为什么正方体有十一种展开图？

这个问题实际上是一个常见的误解，正方体并没有十一种展开图，而是有十一种“不同形状”的展开图。 这个“十一种”的说法通常指的是根据展开后图形的形状来区分，而不是指所有可能展开的方式（因为展开方式的组合可以非常多）。

让我们来详细地解释一下为什么会有十一种不同形状的展开图，以及这个数字是如何得出的：

什么是正方体的展开图？

正方体的展开图是指将一个正方体的六个面沿着棱剪开，然后摊平在一个平面上所形成的图形。这个图形仍然保持着六个面之间的连接关系。

为什么会有多种展开图？

正方体的六个面是完全相同的正方形。我们可以从不同的棱将它剪开，并且展开的方向也不同，从而得到不同的形状的展开图。

如何系统地找出所有不同形状的展开图？

要系统地找出所有不同形状的展开图，我们需要一种逻辑的方法，避免重复和遗漏。一种常用的方法是：

1. 固定一个面作为“底部”： 假设我们将正方体的一个面固定在展开图的中心位置，作为它的“底部”。
2. 考虑围绕底部的四个侧面： 这四个侧面可以以不同的方式排列在底部周围。
3. 考虑“顶部”： 最后剩下的一个面，也就是正方体的“顶部”，可以放在这四个侧面的上方或下方。

让我们用一个更形象的比喻来理解：想象你有一个盒子（正方体）。

第一步：找到一个面，让它躺在桌子上。 这是你的“底部”。
第二步：剩下的五个面可以被你翻开。
方法一：先翻开四个侧面。 这四个侧面可以沿着底部的四条边，向外翻开，形成一个“十字”的形状。这时，最后一个面（顶部）可以放在这四个侧面的任意一个的上方。
方法二：先翻开一个侧面，再翻开相邻的侧面。 这种情况下，侧面会形成“L”型或者“1字”型等排列。

最常见的分类方法：基于“十字形”的变体

绝大多数的十一种展开图都可以看作是“十字形”展开图的变体。一个最基础的十字形展开图是：

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这个展开图由一个中央正方形（底部），上下各一个正方形（侧面），以及左右各一个正方形（侧面）组成。最后剩下的一面（顶部）可以放在上下两个侧面的任意一个的上面。

我们来系统地分析如何从这个基础的“十字形”变来：

1. 基础的“十字形”展开图（3种）：

类型 1：131 型（最经典）：
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□
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这被认为是最基础的“十字形”。剩下的一个面（顶部）可以放在中间三个正方形的上面那个正方形的上方。这有以下三种排列方式（如果我们考虑这三个侧面的相对位置）：

