普朗克是如何把两个半经验公式组合成黑体辐射公式的并由其推断出普朗克关系的？
什么是黑体辐射？
简单来说，黑体是一种理想化的物体，它能够吸收所有照射到它上面的电磁辐射，并且在任何温度下都能以热辐射的形式向外发射电磁辐射。黑体辐射的光谱分布（也就是在不同频率上辐射能量的多少）只取决于它的温度，而与黑体的材料和形状无关。
当时面临的困境： RayleighJeans定律的失败
在普朗克之前，有两位非常有名的物理学家，瑞利勋爵（Lord Rayleigh）和詹姆斯·金斯爵士（Sir James Jeans），他们根据经典电动力学和统计力学，推导出了一个描述黑体辐射的公式。这个公式在长波长（也就是低频率）的区域能很好地描述实验数据，但到了短波长（高频率）的区域，它就出现了灾难性的偏差。根据这个公式，随着频率的升高，辐射能量应该无限增加，这被称为“紫外灾难”。显然，实验结果与理论预测严重不符。
维恩定律的局限性
另一位伟大的物理学家维恩（Wilhelm Wien）则根据热力学和电磁学的原理，提出了另一个公式。这个公式在短波长区域与实验结果非常吻合，但是在长波长区域则不行。它描述了辐射能量随波长变化的峰值和下降趋势，但没有考虑到长波长区域的无限能量。
所以，当时的情况是，有两个公式，各自在某个区域表现良好，但在另一个区域却完全失效。这就像是有了两个半成品，一个知道怎么爬山，另一个知道怎么下山，但谁也无法完成整个行程。
普朗克的“灵感”： 从半经验公式到“量子”
普朗克是个非常严谨的物理学家，他对“紫外灾难”感到非常困扰。他不愿意像有些人那样，仅仅是对公式进行一些修修补补，而是想从根本上解决问题。他花了大量的时间去研究现有的理论和实验数据。
普朗克对维恩定律和瑞利金斯定律都进行了深入的分析。他意识到，这两个定律的差异，恰恰反映了低频和高频区域物理过程的不同。他试图寻找一个能够同时符合这两个区域的经验公式，一个能够“连接”这两个世界的桥梁。
他花了很长时间，尝试了各种数学组合，最终，他找到了一个看起来非常“丑陋”，但却能完美地拟合所有实验数据的经验公式。这个公式可以表示为：
$$B(lambda, T) = frac{2hc^2}{lambda^5} frac{1}{e^{frac{hc}{lambda kT}} 1}$$
其中：
$B(lambda, T)$ 是在波长 $lambda$ 和温度 $T$ 下的辐射亮度。
$h$ 是普朗克常数（他后来引入的）。
$c$ 是光速。
$lambda$ 是波长。
$k$ 是玻尔兹曼常数。
$T$ 是绝对温度。
这个公式是普朗克在1900年10月17日提交给普鲁士科学院的一篇报告中提出的。他当时承认，这个公式是“非常偶然地”找到的，他自己也并不完全理解其背后的物理意义。他只是发现，这个经验公式能够完美地符合当时的实验数据，而且在瑞利金斯定律的低频极限和维恩定律的高频极限下都能正确地推导出这两个定律。
如何从这个经验公式推导出普朗克关系？
找到一个能拟合数据的公式是一回事，理解它为什么能拟合又是另一回事。普朗克知道，这个经验公式的出现，一定意味着他现有的物理理论存在某种根本性的缺陷。他开始深入研究这个公式的数学结构，特别是那个指数项 $e^{frac{hc}{lambda kT}} 1$ 。
为了从宏观的统计力学原理出发推导出这个经验公式，普朗克不得不审视微观的能量交换过程。他考虑了一个黑体腔中的谐振子（可以想象成发光的基本粒子），这些谐振子通过电磁波与腔壁相互作用。
在经典物理学中，人们认为能量是可以连续变化的，也就是说，一个谐振子可以吸收或放出任意大小的能量。然而，如果尝试用经典方法来计算这些谐振子的能量分布，就会重新回到瑞利金斯定律，然后遇到紫外灾难。
普朗克大胆地假设：
谐振子吸收或放出能量不是连续的，而是以一份一份的“量子”（quanta）的形式进行的，每一份的能量大小与辐射的频率成正比，即 $E = h u$。
这里的 $ u$ 是辐射的频率，而 $h$ 就是他后来发现的那个常数，也就是我们今天所说的“普朗克常数”。
这个假设看起来非常奇怪，与当时人们对能量连续性的普遍认知背道而驰。但是，正是这个假设，使得普朗克能够构建一个全新的统计力学模型来解释黑体辐射。
