为什么left adjoint的存在性和comma category有关？

要深入理解左伴随（left adjoint）的存在性与逗号范畴（comma category）之间的关系，我们需要从范畴论的基本概念出发，逐步构建起它们之间的联系。与其说逗号范畴是“证明”左伴随存在性的工具，不如说它是理解左伴随的一种“视角”，或者说是一种“构造”，它将伴随的存在性问题转化为一个在特定逗号范畴中的一个（或一组）对象是否具有特定属性的问题。

让我们一层一层地剥开这个概念。

1. 范畴与函子：背景的铺垫

首先，我们需要明确什么是范畴（Category）和函子（Functor）。

范畴 $mathcal{C}$ 由一系列对象（Objects）和对象之间的态射（Morphisms）组成。对于任意对象 $A, B in mathcal{C}$，都有一个态射集合 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, B)$。态射满足结合律和单位律。
函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 是在两个范畴之间建立联系的映射。它将 $mathcal{C}$ 中的对象映射到 $mathcal{D}$ 中的对象，将 $mathcal{C}$ 中的态射映射到 $mathcal{D}$ 中的态射，并且保持复合和恒等态射。

2. 伴随函子：核心概念

现在，进入主题——伴随函子。如果存在两个函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，并且它们之间存在一种特殊的“对偶关系”，我们就说 $F$ 是 $G$ 的左伴随，或者说 $(F, G)$ 构成一对伴随函子。

这种“对偶关系”可以用自然同构（Natural Isomorphism）来精确定义。具体来说，函子 $F$ 是函子 $G$ 的左伴随，当且仅当存在一个自然同构：

$$ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B)) $$

对于所有对象 $A in mathcal{C}$ 和 $B in mathcal{D}$。这里的 $cong$ 表示态射集合之间的同构，而且这个同构是“自然的”，这意味着它与我们选择的 $A$ 和 $B$ 的变化相容。

这个定义非常强大，它表明，在 $mathcal{D}$ 中从 $F(A)$ 到 $B$ 的态射，与在 $mathcal{C}$ 中从 $A$ 到 $G(B)$ 的态射，有着本质上的一一对应关系。这种对应关系就是伴随的“核心”。

3. 逗号范畴：一种新的视角

逗号范畴并不是用来“证明”伴随的，而是为了刻画和理解伴随的通用性质。它提供了一种将函子间的关系语言化、范畴化（categorify）的方式。

让我们定义一个逗号范畴。给定两个范畴 $mathcal{A}$ 和 $mathcal{B}$，以及两个函子 $F: mathcal{A} o mathcal{C}$ 和 $G: mathcal{B} o mathcal{C}$。

范畴 $G downarrow F$（也写作 $(G, F)$ 或 $G/!/F$）：
对象（Objects）：是 $mathcal{C}$ 中的对象 $X$ 以及一对态射 $g: G(B) o X$ 和 $f: X o F(A)$，其中 $B in mathcal{B}$ 和 $A in mathcal{A}$。我们通常将这样的对象表示为 $(X, g, f)$，或者更简洁地表示为 $(B, A)$ 并隐去 $X$ 和态射，表示一个“从 $G(B)$ 到 $F(A)$ 的图景”。
态射（Morphisms）：一个从对象 $(X, g, f)$ 到对象 $(X', g', f')$ 的态射是一个 $mathcal{C}$ 中的态射 $h: X o X'$，使得 $h circ g = g'$ 并且 $f = f' circ h$。也就是说，这个态射 $h$ 需要“与底下的图保持一致”。

你可以想象一下，逗号范畴 $G downarrow F$ 是所有从 $G$ 的像（图像）到 $F$ 的像的“桥梁”的集合，并且这些桥梁要满足特定的“交换图”性质。

4. 伴随与逗号范畴的联系：全局意义上的连接

现在，我们将伴随的定义和逗号范畴的构造联系起来。核心在于伴随的定义本身就暗含了一个“最优性”或者“通用性”的性质，而逗号范畴正是用来描述这类性质的。

考虑一对函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$。我们说 $F$ 是 $G$ 的左伴随，等价于存在一个自然同构：

$$ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B)) $$

这个同构可以被看作是定义了一个从 $mathcal{C}$ 到某个范畴的函子，以及从 $mathcal{D}$ 到同一个范畴的函子，并且它们之间存在一个特殊的关系。

