为什么 1-1+1-1+1-1…=0.5？
我们先从大家最直观的感受开始说起。
直观理解：0，还是0？
如果你真的把这个数列写下去，你会发现它呈现一种规律的摆动：
1
1 1 = 0
1 1 + 1 = 1
1 1 + 1 1 = 0
1 1 + 1 1 + 1 = 1
1 1 + 1 1 + 1 1 = 0
看起来，就像是在1和0之间来回跳跃，似乎永远也定不下来一个明确的“最终”值。如果数列是有限的，比如到“1”结束，那就是0；如果到“+1”结束，那就是1。但无限下去，就不知道是1还是0了。所以，用这种最直接的“加加减减”的方式来定义这个无限数列的和，是行不通的，或者说，这个数列在某种意义上是“不收敛”的。
为什么会出现0.5这个答案？那又是怎么来的呢？
这就需要我们借助一些更高级的数学工具和概念了，主要是 格雷戈里莱布尼茨级数（GregoryLeibniz series） 的一个变种以及 Cesàro求和法。
我们先来看看这个数列本身是不是有什么特殊之处。这个数列写成数学符号就是：
$sum_{n=0}^{infty} (1)^n = 1 1 + 1 1 + 1 1 dots$
这个数列有个名字，叫做 格兰迪数列（Grandi's series），以意大利数学家洛伦佐·格兰迪（Lorenzo Grandi）命名。
问题出在“无限”
真正的麻烦在于“无限”。在有限的加减法里，我们总有一个确定的起点和终点。但面对无穷，我们必须问：我们是怎么“到达”无限的？是先加完前面的，然后才加最后那个吗？还是同时进行？这在直觉上是说不通的。
所以，数学家们发展出了 级数求和 的概念，来为无限数列赋予一个“值”。最常见的“求和”方式是 极限求和。
极限求和：为什么不行？
对于一个数列 $a_1, a_2, a_3, dots$，它的部分和（partial sum）是：
$S_n = a_1 + a_2 + dots + a_n$
如果当 $n$ 趋向于无穷大时，$S_n$ 会趋向于一个确定的值 $L$，那么我们就说这个数列的和是 $L$，记作 $sum_{n=1}^{infty} a_n = L$。
套用在格兰迪数列上：
$S_1 = 1$
$S_2 = 1 1 = 0$
$S_3 = 1 1 + 1 = 1$
$S_4 = 1 1 + 1 1 = 0$
$S_n = egin{cases} 1 & ext{if } n ext{ is odd} \ 0 & ext{if } n ext{ is even} end{cases}$
你看，当 $n$ 趋向无穷大时，$S_n$ 在0和1之间来回摆动，它并没有趋向于任何一个确定的值。所以，根据 极限求和 的定义，格兰迪数列是 发散的（divergent），它的和 不存在。
那么0.5是怎么冒出来的呢？换个角度看问题！
0.5这个答案，并非来自最严格的极限求和，而是来自一些 “更宽松” 的求和方法，这些方法在某些情况下能给发散级数赋予一个有意义的值，并且在很多数学和物理领域都非常有用。
方法一：泰勒级数和分析解析（Analytic Continuation）
这可能是最“高大上”也最能解释0.5来源的方法。
我们先考虑一个稍微不同但相关的数列：
$S(x) = 1 x + x^2 x^3 + x^4 x^5 + dots$
这是一个几何级数。当 $|x| < 1$ 时，这个级数是收敛的，并且它的和等于：
$S(x) = frac{1}{1+x}$
这个公式非常重要。它告诉我们，对于 $|x|<1$ 的情况，这个交错数列的和有一个明确的函数形式。
现在，如果我们把 $x=1$ 代入这个 函数 $S(x) = frac{1}{1+x}$，会发生什么？
$S(1) = frac{1}{1+1} = frac{1}{2} = 0.5$
这里关键的点在于，我们不是直接对 发散的级数 $11+11dots$ 求和，而是先找到了一个 收敛的级数 $1x+x^2x^3+dots$ 在 $|x|<1$ 时的 函数表示 $frac{1}{1+x}$。然后，我们利用 分析解析（Analytic Continuation） 的思想，把这个函数定义从 $|x|<1$ 的范围“延拓（extend）”到了 $x=1$ 这个点。
虽然在 $x=1$ 时，原始的级数 $11+11dots$ 本身已经发散了，但我们找到的 函数 $frac{1}{1+x}$ 在 $x=1$ 是有良好定义的，并且其值为0.5。这种通过分析解析的方法，可以给一些发散级数赋予一个在数学上有用的值。格兰迪数列就是这么一个例子，它被认为可以用这种方式“重新定义”其和为0.5。
方法二：Cesàro求和法 (Cesàro summation)
这种方法更加直观一些，它是通过计算 部分和的平均值 来“平滑”掉级数的摆动。
我们已经知道格兰迪数列的部分和是：
$S_1 = 1$
$S_2 = 0$
$S_3 = 1$
$S_4 = 0$
$S_5 = 1$
$S_6 = 0$
...