1a:
```
□ (顶部)
□ □ □
□ (底部)
□
```
（这个图示是不完整的，它应该有四个侧面围绕底部，并且顶部在其中一个侧面的上面。）
更准确地说，是：
```
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□ □ □
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```
这四个□代表四个侧面。最上面的那个可以看作是顶部。
如果我们把底部固定在中间：
```
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□ □ □
□
```
这四个□是侧面。剩下的顶部可以放在任意一个侧面的外面。
如果我们将底部固定为中间一行，四个侧面围着它，最后一个顶部在最上面：
```
□
□ □ □
□
```
这本质上是同一个形状。我们可以从哪个方向看它，它是横着的还是竖着的，但形状是相同的。

更清晰的理解“131”：
想象正方体展开时，有一个面在最上面，三个面在中间一行，一个面在最下面。
```
□ (顶部)
□ □ □ (侧面)
□ (底部)
```
这个图示还漏掉了一个侧面。正确的“131”应该是：
```
□ (顶部)
□ □ □ (侧面)
□ (底部)
□ (另一个侧面)
```
这里我们有1个在最上面，3个在中间（形成一条线），1个在最下面。但我们只展示了4个侧面和1个顶部。我们还需要一个底部。
最标准和最容易理解的“131”展开图是：
```
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□ □ □
□
□
```
在这里，中间的三个□是一行，上下的两个□是另外的两个侧面，最上面的□是顶部。

类型 2：222 型（“楼梯形”）：
```
□ □
□ □
□ □
```
这种形状就像楼梯的两阶。我们可以沿着一条棱剪开，然后像书页一样翻开。
这种形状有两种不同的排列方式，取决于我们如何展开。

2a:
```
□ □
□ □
□ □
```
这六个正方形排列成一个三乘二的长方形的一部分。

2b:
```
□ □
□ □
□ □
```
这个是相同的形状。我们可以考虑它的对称性。

让我们更严谨地描述这两种 222 型：
想象我们沿着正方体的一条棱剪开。
方式一： 剪开三条相邻的棱。我们可以得到类似这样的形状：
```
□ □
□ □
□ □
```
这六个面可以形成一个 3x2 的长方形（不完全是，因为是正方形）。
方式二： 我们可以让两个面并列，再在其上方和下方各放两个面，最后再并列两个面。
```
□ □
□ □
□ □
```
这是最典型的 222 展开。

2. 基础“十字形”的变体（6种）：

我们可以从基础的“十字形”出发，通过“移动”最后一个面来产生新的形状。

将顶部从最上面的侧面移到旁边的侧面：
如果我们有一个“十字形”：
```
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□ □ □
□
□
```
如果我们将最上面的□（顶部）移到中间一行最左边那个□的左边：
```
□ □ □
□ □
□
```
这看起来还是一个“十字形”的变体。

一个更系统的方法：按列数来分类

另一种更易于理解和记忆的方法是按展开图中最长的一列有多少个正方形来分类：

最长一列有 4 个正方形的展开图（3种）：
这是最常见的类型，可以看作是将正方体沿一条棱剪开，然后展开。
131 型（包含三小类）：
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□ □ □
□
□
```
想象一下，最下面一个□是底部，它上面的一行有三个侧面，最上面一个□是顶部。这三个侧面可以有三种不同的相对位置。
展开图 1: 三边靠拢（最经典的十字形）
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□ □ □
□
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```
展开图 2: 三边形成一个角度（类似一个“Z”字形）
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□ □
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展开图 3: 三边形成另一个角度（类似一个反“Z”字形）
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□ □
```
这三种可以看作是“131”的变体，它们都遵循“一行有三个，上下各一个”的规则。

最长一列有 3 个正方形的展开图（6种）：
这些展开图的形状会更多样一些。
2211 型（包含两种）：
```
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□ □
□
□
```
这形成了一个类似楼梯的结构。我们可以看到一列有3个，另一列有3个，然后剩下两个是独立的。
展开图 4:
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□ □
□
□
```
展开图 5: （将上面的两个□向旁边移动）
```
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□ □
□ □
□
```
这两种可以看作是“2211”的不同排列。

1221 型（包含两种）：
```
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□ □
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```
这和上面的类似，只是起始位置不同。

1122 型（包含两种）：
```
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□ □
□ □
```

让我们更清晰地列出这些 131 和 2211 的变体。

基础十字形变体（6种）：

我们从基础十字形出发，将顶部面（原来在最上面的那个面）移动位置，会产生新的形状。
基础十字形:
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□ □ □
□
□
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将顶部的□移到左边的□左边：
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□ □
□
```
这是一个新形状。
将顶部的□移到中间的□的左边：
```
□ □ □
□ □
□
```
这是另一个新形状。

将所有形状归类，并且避免重复是关键。

标准的十一种展开图的图形：

为了直观理解，我们通常会看到以下这十一种展开图（不区分旋转和翻转）：

1. 131 型的三个变体：
最经典的十字形。
三边形成一个“L”形。
三边形成另一个“L”形。

（这三个可以看作是“131”结构，只是中间的三个面如何排列。）

2. “楼梯形”或“T”字形变体（6种）：
这些是基于“T”字形或者其他非十字形的组合。

T字形：
```
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□
□
```
这个只有5个面，我们需要加上第六个面。
展开图 4:
```
□ □ □
□
□
□
```
（这是一个 131 的变体）

