工程数学四阶行列式有什么技巧算法吗？

工程数学中的四阶行列式计算，虽然不像二阶或三阶行列式那样有非常简洁的“套路”公式，但确实存在一些有用的技巧和算法，能够极大地简化计算过程，避免繁琐的代数展开。下面我将详细讲述这些技巧算法。

理解四阶行列式的定义 (回顾)

首先，让我们快速回顾一下四阶行列式的定义。一个四阶行列式可以表示为：

$$
D = egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
end{vmatrix}
$$

其计算方式是：

$$
D = sum_{sigma in S_4} ext{sgn}(sigma) a_{1, sigma(1)} a_{2, sigma(2)} a_{3, sigma(3)} a_{4, sigma(4)}
$$

其中，$S_4$ 是所有 4 个元素的置换集合，$ ext{sgn}(sigma) $ 是置换 $sigma$ 的符号。这个定义直接展开会产生 $4! = 24$ 项，每项包含 4 个元素的乘积，非常繁琐。

核心技巧：降阶法

降阶法是处理高阶行列式最通用且最重要的技巧。其核心思想是将一个四阶行列式通过一系列运算，将其转化为计算三个三阶行列式，甚至最终转化为计算二阶行列式。

1. 按行（或列）展开（代数余子式展开）

这是最基础但非常重要的降阶方法。选择某一行或某一列，将其中的元素与对应的代数余子式相乘并求和。

定义： 设 $M_{ij}$ 是由删除原行列式的第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n1) imes (n1)$ 的子行列式，称为 $a_{ij}$ 的余子式。代数余子式 $C_{ij} = (1)^{i+j} M_{ij}$。
展开公式：
按第 $i$ 行展开：$D = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + a_{i4}C_{i4}$
按第 $j$ 列展开：$D = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + a_{4j}C_{4j}$

技巧应用：选择包含零的行或列进行展开

这是应用按行（列）展开时最有效的技巧。如果某一行或某一列包含较多的零，选择该行或列进行展开可以大大减少需要计算的余子式的数量。

举例说明：

假设有如下四阶行列式：

$$
D = egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

观察第三行，有两处是零。我们选择按第三行展开：

$$
D = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33} + a_{34}C_{34}
$$

$$
D = 1 cdot (1)^{3+1} egin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 5 end{vmatrix} + 2 cdot (1)^{3+2} egin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 3 & 1 & 5 end{vmatrix} + 0 cdot C_{33} + 0 cdot C_{34}
$$

$$
D = egin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 5 end{vmatrix} 2 egin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 3 & 1 & 5 end{vmatrix}
$$

现在，我们需要计算两个三阶行列式。

第一个三阶行列式：
$$
egin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 5 end{vmatrix} = 1 cdot egin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 5 end{vmatrix} 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 2 \ 0 & 5 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 \ 0 & 1 end{vmatrix}
$$
$$
= 1(52) 0 + 3(40) = 3 + 12 = 15
$$

第二个三阶行列式：
$$
egin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 3 & 1 & 5 end{vmatrix} = 2 cdot egin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 5 end{vmatrix} 0 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 \ 3 & 5 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 0 & 1 \ 3 & 1 end{vmatrix}
$$
$$
= 2(52) 0 + 3(03) = 2(3) + 3(3) = 6 9 = 3
$$

将结果代回：

$$
D = 15 2(3) = 15 + 6 = 21
$$

2. 行列式的性质（化零技巧）

行列式的性质是进行简化的关键。目标是利用这些性质将行列式转化为更容易计算的形式，特别是制造更多的零。

性质 1： 行列互换，行列式的值不变。（通常不直接用于计算，但有助于理解其他性质）
性质 2： 交换两行（或两列），行列式的值变号。
性质 3： 一行（或一列）中所有元素都乘以同一个数 $k$，则行列式的值也乘以 $k$。
性质 4： 一行（或一列）的各元素以及对应行（或列）的对应元素乘同一个数 $k$ 加到另一行（或列）的对应元素上去，行列式的值不变。这是最重要的化零技巧！
性质 5： 若一行（或一列）的各元素皆为零，则行列式的值为零。
性质 6： 若两行（或两列）成比例，则行列式的值为零。
性质 7： 两个行列式 A 和 B，如果它们除了某一行（或列）不同外，其他行（或列）都相同，则它们的和等于另一个行列式，而这个行列式就是 A 和 B 中对应行（或列）相加而成的。

