学压轴题最能体现“创新”二字。它不拘泥于固定的套路，鼓励你运用多种方法解决同一个问题，或者在解决问题的过程中创造出新的解题思路。
如果一道题按照常规方法解起来异常艰难，那么你可能就需要跳出思维定势，尝试一些非常规的手段。比如，通过构造辅助函数、引入新的变量、或者从几何角度去理解代数问题。这种“灵活性”体现在你能够根据题目的特点，灵活调整解题策略，不被固定的模式所束缚。
有些题目，甚至需要你对某个知识点有更深层次的理解，比如对数函数底数和真数的限制，或者三角函数图像的对称性等，这些往往是压轴题设计巧妙之处。
五、计算的严谨与技巧：准确之外，更讲究效率
虽然我们强调思维的深度和创新，但数学毕竟是一门严谨的科学，计算能力在压轴题中依然占有重要地位。这里的“难”不仅仅是计算的繁复，更在于计算的严谨性以及对计算技巧的运用。
一道压轴题的计算量可能不大，但一旦出现微小的差错，整个过程就可能前功尽弃。所以，它考验的是你准确而又高效的计算能力。你需要熟练掌握各种计算技巧，比如因式分解、配方法、换元法等，并且在计算过程中保持清晰的思路，避免出现低级错误。
有时候，压轴题的计算是解题过程中的一个重要环节，但不是全部。你可能需要先经过一系列的推导和分析，才能最终落到计算上。此时，计算的难度可能会被放大，因为它的失误会影响到前面所有的努力。
举个具体例子（不写具体题目，只描述类型）：
想象一道压轴题，题目给了一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，并且告诉你它的一些性质，比如过某几个点，或者存在某个零点满足某种条件。然后，题目可能让你研究这个函数与另一个指数函数或对数函数的交点情况，或者让你构造一个与 $f(x)$ 相关的数列，要求你证明这个数列的某个性质（比如单调性、收敛性）或者求出某一项的值。
这道题就可能融合了：
解析几何：二次函数图像的性质，点的坐标与函数的关系。
函数与方程：研究两个函数的交点，实际上就是解方程，可能需要分析方程根的个数和性质。
导数：分析函数的单调性、极值，可能用来证明存在性或者不等式。
数列：构造数列，研究其性质，可能需要利用数学归纳法，或者等差/等比数列的知识。
不等式：在分析交点或者数列性质时，经常需要运用不等式来约束变量。
你需要在解题过程中不断地在这些知识点之间切换思维，并且找到它们之间的联系。比如，可能需要通过分析交点问题，得到关于参数的范围，然后利用这个参数范围去分析数列的性质。
总结一下，高考数学压轴题的难，是一种综合性的挑战，它可能体现在：
知识的广度与深度：需要融会贯通多个知识点。
思维的抽象与逻辑：要求从具体到一般，再到具体的推理能力。
条件的审慎与挖掘：需要仔细分析每一个条件的含义和作用。
方法的创新与灵活：鼓励打破常规，寻找更优的解法。
计算的准确与高效：要求在严谨的基础上，注重计算的技巧和速度。
它不只是考你“会不会”，更是考你“有多懂”、“有多灵活”、“有多耐心”。面对压轴题，与其感到畏惧，不如把它当作一次检验和提升自己数学能力的绝佳机会。每一次尝试，每一次思考，都是一次成长。
网友意见
最难的应该是2008江西高考理数22题，此已经有网友分析之。此外，追踪历史的行程，似乎GJ的高考数学题用来卡学霸（也可能是他替CYG背锅？），TPS的高考数学题用来卡学神。。。（从难度和时间两个维度kacha）
数学高考压轴题题不一定出自最后两题，还可能是立体几何试题。传说中的2003全国卷就是这样的。
说明：03那道立体几何题是当年得分最低的数学试题，和03理综青蛙 那道生物实验题齐名。但究其原因与当时考生的知识结构有着很大的联系，最关键地方用到了初中知识，因此这个难度是相对难度。立体几何高考难题可能首推2011江西理数那道神题，绝对难度型。
更新：后来有人找出了一个简便的证明方法，但这个人肯定不是林杨同学。下图顺便致敬网剧《你好，旧时光》，很用心的校园剧。
现在江西用全国卷了..没啥好说难的...
想当年陶平生出江西卷的时候，那才是30万人被支配的恐惧...