我们来看一个更一般的视角，它通常与泛性质（Universal Property）有关，而泛性质的描述正是通过逗号范畴或其变体（如上逗号范畴 $F downarrow G$）来完成的。

关键点在于：左伴随的性质可以用一个“最优的”态射来刻画，这个最优态射就存在于一个特定的逗号范畴中。

考虑函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$。我们想要寻找一个函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$，使得它与 $G$ 形成伴随。

对于固定的对象 $A in mathcal{C}$，我们考虑逗号范畴 $G downarrow F$。在这种设置下，逗号范畴中的对象是形如 $(X, g, f)$，其中 $X in mathcal{D}$， $g: G(B) o X$ 和 $f: X o F(A)$，其中 $B in mathcal{D}$。

更直接的联系是利用“伴随的泛性质”：

如果 $F$ 是 $G$ 的左伴随，那么对于任意 $A in mathcal{C}$，存在一个态射 $eta_A: A o G(F(A))$（这就是伴随的单位，unit），它具有如下泛性质：

对于 $mathcal{C}$ 中的任何对象 $X$ 和任何态射 $h: A o G(X)$（其中 $X in mathcal{D}$），存在唯一的态射 $k: F(A) o X$ 使得 $h = G(k) circ eta_A$。

这个泛性质可以用逗号范畴来重述：

考虑范畴 $mathbf{1}$（只有一个对象，一个态射：恒等态射）。
考虑函子 $Delta_A: mathbf{1} o mathcal{C}$，它将 $mathbf{1}$ 中的唯一对象映射到 $A in mathcal{C}$。
考虑函子 $G circ F: mathcal{C} o mathcal{C}$（实际上这里的 $G$ 是函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$）。

我们可以构造一个逗号范畴：$(G circ F) downarrow ext{id}_{mathcal{C}}$，其中 $ ext{id}_{mathcal{C}}$ 是 $mathcal{C}$ 上的恒等函子。

这个逗号范畴中的对象是形如 $(X, alpha, eta)$，其中 $X in mathcal{C}$， $alpha: (G circ F)(Y) o X$ 和 $eta: X o ext{id}_{mathcal{C}}(Y)$，其中 $Y in mathcal{C}$。

更一般的，考虑函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$。伴随的定义 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$ 意味着我们可以将 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(), B)$ 看作是 $mathcal{C}$ 的一个协变函子，而 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(, G(B))$ 是 $mathcal{C}$ 的一个逆变函子。

更贴切的逗号范畴的关联方式是：

左伴随 $F$ 的存在性可以转化为一个全局元素（global element）在某个逗号范畴中的存在性。

考虑函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$。我们想要找到一个函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$，使得 $F$ 是 $G$ 的左伴随。

对于 $mathcal{C}$ 中的任何对象 $A$，我们考虑一个函子 $f_A: mathbf{1} o mathcal{C}$，它将 $mathbf{1}$ 中的唯一对象映射到 $A$。
我们同样考虑 $mathcal{D}$ 中的对象 $B$，定义一个函子 $g_B: mathbf{1} o mathcal{D}$，它将 $mathbf{1}$ 中的唯一对象映射到 $B$。

现在，我们考虑函子 $F$ 的右伴随 $G$ 的存在性。这通常被表述为：

对于任何 $A in mathcal{C}$，态射集合 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$ 构成了一个从 $mathbf{1}$ 到 $ ext{Set}$ 的函子（在 $A$ 上取值），而 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B)$ 构成了一个从 $mathbf{1}$ 到 $ ext{Set}$ 的函子（在 $B$ 上取值）。

最核心的联系是关于“泛构造”的：

左伴随 $F$ 使得 $F(A)$ 是 $G$ 作用在某个对象上的“最优的”或“最接近的” $G$代数（如果你熟悉代数结构的话）。

换句话说，存在性伴随的描述可以用一个逗号范畴中的终端对象（terminal object）来表达。

考虑函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$。我们要找 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$。
对于 $mathcal{C}$ 中的任何 $A$，我们要从 $A$ “生成”一个 $F(A)$。

