为什么交叉熵（cross-entropy）可以用于计算代价？
交叉熵，为何能成为衡量“错误”的利器？
在机器学习的世界里，我们常常需要教会模型如何做出正确的判断，无论是识别图片里的猫猫狗狗，还是预测股票的涨跌。而要教会一个模型，就得有一个标尺，来衡量它做得有多好，或者说，做得有多“差”。交叉熵（CrossEntropy）就是这样一个被广泛使用的“尺度”，它巧妙地量化了模型预测结果与真实情况之间的“距离”，也就是我们常说的“代价”或“损失”。
那么，为什么交叉熵会有这么神奇的魔力呢？这得从信息论的根基说起。
从信息量到信息熵，再到交叉熵
想象一下，你听到一个消息。这个消息有多“意外”？越是你想不到的事情发生，它的信息量就越大。比如，你每天都能看到太阳从东边升起，这消息对你来说信息量很小，因为你早就知道了。但如果有一天太阳从西边升起来了，那绝对是爆炸性的大新闻，信息量爆棚！
信息论中有个公式来量化这个“意外程度”，也就是信息量：
$I(x) = log_b P(x)$
其中，$P(x)$ 是事件 $x$ 发生的概率。$b$ 通常取 $2$，此时信息量单位是比特（bit）。注意，概率越小，信息量越大，因为 $log$ 函数的特性。
接着，我们有了信息熵（Entropy）。简单来说，信息熵衡量的是一个随机变量的“不确定性”或“信息量期望”。对于一个离散的随机变量 $X$，它有 $n$ 个可能的取值 $x_1, x_2, ..., x_n$，对应的概率为 $P(x_1), P(x_2), ..., P(x_n)$。那么，它的信息熵 $H(X)$ 就是所有可能取值的信息量的期望：
$H(X) = E[I(X)] = sum_{i=1}^n P(x_i) log_b P(x_i)$
信息熵越高，表示随机变量的不确定性越大，需要更多的信息来确定它的具体值。
好了，现在我们把目光聚焦到机器学习模型上。一个分类模型，本质上是在预测一个输入样本属于某个类别的概率分布。比如，一张图片，模型可能会预测它是“猫”的概率是 0.9，是“狗”的概率是 0.1。而真实情况呢？这张图片可能就是一只猫。
我们有两个概率分布：
1. 真实概率分布 (True Probability Distribution)：用 $p(x)$ 表示，这是我们期望模型达到的分布。在监督学习中，如果样本属于类别 $k$，那么对于类别 $k$，真实概率是 1，其他类别是 0。这是一个“onehot”编码的分布。
2. 模型预测概率分布 (Predicted Probability Distribution)：用 $q(x)$ 表示，这是模型给出的预测结果。
现在，我们想衡量 $q(x)$ 和 $p(x)$ 这两个分布有多么“不同”。这时，交叉熵就登场了。
交叉熵的本质：衡量“编码”的长度
交叉熵 $H(p, q)$ 定义为：
$H(p, q) = sum_i p(x_i) log q(x_i)$
我们来仔细品味这个公式。它看起来和信息熵很像，但关键的区别在于：
信息熵 $H(p)$ 是基于真实概率分布 $p$ 来计算的，衡量的是系统本身的不确定性。
交叉熵 $H(p, q)$ 是用真实概率分布 $p$ 来“加权”，但计算的是用模型预测的概率分布 $q$ 去编码真实事件。
打个比方，信息论中有个概念叫“编码”。如果我们想用最少的平均比特数来表示一系列事件，最理想的编码长度就是事件信息量的期望，也就是信息熵。
现在设想一下，我们用一个编码方案，这个方案是根据模型的预测概率 $q$ 来设计的。也就是说，对于概率越高的事件，我们给它一个更短的编码。然后，我们用这个编码方案去编码实际发生的事件（根据真实概率 $p$）。
如果模型预测得非常准，也就是说 $q(x_i)$ 越接近 $p(x_i)$，那么模型预测高概率的事件恰好是实际发生的事件。用 $q$ 设计的短编码就会用在实际发生的事件上，平均编码长度就很短。