关键还不只是他出最后一道题难，前面的题不麻烦也难算，喜欢放坑。至于他的最后一题，简单来说，他并不知道高中生学了什么，他觉得初等数学都能考。
总结一下我能想起来的
2006年理科 数列不等式，需要主动加强归纳证明
2008年理科 不等式（为了送点分强行第一问改成了函数求导），CMO2003年第三题n=3的特殊情况（说实话直接写n还好做点），全省均分0.31
2009年文科 解析几何，证明一个给定的椭圆和一个圆，内接三角形总有内切关系（彭塞列闭合定理）...好吧！其实对他来说不算难了，就是有点难算。不过陶爷爷对这个定理绝对是情有独钟啊，东南赛也出了一个彭塞列闭合定理的题23333
2010年理科 不定方程..这个是真的醉，给高考生做数论..关键是他每次在外面上课说起这件事的时候总要提到 “我当年给我同事上小学五年级的女儿做，她一下子就做出来了！”
还有某次联赛他出了一道根据Finsler-Hadwiger不等式改的题，全国貌似个位数的人做出来了
总之高考压轴题多难，完全取决于谁出，希望大家别碰上这么可怕的出题人（不过这样相当于试卷少了一道题，对每次考试130~140的人来说是最好的！）
有空给大家补补题
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2017.4.7更新
给大家看看2010年江西理科最后一题吧
证明以下命题：
（1）对任意正整数 ，都存在正整数（ ）使得 为等差数列
（2）存在无穷多互不相似的三角形 ,其边长 为正整数且 成等差数列
？？？
你没看错，江西高中数学并不学数论（据我所知也没选修数论吧）
全省考生除了学过竞赛的并没有做过这种存在构造性的题目，所以直接导致绝大多数人第一题都跪了...（做过一点点数论题就很容易构造出 ）
第二题也是构造性的，直接上答案吧
于是
陶爷爷看到大家都不会做，非常诧异
？？？
“明明我出的题答案就只有两行，这些小家伙们怎么不会做呢？哎...”
接下来是传说中2008年理科最后一题
稍微简化一下就是
， ，证明
再给大家看看2003年CMO第三题
给定正整数 ，求最小的 ，使得 ，只要
就有
这里取 ，在注意到 ，令
问题变为 ， ，求 使得
题目难就算了，竟然还是偷来的（捂脸）
答案好长啊 不想打了，大家自己搜一搜就知道了
最后，附上一段资料
《我观陶平生》
再说一句，陶老对我江西竞赛事业的发展还是起了重大作用的，要是没他，江西就真呵呵了。
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忍不住给大家说说这个08年的题...评论里有人说没那么难的，这题当年可真的是三十万人里没有一个人做出来啊！而且我个人感觉，这道题的难度是要超过CMO原题的...
这道题出来之后，吸引了多方火力，甚至惊动了张景中院士——
这也算是一种比较自然地做法了，但考生做这道题少说得1~2个小时才行吧...
至于答案的做法，我个人表示想不到...看一遍也不知道怎么回事...
不过从CMO那道题的角度来说，这道题还是有一个相对自然地想法的
这道题比较难的是右端，下面只做右边
首先，那道题没有告诉你上界，你只能对每个 做一些试验，当然答案一般都在全部相等或者 极端情况取到，比较容易试验出来
的时候等号在所有数相等的时候取到
这样就提供了一个思路了，可以考虑 其中的两个数，把它们变成一样的，会发生什么呢？
我们可以算一算
其中有
其中
显然 的时候把 都调整为 能让式子变大
由于 ，总有两个的乘积满足条件，这样就能通过调整把原来的问题变成一元函数的最值
求导就知道最大值在 的时候取到2
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怎么这么多人说江西考题不如葛军...我也没说葛军出题容易啊，既然大家那么想看，我就列一个吧...
比较出名的是2010年的最后一题
已知 的三边长为有理数
证明：(1) 为有理数 (2) 为有理数
介绍一下Chebyshev多项式： 是 的首项系数为 整系数多项式
这样这道题就明了了... 下面是Wiki的链接，感兴趣的同学可以看一看，在逼近论和插值多项式有很大的用处
当然，不是说它简单...给高中生做不知道的还是不知道；给大学生做可能会好很多...
说江西题目容易的，不要你把上面那个不等式证明出来，麻烦你把我写的自己推一遍感受一下...
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