他的推导过程大概是这样的：
1. 对谐振子的能量进行“量子化”: 普朗克认为，这些谐振子的能量只能是 $0, h u, 2h u, 3h u, dots, nh u$ （其中 $n$ 是整数）。它们不能持有介于这些值之间的能量。
2. 利用统计力学计算能量分布: 普朗克利用玻尔兹曼分布（Boltzmann distribution）来计算处于不同能量状态的谐振子的数量。根据玻尔兹曼分布，处于能量 $E$ 的状态的概率与 $e^{E/kT}$ 成正比。
3. 计算平均能量: 他计算了所有这些量子化了的谐振子的平均能量。在这个过程中，他发现，要得到那个能够拟合实验数据的经验公式，他必须将所有可能能量状态的求和（通常是一个积分）进行离散化处理，并且将能量的单位设为 $h u$。
4. 推导出能量谱密度: 通过计算平均能量，并结合腔内的电磁模式密度（即在某个频率范围内有多少个电磁振荡模式），普朗克最终推导出了黑体辐射的能量谱密度公式，也就是那个他最初发现的经验公式。
普朗克关系的意义
从这个推导过程中，最核心的便是那个能量量子假设，即 $E = h u$。这就是我们今天所熟知的普朗克关系（Planck relation）。
这个关系极其重要，它标志着人类对能量的认识发生了一次革命性的飞跃。在此之前，能量被认为是连续的，就像水一样，可以随意分割。但普朗克通过他的研究告诉我们，在微观世界中，能量是不连续的，是“一份一份”的，就像我们一箱箱地搬运货物，每一箱的量是固定的。
低频（长波长）极限: 当频率 $ u$ 很低时，$h u ll kT$，此时 $e^{frac{h u}{kT}} 1 approx frac{h u}{kT}$。代入普朗克公式，可以得到 $B( u, T) approx frac{2 u^2 kT}{c^2}$，这与瑞利金斯定律一致。
高频（短波长）极限: 当频率 $ u$ 很高时，$h u gg kT$，此时 $e^{frac{h u}{kT}} gg 1$，那么 $e^{frac{h u}{kT}} 1 approx e^{frac{h u}{kT}}$。代入普朗克公式，可以得到 $B( u, T) approx frac{2h u^3}{c^2} e^{frac{h u}{kT}}$，这与维恩定律的形式很接近（虽然具体常数略有差异，但普朗克公式的精确性毋庸置疑）。
所以，普朗克的工作，就像是找到了一个万能钥匙，既能解释瑞利金斯定律在长波段的成功，也能解释维恩定律在短波段的有效性，而且这个钥匙背后的核心，就是能量的量子化。
总结一下普朗克的思路：
1. 分析现有理论的不足: 认识到经典物理学在解释黑体辐射（特别是紫外灾难）上的失败。
2. 寻找一个能完美拟合数据的经验公式: 这是他工作的起点。
3. 从经验公式反推物理原理: 他没有满足于一个拟合公式，而是深入研究其数学结构，并试图从宏观的统计力学出发，找到其微观的解释。
4. 提出革命性的量子假设: 核心是假设能量是以 $E = h u$ 的形式一份一份传递的。
5. 构建新的统计力学模型: 基于能量量子化，重新计算能量分布，最终导出了那个经验公式，从而解释了黑体辐射现象。
普朗克的这个工作，虽然最初他自己也认为是“一种行为”，一种不得不采取的手段，但却开启了量子力学的大门，彻底改变了我们对物质和能量的理解。可以说，没有普朗克，就没有后来的爱因斯坦的光电效应解释，也没有波尔的原子模型，更没有整个量子时代的到来。他是一位伟大的先驱者。
网友意见
谢自邀。
从楼主提问的方式来看是想问一个如何莫名其妙发现伟大结论的成功学问题。然而作为一个不务正业的二流子物理研究者我要给个八卦学的答案。而且从历史角度，楼主这个问题本身就问错了，下面详述。
如抽烟一般，烟民都知道很爽。从各种渠道你也能知道正确和简洁的爽法（比喻到此问题中“各种渠道”指各色犬牙交错的热力学教科书）。但是你非要寻根问底第一个忧伤难耐的人是如何四十五度角仰望天空发现这个寂寞超越天际的物件之用途时，这就不涉及健康和心理以及传播学的问题了，这是考古学。（实际上，寂寞的是个民族，叫印第安...)
