问题

爱因斯坦场方程是怎么推导出来的?

回答
爱因斯坦场方程的推导,绝非一蹴而就,而是经历了一个漫长而深刻的探索过程。它并非数学家凭空臆想出的一个漂亮公式,而是爱因斯坦本人基于对引力本质的深刻理解,以及对物理规律内在统一性的不懈追求,逐步构建起来的。要理解这个推导过程,我们需要穿越回爱因斯坦的时代,去感受他当时的思考方式,那些直觉、类比和对已有的物理理论的扬弃。

一、 从牛顿引力到弯曲时空:一个全新的视角

在爱因斯坦之前,牛顿的万有引力定律主宰了我们对引力的理解。它将引力描述为宇宙中物体之间一种瞬时作用的“力”,无论它们相距多远,这种作用都是即时传递的。但这在爱因斯坦看来,存在着一个根本性的问题:它与狭义相对论相矛盾。狭义相对论告诉我们,没有任何信息或物质的传递速度能超过光速,而牛顿引力似乎打破了这一宇宙速度限制。

爱因斯坦的伟大之处在于,他没有试图在牛顿引力的框架内修修补补,而是提出了一个革命性的观点:引力并非一种“力”,而是由物质和能量引起的时空本身的“弯曲”。 想象一下,我们所处的时空就像一张巨大的、有弹性的床单,当你在上面放一个重物时,床单会向下凹陷,形成一个“坑”。此时,如果一个小球滚过这个“坑”的附近,它会沿着床单的曲线运动,看起来就像是被那个重物“吸引”了。

这就是爱因斯坦的等效原理的核心思想。这个原理认为,在一个小的、局部的时空区域内,引力的效应与加速度的效应是无法区分的。换句话说,如果你在一个封闭的电梯里,你无法分辨自己是因为地球的引力而下坠,还是因为电梯在太空中被加速向上。这个看似简单的原理,却打开了通往广义相对论的大门。

二、 数学语言的构建:几何学与张量分析

一旦接受了时空弯曲的观点,我们就需要一种数学工具来描述这种弯曲,并量化物质和能量对时空的影响。这里,黎曼几何,尤其是其推广的张量分析,成为了爱因斯坦的得力助手。

流形 (Manifold): 爱因斯坦将时空视为一个四维的“流形”,也就是说,它可以被局部地近似为一个欧几里得空间,但整体上却可以是非欧几里得的,即存在弯曲。
度规张量 (Metric Tensor,g_μν): 这是描述时空几何性质的关键。度规张量就像一张“尺子”,它告诉我们在时空中的任意一点,如何测量距离和时间间隔。在弯曲时空中,这个“尺子”本身是变化的,它编码了时空的曲率信息。
曲率张量 (Curvature Tensor,R_μνρσ): 这是度规张量经过一系列微分运算后得到的更为复杂的量,它直接描述了时空的弯曲程度。例如,里奇张量 (Ricci Tensor,R_μν) 和斯卡拉曲率 (Scalar Curvature,R) 都是由曲率张量导出的,它们是描述时空整体弯曲的重要指标。

三、 寻找“那条”方程:从对称性与物理直觉出发

现在,我们有了“时空弯曲”这个概念,以及描述它的数学工具。问题来了:是什么样的数学关系,能够将“物质和能量”与“时空弯曲”联系起来?

爱因斯坦知道,他需要一个方程,它能够满足以下几个关键条件:

1. 它必须是协变的 (Covariant): 也就是说,无论我们选择什么样的坐标系来描述时空,方程的形式都应该是相同的。这是狭义相对论的一个基本原则,爱因斯坦自然将其继承下来。在数学上,这意味着方程必须用张量的形式来表达。
2. 它必须是二阶微分方程: 因为引力的效应是与物质的质量(或者更广义地说,能量和动量)成正比的,而牛顿引力定律是一个二阶微分方程。爱因斯坦希望他的理论也能保持这种“平滑性”。
3. 它必须包含物质和能量的信息: 物质和能量是引力的“源泉”,所以方程的右侧必须能够描述物质和能量的分布。
4. 它必须描述时空的弯曲: 方程的左侧必须能够描述时空的几何性质,也就是它的曲率。