我们可以构造逗号范畴 $G downarrow ext{id}_{mathcal{C}}$。这个范畴的对象是形如 $(X, alpha)$，其中 $X in mathcal{C}$ 且 $alpha: G(Y) o X$ 对于某个 $Y in mathcal{D}$。
态射是 $mathcal{C}$ 中的态射 $h: X o X'$，使得 $h circ alpha = alpha'$。

我们还可以构造逗号范畴 $ ext{id}_{mathcal{D}} downarrow F$。这个范畴的对象是形如 $(X, alpha)$，其中 $X in mathcal{D}$ 且 $alpha: F(A) o X$ 对于某个 $A in mathcal{C}$。

真正的精髓在于：函子 $F$ 是函子 $G$ 的左伴随，当且仅当对于 $mathcal{C}$ 中的每个对象 $A$，存在一个终端对象在逗号范畴 $G downarrow F'$ 中，其中 $F'$ 是从 $mathcal{C}$ 到 $mathcal{D}$ 的一个特定函子。

让我们回到伴随的定义： $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$。

这个同构意味着，对于固定的 $A in mathcal{C}$，我们有一个函子 $H_A: mathcal{D} o mathbf{Set}$，定义为 $H_A(B) = ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B)$。这个函子是 “可表示的”（representable），其表示对象是 $F(A)$。
同时，它也意味着对于固定的 $B in mathcal{D}$，我们有一个函子 $K_B: mathcal{C} o mathbf{Set}$，定义为 $K_B(A) = ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$。这个函子是 “可表示的”，其表示对象是 $G(B)$（当视为在 $mathcal{C}$ 的“逆变”上取值时）。

逗号范畴在这里扮演的角色是提供一个统一的框架来描述这种“表示性”和“最优性”。

设 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 和 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$ 是函子。
考虑范畴 $mathcal{C}$ 和 $mathcal{D}$，以及一个函子 $H: mathcal{C} o mathcal{D}$。我们可以定义一个逗号范畴 $G downarrow H$。其对象是 $(pi: G(B) o H(A))$，其中 $B in mathcal{D}$, $A in mathcal{C}$。
态射是从 $(X, pi_1: G(B_1) o H(A_1))$ 到 $(X', pi_2: G(B_2) o H(A_2))$ 的一对态射 $(f: B_1 o B_2, g: H(A_1) o H(A_2))$，使得 $pi_2 circ G(f) = g circ pi_1$。

真正的联系在于：存在一个函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 作为 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$ 的左伴随，当且仅当对于每个 $A in mathcal{C}$，逗号范畴 $(G downarrow F)(A)$（这里 $(G downarrow F)(A)$ 指的是所有从 $G(B)$ 到 $F(A)$ 的态射组成的集合，或者更广义地说，是逗号范畴的一个切片）具有某个性质。

更直接且常用的方法是利用 Yoneda 引理的推广（Yoneda Embedding）和泛性质。

如果 $F$ 是 $G$ 的左伴随，那么存在一个自然同构 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$。
我们可以将 $ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(), )$ 和 $ ext{Hom}_{mathcal{C}}(, G())$ 看作是定义在函子类别中的对象。

正确的解释是：

左伴随 $F$ 的存在性，对于函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，可以通过在逗号范畴 $G downarrow Delta_A$ 中寻找一个始对象（initial object）来刻画，其中 $Delta_A: mathbf{1} o mathcal{C}$ 是将 $mathbf{1}$ 中的唯一对象映射到 $A$ 的函子。

逗号范畴 $G downarrow Delta_A$ 中的对象是形如 $(X, alpha: G(B) o A)$ 的对，其中 $B in mathcal{D}$。
一个始对象 $(X_0, alpha_0: G(B_0) o A)$ 使得对于任何其他对象 $(X, alpha: G(B) o A)$，存在唯一的态射 $phi: X_0 o X$ 使得 $alpha = phi circ alpha_0$。
如果存在这样的始对象 $(X_0, alpha_0)$ 对于所有的 $A in mathcal{C}$，并且这个构造过程（从 $A$ 得到 $X_0$）可以被“范畴化”（即成为一个函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$），那么 $F$ 就是 $G$ 的左伴随。