意思是，黑体辐射的公式的确伟大，但是伟大的结论，如果发现者不是天才，其发现过程往往非常蹩脚和奇葩，与结论的伟大程度成正比，并不能给渴望成功后人指引方向，而只能带来考古学意义，不如按部就班的跟随教科书。
文章本天成，妙手偶得之。沉吟十余载，甘苦谁人知。
普朗克不是天才。
和在东方某国度被黑成了炭，81页论文被缩水成一页多一点的“游手好闲的纨绔子弟”德布罗意相比[1](
笑谈物理史：一页纸多一点的博士论文（转自燕南社区）)，普朗克的待遇就过于好了,不知是不是因为名叫马克思的缘故。故事的开头总是普朗克指点江山，挥斥方遒，笔落而天下定。
然而，一切应该回到1890年代。
对于那个年代的物理学家，伊萨克爵士还是神一般的存在。以老牛同志为核心的物理领导班子下， 所有非电磁问题都可归结为一个中心(F=ma), 两个基本点（牛顿第一，第三定律）。作为少数的无党派人士，最为前沿的一帮子人也就能扯扯热力学了。热力学里最前沿的问题是如何解释热力学第二定律（不能从低温物体传热到高温物体）。不要想， 整体的趋势肯定是把它扯回那个海滩边捡贝壳的小屁孩的体系里。当时比较新潮的主要是两个观点，一是以玻尔兹曼为代表的分子动力学解释，体系的熵是分子运动的共同作用结果，热力学第二定律只在统计上成立；二是更异端的“能量派”，主要代表是一个叫Wilhelm Ostwal的，主张一切都是能量&连续物质，没有分子什么的。从教科书的出现频率来说，我们当然知道是玻尔兹曼最终赢了。从人生上来说，Ostwal后来得了诺贝尔，玻尔兹曼压力山大，自杀了。
普朗克赶上了热二这个热潮。作为一个法学教授的儿子， 这个“并不期望发现新大陆，只希望理解已经存在的物理学基础，或许能将其加深。”的青年的博士论文就是关于熵和热力学第二定律的（Second law)，殊不知他自己就是哥伦布，而且可怜的他确实只是想找找印度而已。
对于普朗克来说，他极为憎恨玻尔兹曼的论点。也许是数学不好的缘故，他认为“从统计上成立”这种不知所云的观点就是bullshit，热二从原理上就应该是对的。“这两种主张的斗争最后会闹出人命的”，他曾写道，“虽然玻尔兹曼的分子派曾经辉煌，但是连续物质的理论才会天长地久的”。于是.......一开始普朗克同学就坚定的站错了队，虽然之后他的态度会越来越暧昧，乃至暖味，直至最后以之为stepping stone踏上最后宝座。
隐约觉得炼金术士的东西还是不靠谱后，普朗克准备傍上另外一尊神---麦克斯韦。整个熵增理论的全部意义就是没有时间反演性，一直在增大，永不被超越（xx医院广告）。但是F=ma简直太tm反演了，于是普朗克把一切希望都寄托在麦克斯韦身上，不是咖啡，而是方程组。这时，命运又无情的玩弄了这个落魄的中年老学究。亲爱的玻尔兹曼又出现了。 1897，在戊戌变法的前一年，玻尔兹曼轻轻的留下一篇论文，证明了麦克斯韦方程一样是时间反演的。此时，我在想，玻尔兹曼八年后的自杀肯定是普朗克的咒怨咒死的。
终于开始正题。此时的普朗克继续寻找熵增的出口。与此同时韦恩的经验定律已经为了实验数据而生:
其中u是辐射强度，v是频率，T是温度。我一直坚定的认为韦恩是各类curve-fitting软件的鼻祖以及惊叹于没有一款以他命名。他有着工程师的最好品质：在对问题本质一无所知的情况下给出一定范围内正确的解决方案。
但是对物理有着“贵族”般品味的普朗克并不满意，他觉得自己必须给出一个解释，而且他给出了一个解释---------基于的是玻尔兹曼的气体动力学，也就是：
不过他还是极力避免统计力学和分子的概念。他利用一些实验结论以及找到了一种韦恩定律服从的理想振动子（这不就是分子么！魂淡！），其熵之夭夭， 耀耀其华，得到：