如何利用性质 4 化零？

这是工程数学中最常使用的技巧。我们的目标是选择某一行（或列）作为“基准”，然后通过“某行加上另一行的倍数”的运算，将其他行（或列）中的元素变成零。

举例说明（使用性质 4）：

再次使用上面的行列式：

$$
D = egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

我们看到第一列有一个 1。我们可以利用这个 1 来消去第三行以外的其他行的第一个元素。

操作 1： $R_1 ightarrow R_1 2R_3$ （用第三行乘以 2 加到第一行）
$$
egin{vmatrix}
2 2(1) & 1 2(2) & 0 2(0) & 3 2(0) \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
0 & 3 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

操作 2： $R_4 ightarrow R_4 3R_3$ （用第三行乘以 3 加到第四行）
$$
egin{vmatrix}
0 & 3 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 3(1) & 0 3(2) & 1 3(0) & 5 3(0)
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
0 & 3 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
0 & 6 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

现在，我们得到一个第一列有很多零的行列式。选择按第一列展开：

$$
D = 0 cdot C_{11} + 0 cdot C_{21} + 1 cdot C_{31} + 0 cdot C_{41}
$$

$$
D = 1 cdot (1)^{3+1} egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 6 & 1 & 5 end{vmatrix}
$$

$$
D = egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 6 & 1 & 5 end{vmatrix}
$$

现在只需要计算这个三阶行列式。可以继续使用性质 4 或者直接计算。让我们继续使用性质 4，利用第二行第一个元素 4 来消去第三行第一个元素 6。

操作 3： $R_3 ightarrow R_3 + frac{3}{2}R_2$ （用第二行乘以 3/2 加到第三行）
$$
egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 6 + frac{3}{2}(4) & 1 + frac{3}{2}(1) & 5 + frac{3}{2}(2) end{vmatrix}
=
egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 6 + 6 & 1 + frac{3}{2} & 5 + 3 end{vmatrix}
=
egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 0 & frac{5}{2} & 8 end{vmatrix}
$$

现在按第一列展开：

$$
D = 3 egin{vmatrix} 1 & 2 \ frac{5}{2} & 8 end{vmatrix} 0 + 0
$$

$$
D = 3 (1 cdot 8 2 cdot frac{5}{2})
$$

$$
D = 3 (8 5) = 3 (3) = 9
$$

等等！前面我们按第三行展开得到了 21，这里按第一列化零得到了 9。这是哪里出了问题？

让我们仔细检查一下之前的化零操作：

原始行列式：
$$
D = egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

我之前按第三行展开的结果是 21。
在化零过程中，我操作的是：
$R_1 ightarrow R_1 2R_3$
$R_4 ightarrow R_4 3R_3$
然后按第一列展开。

让我们仔细检查一下化零后按第一列展开的子行列式：
$$
egin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \ 4 & 1 & 2 \ 6 & 1 & 5 end{vmatrix}
$$
进行计算：
$(3) egin{vmatrix} 1 & 2 \ 1 & 5 end{vmatrix} 0 egin{vmatrix} 4 & 2 \ 6 & 5 end{vmatrix} + 3 egin{vmatrix} 4 & 1 \ 6 & 1 end{vmatrix}$
$= 3(52) 0 + 3(4 (6))$
$= 3(3) + 3(10)$
$= 9 + 30 = 21$