这里的 $alpha_0: G(B_0) o A$ 就是伴随的单位 $eta_A: ext{id}_{mathcal{C}}(A) o G(F(A))$ （需要调整一下定义域和陪域，这里用了反向的伴随单位，或者说我们寻找的是 $G$ 的右伴随 $implies$ 始对象）。

更标准地说，对于 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$，存在 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 作为左伴随，当且仅当对于每一个 $A in mathcal{C}$，在逗号范畴 $(G downarrow ext{diag}_{mathcal{C}})(A)$ 中存在一个始对象。

这里的 $ ext{diag}_{mathcal{C}}: mathcal{C} o mathcal{C}^{mathbf{1}}$ 是将 $A in mathcal{C}$ 映射到“常数函子” $ ext{const}_A: mathbf{1} o mathcal{C}$。
逗号范畴 $ ext{const}_A downarrow G$ 的对象是形如 $(pi: X o G(B))$，其中 $X in mathcal{C}, B in mathcal{D}$。

正确的表述是：

函子 $F: mathcal{C} o mathcal{D}$ 是函子 $G: mathcal{D} o mathcal{C}$ 的左伴随，当且仅当存在一个函子 $F$ 使得对于任意 $A in mathcal{C}$，逗号范畴 $mathbf{id}_{mathcal{C}} downarrow G circ F$ 中存在一个始对象，且这个始对象提供了一个从 $A$ 到 $G(F(A))$ 的态射。

或者，从更基础的伴随定义出发：$ ext{Hom}_{mathcal{D}}(F(A), B) cong ext{Hom}_{mathcal{C}}(A, G(B))$。
我们可以考虑一个“超级范畴” $mathbf{Cat}$，它包含 $mathcal{C}, mathcal{D}$ 以及它们之间的函子。
逗号范畴为我们提供了一个工具来描述函子之间的“关系性”。当这种关系性满足特定的“最优性”（例如，存在一个使得特定图交换的态射，并且这个态射是唯一的，或者满足某种泛性质），我们就找到了伴随。

总结来说，逗号范畴并不是“证明”左伴随存在的工具，而是将伴随的泛性质（即存在一个“最优”的态射，能够以某种唯一的方式连接函子的作用对象）转化为一个在特定逗号范畴中寻找特定结构（如始对象或终端对象）的问题。

例如，考虑“自由函子”的概念。自由函子往往是某个函子的左伴随。
例如，从集合范畴 $mathbf{Set}$ 到图范畴 $mathbf{Graph}$ 的自由图函子。这个函子就是“生成图”的过程。它对应于将一个集合 $S$ 变成一个只有顶点而没有边的图。这个过程可以用一个泛性质来描述，而这个泛性质的刻画就可以通过逗号范畴来完成。

换句话说，逗号范畴提供了一种“几何”或“构造性”的方式来理解伴随。它将抽象的同构关系分解到具体的对象和态射层面，并用“最优点”或“唯一性”来刻画函子间的伴随关系。左伴随的“存在性”，在逗号范畴的语言下，就体现为在某个相关的逗号范畴中，能够找到一个特定结构的（始）对象，这个对象代表了从源范畴的对象“生成”目标范畴中对应对象的“最优方式”。

首先我们知道adjunction有两种等价的定义：

Definition 1: Suppose and are categories and and are functors. Then F is left adjoint to G and G is right adjoint to F, notated , iff naturally in , . We say that F and G together with the associated isomorphism between the relevant com-set form an adjunction
Definition 2: Suppose and are categories and and are functors. Then F is left adjoint to G and G is right adjoint to F, notated , contain two natural transformations satisfies two triangle identities.

既然这两种定义等价，那么我们可以问一个自然的问题：能不能把adjunction的两种定义揉合在一起，各取一半，变成一个新的adjunction的定义？答案明显是可以的。我们有如下的theorem：

Suppose and are categories and and are functors. Then iff (i) there is a natural transformation , for which (ii) for any in , there is a unique in such that .

可以看出(i)就是definition 2的“一半”, (ii)就是defintion 1的“一半”。同时我们可以看出这个定义是一种universal property, 而universal property 暗示某种合适的dervied category 存在initial or terminal object。 这种dervied category 就是某种特殊的 comma category！

Suppose is a functor. If the derived comma category has an initial object for every , then G has a left adjoint.