祖冲之的圆周率的出处在哪里？
在探究祖冲之圆周率的出处之前，咱们得先明白，这位南朝宋时期的大数学家，他贡献的不是一个“数值”，而是两个精度极高的“分数”来表示圆周率。这在当时的历史条件下，是相当了不起的成就。
祖冲之的圆周率，最广为人知的是两个近似值：约率（355/113） 和 密率（22/7）。说起它们“出处”，其实更准确地说，应该是它们“诞生”于祖冲之的计算过程中，并且体现在他的著作《缀述》之中。
《缀述》—— 那本失传的数学巨著
要找祖冲之圆周率的出处，我们首先要提到的是他的著作——《缀述》。这本书是祖冲之晚年倾注心血写成的数学专著，涵盖了天文学、数学等多个领域，其中就包含了他对圆周率的深入研究和计算。
不幸的是，《缀述》这本书并没有完整地流传下来，成为了历史的遗憾。我们今天所了解到的祖冲之的成就，很大程度上是通过后人的引用和追溯才得以保留。
密率（22/7）—— 那个熟悉的老朋友
我们先从那个相对“熟悉”的密率说起。22/7 这个数值，其实在祖冲之之前，已经有其他文明用过了。比如古希腊的阿基米德就曾给出过 223/71 < π < 22/7 的不等式，也用到了 22/7 这个近似值。
但是，祖冲之对于 22/7 的意义，在于他通过自己的方法，将它作为了圆周率的一个精确度相对不错的近似值。他并不是第一个想到 22/7 的人，但他是用自己的计算体系来证明和使用它的。
约率（355/113）—— 祖冲之的“压箱底”绝活
真正体现祖冲之超凡智慧和计算能力的，是那个被誉为“古今第一”的约率——355/113。这个分数，在当时乃至世界数学史上，都是一个惊人的成就。
为什么说它惊人呢？
精度极高： 355/113 ≈ 3.1415929，而 π 的真实值是 3.1415926535...。误差只有在小数点后第七位才出现。这个精度，比之前任何已知的近似值都要高出好几个量级。要知道，在没有现代计算工具的时代，要达到这样的精度，需要的耐心、毅力和数学功底是难以想象的。
超前时代： 这个精度，直到将近一千年后，才在阿拉伯和印度数学家的工作中被重新发现和使用。可见，祖冲之的计算是有多么的超前。
那么，祖冲之是怎么得出这两个数值的呢？
虽然《缀述》失传了，但我们依然可以从一些流传下来的数学典籍和学者的研究中，窥见一斑。
1. 割圆术的极致运用： 祖冲之很可能采用了当时最先进的数学方法——割圆术。割圆术的核心思想是：将圆不断分割成越来越多的内接正多边形，通过计算这些多边形的周长来逼近圆的周长。多边形的边数越多，计算出的周长就越接近圆的周长，从而得到更精确的圆周率。
想象一下，在纸上画个圆，然后画个正方形，它的周长肯定比圆短。再画个正六边形，它比正方形更接近圆了。以此类推，画正十二边形、正二十四边形……祖冲之可能就是用这种方法，不断增加多边形的边数。
当边数达到一个非常高的程度，比如24576边形（这是根据史书记载推测的），计算其周长与直径的比例，就能得到非常精确的结果。
2. 数学上的“巧思”： 仅仅依靠机械的计算，要达到 355/113 这样的精度，工程量是极其巨大的。这背后很可能还包含了祖冲之在数学上的巧思。
连分数展开： 现代数学家推测，祖冲之可能使用了类似“连分数”的方法来寻找最优的近似分数。连分数可以将一个无理数表示成一系列分数嵌套的形式，通过截取这个展开式，可以得到一系列越来越精确的有理数近似值。
“差分法”或“逐差法”： 也有学者认为，祖冲之可能发展了一种“差分法”，能够系统地从一个近似值推导出更精确的近似值，而不需要从头开始计算。
出处的“间接证据”
由于《缀述》原著的缺失，我们无法直接翻阅书中找到“此处为祖冲之圆周率”的文字。但是，有几个关键的“间接证据”证明了这些数值的出处：
