为什么负负得正，正正不能得负？
这个问题很有意思，也触及了数学中最基础也最重要的一些概念。我们不妨一步一步地捋清楚，为什么“负负得正”，而“正正”却不能“得负”。
从“负负得正”说起：理解负数的意义
首先，我们要明白负数究竟代表什么。在最开始，人类发明数字是为了计数，记录“有多少”东西。比如，3个苹果，10块钱。这些都是正数，代表着“拥有”或“增加”。
但是，随着社会的发展，我们遇到了需要描述“减少”或“相反方向”的情况。
方向： 我们可以把一个数轴想象成一条路。原点（0）是我们出发的地方。向右走，我们可以用正数表示距离，比如+3就代表向右走了3步。那么，向左走又该怎么表示呢？自然就需要一个符号来区分，这就是负数。3就代表向左走了3步。
欠债/亏损： 你有10块钱（+10），如果你花了15块钱，那么你就欠了5块钱（5）。这里的负数就代表“欠”或“亏损”。
温度： 零摄氏度（0℃）是冰点。低于零摄氏度的温度，比如5℃，就代表比零度还要冷。
现在，我们来看“负负得正”是怎么来的。这通常是我们在进行运算时，为了保持数学体系的自洽性和逻辑性而约定俗成的规则，但这个规则背后有很强的直观解释。
想象一下，你每个月都会收到100块钱（+100）。
“正”乘以“正”：如果你收到3个月的钱，那么你总共会增加 3 (+100) = +300 块钱。这是好理解的。
“负”乘以“正”：如果你每个月都在“减去”100块钱（100），那么3个月后，你总共会减少 3 (100) = 300 块钱。这也很容易理解，就是不断地支出。
“正”乘以“负”：这可以理解为“负的相反”，或者“相反的负”。假设“一个动作（正）”，比如“减少100块钱（100）”，如果这个动作发生了3次（+3），那就是总共减少了300块钱（300）。那么，如果这个动作发生“负3次”呢？“负3次”意味着“不发生”这个动作，或者说是“撤销”这个动作。撤销“减少100块钱”这个动作，就相当于“增加100块钱”。所以，(3) (100) = +300。
更直观的例子：
假设你每天要喝掉一杯水（1杯）。
那么，过去（负）的3天，你一共喝掉了 3 (1) = 3 杯水。 （负负得负？这里稍有不同，我们先看乘法）
换个角度，我们用“抵消”的概念。
负数可以理解为“拿走”或“撤销”。
“负负得正”可以理解为“撤销了拿走”就等于“得到了”。
比如，A拿走了B 10块钱（10）。
现在，C撤销了A拿走B钱这个行为（A拿走B 10块钱）。
那么，B的钱就相当于增加了10块钱（+10）。
数学上的定义其实是基于分配律等基本性质推导出来的，确保了整个运算体系的自洽。例如，我们知道：
a (b + c) = ab + ac （分配律）
如果我们有 a 0 = 0
令 b = c，那么 a (c + (c)) = a c + a (c)
因为 c + (c) = 0，所以 a 0 = a c + a (c)
0 = a c + a (c)
这说明 a (c) 必须是 a c 的相反数。
当a是正数时： (+a) (c) = (+a) c。 例如 5 (3) = 15。
当a是负数时： (a) (c)。 我们知道 (a) (c) + (a) c = (a) (c + (c)) = (a) 0 = 0。
又因为 (a) c = (a c)，所以 (a) (c) + ( (a c)) = 0。
这说明 (a) (c) 必须是 (a c) 的相反数的相反数，也就是 (a c) 本身。
所以，(a) (c) = a c。 这就是“负负得正”的数学证明。
为什么“正正”不能“得负”？
“正正得负”不符合我们对数字和运算的直观理解，以及数学体系的逻辑一致性。
1. 直观意义的冲突：
我们已经看到，正数通常代表“增加”、“拥有”或“正方向”。
“正正”相乘，比如 (+a) (+b)，意味着“多次增加”或者“朝正方向的多次累计”。
