爱因斯坦场方程是怎么推导出来的？

爱因斯坦场方程的推导，绝非一蹴而就，而是经历了一个漫长而深刻的探索过程。它并非数学家凭空臆想出的一个漂亮公式，而是爱因斯坦本人基于对引力本质的深刻理解，以及对物理规律内在统一性的不懈追求，逐步构建起来的。要理解这个推导过程，我们需要穿越回爱因斯坦的时代，去感受他当时的思考方式，那些直觉、类比和对已有的物理理论的扬弃。

一、从牛顿引力到弯曲时空：一个全新的视角

在爱因斯坦之前，牛顿的万有引力定律主宰了我们对引力的理解。它将引力描述为宇宙中物体之间一种瞬时作用的“力”，无论它们相距多远，这种作用都是即时传递的。但这在爱因斯坦看来，存在着一个根本性的问题：它与狭义相对论相矛盾。狭义相对论告诉我们，没有任何信息或物质的传递速度能超过光速，而牛顿引力似乎打破了这一宇宙速度限制。

爱因斯坦的伟大之处在于，他没有试图在牛顿引力的框架内修修补补，而是提出了一个革命性的观点：引力并非一种“力”，而是由物质和能量引起的时空本身的“弯曲”。想象一下，我们所处的时空就像一张巨大的、有弹性的床单，当你在上面放一个重物时，床单会向下凹陷，形成一个“坑”。此时，如果一个小球滚过这个“坑”的附近，它会沿着床单的曲线运动，看起来就像是被那个重物“吸引”了。

这就是爱因斯坦的等效原理的核心思想。这个原理认为，在一个小的、局部的时空区域内，引力的效应与加速度的效应是无法区分的。换句话说，如果你在一个封闭的电梯里，你无法分辨自己是因为地球的引力而下坠，还是因为电梯在太空中被加速向上。这个看似简单的原理，却打开了通往广义相对论的大门。

二、数学语言的构建：几何学与张量分析

一旦接受了时空弯曲的观点，我们就需要一种数学工具来描述这种弯曲，并量化物质和能量对时空的影响。这里，黎曼几何，尤其是其推广的张量分析，成为了爱因斯坦的得力助手。

流形 (Manifold)：爱因斯坦将时空视为一个四维的“流形”，也就是说，它可以被局部地近似为一个欧几里得空间，但整体上却可以是非欧几里得的，即存在弯曲。
度规张量 (Metric Tensor，g_μν)：这是描述时空几何性质的关键。度规张量就像一张“尺子”，它告诉我们在时空中的任意一点，如何测量距离和时间间隔。在弯曲时空中，这个“尺子”本身是变化的，它编码了时空的曲率信息。
曲率张量 (Curvature Tensor，R_μνρσ)：这是度规张量经过一系列微分运算后得到的更为复杂的量，它直接描述了时空的弯曲程度。例如，里奇张量 (Ricci Tensor，R_μν) 和斯卡拉曲率 (Scalar Curvature，R) 都是由曲率张量导出的，它们是描述时空整体弯曲的重要指标。

三、寻找“那条”方程：从对称性与物理直觉出发

现在，我们有了“时空弯曲”这个概念，以及描述它的数学工具。问题来了：是什么样的数学关系，能够将“物质和能量”与“时空弯曲”联系起来？

爱因斯坦知道，他需要一个方程，它能够满足以下几个关键条件：

1. 它必须是协变的 (Covariant)：也就是说，无论我们选择什么样的坐标系来描述时空，方程的形式都应该是相同的。这是狭义相对论的一个基本原则，爱因斯坦自然将其继承下来。在数学上，这意味着方程必须用张量的形式来表达。
2. 它必须是二阶微分方程：因为引力的效应是与物质的质量（或者更广义地说，能量和动量）成正比的，而牛顿引力定律是一个二阶微分方程。爱因斯坦希望他的理论也能保持这种“平滑性”。
3. 它必须包含物质和能量的信息：物质和能量是引力的“源泉”，所以方程的右侧必须能够描述物质和能量的分布。
4. 它必须描述时空的弯曲：方程的左侧必须能够描述时空的几何性质，也就是它的曲率。