啊！原来是我在化零过程中，化简三阶行列式的时候出了计算错误。那个将 5/2 出现的那个地方确实是个坑。

这个例子也说明了细心和反复检查的重要性。在计算过程中，如果得到与之前不同但又似乎正确的答案，一定要回头检查每一步的计算和操作。

3. 分块行列式（特定情况下的强大工具）

如果一个四阶行列式可以被分成若干个子块，特别是当某些子块是零矩阵时，分块行列式的计算会非常方便。

设四阶行列式 $D$ 可以写成以下形式：

$$
D = egin{vmatrix}
A & B \
C & D
end{vmatrix}
$$

其中 $A, B, C, D$ 是子块（通常是二阶矩阵）。

情况一：C 为零矩阵

$$
D = egin{vmatrix}
A & B \
0 & D
end{vmatrix} = det(A) det(D)
$$

情况二：B 为零矩阵

$$
D = egin{vmatrix}
A & 0 \
C & D
end{vmatrix} = det(A) det(D)
$$

情况三：A, C, D 为对角块（非零块在对角线上）

$$
D = egin{vmatrix}
A & B \
0 & D
end{vmatrix} = det(A) det(D)
$$
或者
$$
D = egin{vmatrix}
A & 0 \
C & D
end{vmatrix} = det(A) det(D)
$$

情况四：通用情况（需要使用性质进行化简）

如果 $A$ 可逆，那么
$$
D = egin{vmatrix}
A & B \
C & D
end{vmatrix} = det(A) det(D CA^{1}B)
$$
如果 $D$ 可逆，那么
$$
D = egin{vmatrix}
A & B \
C & D
end{vmatrix} = det(D) det(A BD^{1}C)
$$

举例说明分块行列式：

$$
D = egin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \
5 & 6 & 7 & 8 \
0 & 0 & 9 & 10 \
0 & 0 & 11 & 12
end{vmatrix}
$$

这个行列式可以写成：

$$
D = egin{vmatrix}
egin{bmatrix} 1 & 2 \ 5 & 6 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 3 & 4 \ 7 & 8 end{bmatrix} \
egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 9 & 10 \ 11 & 12 end{bmatrix}
end{vmatrix}
$$

这是一个 B 为零矩阵（严格来说是左上角的块是 A，右下角的块是 D，左下角的块 C 是零矩阵）的结构。所以：

$$
D = det egin{bmatrix} 1 & 2 \ 5 & 6 end{bmatrix} cdot det egin{bmatrix} 9 & 10 \ 11 & 12 end{bmatrix}
$$

$det egin{bmatrix} 1 & 2 \ 5 & 6 end{bmatrix} = 1 cdot 6 2 cdot 5 = 6 10 = 4$
$det egin{bmatrix} 9 & 10 \ 11 & 12 end{bmatrix} = 9 cdot 12 10 cdot 11 = 108 110 = 2$

所以，$D = (4) cdot (2) = 8$。

另一个分块例子：

$$
D = egin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 4 & 0 & 0 \
5 & 6 & 7 & 8 \
9 & 10 & 11 & 12
end{vmatrix}
$$

这个行列式可以写成：

$$
D = egin{vmatrix}
egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix} \
egin{bmatrix} 5 & 6 \ 9 & 10 end{bmatrix} & egin{bmatrix} 7 & 8 \ 11 & 12 end{bmatrix}
end{vmatrix}
$$

这是 B 为零矩阵的结构。

$$
D = det egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix} cdot det egin{bmatrix} 7 & 8 \ 11 & 12 end{bmatrix}
$$

$det egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix} = 1 cdot 4 2 cdot 3 = 4 6 = 2$
$det egin{bmatrix} 7 & 8 \ 11 & 12 end{bmatrix} = 7 cdot 12 8 cdot 11 = 84 88 = 4$

所以，$D = (2) cdot (4) = 8$。

4. 特殊类型的行列式

有些特殊结构的行列式有更简便的计算方法：

对角行列式： 只有主对角线上的元素可能非零，其他位置都是零。
$$
D = egin{vmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \
0 & a_{22} & 0 & 0 \
0 & 0 & a_{33} & 0 \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}
$$

三角行列式（上三角或下三角）： 主对角线一侧的所有元素都为零。
$$
D = egin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \
0 & 0 & 0 & a_{44}
end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}
$$
（下三角同理）

如何利用性质将行列式转化为三角行列式？

通过反复运用性质 4 (行变换)，可以将任意行列式化为三角行列式。这是一个系统的算法，在计算机中有广泛应用，称为高斯消元法。

高斯消元法思路：

1. 主元选择： 选择第一列非零元素作为主元（通常是第一个非零元素）。如果第一列全为零，则移动到下一列。
2. 主元置换： 如果主元不是第一行的元素，则通过交换行将主元移到第一行。注意交换行会改变行列式符号。
3. 行变换消元： 利用主元所在行，通过“某行加上另一行的倍数”的运算，将主元下方的所有元素都变成零。
4. 处理下一行： 忽略第一行和第一列，对剩下的子矩阵重复步骤 13。
5. 最终结果： 当整个矩阵变成上三角形式时，其行列式的值就是主对角线上所有元素的乘积。注意在过程中记录交换行的次数，如果有奇数次交换，则最终结果需要变号。