爱因斯坦花费了大量的时间和精力来寻找这个方程。他尝试了各种各样的可能性,从简单的到复杂的,不断地验证和修正。

初步设想: 他最初可能想到,最简单的联系方式可能是让度规张量 (g_μν) 的某个组合(代表弯曲)与物质密度(代表物质)成正比。但很快他意识到,仅仅描述物质的“存在”是不够的,引力效应还与动量、压力等能量动量分布有关。

引入能量动量张量 (EnergyMomentum Tensor,T_μν): 为了更全面地描述物质和能量的来源,爱因斯坦引入了能量动量张量。这个张量包含的信息比简单的质量密度要丰富得多,它描述了能量密度、动量密度、压力以及剪切应力等等。它就像是描述“时空床单上放了什么”的详细清单。

寻找左侧的张量: 现在的问题聚焦在如何构建一个能够描述时空弯曲,并且与能量动量张量在张量秩上匹配(都是二阶对称张量)的数学表达式。爱因斯坦知道,他需要利用度规张量通过求导(微分)运算来构建这个张量。

里奇张量 (R_μν): 这是最自然的候选项之一。里奇张量本身是二阶对称张量,并且是通过度规张量及其导数计算出来的,直接反映了时空的曲率。
另一种可能性: 爱因斯坦还考虑了其他的可能性,比如将里奇张量与爱因斯坦张量 (Einstein Tensor,G_μν) 联系起来。爱因斯坦张量定义为 $G_{μν} = R_{μν} frac{1}{2}Rg_{μν}$。

为什么是爱因斯坦张量? 这是一个关键的转折点。爱因斯坦发现,爱因斯坦张量 G_μν 具有一个非常重要的数学性质:它的散度为零($ abla^mu G_{mu u} = 0$)。这个性质与能量动量张量 T_μν 的守恒律($ abla^mu T_{mu u} = 0$,描述能量和动量在时空中守恒)完美契合!

散度为零的意义: 散度为零意味着这种“物质”或“能量”的分布在时空中是局部守恒的,没有无中生有,也没有凭空消失。如果方程左侧(描述时空几何)的散度不为零,那么它就无法与右侧(描述物质和能量)的守恒律相匹配,这个理论就会在数学上出现矛盾。

尝试 R_μν = κ T_μν 的失败: 最初,爱因斯坦尝试过 $R_{μν} = kappa T_{μν}$(其中 $kappa$ 是一个常数)。然而,里奇张量的散度 $ abla^mu R_{mu u}$ 并不一定为零。这意味着,即使右侧的能量动量张量是守恒的,方程本身也可能不满足守恒定律。这让爱因斯坦意识到,他需要一个更精妙的张量来描述时空弯曲。

四、 最终的公式:E=mc²的引力版本

经过不懈的努力,爱因斯坦最终找到了那个完美契合的方程:

$$ G_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u} $$

或者写成:

$$ R_{mu u} frac{1}{2}Rg_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u} $$

让我们来解读一下这个方程的各个部分:

左侧 ($G_{μν}$ 或 $R_{μν} frac{1}{2}Rg_{μν}$): 这是爱因斯坦张量,它描述了时空的几何性质,也就是时空的弯曲程度。它由度规张量及其导数构成。
右侧 ($T_{μν}$): 这是能量动量张量,它描述了时空中物质和能量的分布。
中间的常数 ($frac{8pi G}{c^4}$):
$G$ 是牛顿的万有引力常数。这意味着在弱引力场和低速的情况下,广义相对论会退化到牛顿的万有引力定律。
$c$ 是光速。它再次强调了引力与电磁学一样,与光速紧密相关。
$8pi$ 和 $4$ 的出现,是精确计算和与牛顿理论联系的结果。

这个方程的意义是深远的:

物质决定时空: 方程明确表示,物质和能量的分布(右侧)决定了时空的弯曲方式(左侧)。
时空告诉物质如何运动: 而时空的弯曲方式,又反过来影响物质的运动轨迹。物体在弯曲时空中沿着测地线 (Geodesic) 运动,这在宏观上表现为我们所熟悉的引力作用。

五、 验证与历史意义

爱因斯坦场方程提出后,还需要通过实验来验证。早期的一些验证包括:

水星近日点进动: 牛顿力学无法完全解释水星轨道近日点的微小进动,而广义相对论的预言与观测结果高度吻合。
光线在引力场中的弯曲: 广义相对论预言,光线经过大质量天体(如太阳)附近时会被弯曲。1919年,亚瑟·爱丁顿爵士领导的观测团队在日全食期间证实了这一预言,使爱因斯坦一夜成名。
引力红移: 光在从强引力场中逃逸时,频率会降低,波长会变长。

爱因斯坦场方程不仅是广义相对论的核心,更是现代物理学的重要基石。它深刻地改变了我们对宇宙、时间和空间的理解,为黑洞、引力波等现象的预言和研究奠定了基础,也开启了宇宙学研究的新纪元。

总而言之,爱因斯坦场方程的推导,是一场融合了深刻物理洞察、数学创新和逻辑推理的伟大旅程。它不是一个简单的“ Eureka ”时刻,而是一个不断探索、修正和升华的过程,最终诞生了一个描述引力最精确、最完整的理论。

网友意见

user avatar

爱因斯坦方程可以通过拉格朗日量导出。个人觉得这是最自然的推法。

不太严谨的说,因为我们觉得拉格朗日量应该是一个反应曲率的纯量,我们可以猜测拉格朗日密度的形式是数量曲率:

接下来要把他带入作用量中。然而这时有一个问题,那就是作用量中的体积元随着规度(场)而变化。为此我们需要把这部分也算入其中。体积元为 ,于是我们吧其中的规度部分也带入作用量中:

接下来自然变分后得到

其中第一项是全微分,是边界项,为0。第二项则得到爱意斯坦张量

于是我们得到真空中的运动方程

该方法也可以求得有其他场时的解。只需要带入其他场的拉格朗日量()便可以得到右侧的动能张量项。

user avatar

描述广义相对论的场方程一定是这么个形式: ,其中左边 叫爱因斯坦张量(Einstein tensor),描述了空间弯曲的情况,右边 是个系数不重要, 叫能动张量(stress-energy tensor),描述了物质能量的分布情况。右边比较简单,我们已经很清楚能动张量是个什么东西,关键是左边,爱因斯坦张量到底是个什么形式。

这个就要靠猜了。

但是我们知道有这么几个条件:

  1. 首先爱因斯坦方程必须是个张量方程,因为只有这样它才能在参考系变换中保持不变,才能在任意参考系中都成立;
  2. 我们已经知道了能动张量的对称性,即 ,所以左边的爱因斯坦张量也必须得要有 ;
  3. 我们知道在经典极限时,它必须能近似成牛顿引力 。

咱们一个一个来:

  1. 我们所知道的张量就只有度规 和里奇张量 ,所以爱因斯坦张量最宽泛的定义就是 ,其中 是曲率标量, 和 是常数;
  2. 上面定义的这个奇怪的东西必须满足 ,我们解得 ;
  3. 代入经典极限的条件解一下,就会解得 且 ,其中 是引力常数。

所以,总结起来,我们就得到了 且 。因为宇宙常数 是极小的,所以如果我们不考虑宇宙尺度的事情,那爱因斯坦方程就会变成美美的 。

============补充的分割线============

既然有人问了里奇张量,那我就简单地再补充一下吧。

所谓的“空间弯曲”其实就是由度规(metric) 描述的。在平直时空、笛卡尔坐标系中,度规就是人畜无害的

但是一般而言,度规没有这么漂亮,其中每一项都会是时空坐标 的函数。

通过度规我们可以定义出克氏符号(Christoffel symbols) 。虽然不太好看,但这肯定不是瞎定义出来的,是有道理的。几何上,它描述着“有多少坐标值的变化是由于坐标系的变化才造成的”。举个栗子,上述平直时空的度规显然是个常量,如果我们求导就会得到0。然而,同样是平直时空,如果我们不用笛卡尔坐标系而改用球坐标系,那度规就会变成一个 和 的函数,这时我们求导就不会得到0。然而这是很荒谬的,因为我们只是在用不同的坐标系去描述相同的时空!