比如，你每天增加10块钱 (+10)，3天后，你的钱总共增加了 3 (+10) = +30 块。
“正正得负”会是什么意思？“三次增加10块钱，结果钱变少了30块”？这在实际情况中是讲不通的。它违背了“增加”的自然含义。
2. 数学体系的破坏：
如果允许“正正得负”，那么整个乘法和加法的系统就会变得混乱不堪。
比如，我们一直以来遵循的分配律、结合律等基本运算规则，都会被打破。
如果 (+2) (+3) = 6，那么我们之前看到的 (+3) (2) = 6，以及 (3) (2) = +6 等等，都会失去一致性。
数学之所以强大，是因为它建立在一致且自洽的规则之上。一旦允许“正正得负”，就像在建造大楼时，把地基挖得七零八落，大楼根本就站不住脚。
3. 数的概念的演进：
负数的出现是为了扩展数的概念，能够描述更多样的现实情况。
正数、负数、零共同构成了一个有序的数轴。
乘法在这个数轴上，也有其特定的几何意义（例如，ab表示以b为底，a为高的矩形面积，方向需要考虑）。
“正正”相乘，是朝着“正”的方向“重复”或“放大”，结果自然还是“正”。
总结一下：
“负负得正”是数学为了保持运算的自洽性，在引入负数概念后，根据分配律等基本性质推导出的必然结果。它也很好地契合了“撤销负面影响等于正面效果”的直观理解。
而“正正得负”则完全相反，它违背了我们对正数“增加”、“正向”意义的直观理解，并且一旦允许，就会彻底摧毁整个数学运算体系的逻辑一致性。所以，我们必须坚持“正正得正”，才能让数学这门语言清晰、有力地描述世界。
简单来说，数学的规则不是凭空想象的，它们是在尽可能地模仿和抽象现实世界的规律，同时又保证了内部的逻辑严丝合缝。负负得正是为了让数学更完善，而正正得负则会将其毁掉。
从“负负得正”说起：理解负数的意义
首先，我们要明白负数究竟代表什么。在最开始，人类发明数字是为了计数，记录“有多少”东西。比如，3个苹果，10块钱。这些都是正数，代表着“拥有”或“增加”。
但是，随着社会的发展，我们遇到了需要描述“减少”或“相反方向”的情况。
方向： 我们可以把一个数轴想象成一条路。原点（0）是我们出发的地方。向右走，我们可以用正数表示距离，比如+3就代表向右走了3步。那么，向左走又该怎么表示呢？自然就需要一个符号来区分，这就是负数。3就代表向左走了3步。
欠债/亏损： 你有10块钱（+10），如果你花了15块钱，那么你就欠了5块钱（5）。这里的负数就代表“欠”或“亏损”。
温度： 零摄氏度（0℃）是冰点。低于零摄氏度的温度，比如5℃，就代表比零度还要冷。
现在，我们来看“负负得正”是怎么来的。这通常是我们在进行运算时，为了保持数学体系的自洽性和逻辑性而约定俗成的规则，但这个规则背后有很强的直观解释。
想象一下，你每个月都会收到100块钱（+100）。
“正”乘以“正”：如果你收到3个月的钱，那么你总共会增加 3 (+100) = +300 块钱。这是好理解的。
“负”乘以“正”：如果你每个月都在“减去”100块钱（100），那么3个月后，你总共会减少 3 (100) = 300 块钱。这也很容易理解，就是不断地支出。
“正”乘以“负”：这可以理解为“负的相反”，或者“相反的负”。假设“一个动作（正）”，比如“减少100块钱（100）”，如果这个动作发生了3次（+3），那就是总共减少了300块钱（300）。那么，如果这个动作发生“负3次”呢？“负3次”意味着“不发生”这个动作，或者说是“撤销”这个动作。撤销“减少100块钱”这个动作，就相当于“增加100块钱”。所以，(3) (100) = +300。
更直观的例子：
假设你每天要喝掉一杯水（1杯）。
那么，过去（负）的3天，你一共喝掉了 3 (1) = 3 杯水。 （负负得负？这里稍有不同，我们先看乘法）
换个角度，我们用“抵消”的概念。
