数学/算法：正方形内有5个点，为什么最近点对的距离小于边长？
想象一下，你在一个正方形的画布上随意画了五个点。这个正方形，我们就称它为“地盘”，它的边长是一个确定的数值，比如1米。现在，我们要探究的是，在这五个点里面，任意两个点之间最近的那对点，它们之间的距离，会不会比这个地盘的边长还要短？
答案是肯定的，而且这背后藏着一个非常巧妙的数学思想，叫做“鸽笼原理”。虽然我们这里不是真的在说鸽子，但这个原理的核心思想——“把东西分到比东西数量少的笼子里，总有一个笼子里会有不止一个东西”——却能很好地说明这个问题。
咱们来把这个正方形的地盘，想象成一个大大的笼子。我们有五个点，这就像是五只“鸽子”。为了找出最近的那一对点，我们需要把这个大笼子巧妙地分割成更小的、数量少于鸽子的“小笼子”。
怎么分割呢？很简单。我们把这个边长为1米的正方形，平均分成四份。怎么平均分呢？想象一下，我们在这个正方形的中心画一个十字，一条线平行于上边和下边，穿过正方形的中心；另一条线平行于左边和右边，也穿过正方形的中心。这样，我们就把原来一个大正方形，变成了四个一模一样的小正方形。
现在，这四个小正方形，就像是我们的“小笼子”，而我们有五只“鸽子”（五个点）。根据鸽笼原理，当我们把五只鸽子放进这四个小笼子里时，总有一个小笼子里会至少有两只鸽子。
为什么这能告诉我们最近点对的距离小于边长呢？
思考一下，我们分割出来的这四个小正方形，它们各自的边长是多少？如果大正方形的边长是1，那么每个小正方形的边长就是1/2。
现在，我们已经知道，至少有一个小正方形里有两点。那么，在这一个被“撞车”的小正方形里，我们有两个点。这两个点，它们之间最远的距离是多少？想一想，在一个正方形里，距离最远的两点就是对角的两个顶点。而这个小正方形的对角线长度，根据勾股定理（a² + b² = c²），它的边长是1/2，那么对角线的长度就是 sqrt((1/2)² + (1/2)²) = sqrt(1/4 + 1/4) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2)。
1/sqrt(2) 大约是 0.707。
而我们地盘（大正方形）的边长是1。
所以，我们发现，即便在这四个小正方形里，任意两点之间的最大距离（对角线）都比大正方形的边长要短。
更重要的是，我们找到的“最近点对”就在这个小正方形里面。在这一个小正方形里面，任意两点之间的距离，都不可能大于这个小正方形的对角线长度。而这个小正方形的对角线长度，我们已经算出来是 1/sqrt(2)，它明显小于我们原始地盘的边长1。
所以，结论就是：既然至少有一对点落在了同一个小正方形里，而且这个小正方形对角线的长度（最大可能距离）都小于原始地盘的边长，那么这对点之间的实际距离，自然也就小于原始地盘的边长了。
这就是为什么，无论你在这1x1的正方形里随机画5个点，总能找到一对点，它们之间的距离，会比那个正方形的边长（1）要短。
答案是肯定的，而且这背后藏着一个非常巧妙的数学思想，叫做“鸽笼原理”。虽然我们这里不是真的在说鸽子，但这个原理的核心思想——“把东西分到比东西数量少的笼子里，总有一个笼子里会有不止一个东西”——却能很好地说明这个问题。
咱们来把这个正方形的地盘，想象成一个大大的笼子。我们有五个点，这就像是五只“鸽子”。为了找出最近的那一对点，我们需要把这个大笼子巧妙地分割成更小的、数量少于鸽子的“小笼子”。
怎么分割呢？很简单。我们把这个边长为1米的正方形，平均分成四份。怎么平均分呢？想象一下，我们在这个正方形的中心画一个十字，一条线平行于上边和下边，穿过正方形的中心；另一条线平行于左边和右边，也穿过正方形的中心。这样，我们就把原来一个大正方形，变成了四个一模一样的小正方形。
现在，这四个小正方形，就像是我们的“小笼子”，而我们有五只“鸽子”（五个点）。根据鸽笼原理，当我们把五只鸽子放进这四个小笼子里时，总有一个小笼子里会至少有两只鸽子。
为什么这能告诉我们最近点对的距离小于边长呢？
思考一下，我们分割出来的这四个小正方形，它们各自的边长是多少？如果大正方形的边长是1，那么每个小正方形的边长就是1/2。
现在，我们已经知道，至少有一个小正方形里有两点。那么，在这一个被“撞车”的小正方形里，我们有两个点。这两个点，它们之间最远的距离是多少？想一想，在一个正方形里，距离最远的两点就是对角的两个顶点。而这个小正方形的对角线长度，根据勾股定理（a² + b² = c²），它的边长是1/2，那么对角线的长度就是 sqrt((1/2)² + (1/2)²) = sqrt(1/4 + 1/4) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2)。
1/sqrt(2) 大约是 0.707。
而我们地盘（大正方形）的边长是1。
所以，我们发现，即便在这四个小正方形里，任意两点之间的最大距离（对角线）都比大正方形的边长要短。
更重要的是，我们找到的“最近点对”就在这个小正方形里面。在这一个小正方形里面，任意两点之间的距离，都不可能大于这个小正方形的对角线长度。而这个小正方形的对角线长度，我们已经算出来是 1/sqrt(2)，它明显小于我们原始地盘的边长1。
所以，结论就是：既然至少有一对点落在了同一个小正方形里，而且这个小正方形对角线的长度（最大可能距离）都小于原始地盘的边长，那么这对点之间的实际距离，自然也就小于原始地盘的边长了。
这就是为什么，无论你在这1x1的正方形里随机画5个点，总能找到一对点，它们之间的距离，会比那个正方形的边长（1）要短。
网友意见
楼上的证明看起来比较繁琐，我来个简单的。
把正方形4等分成4个小正方形，边长d/2。由抽屉原理，5个点中，至少有两个点在同一个小正方形里，这两个点距离最大不超过,证完。
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