现在我们计算这些部分和的平均值。我们看前 $N$ 个部分和的平均值：
$sigma_N = frac{S_1 + S_2 + dots + S_N}{N}$
$N=1$: $sigma_1 = frac{1}{1} = 1$
$N=2$: $sigma_2 = frac{1+0}{2} = frac{1}{2}$
$N=3$: $sigma_3 = frac{1+0+1}{3} = frac{2}{3}$
$N=4$: $sigma_4 = frac{1+0+1+0}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$
$N=5$: $sigma_5 = frac{1+0+1+0+1}{5} = frac{3}{5}$
$N=6$: $sigma_6 = frac{1+0+1+0+1+0}{6} = frac{3}{6} = frac{1}{2}$
我们观察一下这些平均值：$1, frac{1}{2}, frac{2}{3}, frac{1}{2}, frac{3}{5}, frac{1}{2}, dots$
当 $N$ 是偶数时，$N=2k$，那么前 $N$ 个部分和中，有 $k$ 个1和 $k$ 个0。
$S_1+dots+S_{2k} = 1+0+1+0+dots+1+0 = k$
平均值是 $sigma_{2k} = frac{k}{2k} = frac{1}{2}$。
当 $N$ 是奇数时，$N=2k+1$，那么前 $N$ 个部分和中，有 $k+1$ 个1和 $k$ 个0。
$S_1+dots+S_{2k+1} = 1+0+1+0+dots+1+0+1 = k+1$
平均值是 $sigma_{2k+1} = frac{k+1}{2k+1}$。
现在，我们看当 $N o infty$ 时，这些平均值 $sigma_N$ 的行为如何。
当 $N$ 很大时，无论是 $N$ 是奇数还是偶数，$sigma_N$ 的值都会越来越接近 $frac{1}{2}$。
更正式地说，我们来看 $sigma_{2k} = frac{1}{2}$（固定值）和 $sigma_{2k+1} = frac{k+1}{2k+1} = frac{1 + 1/k}{2 + 1/k}$。当 $k o infty$ 时，$sigma_{2k+1} o frac{1+0}{2+0} = frac{1}{2}$。
所以，根据 Cesàro 求和法，这个数列的和被定义为这些平均值的极限，也就是 $frac{1}{2}$。
为什么说0.5是有意义的？它来自哪里？
格兰迪数列之所以会被赋予0.5这个值，是因为在某些数学领域，特别是涉及到 函数逼近、傅里叶级数 或者一些 物理理论（比如量子场论中的重整化） 时，直接使用发散级数可能会遇到困难，而像 Cesàro 求和法或分析解析这样的技术，能够有效地“驯服”这些发散级数，给它们一个有用的、与实际问题相符的值。
例如，我们知道欧拉最早在研究函数 $12+34+56+dots$ 的时候，发现它的和是 $frac{1}{4}$（这个数列的 Cesàro 和也是 $frac{1}{4}$）。后来，他的工作为我们理解某些积分和级数的关系奠定了基础。
总结一下：
1. 直观和极限求和： 用最直接的“加减法”或“部分和取极限”的方式来看，11+11+… 是 发散的，它的和 不存在。
2. 0.5的来源： 0.5这个值来自 广义的求和方法，主要是：
分析解析： 将收敛级数 $1x+x^2x^3+dots = frac{1}{1+x}$（当 $|x|<1$）通过函数延拓到 $x=1$，得到 $0.5$。
Cesàro求和法： 计算部分和的平均值的极限，发现极限是 $0.5$。
3. 意义： 这些广义的求和方法在数学和物理的特定领域有重要的应用价值，能够为一些看似“无解”的问题提供有意义的答案。
所以，说11+11+… = 0.5，并不是说它在最基础的意义上等于0.5，而是说在一些更高级、更宽容的数学框架下，我们可以赋予它这个值。这个数列也因此成了一个经典的例子，用来展示数学概念的深度和灵活性。
网友意见
解析延拓法
容易验证 ，于是：
所以
柯西主值法
定义 ，而：
由极限审敛法可知 本身是发散的，1/2也只是解析延拓的结果罢了。
@inversioner 提到了Cesàro意义下的求和，这是一种级数的广义和
其实对于这个问题，有一种更贴切的广义和，即泊松意义下的广义和
首先要强调，说 这是错的！
只是级数 在某些定义下的广义和是
为此，我们先回顾一下关于幂级数收敛的相关内容
对于幂级数
首先，根据阿贝尔定理
如果该幂级数在点 （ ）处收敛，
那么它在任何一个区间
（ ）
中绝对收敛且一致收敛
记
根据柯西-阿达玛定理
1）若 ，该幂级数只在 处收敛；
2）若 ，该幂级数在 上收敛；
3）若 ，则该幂级数在区间 中绝对收敛，在 外发散.
