所有质数的倒数的平方和的精确值是多少？
这个问题触及了一个数学中的经典猜想，也是一个非常深刻的领域。我们来深入探讨一下“所有质数的倒数的平方和”的精确值，以及它背后的一些故事和思考。
首先，让我们明确一下我们讨论的对象：“所有质数的倒数的平方和”。如果我们将所有质数记作 $p_1, p_2, p_3, dots$，那么这个和就是：
$$ frac{1}{p_1^2} + frac{1}{p_2^2} + frac{1}{p_3^2} + dots $$
其中 $p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, p_5=11, dots$ 依此类推。
一个令人惊讶的联系：欧拉乘积公式与黎曼ζ函数
要理解这个和，我们不能不提到两位伟大的数学家——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和数学界“千禧年问题”之一的黎曼猜想的提出者，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。
欧拉在18世纪就发现了整数的倒数平方和与质数之间的惊人联系。他考虑的是所有正整数的倒数平方和：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + dots $$
这个级数收敛，并且其精确值是 $frac{pi^2}{6}$。这本身就是一个了不起的发现，被称为巴塞尔问题。
更关键的是，欧拉运用了欧拉乘积公式，将这个关于所有整数的级数与质数联系了起来。欧拉观察到，任何一个大于1的整数都可以唯一地分解成质数的乘积。他将这个思想应用到了级数上：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = prod_{p ext{ prime}} left( 1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + frac{1}{p^6} + dots ight) $$
右边的乘积是对所有质数 $p$ 进行的。为什么会这样呢？因为对于任何一个质数 $p$，等比数列 $1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots$ 的和是 $frac{1}{1 frac{1}{p^2}}$。展开这个等比数列，我们实际上得到了所有形如 $frac{1}{p^k}$ 的项，其中 $k$ 是非负整数。当我们将所有质数对应的这些等比数列乘起来时，根据算术基本定理（任何大于1的整数都可以唯一地分解为质数的乘积），我们就能得到所有整数的倒数平方和的每一项 $frac{1}{n^2}$。
所以，我们有：
$$ frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}} $$
现在，让我们回到我们最初的问题：“所有质数的倒数的平方和”。我们知道 $frac{1}{1 frac{1}{p^2}} = frac{p^2}{p^2 1}$。那么，上式可以写成：
$$ frac{pi^2}{6} = left( frac{1}{1 frac{1}{2^2}} ight) left( frac{1}{1 frac{1}{3^2}} ight) left( frac{1}{1 frac{1}{5^2}} ight) dots $$
我们想求的正是：
$$ S = frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{5^2} + frac{1}{7^2} + dots $$
从欧拉的等式 $frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}}$，我们可以尝试“倒推”出我们想要的和。
考虑等式两边取对数：
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = lnleft(prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}} ight) $$
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = sum_{p ext{ prime}} lnleft(frac{1}{1 frac{1}{p^2}} ight) $$
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = sum_{p ext{ prime}} lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) $$
对于非常小的数 $x$，我们知道泰勒展开 $ln(1x) approx x$。在这里，$x = frac{1}{p^2}$。对于较大的质数， $frac{1}{p^2}$ 会非常小。所以，我们可以近似地认为：
$$ lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) approx frac{1}{p^2} $$
因此，我们得到一个近似关系：
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) approx sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
也就是说，所有质数的倒数平方和 大约等于 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$。
为什么是“大约”？而不是“精确值”？
这里的关键在于 $ln(1x)$ 的泰勒展开：
$$ lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) = frac{1}{p^2} + frac{1}{2p^4} + frac{1}{3p^6} + dots $$
所以，严格来说，我们要求和的级数是：
$$ S = sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
而欧拉的等式告诉我们：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = prod_{p ext{ prime}} left(1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots ight) $$
我们要求的是：
$$ sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
这和欧拉乘积公式中的乘积项 $1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots$ 不是同一个东西。