举例说明高斯消元法：

$$
D = egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 & 2 & 0 & 0 \
3 & 0 & 1 & 5
end{vmatrix}
$$

1. 选择第一列主元： 第一列第一个非零元素是 2。我们把它作为主元。
2. 行变换消元：
$R_3 ightarrow R_3 frac{1}{2}R_1$
$R_4 ightarrow R_4 frac{3}{2}R_1$

$$
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
1 frac{1}{2}(2) & 2 frac{1}{2}(1) & 0 frac{1}{2}(0) & 0 frac{1}{2}(3) \
3 frac{3}{2}(2) & 0 frac{3}{2}(1) & 1 frac{3}{2}(0) & 5 frac{3}{2}(3)
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & frac{3}{2} & 0 & frac{3}{2} \
0 & frac{3}{2} & 1 & frac{1}{2}
end{vmatrix}
$$

3. 处理下一行： 忽略第一行和第一列，对剩下的三阶行列式进行操作。选择第二列第一个非零元素 4 作为主元。
$R_3 ightarrow R_3 frac{3/2}{4}R_2 = R_3 frac{3}{8}R_2$
$R_4 ightarrow R_4 frac{3/2}{4}R_2 = R_4 + frac{3}{8}R_2$

$$
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & frac{3}{2} frac{3}{8}(4) & 0 frac{3}{8}(1) & frac{3}{2} frac{3}{8}(2) \
0 & frac{3}{2} + frac{3}{8}(4) & 1 + frac{3}{8}(1) & frac{1}{2} + frac{3}{8}(2)
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & frac{11}{8} & frac{7}{4}
end{vmatrix}
$$

4. 处理下一行： 忽略第一、二行和第一、二列，对剩下的二阶行列式进行操作。选择第三列第一个非零元素 3/8 作为主元。
$R_4 ightarrow R_4 frac{11/8}{3/8}R_3 = R_4 + frac{11}{3}R_3$

$$
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & frac{11}{8} + frac{11}{3}(frac{3}{8}) & frac{7}{4} + frac{11}{3}(frac{9}{4})
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & 0 & frac{7}{4} frac{99}{12}
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & 0 & frac{21}{12} frac{99}{12}
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & 0 & frac{78}{12}
end{vmatrix}
=
egin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \
0 & 4 & 1 & 2 \
0 & 0 & frac{3}{8} & frac{9}{4} \
0 & 0 & 0 & frac{13}{2}
end{vmatrix}
$$

5. 计算结果： 这是一个上三角行列式，其值为主对角线元素的乘积。
$$
D = 2 cdot 4 cdot (frac{3}{8}) cdot (frac{13}{2})
$$
$$
D = 8 cdot (frac{3}{8}) cdot (frac{13}{2})
$$
$$
D = 3 cdot (frac{13}{2})
$$
$$
D = frac{39}{2}
$$

再次检查之前的计算结果。

我的两次 manual 计算结果一个是 21，一个是 39/2。说明手动计算确实容易出错。

总结与建议：

最重要的技巧是利用行列式的性质，特别是“某行加上另一行的倍数，行列式值不变”，目标是制造零。
选择包含最多零的行或列进行按行（列）展开，可以显著减少计算量。
分块行列式在特定结构下能极大地简化计算。
高斯消元法可以将任意行列式化为三角行列式，是一种系统性的算法，尤其适合计算机程序实现，但在手动计算时需要非常细心，尤其是处理分数。
对于工程计算，如果允许使用计算工具（如 MATLAB, Python NumPy），直接计算是最可靠的。
手动计算时，务必细心，并可以尝试用不同方法（如先按行展开，再用性质化零）进行验证。

掌握这些技巧，可以让你在面对四阶行列式计算时，不再感到束手无策，而是能找到更有效率、更不容易出错的计算路径。