展开图 5: （将最上面的□移到左边）
```
□ □ □
□ □
□
```
这变得有点复杂，让我们回到更通用的分类方法。

最可靠的分类方法：

根据数学家们的研究，正方体的展开图，在不考虑旋转和镜像对称的情况下，确实是 11种不同形状。

我们可以通过以下方式来系统地枚举它们：

1. 基础十字形 (1种):
```
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□ □ □
□
□
```
（中间一行三个面，上下各一个面。）

2. 将顶部面“移位”得到的变体 (3种):
从基础十字形开始，将最上面的面“拉”到旁边的面上。
展开图 2: 从中间一行最左边那个面左侧拉出一个面。
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展开图 3: 从中间一行最右边那个面右侧拉出一个面。
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展开图 4: 将顶部面放到中间一行的最左边或最右边那两个面的上方。
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或者
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□ □
```
（这两者是相同的形状，只是镜像对称。）

3. 非十字形展开图 (7种):
这些展开图的形状不像十字形那样有明显的中心。它们通常包含更长的连续的链。

2211 型的变体 (3种): 即有两列各包含2个面，另外两列各包含1个面。
展开图 5:
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```
展开图 6: （将上面的两个□向旁边移动）
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```
展开图 7: （将下面的两个□向旁边移动）
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2121 型的变体 (3种): 即有两列各包含2个面，另外两列各包含1个面，但是排列方式不同。
展开图 8:
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展开图 9:
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展开图 10:
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一个特殊的排列 (1种):
展开图 11:
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总结一下为什么有十一种：

这个数字“十一种”是根据不重复的形状得出的结论。如果我们将正方体的六个面看作是标记过的，那么展开方式会有非常多。但是，当我们将这些展开图进行比较，只看它们的轮廓和面与面之间的连接关系时，会发现只有十一种不同的形状。

这个结论是通过枚举法和排除法得到的。想象一下你沿着不同的棱进行切割，然后展开。你可以通过系统地分析切割和展开的可能性来证明这一点。

为什么这个数字很重要？

组合学和几何学中的经典问题。
在设计和包装领域有应用。 了解这些展开图可以帮助设计师优化包装的材料和生产过程。
教育意义。 这是一个很好的练习学生空间想象能力和逻辑思维能力的问题。

重要的提示：

旋转和镜像不被视为新的形状。 例如，一个“十字形”展开图，你把它旋转90度或者左右翻转，它仍然是同一个形状。
只有形状的差异才算。

所以，虽然有很多种展开的方式，但因为正方体的六个面都是相同的正方形，并且形状可以通过旋转和镜像相互转换，所以最终只剩下十一种“基本”的形状。

希望这个详细的解释能帮助你理解为什么正方体有十一种展开图！

分析

一骰子如上图左；每个面都与四个面相邻（共边），与对面不相邻，如上图右（每个面抽象为一点）。

想要得到立方体展开图，等价于求右图的支撑树的种类，本质上就是求“同分异构”。

需要注意的是下面两点：

• 为不相邻偶对（废话！对面！），同理还有 ， 。
• 对立方体的各个面进行简单的分类：将圈 称为侧面， 和 称为底面。类似的划分底面与侧面的方式还有很多，但是它们都是等价的，所以我们只讨论一种就行了。

接下来我们的任务就是将侧面展开，并且将底面适当地安置在侧面上。

考虑正丁烷的取代：考虑两个方向的对称，分为 、 位于红色镜面（如下图）同侧与异侧两小类（每一小类分为三种情况）——

第二类

考虑丙烷的取代：

与 相连， 与 相连，两者是等价的，我们只考虑前者即可。

第三类

考虑乙烷（已完）的取代：

这是最后一种情况，

总结

11 种情况——

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这个分析过程比较初等，高中生都看得懂，不过如果用代数图论的知识分析也许更严谨。

正方体11种展开图严格证明 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/446420829