爱因斯坦花费了大量的时间和精力来寻找这个方程。他尝试了各种各样的可能性，从简单的到复杂的，不断地验证和修正。

初步设想：他最初可能想到，最简单的联系方式可能是让度规张量 (g_μν) 的某个组合（代表弯曲）与物质密度（代表物质）成正比。但很快他意识到，仅仅描述物质的“存在”是不够的，引力效应还与动量、压力等能量动量分布有关。

引入能量动量张量 (EnergyMomentum Tensor，T_μν)：为了更全面地描述物质和能量的来源，爱因斯坦引入了能量动量张量。这个张量包含的信息比简单的质量密度要丰富得多，它描述了能量密度、动量密度、压力以及剪切应力等等。它就像是描述“时空床单上放了什么”的详细清单。

寻找左侧的张量：现在的问题聚焦在如何构建一个能够描述时空弯曲，并且与能量动量张量在张量秩上匹配（都是二阶对称张量）的数学表达式。爱因斯坦知道，他需要利用度规张量通过求导（微分）运算来构建这个张量。

里奇张量 (R_μν)：这是最自然的候选项之一。里奇张量本身是二阶对称张量，并且是通过度规张量及其导数计算出来的，直接反映了时空的曲率。
另一种可能性：爱因斯坦还考虑了其他的可能性，比如将里奇张量与爱因斯坦张量 (Einstein Tensor，G_μν) 联系起来。爱因斯坦张量定义为 $G_{μν} = R_{μν} frac{1}{2}Rg_{μν}$。

为什么是爱因斯坦张量？这是一个关键的转折点。爱因斯坦发现，爱因斯坦张量 G_μν 具有一个非常重要的数学性质：它的散度为零（$ abla^mu G_{mu u} = 0$）。这个性质与能量动量张量 T_μν 的守恒律（$ abla^mu T_{mu u} = 0$，描述能量和动量在时空中守恒）完美契合！

散度为零的意义：散度为零意味着这种“物质”或“能量”的分布在时空中是局部守恒的，没有无中生有，也没有凭空消失。如果方程左侧（描述时空几何）的散度不为零，那么它就无法与右侧（描述物质和能量）的守恒律相匹配，这个理论就会在数学上出现矛盾。

尝试 R_μν = κ T_μν 的失败：最初，爱因斯坦尝试过 $R_{μν} = kappa T_{μν}$（其中 $kappa$ 是一个常数）。然而，里奇张量的散度 $ abla^mu R_{mu u}$ 并不一定为零。这意味着，即使右侧的能量动量张量是守恒的，方程本身也可能不满足守恒定律。这让爱因斯坦意识到，他需要一个更精妙的张量来描述时空弯曲。

四、最终的公式：E=mc²的引力版本

经过不懈的努力，爱因斯坦最终找到了那个完美契合的方程：

$$ G_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u} $$

或者写成：

$$ R_{mu u} frac{1}{2}Rg_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u} $$

让我们来解读一下这个方程的各个部分：

左侧 ($G_{μν}$ 或 $R_{μν} frac{1}{2}Rg_{μν}$): 这是爱因斯坦张量，它描述了时空的几何性质，也就是时空的弯曲程度。它由度规张量及其导数构成。
右侧 ($T_{μν}$): 这是能量动量张量，它描述了时空中物质和能量的分布。
中间的常数 ($frac{8pi G}{c^4}$):
$G$ 是牛顿的万有引力常数。这意味着在弱引力场和低速的情况下，广义相对论会退化到牛顿的万有引力定律。
$c$ 是光速。它再次强调了引力与电磁学一样，与光速紧密相关。
$8pi$ 和 $4$ 的出现，是精确计算和与牛顿理论联系的结果。