负数可以理解为“拿走”或“撤销”。
“负负得正”可以理解为“撤销了拿走”就等于“得到了”。
比如，A拿走了B 10块钱（10）。
现在，C撤销了A拿走B钱这个行为（A拿走B 10块钱）。
那么，B的钱就相当于增加了10块钱（+10）。
数学上的定义其实是基于分配律等基本性质推导出来的，确保了整个运算体系的自洽。例如，我们知道：
a (b + c) = ab + ac （分配律）
如果我们有 a 0 = 0
令 b = c，那么 a (c + (c)) = a c + a (c)
因为 c + (c) = 0，所以 a 0 = a c + a (c)
0 = a c + a (c)
这说明 a (c) 必须是 a c 的相反数。
当a是正数时： (+a) (c) = (+a) c。 例如 5 (3) = 15。
当a是负数时： (a) (c)。 我们知道 (a) (c) + (a) c = (a) (c + (c)) = (a) 0 = 0。
又因为 (a) c = (a c)，所以 (a) (c) + ( (a c)) = 0。
这说明 (a) (c) 必须是 (a c) 的相反数的相反数，也就是 (a c) 本身。
所以，(a) (c) = a c。 这就是“负负得正”的数学证明。
为什么“正正”不能“得负”？
“正正得负”不符合我们对数字和运算的直观理解，以及数学体系的逻辑一致性。
1. 直观意义的冲突：
我们已经看到，正数通常代表“增加”、“拥有”或“正方向”。
“正正”相乘，比如 (+a) (+b)，意味着“多次增加”或者“朝正方向的多次累计”。
比如，你每天增加10块钱 (+10)，3天后，你的钱总共增加了 3 (+10) = +30 块。
“正正得负”会是什么意思？“三次增加10块钱，结果钱变少了30块”？这在实际情况中是讲不通的。它违背了“增加”的自然含义。
2. 数学体系的破坏：
如果允许“正正得负”，那么整个乘法和加法的系统就会变得混乱不堪。
比如，我们一直以来遵循的分配律、结合律等基本运算规则，都会被打破。
如果 (+2) (+3) = 6，那么我们之前看到的 (+3) (2) = 6，以及 (3) (2) = +6 等等，都会失去一致性。
数学之所以强大，是因为它建立在一致且自洽的规则之上。一旦允许“正正得负”，就像在建造大楼时，把地基挖得七零八落，大楼根本就站不住脚。
3. 数的概念的演进：
负数的出现是为了扩展数的概念，能够描述更多样的现实情况。
正数、负数、零共同构成了一个有序的数轴。
乘法在这个数轴上，也有其特定的几何意义（例如，ab表示以b为底，a为高的矩形面积，方向需要考虑）。
“正正”相乘，是朝着“正”的方向“重复”或“放大”，结果自然还是“正”。
总结一下：
“负负得正”是数学为了保持运算的自洽性，在引入负数概念后，根据分配律等基本性质推导出的必然结果。它也很好地契合了“撤销负面影响等于正面效果”的直观理解。
而“正正得负”则完全相反，它违背了我们对正数“增加”、“正向”意义的直观理解，并且一旦允许，就会彻底摧毁整个数学运算体系的逻辑一致性。所以，我们必须坚持“正正得正”，才能让数学这门语言清晰、有力地描述世界。
简单来说，数学的规则不是凭空想象的，它们是在尽可能地模仿和抽象现实世界的规律，同时又保证了内部的逻辑严丝合缝。负负得正是为了让数学更完善，而正正得负则会将其毁掉。
网友意见
因为乘法可以分为两部分：扩张与旋转。
-1不过是“旋转π”，而1是“旋转2π”，虚数i是“旋转π/2”。
负负得正，i^2＝-1本质上都是这样。
如果对矩阵熟悉的人可能会想起旋转矩阵，虽然旋转矩阵和复数表面上不一样，但只要做一个特征值分解就会明白，这两者完全就是同一个东西的侧面。
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