如果模型预测得非常差，$q(x_i)$ 很多时候与 $p(x_i)$ 相悖，例如把高概率给了实际发生的事件（$p(x_i)$ 很高），那么 $q$ 就会给这个事件一个很短的编码。但如果模型把低概率给了实际发生的事件（$p(x_i)$ 很高），那么 $log q(x_i)$ 就会非常大，导致平均编码长度大大增加。
所以，交叉熵 $H(p, q)$ 实际上衡量的是：使用基于预测分布 $q$ 的编码方式，来编码基于真实分布 $p$ 的事件，所需的平均比特数。
为什么交叉熵是“代价”？
在机器学习中，我们的目标是让模型的预测分布 $q$ 尽可能地接近真实分布 $p$。
代价（Cost/Loss）：我们希望代价越小越好，这表示模型预测得越准确。
信息量：我们希望模型输出的“意外性”越小越好，意味着它对结果很有信心且正确。
交叉熵 $H(p, q) = sum_i p(x_i) log q(x_i)$。
思考几个极端情况：
1. 模型完美预测：假设真实分布是 $p = [1, 0, 0]$（表示样本属于类别 1），模型预测也是 $q = [1, 0, 0]$。
那么交叉熵是：$ (1 imes log 1 + 0 imes log 0 + 0 imes log 0)$。
虽然 $log 0$ 是负无穷，但乘以 0 也是 0。通常我们处理 $log 1$ 时，它等于 0。所以，在这种理想情况下，交叉熵为 0。
这符合我们对“代价”的期望：完美的预测应该带来零代价。
2. 模型完全错误预测：假设真实分布是 $p = [1, 0, 0]$，模型预测是 $q = [0, 1, 0]$。
交叉熵是：$ (1 imes log 0 + 0 imes log 1 + 0 imes log 0)$。
这时候，我们会得到一个非常大的正数（$log 0$ 趋向于正无穷）。
这同样符合我们对“代价”的期望：完全错误的预测应该带来极高的代价。
3. 模型部分错误预测：真实分布 $p = [0.8, 0.2]$，模型预测 $q = [0.7, 0.3]$。
交叉熵为 $ (0.8 imes log 0.7 + 0.2 imes log 0.3)$。
真实分布 $p = [0.8, 0.2]$，模型预测 $q = [0.3, 0.7]$。
交叉熵为 $ (0.8 imes log 0.3 + 0.2 imes log 0.7)$。
你会发现，当模型把概率给错了方向时（例如，真实是猫但模型认为狗的概率很高），$log q(x_i)$ 对实际发生的事件 $p(x_i)$ 而言，会变得很大，从而推高交叉熵。
与KL散度的关系：更深层次的理解
交叉熵与KullbackLeibler (KL) 散度（也称为相对熵）密切相关。KL散度衡量的是两个概率分布之间的差异：
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) log frac{p(x_i)}{q(x_i)}$
我们可以把 KL 散度展开：
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) (log p(x_i) log q(x_i))$
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) log p(x_i) sum_i p(x_i) log q(x_i)$
$D_{KL}(p || q) = H(p) + H(p, q)$
也就是说，交叉熵等于真实分布的信息熵加上这两个分布的 KL 散度。
$H(p, q) = H(p) + D_{KL}(p || q)$
在机器学习训练过程中，我们优化的目标是最小化代价。而真实概率分布 $p$ 是固定的（由训练数据决定），所以它的信息熵 $H(p)$ 是一个常数。
因此，最小化交叉熵 $H(p, q)$ 就等价于最小化 KL 散度 $D_{KL}(p || q)$。
KL 散度衡量的是用分布 $q$ 去近似分布 $p$ 的“信息损失”。最小化 KL 散度意味着我们希望模型的预测分布 $q$ 尽可能地接近真实分布 $p$，从而使信息损失最小。
总结