《九章算术》与《海岛算经》的引用： 尽管《缀述》失传，但后世的数学家，如唐代的一行（他主持了著名的“大衍历”的计算），在《九章算术》的注疏和《海岛算经》的著作中，明确提到了祖冲之的圆周率计算成果，并且引用了他的这两个近似值。例如，一行在为《九章算术》作注时，就记录了祖冲之的“密率（22/7）”和“约率（355/113）”。
《隋书·律历志》的记载： 《隋书·律历志》中，对于祖冲之的圆周率有明确的记载：“祖冲之……以为圆径一，圆周率，则方圆之率，密率二十二，约为三百五十五，积率七之积。” 这段话直接点明了祖冲之给出的两个近似值。
总而言之，祖冲之的圆周率，其“出处”就是他本人在《缀述》这部数学巨著中的计算成果。 虽然书本已经不复存在，但通过后世学者对数学方法的追溯，以及史书中对他的计算成果的记载和引用，我们才得以了解并惊叹于他卓越的数学才华。355/113 这个分数，就是他在精益求精的探索过程中，为我们留下的宝贵遗产，它不仅是一个数值，更是一种数学智慧和不懈追求的象征。
祖冲之的圆周率，最广为人知的是两个近似值：约率（355/113） 和 密率（22/7）。说起它们“出处”，其实更准确地说，应该是它们“诞生”于祖冲之的计算过程中，并且体现在他的著作《缀述》之中。
《缀述》—— 那本失传的数学巨著
要找祖冲之圆周率的出处，我们首先要提到的是他的著作——《缀述》。这本书是祖冲之晚年倾注心血写成的数学专著，涵盖了天文学、数学等多个领域，其中就包含了他对圆周率的深入研究和计算。
不幸的是，《缀述》这本书并没有完整地流传下来，成为了历史的遗憾。我们今天所了解到的祖冲之的成就，很大程度上是通过后人的引用和追溯才得以保留。
密率（22/7）—— 那个熟悉的老朋友
我们先从那个相对“熟悉”的密率说起。22/7 这个数值，其实在祖冲之之前，已经有其他文明用过了。比如古希腊的阿基米德就曾给出过 223/71 < π < 22/7 的不等式，也用到了 22/7 这个近似值。
但是，祖冲之对于 22/7 的意义，在于他通过自己的方法，将它作为了圆周率的一个精确度相对不错的近似值。他并不是第一个想到 22/7 的人，但他是用自己的计算体系来证明和使用它的。
约率（355/113）—— 祖冲之的“压箱底”绝活
真正体现祖冲之超凡智慧和计算能力的，是那个被誉为“古今第一”的约率——355/113。这个分数，在当时乃至世界数学史上，都是一个惊人的成就。
为什么说它惊人呢？
精度极高： 355/113 ≈ 3.1415929，而 π 的真实值是 3.1415926535...。误差只有在小数点后第七位才出现。这个精度，比之前任何已知的近似值都要高出好几个量级。要知道，在没有现代计算工具的时代，要达到这样的精度，需要的耐心、毅力和数学功底是难以想象的。
超前时代： 这个精度，直到将近一千年后，才在阿拉伯和印度数学家的工作中被重新发现和使用。可见，祖冲之的计算是有多么的超前。
那么，祖冲之是怎么得出这两个数值的呢？
虽然《缀述》失传了，但我们依然可以从一些流传下来的数学典籍和学者的研究中，窥见一斑。
1. 割圆术的极致运用： 祖冲之很可能采用了当时最先进的数学方法——割圆术。割圆术的核心思想是：将圆不断分割成越来越多的内接正多边形，通过计算这些多边形的周长来逼近圆的周长。多边形的边数越多，计算出的周长就越接近圆的周长，从而得到更精确的圆周率。
想象一下，在纸上画个圆，然后画个正方形，它的周长肯定比圆短。再画个正六边形，它比正方形更接近圆了。以此类推，画正十二边形、正二十四边形……祖冲之可能就是用这种方法，不断增加多边形的边数。
当边数达到一个非常高的程度，比如24576边形（这是根据史书记载推测的），计算其周长与直径的比例，就能得到非常精确的结果。