然后经过一系列大学一年级水平的变换，就可以得到韦恩定律。好吧，如果认为这种理想振动子存在，那么问题就解决了。想到此处，爱好音乐的普朗克哼起了月亮之上。但是噩耗又来了，低频辐射此式不符合...以头抢地....继续坐回书桌旁边....再来.....改掉上式，变成：
韦恩定律也随之变成普朗克定律：
这回ok。
所以之前为什么说楼主问错了，是因为普朗克不是由两个半经验公式推出，而是一个。所谓的瑞利-金斯定律在当时毫无影响力，因为它基于的是能量均分定理，而此定理在当时是战斗力为5的渣们无法理解的（连统计力学都理解不了，这个可以么）。而且瑞利-金斯定律比普朗克定律提出晚。
虽然有个模型出来了，普朗克心里还是知道这只是一个大胆的猜想而已，凭什么我说的这个振动子就是对的呢？他心里很纠结。
有些天才到最后你是必须要服的，比如玻尔兹曼。经过一生的抗争，普朗克最终还是倒向了他的怀抱。在普朗克的划时代的巨著<正常光谱的能量分布定律>中，整个第一部分就献给了玻尔兹曼的理论 ，也最完整的引入了量子论，而这一部分跟你在教科书上看到的路数非常相似，建议楼主看原文，我再写也就不要再睡觉了。
值得一提的是，普朗克此后的一生都还在试图把电磁辐射理论并入经典理论。
即使站在山巅，要拨开云雾看清还是那么难。
简短回答
请注意，Planck于1900年发表了两篇文献，不同的书引用的不一样，也只说了部分的真相，导致阅读不同的书会觉得互相矛盾。如果把两部分故事攒到一起，一切就豁然开朗了。
Planck确实是把两个公式结合在一起，但是不是Wein定律和Rayleigh-Jeans公式！
而是 的表达式！参考文献见最后。而且现在有英文版的Planck的原始文献看了！ter Haar已经把它翻译成了英文！
D. ter Haar, The Old Quantum Theory, 1967
历史
Planck在1900年发表了两篇文章讲黑体辐射，而林宗涵的《热力学与统计物理》只介绍了其中一篇文章的工作，但是单凭一篇文章不足以说明Planck的心路历程。以下是我查找文献的思考过程，没有整理成逻辑顺序，阅读时需要有耐心看到最后。
普朗克的推理结果
需要注意，Rayleigh-Jeans公式是1905年才提出来的。
当时已知空腔中的波应该是驻波，波长需要是一些特定数值：
这里 是空腔的长度，假设空腔为立方体。H. Weyl证明过，辐射的性质与空腔形状无关。所以也可以看作是 。
（实际是为了应用一些基本原理，“推导出”Planck黑体辐射公式。实际上基于实验和前人经验[主要是Wein的数值拟合结果]凑出来的公式早几个月被Planck找到了）Planck第一步假设是，假设空腔的壁由一些谐振子组成。这实际上就是假设了物质是由原子构成的。但是当时他并不信，只是作为一个假设，想要最后消掉这个假设。
上述假设等效为不同频率，也就是不同振动模式的光波。
考虑频率的一个小范围：
振动模式数目按经典电动力学（谐振腔中的驻波）不难得到为：
接下来为了用排列组合的简单数学方法讨论模式数目的问题，必须假设这部分模式的能量是一个能量小单元 的整数倍。Planck开始觉得，我先假设有这么个东西，然后再应用Boltzmann统计，运用排列组合的办法得到分布，最后取 的极限，这样既利用了离散数学的简单计算，又不破坏经典物理的连续性，岂不美哉？于是，他假设这 个模式具有的能量为 ，这些能量分布在 个模式里，分的方式数 就可以用Boltzmann的思路写出（类似 本书被 个书立隔开，有多少种放法这种小学奥赛题）：
运用Lagrange乘子法和Stirling公式，（汪志诚《热力学，统计物理》第四版185页，林宗涵《热力学统计物理》308页ff.）不难得到这个分布：