就叫做幂级数的收敛半径
注意，幂级数在收敛区间的端点上是否收敛，是一个较为麻烦的问题
令幂级数 在 上的收敛函数为
那么有这样的结论：
如果在 处，幂级数收敛，则 在 处左连续；
如果在 处，幂级数收敛，则 在 处右连续.
注意这个结论是充分不必要的
如果反过来，若 在 处左连续，推不出幂级数在 处收敛.
比如这个问题，尽管 在 处是连续的，却推不出幂级数 在 处收敛，就是这个道理
对于一个数项级数 ，显然其母函数就是幂级数
如果这个幂级数 的收敛半径为1，设其和函数为 ，
这个和函数在 时存在极限
那么定义 ，叫做该数项级数 在泊松意义下的广义和.
实际上， 就是级数 在泊松意义下的广义和
只不过，级数本身可不一定收敛于这个广义和
如果级数收敛，其和等于其广义和，但级数发散的话，广义和仍然是可能存在的，这就是个例子
想要级数收敛于其泊松意义下的广义和，还得满足一些附加条件，比如
陶伯定理
设幂级数 的收敛半径为1，设其和函数为 ，
如果有 ，
则
不过注意，这也是个充分不必要的条件
这个算式在一般的意义上是不成立的，是考虑了解析延拓之后的结果，实际上如果考虑解析延拓的话还能得到很多其他神奇的结果，比如：
全体自然数的和：
1+2+3+...=-1/12
还有全体自然数的平方和：
1²+2²+3²+...=0
全体自然数立方和：
1³+2³+3³+...=1/120
而且这些还真有实际的应用，要是没记错的话全体自然数的和等于-1/12这个在弦理论里面就有使用
这跟PWM（脉冲宽度调制）的原理是一样的，假设公式中的每一步计算非常快持续时间相等，那么输为幅值为1且占空比为50%的方波。将此方波信号其施加到对象的效果等于将幅值为1的阶跃信号施加到对象的效果的50%。
比如1代表亮，0代表不亮。一盏灯在亮于不亮之间快速切换，只要足够快，你就不会觉得闪烁，只会觉得灯的亮度比一直亮时候低。调整好1和0的时间比例就能调整亮度大小。PWM调光就是这种原理。
不过这题出得不严谨，没有说“加”和“减”这两个步骤后的持续时间是否相等，比如像上图那样的波形就大于50%。
左式为发散的无穷级数，可以进行切萨罗求和，且结果为0.5。
被称为α阶切萨罗平均。相应的级数求和方法称为切萨罗求和，简记为(C,α)求和。
(前置知识：大一高数)
你这个等式在Cesàro(切萨罗)求和意义下成立，在正常意义下左边的无穷和是发散的。
正常意义的级数和定义为部分和数列的极限。对于 ，有 。这个数列没有极限。所以正常意义里题主说的和是没有值的。而Cesàro求和的定义是，若 有极限 ，则说级数 的Cesàro和是 ，记为 。(C代表Cesàro)此例子中容易算出 。(请动手算一算)
Cesàro求和的知识一般会在Fourier分析处遇到。
PS：如果你看不懂，那么这个问题是不可能给你讲清楚的，最多给一点形象理解。好好学习天天向上～
就酱(
有人提到了期望的问题。之前我没有仔细想，但是这个确实还是可以产生关联的。因为：
若数列 的部分和数列为 ，随机取一个正整数 ，则随机变量 的数学期望正是级数 的Cesàro和。(如果存在)
感谢 @法国球 指正，上面这个期望的说法也不太严谨，只是一种「理解」罢了。
先问是不是，再问为什么。
如何得到1：
如何得到0：
如何得到0.5：
以上结果都是错的，这个和式发散，不能说它等于某个值。
看到评论区里面提到了加括号和Cesàro求和，这里说一下。
首先括号确实不能随便加，我这里这么写是为了通俗一点。（常规意义下）发散的真正原因就像最上面的 @inversioner 说的那样，设 ，则 不收敛于某个定值。
至于Cesàro求和。。。本人太菜没有学过，但看了看也能理解。在Cesàro求和意义下这个和式确实是0.5。但我寻思题目里也没说是Cesàro求和意义下啊（