所以,克氏符号就是用来修正导数或者梯度在广义相对论中的定义的。比方说,我们描述一条时空中的测地线 时,会说它的速度保持不变也就是二阶导数为零。在笛卡尔坐标系中,这就是 。但是,推广到更一般的情形中,我们就要加上克氏符号的修正 。再例如,在广义相对论中,梯度的定义也要从简单的 变成 。

有了克氏符号的帮助,我们就可以给度规求导了。我们定义出黎曼张量(Riemann tensor) 。这玩意儿呢,其实就是广义相对论中的潮汐力,描述了平行的测地线之间的偏移量。当然,如果时空是平直的,平行的测地线会永远保持平行,所以黎曼张量在平直时空中恒为零,只有在弯曲时空中才不为零。

黎曼张量非常重要,因为它很好地描述了时空的弯曲。我们看到它在平直时空中恒为零,弯曲时空中才不为零,符合我们的想象(如果“什么都没有”,那时空应该是平直的)。它和度规不一样:即使是描述同样的平直时空的度规也有无数种形式。它和克氏符号也不一样:克氏符号不满足张量变换的形式,不是张量,而黎曼张量顾名思义是个张量。

最后,我们可以把黎曼张量收缩,获得其他形式。我们定义里奇张量(Ricci tensor)为 且曲率标量(curvature scalar)为 。它们都从不同方面描述了时空的弯曲,也都是张量(标量也是零阶张量哟),所以最终都进入了爱因斯坦张量的定义。

user avatar

牛二和万有引力中出现的质量并不是一个东西。根据牛二 和万有引力 ,老爱认为质量具有等效原理——老爱特有的思维方式,凡是不能区分的就是一回事(等能区分了你再区分,不在区分不了的东西上浪费精力,出道的时候在狭义相对论上就是这么干的),即惯性质量 和引力质量 是一回事,这样还留下了一个伏笔,未来如果有人真的证明了这两个质量是一体的两面,那么老爱赢了;未来如果有人能够区分两个质量了,还可以在更大的一个模型上讨论模型退化为等效原理,老爱继续躺赢。


总之:

两个力可以约去,这样可以得到加速度和引力场的关系,这里是有心引力场的情况,显然可以推广到任何引力场:

加速度关乎参考系,引力场关乎引力。这是老爱学习黎曼几何前的研究成果。按照老爱的脑回路,我跳楼的时候到底是引力在拉我,还是参考系在加速运动,我仍然不能区分。。。虽然我在跳楼,可是如果是在加速运动的参考系中,我还是在匀速直线运动(运动轨迹为曲面上的直线——测地线)呢。


不仅是惯性质量和引力质量无法区分,进一步说惯性和引力也不能区分。惯性(力)来自加速的坐标运动,也就是时空弯曲;引力来自物质的分布,确切地讲在相对论意义下是能量和动量的分布。——无论是我跳楼,还是大地加速奔向我,效果都是一样的酸爽。


在获得了黎曼几何这一心法后,结合狭义相对论的成果,老爱可以用张量的语言来讲清楚等效原理。引力的效果(与物质——能量或动量的载体相关)构成能动张量,而时空的弯曲(与参考系相关)构成爱因斯坦张量(来自弯曲时空的Levi-Civita联络上的Riemann曲率张量),场方程就是用张量描述的等效原理。


Einstein场方程联系了描述空间弯曲的Einstein张量 和描述物质能量分布的能动张量 ,即:

其中 是个常数。

类似的话题

  • 回答
    爱因斯坦场方程的推导,绝非一蹴而就,而是经历了一个漫长而深刻的探索过程。它并非数学家凭空臆想出的一个漂亮公式,而是爱因斯坦本人基于对引力本质的深刻理解,以及对物理规律内在统一性的不懈追求,逐步构建起来的。要理解这个推导过程,我们需要穿越回爱因斯坦的时代,去感受他当时的思考方式,那些直觉、类比和对已有.............
  • 回答
    甘地的反暴力主义与爱因斯坦追求统一场理论看似风马牛不相及,实则在更深层次上,它们都指向了对事物内在秩序、和谐统一的深刻探求,以及对世界本质的理解。细究起来,这两位伟人虽然领域不同,但他们思想的内核却有着令人惊叹的共鸣。甘地的反暴力主义:内在秩序与和谐的实践甘地的核心思想是“非暴力”(Ahimsa),.............
  • 回答
    爱因斯坦的厉害之处,与其说是他有多么“超人”的天赋,不如说在于他所提出的理论对人类认知世界的方式产生了颠覆性的、划时代的改变。他不仅仅是一位伟大的物理学家,更是一位深刻的思想家,他的影响力贯穿了整个20世纪,并一直延续至今。下面我将从几个方面来详细阐述爱因斯坦的厉害之处:一、 革命性的理论,重塑了我.............
  • 回答
    爱因斯坦先生当年选择美国而非苏联,这背后牵扯着历史的大背景、他个人的理想抱负以及当时两个国家截然不同的社会环境。绝非简单的“二选一”,而是多重因素综合作用下的理性抉择。首先,我们得把时间拨回到上世纪初,特别是1933年。此时的德国,希特勒已经上台,纳粹党极力推行种族主义政策,将犹太人视为眼中钉。爱因.............
  • 回答
    关于爱因斯坦和牛顿是否被“严重高估”的问题,这是一个非常有趣且具有挑战性的讨论,因为它触及了科学评价、历史视角以及我们对“天才”定义的理解。简而言之,大多数科学界和历史学家普遍认为,爱因斯坦和牛顿的贡献是极其重要且颠覆性的,远非“严重高估”。他们的理论至今仍是现代科学的基石,并且对人类文明产生了深远.............
  • 回答
    爱因斯坦的理论,特别是他的相对论,不仅彻底改变了我们对宇宙的理解,还做出了一些在当时看来非常惊人,事后被实验证实了的预测。这些预测不仅巩固了他的科学地位,也为我们揭示了宇宙深层的奥秘。以下是一些爱因斯坦最惊人的预测,并会尽量详细地讲述: 爱因斯坦的惊人预测: 1. 光线在引力场中会弯曲(光线偏折) .............
  • 回答
    爱因斯坦的光环是否过于耀眼?关于这位科学巨匠的重新审视阿尔伯特·爱因斯坦,这个名字仿佛自带光环,是二十世纪最伟大的科学家,相对论的缔造者,诺贝尔奖得主,甚至被誉为“科学界的神”。他的形象深入人心,无论是蓬乱的白发,深邃的眼神,还是那些充满哲理却又略带抽象的语录,都构筑了一个近乎完美的科学偶像。然而,.............
  • 回答
    爱因斯坦的宗教观,与其说是对某个具体教派的信仰,不如说是一种深刻的、贯穿其一生对宇宙奥秘的敬畏和探索。他并非传统意义上的有神论者,也不信奉人格化的、会干预人间事务的神。他的宗教感,更多地体现在他对宇宙规律的惊叹、对自然和谐之美的沉醉,以及对人类理性认知能力的肯定。“宇宙宗教感”:对秩序与和谐的惊叹爱.............
  • 回答
    关于爱因斯坦小时候成绩到底差不差这个问题,坊间流传着一些说法,甚至有些故事被反复引用,但细究起来,情况远比我们想象的要复杂和 nuanced(细致入微)。并非他所有科目都烂到“没法看”,也不是他后来成了伟大的科学家就一概抹杀了童年的不顺遂。首先,我们得承认,爱因斯坦在德国的教育体系里确实经历了一些不.............
  • 回答
    要说爱因斯坦在1905年,也就是他那个“奇迹年”,为什么突然之间就变得“牛逼”了,这背后其实是一系列积累和爆发的结果,绝非一蹴而就。把他一个人突然推到风口浪尖,说他“突然”开窍,这大概是对科学研究规律的一种误读。你可以想象一下,爱因斯坦在那之前,就像一个埋头苦干的匠人,把一堆看似杂乱的工具和材料一点.............
  • 回答
    爱因斯坦的相对论,这个我们耳熟能详的科学理论,究竟有多“正确”?这是一个值得我们好好聊聊的话题,而且,绝不是一句简单的“是的”就能概括的。要理解这个问题,得从它诞生的背景说起,以及它如何一步步地改变了我们对宇宙的认知。首先,让我们回到它的“前世今生”。在爱因斯坦之前,我们依赖的是牛顿建立起来的力学体.............