欧拉乘积公式实际上是将 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ （黎曼ζ函数 $zeta(s)$ 在 $s=2$ 处的值）分解成了关于质数的因子。
$$ zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} $$
当 $s=2$ 时：
$$ zeta(2) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{2}} $$
我们想要的和是 $sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2}$。我们不能直接从 $zeta(2)$ 的值推导出这个和的精确值。
目前的情况：猜想与计算
数学家们已经投入了巨大的努力来研究质数的分布以及与此相关的各种级数。对于“所有质数的倒数的平方和”，目前没有一个已知的、可以用简单的数学常数（如 $pi$）表示的精确封闭形式。
我们知道这个级数是收敛的，因为它的每一项都小于或等于对应整数倒数平方级数的项（除了第一项 $frac{1}{2^2}$），而整体上又可以通过欧拉乘积公式与 $zeta(2)$ 联系起来。而且，如前所述，它约等于 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$。
数值计算
数学家们通过数值计算来估计这个和的近似值。通过计算前大量的质数（例如，计算到数百万甚至更多的质数），然后将它们的倒数平方相加，可以得到一个非常精确的近似值。
截至目前，通过高效的算法和计算能力，已经能够非常精确地计算出这个和的值。例如，这个值大约是：
$0.4522474200 dots$
而 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$ 的值大约是：
$lnleft(frac{(3.1415926535)^2}{6} ight) approx lnleft(frac{9.869604401}{6} ight) approx ln(1.644934066) approx 0.5003315 dots$
可以看到，近似值和真实值之间确实存在差距，这个差距来自于泰勒展开中的高阶项，特别是那些与质数分布更精细的性质相关的项。
结论：
“所有质数的倒数的平方和”是一个非常迷人的数学对象。尽管它与著名的 $frac{pi^2}{6}$ 有着深刻的联系（通过欧拉乘积公式），并且可以被近似估计为 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$，但直到今天，数学家们还没有发现一个简单的、用初等数学常数表示的精确封闭形式。它的值是通过数值计算得到的，并且与质数分布的精细结构紧密相关。
这个问题仍然是数论研究中一个活跃的领域，它连接着质数的分布、黎曼ζ函数以及更广泛的数学分析。我们对它的理解，很大程度上是基于欧拉开创性的工作以及后世数学家们在解析数论上的深入探索。这其中没有一个“简单”的精确答案，更多的是对一个深奥数学现象的数值逼近和理论探索。
首先，让我们明确一下我们讨论的对象：“所有质数的倒数的平方和”。如果我们将所有质数记作 $p_1, p_2, p_3, dots$，那么这个和就是：
$$ frac{1}{p_1^2} + frac{1}{p_2^2} + frac{1}{p_3^2} + dots $$
其中 $p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, p_5=11, dots$ 依此类推。
一个令人惊讶的联系：欧拉乘积公式与黎曼ζ函数
要理解这个和，我们不能不提到两位伟大的数学家——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和数学界“千禧年问题”之一的黎曼猜想的提出者，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。
欧拉在18世纪就发现了整数的倒数平方和与质数之间的惊人联系。他考虑的是所有正整数的倒数平方和：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = 1 + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + dots $$
这个级数收敛，并且其精确值是 $frac{pi^2}{6}$。这本身就是一个了不起的发现，被称为巴塞尔问题。
更关键的是，欧拉运用了欧拉乘积公式，将这个关于所有整数的级数与质数联系了起来。欧拉观察到，任何一个大于1的整数都可以唯一地分解成质数的乘积。他将这个思想应用到了级数上：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = prod_{p ext{ prime}} left( 1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + frac{1}{p^6} + dots ight) $$
右边的乘积是对所有质数 $p$ 进行的。为什么会这样呢？因为对于任何一个质数 $p$，等比数列 $1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots$ 的和是 $frac{1}{1 frac{1}{p^2}}$。展开这个等比数列，我们实际上得到了所有形如 $frac{1}{p^k}$ 的项，其中 $k$ 是非负整数。当我们将所有质数对应的这些等比数列乘起来时，根据算术基本定理（任何大于1的整数都可以唯一地分解为质数的乘积），我们就能得到所有整数的倒数平方和的每一项 $frac{1}{n^2}$。
所以，我们有：
$$ frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}} $$
现在，让我们回到我们最初的问题：“所有质数的倒数的平方和”。我们知道 $frac{1}{1 frac{1}{p^2}} = frac{p^2}{p^2 1}$。那么，上式可以写成：
$$ frac{pi^2}{6} = left( frac{1}{1 frac{1}{2^2}} ight) left( frac{1}{1 frac{1}{3^2}} ight) left( frac{1}{1 frac{1}{5^2}} ight) dots $$
我们想求的正是：
$$ S = frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{5^2} + frac{1}{7^2} + dots $$
从欧拉的等式 $frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}}$，我们可以尝试“倒推”出我们想要的和。
考虑等式两边取对数：