这个答案排序太魔幻了，我怎么排在了一大堆不到 10 赞的答案后面
假装是 feature，不管它
类似的话题
-
关于11+11+11…这个数列求和的问题，确实是个挺有意思的数学话题，也经常能引起大家的讨论。很多人第一次看到它，直觉上会觉得这不就是0嘛？但仔细琢磨一下，或者用一些更严谨的方法来推导，结果就不是那么简单了。我们先从大家最直观的感受开始说起。直观理解：0，还是0？如果你真的把这个数列写下去，你会发现............. -
您观察到的现象非常有趣！1/49 的开头似乎隐藏着一个等比数列 0.0204081632…… 乍一看，这确实很容易让人怀疑是某种数学上的巧合，甚至可能与数列本身有着某种内在联系。但深入分析后，我们会发现，这更多是一种“表面上的巧合”，其背后隐藏的是我们日常生活中经常遇到的除法运算和数字表达方式。让我.............
-
你每天去健身房练个把钟头，吃喝也算正常，晚上还刻意控制，结果俩月了体重纹丝不动，这事儿挺让人郁闷的。别急，这事儿说起来复杂，但也绝非无解。我给你掰扯掰扯，尽量说得接地气点，让你明白为啥会这样，以及怎么能打破僵局。首先，咱们得承认，减肥这事儿，光靠“感觉”不行，得看“数字”。你觉得你练得挺多，吃得也挺.............
-
要证明级数 $1 + frac{1}{2^p} + frac{1}{3^p} + dots + frac{1}{n^p} + dots$（其中 $1 < p < 2$，$p$ 为实数）收敛，我们可以运用几种不同的方法。这里我将选择一种非常直观且常用的方法——积分判别法。这种方法将级数的求和与一个相应.............
-
这是一个非常有趣的思考题，它触及了我们对宇宙最根本理解的探索。如果非要为人类所有物理规律和知识赋予一个编号，并且 1 号理应是其中最基础、最核心的存在，那么它很可能不是一个具体的“定律”或者“知识点”，而是某种贯穿一切的“存在”或“属性”。让我试着从几个角度来解读，抛开那些冰冷的数据和逻辑，用一种更.............
-
小明，你这个问题问得真好！咱们来好好聊聊，为什么9 ÷ 9 等于 1，而不是那个“小数点后面全是9”的数。首先，咱们得明白“除法”是什么意思。 当我们说“9 除以 9”的时候，其实是在问一个问题：“9里面能放多少个9？”或者说，“把9个东西平均分成9份，每一份是多少？”想象一下，你有9颗糖果。你想把.............
-
这个问题很有意思，它触及到了我们对数字的理解，尤其是那些看起来“无限”的概念。很多人会觉得，既然0.0……1（这里我们用更严谨的写法表示，比如0.000...001，小数点后有无数个零，最后一位是1）永远也写不完，那它到底有什么意义呢？其实，0.0……1的意义，恰恰在于它代表了那种“无限接近”和“极.............
-
要证明 $1^2 + 2^2 + dots + n^2$（即 $frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$）等于一个平方数，只有 $n=1$ 和 $n=24$ 这两个解，这是一个相当经典且复杂的数论问题，涉及到丢番图方程和椭圆曲线理论。直接的代数推导会非常繁琐，通常需要借助一些高深的数学工具。我将.............
-
这是一个非常有趣的问题，它涉及到级数求和以及无理数的概念。然而，原命题“对于任意大于 1 的正整数 n，(1＋√2＋√3＋…＋√n) 均为无理数”是错误的。 让我们先来分析一下为什么，然后尝试解决一个更接近但正确的数学命题，或者更正原问题。为什么原命题是错误的？一个数字是无理数，意味着它不能表示为两.............