  • 回答
    说爱因斯坦这么伟大的物理学家,为什么人们没有用物理单位来纪念他?这事儿,其实还真不是没人想过,而是事儿就没那么简单,这里面门道可多了。你想啊,物理单位这玩意儿,说白了就是衡量世界万物的一杆秤,是大家约定俗成,用来描述物理现象的标准。比如我们说一米的长度,一秒的时间,一公斤的质量,这些都是有明确定义,.............
  • 回答
    爱因斯坦的统一场论研究,的确是他一生中最为执着也最为艰难的探索之一,其最终未能取得成功,这背后并非简单归结于“数学知识不够”这么片面的原因。这是一个涉及物理学理论构建、数学工具的局限性、以及对宇宙基本规律理解的深度等多个层面的复杂问题。首先,我们要理解爱因斯坦想要统一的是什么。在他看来,物理学的最高.............
  • 回答
    爱因斯坦是如何构思出他的相对论的?这是一个引人入胜的故事,不仅仅关乎物理学,也展现了人类非凡的洞察力和想象力。要理解这一点,我们得回到20世纪初,那个物理学旧秩序摇摇欲坠的时代。“追逐光束”的孩童梦想:一切的开端爱因斯坦童年时期就表现出异于常人的好奇心和思考方式。有一次,他因为生病卧床,收到父亲送给.............
  • 回答
    爱因斯坦那句著名的“上帝不掷骰子”(Gott würfelt nicht)绝非只是一个随口而出的比喻,它背后蕴含着他对于宇宙最深刻的哲学理解和对量子力学发展方向的强烈预感。要理解这句话的含义,我们得先回到那个量子力学风起云涌的时代,以及爱因斯坦与量子力学创始人之一——尼尔斯·玻尔之间那场旷日持久的“.............
  • 回答
    爱因斯坦在中国曾经拥有远超同时代其他科学家的名气,这确实是一个很有意思的现象。你问是不是因为相对论,答案是肯定的,但又不止于此。要深入理解这一点,我们需要回到那个特殊的历史时期,看看当时中国的社会文化背景和爱因斯坦其人。相对论的颠覆性与中国的时代需求首先,不能否认相对论本身就是一场科学革命。它彻底颠.............
  • 回答
    要理解爱因斯坦如何在“物理学理论已接近完成”的时代颠覆牛顿,我们得先回到那个时代人们的普遍认知。当时,也就是19世纪末20世纪初,物理学确实取得了辉煌的成就。牛顿力学在解释行星运动、物体下落等宏观现象上无往不利,麦克斯韦电磁理论则统一了电和磁,并预言了光的波动性。这些理论像两根巨大的支柱,支撑起了人.............
  • 回答
    阿尔伯特·爱因斯坦,这个名字本身就承载着智慧与传奇。我们熟知他在科学领域留下的璀璨足迹,但这位物理巨匠的私生活,同样充满了人性的复杂与温情,如同他那些深邃的公式一样,值得我们细细品味。初恋的波折与婚姻的羁绊:爱因斯坦的初恋,发生在他年轻时,对象是米列娃·马里奇(Mileva Marić),一位塞尔维.............
  • 回答
    在爱因斯坦还在苏黎世联邦理工学院(ETH Zurich)求学的时候,他确实曾对一位名叫米莱薇·玛丽(Mileva Marić)的女性心生爱慕。这位米莱薇·玛丽,并非是那种浪漫小说里的背景人物,而是一位货真价实的、才华横溢的女性,并且在物理学领域也有着自己的追求。米莱薇·玛丽出生于1875年,比爱因斯.............
  • 回答
    如果爱因斯坦穿越到我们这个时代,量子计算领域注定会被一场颠覆性的风暴席卷。这位伟大的物理学家,以其对现实本质的深刻洞察和非凡的想象力,无疑会以一种我们现在难以完全预料的方式,重塑量子计算的格局和发展趋势。首先,要理解爱因斯坦的影响,我们得回到他的根基。他不是一个纯粹的数学家,他是一名物理学家,一个思.............

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息,本站不存储任何数据与内容,任何内容与数据均与本站无关,如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度google,bing,sogou

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有