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = lnleft(prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 frac{1}{p^2}} ight) $$
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = sum_{p ext{ prime}} lnleft(frac{1}{1 frac{1}{p^2}} ight) $$
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) = sum_{p ext{ prime}} lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) $$
对于非常小的数 $x$，我们知道泰勒展开 $ln(1x) approx x$。在这里，$x = frac{1}{p^2}$。对于较大的质数， $frac{1}{p^2}$ 会非常小。所以，我们可以近似地认为：
$$ lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) approx frac{1}{p^2} $$
因此，我们得到一个近似关系：
$$ lnleft(frac{pi^2}{6} ight) approx sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
也就是说，所有质数的倒数平方和 大约等于 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$。
为什么是“大约”？而不是“精确值”？
这里的关键在于 $ln(1x)$ 的泰勒展开：
$$ lnleft(1 frac{1}{p^2} ight) = frac{1}{p^2} + frac{1}{2p^4} + frac{1}{3p^6} + dots $$
所以，严格来说，我们要求和的级数是：
$$ S = sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
而欧拉的等式告诉我们：
$$ sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = prod_{p ext{ prime}} left(1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots ight) $$
我们要求的是：
$$ sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2} $$
这和欧拉乘积公式中的乘积项 $1 + frac{1}{p^2} + frac{1}{p^4} + dots$ 不是同一个东西。
欧拉乘积公式实际上是将 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ （黎曼ζ函数 $zeta(s)$ 在 $s=2$ 处的值）分解成了关于质数的因子。
$$ zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{s}} $$
当 $s=2$ 时：
$$ zeta(2) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} = prod_{p ext{ prime}} frac{1}{1 p^{2}} $$
我们想要的和是 $sum_{p ext{ prime}} frac{1}{p^2}$。我们不能直接从 $zeta(2)$ 的值推导出这个和的精确值。
目前的情况：猜想与计算
数学家们已经投入了巨大的努力来研究质数的分布以及与此相关的各种级数。对于“所有质数的倒数的平方和”，目前没有一个已知的、可以用简单的数学常数（如 $pi$）表示的精确封闭形式。
我们知道这个级数是收敛的，因为它的每一项都小于或等于对应整数倒数平方级数的项（除了第一项 $frac{1}{2^2}$），而整体上又可以通过欧拉乘积公式与 $zeta(2)$ 联系起来。而且，如前所述，它约等于 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$。
数值计算
数学家们通过数值计算来估计这个和的近似值。通过计算前大量的质数（例如，计算到数百万甚至更多的质数），然后将它们的倒数平方相加，可以得到一个非常精确的近似值。
截至目前，通过高效的算法和计算能力，已经能够非常精确地计算出这个和的值。例如，这个值大约是：
$0.4522474200 dots$
而 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$ 的值大约是：
$lnleft(frac{(3.1415926535)^2}{6} ight) approx lnleft(frac{9.869604401}{6} ight) approx ln(1.644934066) approx 0.5003315 dots$
可以看到，近似值和真实值之间确实存在差距，这个差距来自于泰勒展开中的高阶项，特别是那些与质数分布更精细的性质相关的项。
结论：
“所有质数的倒数的平方和”是一个非常迷人的数学对象。尽管它与著名的 $frac{pi^2}{6}$ 有着深刻的联系（通过欧拉乘积公式），并且可以被近似估计为 $lnleft(frac{pi^2}{6} ight)$，但直到今天，数学家们还没有发现一个简单的、用初等数学常数表示的精确封闭形式。它的值是通过数值计算得到的，并且与质数分布的精细结构紧密相关。
这个问题仍然是数论研究中一个活跃的领域，它连接着质数的分布、黎曼ζ函数以及更广泛的数学分析。我们对它的理解，很大程度上是基于欧拉开创性的工作以及后世数学家们在解析数论上的深入探索。这其中没有一个“简单”的精确答案，更多的是对一个深奥数学现象的数值逼近和理论探索。
网友意见
不是所有的级数都有名字，但这个式子有自己的名字，它叫prime zeta function:
( )
就是题主想要的值。
很显然，这货跟Riemann zeta function脱不了干系，它们的关系表现在下面这个定理中：
定理 [1] ：对于所有的 ，我们有如下式子成立
.
所以
幸运的是， 的值在1734年就被欧拉解决了[2]:
,
其中 是Bernoulli数。
所以 这是准确值。
另外，根号里有几项长这个样子：
Glaisher写了本书On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers研究过类似问题，只不过是在1891年。
最后放一张Riemann zeta function的图像~
参考
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