1. 信息论基础：交叉熵源于信息论，量化了使用一个概率分布（模型预测 $q$）来编码另一个概率分布（真实 $p$）所需的平均比特数。
2. 衡量差异：它直接衡量了模型预测概率分布 $q$ 与真实概率分布 $p$ 之间的差异。
3. 代价与目标：模型的目标是使预测分布 $q$ 尽可能接近真实分布 $p$。交叉熵在这个过程中扮演了“代价函数”的角色，它的值越小，表示模型预测越准确。
4. 零代价的直观理解：当模型完美预测时，交叉熵为零，符合“零代价”的直观意义。当模型预测完全错误时，交叉熵趋向无穷大，反映了极高的代价。
5. 与KL散度的等价性：最小化交叉熵等价于最小化 KL 散度，而 KL 散度衡量了信息损失，这从信息论的角度证明了交叉熵是衡量模型好坏的合适指标。
所以，交叉熵之所以能成为强大的代价函数，是因为它不仅在数学上与衡量两个分布差异的 KL 散度直接挂钩，更在信息论的直观解释下，恰当地反映了模型预测与真实情况之间的“偏差”程度，并符合我们对代价函数“越小越好”的期望。
在机器学习的世界里，我们常常需要教会模型如何做出正确的判断，无论是识别图片里的猫猫狗狗，还是预测股票的涨跌。而要教会一个模型，就得有一个标尺，来衡量它做得有多好，或者说，做得有多“差”。交叉熵（CrossEntropy）就是这样一个被广泛使用的“尺度”，它巧妙地量化了模型预测结果与真实情况之间的“距离”，也就是我们常说的“代价”或“损失”。
那么，为什么交叉熵会有这么神奇的魔力呢？这得从信息论的根基说起。
从信息量到信息熵，再到交叉熵
想象一下，你听到一个消息。这个消息有多“意外”？越是你想不到的事情发生，它的信息量就越大。比如，你每天都能看到太阳从东边升起，这消息对你来说信息量很小，因为你早就知道了。但如果有一天太阳从西边升起来了，那绝对是爆炸性的大新闻，信息量爆棚！
信息论中有个公式来量化这个“意外程度”，也就是信息量：
$I(x) = log_b P(x)$
其中，$P(x)$ 是事件 $x$ 发生的概率。$b$ 通常取 $2$，此时信息量单位是比特（bit）。注意，概率越小，信息量越大，因为 $log$ 函数的特性。
接着，我们有了信息熵（Entropy）。简单来说，信息熵衡量的是一个随机变量的“不确定性”或“信息量期望”。对于一个离散的随机变量 $X$，它有 $n$ 个可能的取值 $x_1, x_2, ..., x_n$，对应的概率为 $P(x_1), P(x_2), ..., P(x_n)$。那么，它的信息熵 $H(X)$ 就是所有可能取值的信息量的期望：
$H(X) = E[I(X)] = sum_{i=1}^n P(x_i) log_b P(x_i)$
信息熵越高，表示随机变量的不确定性越大，需要更多的信息来确定它的具体值。
好了，现在我们把目光聚焦到机器学习模型上。一个分类模型，本质上是在预测一个输入样本属于某个类别的概率分布。比如，一张图片，模型可能会预测它是“猫”的概率是 0.9，是“狗”的概率是 0.1。而真实情况呢？这张图片可能就是一只猫。
我们有两个概率分布：
1. 真实概率分布 (True Probability Distribution)：用 $p(x)$ 表示，这是我们期望模型达到的分布。在监督学习中，如果样本属于类别 $k$，那么对于类别 $k$，真实概率是 1，其他类别是 0。这是一个“onehot”编码的分布。
2. 模型预测概率分布 (Predicted Probability Distribution)：用 $q(x)$ 表示，这是模型给出的预测结果。
现在，我们想衡量 $q(x)$ 和 $p(x)$ 这两个分布有多么“不同”。这时，交叉熵就登场了。
交叉熵的本质：衡量“编码”的长度
交叉熵 $H(p, q)$ 定义为：
$H(p, q) = sum_i p(x_i) log q(x_i)$
我们来仔细品味这个公式。它看起来和信息熵很像，但关键的区别在于：
信息熵 $H(p)$ 是基于真实概率分布 $p$ 来计算的，衡量的是系统本身的不确定性。
交叉熵 $H(p, q)$ 是用真实概率分布 $p$ 来“加权”，但计算的是用模型预测的概率分布 $q$ 去编码真实事件。