2. 数学上的“巧思”： 仅仅依靠机械的计算，要达到 355/113 这样的精度，工程量是极其巨大的。这背后很可能还包含了祖冲之在数学上的巧思。
连分数展开： 现代数学家推测，祖冲之可能使用了类似“连分数”的方法来寻找最优的近似分数。连分数可以将一个无理数表示成一系列分数嵌套的形式，通过截取这个展开式，可以得到一系列越来越精确的有理数近似值。
“差分法”或“逐差法”： 也有学者认为，祖冲之可能发展了一种“差分法”，能够系统地从一个近似值推导出更精确的近似值，而不需要从头开始计算。
出处的“间接证据”
由于《缀述》原著的缺失，我们无法直接翻阅书中找到“此处为祖冲之圆周率”的文字。但是，有几个关键的“间接证据”证明了这些数值的出处：
《九章算术》与《海岛算经》的引用： 尽管《缀述》失传，但后世的数学家，如唐代的一行（他主持了著名的“大衍历”的计算），在《九章算术》的注疏和《海岛算经》的著作中，明确提到了祖冲之的圆周率计算成果，并且引用了他的这两个近似值。例如，一行在为《九章算术》作注时，就记录了祖冲之的“密率（22/7）”和“约率（355/113）”。
《隋书·律历志》的记载： 《隋书·律历志》中，对于祖冲之的圆周率有明确的记载：“祖冲之……以为圆径一，圆周率，则方圆之率，密率二十二，约为三百五十五，积率七之积。” 这段话直接点明了祖冲之给出的两个近似值。
总而言之，祖冲之的圆周率，其“出处”就是他本人在《缀述》这部数学巨著中的计算成果。 虽然书本已经不复存在，但通过后世学者对数学方法的追溯，以及史书中对他的计算成果的记载和引用，我们才得以了解并惊叹于他卓越的数学才华。355/113 这个分数，就是他在精益求精的探索过程中，为我们留下的宝贵遗产，它不仅是一个数值，更是一种数学智慧和不懈追求的象征。
网友意见
实际上，祖冲之用的具体方法已经失传了，史书上只记载了祖冲之的成果.
能够确定的，只有之前刘徽用的割圆术
刘徽的割圆术大概是这样的：
简单来说，就是定义 为圆的内接正3*2^n边形的边长，不妨设其中一条边为 ， 中点为 ， 的延长线交圆周于
则有
定义 为圆的内接正3*2^n边形的面积，那么由几何关系，显然有：
令圆面积为 ，（根据几何关系）则有如下刘徽不等式：
这样按照迭代公式计算，便可利用圆的内接正3*2^n边形的面积逼近圆面积.
这就是刘徽的割圆术，是基于圆的面积的
作为对比，阿基米德的割圆术则是基于圆周长，它是利用圆的周长介于内接正3*2^n边形的周长和外切正3*2^n边形的周长之间这个不等式.
如果以数列 、 分别表示直径为1的圆的外切正3*2^n边形和内接正3*2^n边形的周长,
显然有 ， ，并且稍加几何推导可以得到这样的递推公式：
， .
这就是阿基米德的算法
实际上，数列 和 就连通项公式也都可以求出来[1].
所以阿基米德割圆术和刘徽割圆术一样，也是双向逼近的夹逼法
按照清朝阮元写的《畴人传》的说法，祖冲之也是沿用刘徽的割圆术的[2]；后来吴文俊编写的《中国数学史大系》也是持这种说法.
但是很多人对这种说法有异议，认为如果沿用刘徽的算法，想要得到祖冲之的结果，计算量过大；祖冲之应该是对刘徽割圆术采取了某种改动.
可惜《缀术》失传，历史上祖冲之究竟用了什么方法，就是个未解之谜了.
参考
- ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/31619318
- ^ 清阮元撰《畴人传》：“后祖冲之更创密法，仍是割之又割耳，未能于徽注之外，别立新术也”
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