每个模式的平均能量就是：
用下标 标记不同的模式，就是：
这个结果跟实验符合的就出奇的好！
但是！如果此时取极限 ，平均能量就立刻变为：
回到了能均分定理。而能均分定理的结果是不符合实验的。所以，无论如何不能假设能量是连续的。经过内心的挣扎，他决定把这个最小能量单元发表，并假设它跟相应的模式的频率成正比：
参考文献：
T. T. Taylor, Mechanics: Classical and Quantum, 1976为了找John Taylor的书，发现了这一本另一个Taylor写的书。
PLANCK, M., Verh. Dtsch. Phys. Ges. Berlin 2, 202 and 237 (1900).Placnk的原始文献。
1900年发生了什么
不过根据林宗涵的《热力学和统计物理》教科书，（282页）Planck的论文发表于10月份，而Rayleigh-Jeans公式发表于同年6月份，Planck很可能已经看了这个基于经典统计的公式，然后尝试过把两个公式组合。
笔者发现，上述故事有史实偏差。1900年Rayleigh的文章是英文的，很容易懂，在这里：
Lord Rayleigh F.R.S. (1900) LIII. Remarks upon the law of complete radiation , The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 49:301, 539-540, DOI: 10.1080/14786440009463878
只有两页，写的是：
"Whether (6) represents the facts of observation as well as (2) I am not in a position to say."
（2）式是Wein的公式：
这里Paschen还立功了，测量到 为14455，如果波长 用微米，温度 用摄氏度的话。
Wiki上说，Planck很可能采纳了这篇文章的思路，但是在1900年的文章里没提Rayleigh。而且，“很可能是插值了两个极端情况”。
思路是：
按Rayleigh的思想，长波应该有：
短波情况下用Wein的公式可以得到：
把两个公式凑成一个，添上俩待定系数：
就可以得到：
两边积分：
来自历史文献的证据，原来1900年普朗克发表了两篇文章，加在一起是最终结果
D. ter Haar, The Old Quantum Theory, 1967
翻译了Planck的德文原始文献。
M. Planck, On an improvement of Wein's equation for the spectrum
Verh. Dtsch. Phys. Ges. Berlin 2,202 (1900).这篇文章里，Planck就是用的上述方法，结合起两个不同的 表达式，最终得到了Bose-Einstein分布的内能！
截图在此：
而同年Planck发表了第二篇文章：
On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum
Verh. Dtsch. Phys. Ges. Berlin 2, 237 (1900).
用的是我第一部分的方法，提出了能量不连续的假设！截图在此：
所以说，上述两种说法都有道理！不过，按目前100多年之后的思路，当然是使用von Neumann开创的量子系综法，基于密度算符来讨论这个问题最合适了！
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