打个比方，信息论中有个概念叫“编码”。如果我们想用最少的平均比特数来表示一系列事件，最理想的编码长度就是事件信息量的期望，也就是信息熵。
现在设想一下，我们用一个编码方案，这个方案是根据模型的预测概率 $q$ 来设计的。也就是说，对于概率越高的事件，我们给它一个更短的编码。然后，我们用这个编码方案去编码实际发生的事件（根据真实概率 $p$）。
如果模型预测得非常准，也就是说 $q(x_i)$ 越接近 $p(x_i)$，那么模型预测高概率的事件恰好是实际发生的事件。用 $q$ 设计的短编码就会用在实际发生的事件上，平均编码长度就很短。
如果模型预测得非常差，$q(x_i)$ 很多时候与 $p(x_i)$ 相悖，例如把高概率给了实际发生的事件（$p(x_i)$ 很高），那么 $q$ 就会给这个事件一个很短的编码。但如果模型把低概率给了实际发生的事件（$p(x_i)$ 很高），那么 $log q(x_i)$ 就会非常大，导致平均编码长度大大增加。
所以，交叉熵 $H(p, q)$ 实际上衡量的是：使用基于预测分布 $q$ 的编码方式，来编码基于真实分布 $p$ 的事件，所需的平均比特数。
为什么交叉熵是“代价”？
在机器学习中，我们的目标是让模型的预测分布 $q$ 尽可能地接近真实分布 $p$。
代价（Cost/Loss）：我们希望代价越小越好，这表示模型预测得越准确。
信息量：我们希望模型输出的“意外性”越小越好，意味着它对结果很有信心且正确。
交叉熵 $H(p, q) = sum_i p(x_i) log q(x_i)$。
思考几个极端情况：
1. 模型完美预测：假设真实分布是 $p = [1, 0, 0]$（表示样本属于类别 1），模型预测也是 $q = [1, 0, 0]$。
那么交叉熵是：$ (1 imes log 1 + 0 imes log 0 + 0 imes log 0)$。
虽然 $log 0$ 是负无穷，但乘以 0 也是 0。通常我们处理 $log 1$ 时，它等于 0。所以，在这种理想情况下，交叉熵为 0。
这符合我们对“代价”的期望：完美的预测应该带来零代价。
2. 模型完全错误预测：假设真实分布是 $p = [1, 0, 0]$，模型预测是 $q = [0, 1, 0]$。
交叉熵是：$ (1 imes log 0 + 0 imes log 1 + 0 imes log 0)$。
这时候，我们会得到一个非常大的正数（$log 0$ 趋向于正无穷）。
这同样符合我们对“代价”的期望：完全错误的预测应该带来极高的代价。
3. 模型部分错误预测：真实分布 $p = [0.8, 0.2]$，模型预测 $q = [0.7, 0.3]$。
交叉熵为 $ (0.8 imes log 0.7 + 0.2 imes log 0.3)$。
真实分布 $p = [0.8, 0.2]$，模型预测 $q = [0.3, 0.7]$。
交叉熵为 $ (0.8 imes log 0.3 + 0.2 imes log 0.7)$。
你会发现，当模型把概率给错了方向时（例如，真实是猫但模型认为狗的概率很高），$log q(x_i)$ 对实际发生的事件 $p(x_i)$ 而言，会变得很大，从而推高交叉熵。
与KL散度的关系：更深层次的理解
交叉熵与KullbackLeibler (KL) 散度（也称为相对熵）密切相关。KL散度衡量的是两个概率分布之间的差异：
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) log frac{p(x_i)}{q(x_i)}$
我们可以把 KL 散度展开：
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) (log p(x_i) log q(x_i))$
$D_{KL}(p || q) = sum_i p(x_i) log p(x_i) sum_i p(x_i) log q(x_i)$