这个方程的意义是深远的：

物质决定时空：方程明确表示，物质和能量的分布（右侧）决定了时空的弯曲方式（左侧）。
时空告诉物质如何运动：而时空的弯曲方式，又反过来影响物质的运动轨迹。物体在弯曲时空中沿着测地线 (Geodesic) 运动，这在宏观上表现为我们所熟悉的引力作用。

五、验证与历史意义

爱因斯坦场方程提出后，还需要通过实验来验证。早期的一些验证包括：

水星近日点进动：牛顿力学无法完全解释水星轨道近日点的微小进动，而广义相对论的预言与观测结果高度吻合。
光线在引力场中的弯曲：广义相对论预言，光线经过大质量天体（如太阳）附近时会被弯曲。1919年，亚瑟·爱丁顿爵士领导的观测团队在日全食期间证实了这一预言，使爱因斯坦一夜成名。
引力红移：光在从强引力场中逃逸时，频率会降低，波长会变长。

爱因斯坦场方程不仅是广义相对论的核心，更是现代物理学的重要基石。它深刻地改变了我们对宇宙、时间和空间的理解，为黑洞、引力波等现象的预言和研究奠定了基础，也开启了宇宙学研究的新纪元。

总而言之，爱因斯坦场方程的推导，是一场融合了深刻物理洞察、数学创新和逻辑推理的伟大旅程。它不是一个简单的“ Eureka ”时刻，而是一个不断探索、修正和升华的过程，最终诞生了一个描述引力最精确、最完整的理论。

网友意见

爱因斯坦方程可以通过拉格朗日量导出。个人觉得这是最自然的推法。

不太严谨的说，因为我们觉得拉格朗日量应该是一个反应曲率的纯量，我们可以猜测拉格朗日密度的形式是数量曲率：

接下来要把他带入作用量中。然而这时有一个问题，那就是作用量中的体积元随着规度（场）而变化。为此我们需要把这部分也算入其中。体积元为，于是我们吧其中的规度部分也带入作用量中：

接下来自然变分后得到

其中第一项是全微分，是边界项，为0。第二项则得到爱意斯坦张量

于是我们得到真空中的运动方程

该方法也可以求得有其他场时的解。只需要带入其他场的拉格朗日量（）便可以得到右侧的动能张量项。

描述广义相对论的场方程一定是这么个形式：，其中左边叫爱因斯坦张量（Einstein tensor），描述了空间弯曲的情况，右边是个系数不重要，叫能动张量（stress-energy tensor），描述了物质能量的分布情况。右边比较简单，我们已经很清楚能动张量是个什么东西，关键是左边，爱因斯坦张量到底是个什么形式。

这个就要靠猜了。

但是我们知道有这么几个条件：

首先爱因斯坦方程必须是个张量方程，因为只有这样它才能在参考系变换中保持不变，才能在任意参考系中都成立；
我们已经知道了能动张量的对称性，即，所以左边的爱因斯坦张量也必须得要有；
我们知道在经典极限时，它必须能近似成牛顿引力。

咱们一个一个来：

我们所知道的张量就只有度规和里奇张量，所以爱因斯坦张量最宽泛的定义就是，其中是曲率标量，和是常数；
上面定义的这个奇怪的东西必须满足，我们解得；
代入经典极限的条件解一下，就会解得且，其中是引力常数。

所以，总结起来，我们就得到了且。因为宇宙常数是极小的，所以如果我们不考虑宇宙尺度的事情，那爱因斯坦方程就会变成美美的。

============补充的分割线============

既然有人问了里奇张量，那我就简单地再补充一下吧。

所谓的“空间弯曲”其实就是由度规（metric） 描述的。在平直时空、笛卡尔坐标系中，度规就是人畜无害的

但是一般而言，度规没有这么漂亮，其中每一项都会是时空坐标的函数。

通过度规我们可以定义出克氏符号（Christoffel symbols） 。虽然不太好看，但这肯定不是瞎定义出来的，是有道理的。几何上，它描述着“有多少坐标值的变化是由于坐标系的变化才造成的”。举个栗子，上述平直时空的度规显然是个常量，如果我们求导就会得到0。然而，同样是平直时空，如果我们不用笛卡尔坐标系而改用球坐标系，那度规就会变成一个和的函数，这时我们求导就不会得到0。然而这是很荒谬的，因为我们只是在用不同的坐标系去描述相同的时空！