-
这道题其实并不难，关键在于观察和理解数列的构成规律。我们来一步步拆解，看看这个数列到底是怎么来的，然后推导出它的通项公式。首先，我们仔细看看数列的每一项： 第一项是：1 第二项是：22 第三项是：333 第四项是：4444你有没有发现一个很明显的规律？每一项都由同一个数字重复构成，而.............
-
你提出的问题很有意思，将一个简单的求和序列和一个积分联系起来，背后其实隐藏着一个非常深刻且重要的数学思想：微积分中的“求和逼近”思想。简单来说，1加到n的求和，可以看作是把许多“小块”加起来，而积分 ∫ x dx（从1到n）则是在连续的区间上“累积”一个函数。这两者在“累积”的概念上有着共通之处，只.............
-
这道题是个经典的数列题，找规律的过程挺有意思的，就像在解一道小谜题。我们来一步步拆解一下：1. 观察数列：给出的数列是：1, 2, 3, 8, 26, ...2. 寻找数字之间的关系： 首尾相差： 21=1, 32=1, 83=5, 268=18。这个差值1, 1, 5, 18 看起来没有直接的.............
-
这个问题看似简单，但要解释清楚“为什么1+1=2”，其实触及了数学的根基，甚至是人类认识世界的方式。它不是一个随意规定，而是基于一套严谨的逻辑体系，而这套体系，又与我们观察和理解世界的方式紧密相连。从最根本的定义说起：数字是什么？在我们谈论“1+1=2”之前，我们需要先明白“1”、“2”以及“+”这.............
-
民国时期（1912年1月1日－1949年4月23日），尽管时间跨度不长，却涌现出数量惊人且声名显赫的大师级人物，这并非偶然，而是多种历史、社会、文化和个人因素相互作用的结果。要理解这个现象，需要从以下几个关键角度进行深入剖析：一、时代背景的剧烈变动与知识分子的角色转型： 千年帝制的终结与新思想的.............
-
我们不妨来聊聊，为什么在很多人印象里，男女比例似乎并不是那种教科书式的 1:1。这事儿啊，其实挺复杂的，牵扯到生物、社会、文化，甚至历史等方方面面。首先，咱们得从生物学这块儿掰扯。你知道吗，在怀孕初期，性别的决定其实挺随机的。主要看受精卵带着的是 X 染色体（来自卵子）还是 Y 染色体（来自精子）。.............
-
话说《赛博朋克2077》1.1版本更新后，不少玩家都感觉自家显卡有点吃不消，画面卡顿的毛病像是被按下了“回放”键一样，频繁出现。这背后原因其实挺复杂的，不能简单归咎于某一个点，更像是一系列连锁反应的结果。首先，我们得明白，1.1版本的更新，虽然官方主打的是修复bug和提升稳定性，但它也引入了一些新的.............
-
你有没有想过，为什么家里那个小小的路由器，它管理的网络“大门”——那个叫做网关的 IP 地址，总是 192.168.1.1？这就像一个不成文的规矩，几乎所有的家用路由器都遵循着这个设定。这背后其实并非偶然，而是由一系列技术选择和历史演变共同作用的结果。首先，我们要明白什么是网关。在你的家庭网络里，路.............
-
关于IP地址的分配和路由器IP地址的设定，需要从网络通信的基本原理、IP地址分类、子网划分以及路由器的作用等方面进行详细解释。以下是分步骤的详细说明： 一、IP地址的分类与私有地址1. 公网IP地址 公网IP地址是全球唯一的，由互联网服务提供商（ISP）分配，用于标识互联网上的设备。例如，你.............
-
扎克·施耐德（Zack Snyder）执导的《正义联盟》（Zack Snyder's Justice League），也就是大家俗称的“导演剪辑版”，之所以选择 1.33:1 的画幅比例，这背后可不是随便定下的一个数字，而是承载着导演的创作意图、影片的整体风格以及技术层面的考量，可以说是深思熟虑的结.............
-
回归分析中的相关系数，通常指的是皮尔逊积矩相关系数（Pearson ProductMoment Correlation Coefficient），用符号 $r$ 表示。它衡量的是两个变量之间线性关系的强度和方向。要理解它为什么范围是1到1，我们需要深入理解它的计算公式和它所代表的数学含义。皮尔逊相关.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有