$D_{KL}(p || q) = H(p) + H(p, q)$
也就是说，交叉熵等于真实分布的信息熵加上这两个分布的 KL 散度。
$H(p, q) = H(p) + D_{KL}(p || q)$
在机器学习训练过程中，我们优化的目标是最小化代价。而真实概率分布 $p$ 是固定的（由训练数据决定），所以它的信息熵 $H(p)$ 是一个常数。
因此，最小化交叉熵 $H(p, q)$ 就等价于最小化 KL 散度 $D_{KL}(p || q)$。
KL 散度衡量的是用分布 $q$ 去近似分布 $p$ 的“信息损失”。最小化 KL 散度意味着我们希望模型的预测分布 $q$ 尽可能地接近真实分布 $p$，从而使信息损失最小。
总结
1. 信息论基础：交叉熵源于信息论，量化了使用一个概率分布（模型预测 $q$）来编码另一个概率分布（真实 $p$）所需的平均比特数。
2. 衡量差异：它直接衡量了模型预测概率分布 $q$ 与真实概率分布 $p$ 之间的差异。
3. 代价与目标：模型的目标是使预测分布 $q$ 尽可能接近真实分布 $p$。交叉熵在这个过程中扮演了“代价函数”的角色，它的值越小，表示模型预测越准确。
4. 零代价的直观理解：当模型完美预测时，交叉熵为零，符合“零代价”的直观意义。当模型预测完全错误时，交叉熵趋向无穷大，反映了极高的代价。
5. 与KL散度的等价性：最小化交叉熵等价于最小化 KL 散度，而 KL 散度衡量了信息损失，这从信息论的角度证明了交叉熵是衡量模型好坏的合适指标。
所以，交叉熵之所以能成为强大的代价函数，是因为它不仅在数学上与衡量两个分布差异的 KL 散度直接挂钩，更在信息论的直观解释下，恰当地反映了模型预测与真实情况之间的“偏差”程度，并符合我们对代价函数“越小越好”的期望。
网友意见
一个函数，如果是非负的，且当predict与label越接近，函数值越小，那么该函数就可以作为代价函数。
是标签label， 是模型的预测结果。
交叉熵损失的形式是：
事实上，把log去掉，或者换成exp，都能作为代价函数。
因为这类公式的背后原理都是“排序不等式”。
排序不等式指的是：
当 ,
,
有，
其中是的一个置换。
简而言之，就是顺序和≥乱序和≥倒序和。大的数和大的数配对相乘，小的数和小的数配对相乘，这样的顺序和是最大的。
交叉熵损失函数越小，意味着预测与真实标签越接近。此时应该越大。根据排序不等式，对于任何一个，当比较大时，也应该比较大，反之同理。这是符合直觉的，当某一个类的真实label很大时，预测分数也应该比较高，这才能保证损失函数较小。
根据排序不等式的思想，我们可以对交叉熵进行魔改。
原始版本：
内积版本：
协方差版本：
和 分别是p和q的均值
如果再除以p和q的标准差，那么可以得到相关系数版本（或余弦距离版本）。
指数爆炸版本：
双重否定版本：
禁止套娃版本：
交叉熵这东西你如果理解为两个概率分布会发现它就是nonsense，你得把对数里面那个分布理解为真实的随机变量分布，而将对数外面那个理解为观察到的频率。然后你就会发现它就是最最原始的MLE（最大似然估计）套了个时髦的壳而已。
比如说现在有一个真实分布为 的随机变量，我们对它进行了N次独立同分布实验，对于每个可能的结果x观察到的次数为 ，那么它的似然值就可以写成
很好理解对吧，乘法公式，把每次实验的概率乘起来，然后合并相同的项写成幂次。这是个乘积的形式，取个对数可以得到求和的形式：
这个式子有两个缺点，第一它是个负数，第二它的数值跟样本数有关，样本越多数值越小，因此除以一下总的样本数归一化，再取个相反数，然后改用频率表示：
这就齐活了。
因此可以看出，交叉熵最小实质上就是似然值最大。我们可以证明，在给定 的情况下，使交叉熵最小的分布P一定有 ，只需要用拉格朗日乘子法就可以：
求偏导得到
即 和 成比例，再根据归一化条件得到
因此在有模型约束的条件下求交叉熵最小值，也就是让模型输出的分布尽量能接近训练数据的分布。
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