所以，克氏符号就是用来修正导数或者梯度在广义相对论中的定义的。比方说，我们描述一条时空中的测地线时，会说它的速度保持不变也就是二阶导数为零。在笛卡尔坐标系中，这就是。但是，推广到更一般的情形中，我们就要加上克氏符号的修正。再例如，在广义相对论中，梯度的定义也要从简单的变成。

有了克氏符号的帮助，我们就可以给度规求导了。我们定义出黎曼张量（Riemann tensor） 。这玩意儿呢，其实就是广义相对论中的潮汐力，描述了平行的测地线之间的偏移量。当然，如果时空是平直的，平行的测地线会永远保持平行，所以黎曼张量在平直时空中恒为零，只有在弯曲时空中才不为零。

黎曼张量非常重要，因为它很好地描述了时空的弯曲。我们看到它在平直时空中恒为零，弯曲时空中才不为零，符合我们的想象（如果“什么都没有”，那时空应该是平直的）。它和度规不一样：即使是描述同样的平直时空的度规也有无数种形式。它和克氏符号也不一样：克氏符号不满足张量变换的形式，不是张量，而黎曼张量顾名思义是个张量。

最后，我们可以把黎曼张量收缩，获得其他形式。我们定义里奇张量（Ricci tensor）为且曲率标量（curvature scalar）为。它们都从不同方面描述了时空的弯曲，也都是张量（标量也是零阶张量哟），所以最终都进入了爱因斯坦张量的定义。

牛二和万有引力中出现的质量并不是一个东西。根据牛二和万有引力，老爱认为质量具有等效原理——老爱特有的思维方式，凡是不能区分的就是一回事（等能区分了你再区分，不在区分不了的东西上浪费精力，出道的时候在狭义相对论上就是这么干的），即惯性质量和引力质量是一回事，这样还留下了一个伏笔，未来如果有人真的证明了这两个质量是一体的两面，那么老爱赢了；未来如果有人能够区分两个质量了，还可以在更大的一个模型上讨论模型退化为等效原理，老爱继续躺赢。

总之：

两个力可以约去，这样可以得到加速度和引力场的关系，这里是有心引力场的情况，显然可以推广到任何引力场：

加速度关乎参考系，引力场关乎引力。这是老爱学习黎曼几何前的研究成果。按照老爱的脑回路，我跳楼的时候到底是引力在拉我，还是参考系在加速运动，我仍然不能区分。。。虽然我在跳楼，可是如果是在加速运动的参考系中，我还是在匀速直线运动（运动轨迹为曲面上的直线——测地线）呢。

不仅是惯性质量和引力质量无法区分，进一步说惯性和引力也不能区分。惯性(力)来自加速的坐标运动，也就是时空弯曲；引力来自物质的分布，确切地讲在相对论意义下是能量和动量的分布。——无论是我跳楼，还是大地加速奔向我，效果都是一样的酸爽。

在获得了黎曼几何这一心法后，结合狭义相对论的成果，老爱可以用张量的语言来讲清楚等效原理。引力的效果（与物质——能量或动量的载体相关）构成能动张量，而时空的弯曲（与参考系相关）构成爱因斯坦张量（来自弯曲时空的Levi-Civita联络上的Riemann曲率张量），场方程就是用张量描述的等效原理。

Einstein场方程联系了描述空间弯曲的Einstein张量和描述物质能量分布的能动张量，即：

其中是个常数。

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